1、第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用1.1.平面图形的面积平面图形的面积2.2.体积体积3.3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长4.4.小结、作业小结、作业 1/31xyo)(xfy ab1.直角坐标情形直角坐标情形有有关关；与与）,1baA一、平面图形的面积一、平面图形的面积xxx .)()(babadxxfxdAA的的分分割割有有可可加加性性；对对）,2baA ,3满足满足上的部分量上的部分量在在）AxxxA|)(|xxxfA )1(xo ,)(xo .,)()(baxdxxfxdAdA A用元素法建立用元素法建立曲边梯形面积曲边梯形面积A的计算公式的计算公式：2/31妨
2、此可得（图妨此可得（图1）的面积：）的面积：yxOcdA dcydAA)(yx=f(y)xyo)(1xfy )(2xfy ab badxxfxfA)()(12x（图（图2）的面积：）的面积：（图（图1）（图（图2）3/31.)(dcdyyf（图（图3）的面积：）的面积：yxOabxy=f(x)（图（图3）.|)(|)(babadxxfxdAA4/31例例 1 1 计算由计算由xy22 和和4 xy所围图形的面积所围图形的面积.解解).4,8(),2,2(422xyxy为为积积分分变变量量。以以xxy22 4 xy).(作图作图 80)(xdAA先求两曲线的交点。先求两曲线的交点。0,2;,2(
3、2)(xdxxxxdA）2,8.,)4(2)(xdxxxxdA.18 2082)()(xdA5/31另解另解选选 为积分变量为积分变量y4,2 y,2)4()(2dyyyydA xy22 4 xy)(42ydAA .18)24(422 ydyy例例 1 1 计计算算由由xy22 和和4 xy所所围围图图形形的的面面积积.6/31例例 2 2 推导椭圆面积推导椭圆面积 A 的计算公式的计算公式.解解设椭圆方程为设椭圆方程为.12222 byax由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍倍 axdAA0)(4 adxaxb02214td tabtaxsin
4、cos420sin .ab 以以x为积分变量，得为积分变量，得 adxxy0)(47/31设曲边梯形的曲边设曲边梯形的曲边参数方程为参数方程为,)()(tyytxx其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：式经过定积分的换元法得到：)(baydxA;)()()()(11dttxtybxax )(dcxdyA.)()()()(11dttytxdycy 2.2.参数方程情形参数方程情形 )()(11)()(bxaxtdxty )()(11)()(dycytdytx8/31例例如如 椭椭圆圆 12222 byax 的的参参数
5、数方方程程.2 0,sincos ttbytax椭圆的面积椭圆的面积)(40 axdAA 02)cos(sin4tatdb,ab adxy0 4)(40 bydAA 20)sin(cos4 tbtda.ab bdyx0 49/31 设由曲线设由曲线)(r及射线及射线 、围成一围成一曲边扇形曲边扇形，求其面积这里，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xo d d 曲边扇形面积元素曲边扇形面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积公式曲边扇形的面积公式.)(212 dA 3.3.极坐标方程的情形极坐标方程的情形)(r10/31例例 3 3 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平
6、平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知，总面积由对称性知，总面积=第一象限部分面积的第一象限部分面积的4倍。倍。)(440 dAA .2a xy 2cos22a dr)(214402 da2cos214402 11/31例例 4 4 求求心心形形线线)cos1(ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0(a.解解利用对称性知，所求面积利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，为上半部的两倍，.232a d d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a12/31 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做线旋转一
7、周而成的立体这条直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1.1.旋转体的体积旋转体的体积13/31推推导导由由连连续续曲曲线线 y=f(x)、直直线线 x=a、x=b 及及 x 轴轴所所围围曲曲边边梯梯形形绕绕 x 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积计计算算公公式式：取取 x 为为积积分分变变量量，族族分分割割旋旋转转体体成成薄薄片片，轴轴的的平平面面即即以以垂垂直直于于 x则则体体积积元元素素为为 dxydV2 xxyo旋转体的体积公式旋转体的体积公式dxxfVba2)()(xfy .,bax dxxf2)(),(xdV 14/31类类似似地地，建建立立由由
8、连连续续曲曲线线 x=(y)、直直线线 y=c、y=d 及及 y 轴轴所所围围曲曲边边梯梯形形绕绕 y 轴轴的的旋旋转转体体的的体体积积计计算算公公式式 xyo)(yx cddyy2)(dcVy15/31y例例 5 5 推推导导圆圆锥锥体体的的体体积积计计算算公公式式 r解解hP。、高高为为设设圆圆锥锥体体的的底底半半径径为为hr,0hx xoxhry ,建建立立坐坐标标系系如如图图所所示示的的方方程程为为则则直直线线 OP处处的的体体积积元元素素为为为为积积分分变变量量，则则取取 xx)(2dxyxdV .0,)(2hxdxxhr hxdVV0)(圆锥体的体积 hdxxhr02)(.312h
9、r 的的体体积积公公式式？为为积积分分变变量量建建立立圆圆锥锥体体：能能否否以以 y思思考考xy16/31例例 5 5 推推导导圆圆锥锥体体的的体体积积计计算算公公式式 yr另解另解hPxo为为积积分分变变量量，取取 y)(ydV.0,ry rydVV0)(rdyyrhhy0)(2.312hr xy,)(2dyyrhhy 式式。球球体体、椭椭球球体体等等体体积积公公：以以本本例例方方式式可可以以建建立立注注)(2dyxhy 处处的的体体积积元元素素为为则则 y17/31a aoyx例例 6 6 求求星星形形线线323232ayx )0(a绕绕 x 轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.
10、解解（作作图图）332322 xay,aax 以以 x 为积分变量，得旋转体的体积为积分变量，得旋转体的体积)(xdVVaa .105323a ,323232xay dxxaaa33232 xdyaa 2 18/31a aoyx另解另解,323232ayx 于于是是，其其旋旋转转体体的的体体积积 V.105323a ,cos)(31tax 令令,sin)(31tay 则则得得星星形形线线的的参参数数方方程程.2 0,sin ,cos33 ttaytax)cos()sin(3230tadta 定定积积分分换换元元dxyaa2 例例 6 6 求求星星形形线线323232ayx )0(a绕绕 x 轴
11、轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.19/31注注积积分分的的换换元元法法得得到到。过过定定坐坐标标下下体体积积计计算算公公式式通通体体积积计计算算公公式式可可由由直直角角所所围围图图形形生生成成的的旋旋转转体体由由参参数数方方程程给给出出的的曲曲线线 例例 7 7 求求摆摆线线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱与与0 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕 x 轴轴、y 轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxyVax220 2022)sin()cos1(ttadta.532a a 2a)(xy20/31（续
12、续）dyxVay2202 dyxa2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222)cos1()sin(tadtta 022)cos1()sin(tadtta 2023sin)sin(tdttta.633a 例例 7 7 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱的一拱与与0 y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴、轴、y 轴旋转构成旋转轴旋转构成旋转体的体积体的体积.绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 21/312.2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 如果知道了一个如果知道了一个立体垂直于某个定轴立体垂直于
13、某个定轴（记为（记为x轴）的各个截面面积轴）的各个截面面积 A(x)，那么，这个立体，那么，这个立体的的体积元素体积元素为为,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积22/31xoxdxx ab)(xA例例 8 8 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RR xyo解解 取坐标系如图所示。取坐标系如图所示。222Ryx x垂直于垂直于x轴的截面的面轴的截面的面积为积为 tan21)(yyxA 所求立体体积所求立体体积dxxRVRR tan)(2
14、122 .tan323 R,tan)(2122 xR 23/31RR xyo另解另解 以垂直于以垂直于 y 轴的轴的平面切割立体，得截面平面切割立体，得截面面积为面积为222Ryx x tan2)(yxyA 立体体积立体体积dxyyRVR tan2220 .tan323 R ,tan222 yyR y.0,Ry 例例 8 8 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.24/31曲曲线线段段。光光滑滑为为一一条条设设 L三、三、平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoya
15、byx光光滑滑，L的的弧弧长长近近似似为为弦弦长长到到上上),(),(yyxxMyxML 22)()(yxs .)()(22dydxds 弧长元素（弧微分）基本公式弧长元素（弧微分）基本公式yy xx .),(:1,1 baC fxfyL 、设、设则则 ds )(12dxdxdy dxy21 ,)(xds.,bax 弧长弧长.1)(2dxyxdssbaba 25/31.C)()(:2,1 tyytxxL、设、设dttytx)()(22 弧长弧长.)()()(22dttytxtdss ds则则)()(22dttydttx ,)(tds.,t.C ),(:3,1 rrrL、设、设弧长弧长.)()(
16、22 drrs )(dsds则则 dyx)()(22 ,)()(22 drr .,cos)()(rxx ,sin)()(ryy .,:L26/31例例 9 9 求求星星形形线线 323232ayx )0(a 的的全全长长.解解星形线在第一象限部分的方程为星形线在第一象限部分的方程为.0,)(233232axxay 根据对称性根据对称性14ss dxya 02 14.6a 14ss dxxaa 02213232)1(14a aoyx27/31另解另解星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20(t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cos
17、sin34.6a 例例 9 9 求求星星形形线线 323232ayx )0(a 的的全全长长.a aoyx28/31例例 1 10 0 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0(a 上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 29/311、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；以直角坐标为积分变量；四、小结四、小结2、参数方程给出的平面图形的面积可由直角、参数方程给出的平面图形的面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；坐标
18、面积计算公式经积分变量替换得到；3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；由极坐标为积分变量；4、曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标、曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量。极坐标为积分变量。30/31作 业 习题6-2 2-(1)6 8-(1)9 1215-(4)18 19 21 25 295、旋转体的体积、旋转体的体积 绕绕 轴旋转一周；轴旋转一周；x绕绕 轴旋转一周；轴旋转一周；y（绕非坐标轴直线旋转一周）（绕非坐标轴直线旋转一周）.6、平行截面面积为已知的立体的体积。、平行截面面积为已知的立体的体积。参数方程；参数方程；极坐标方程。极坐标方程。8、求弧长的公式、求弧长的公式 直角坐标方程；直角坐标方程；7、平面曲线弧长元素（弧微分）的基本公式；、平面曲线弧长元素（弧微分）的基本公式；31/31
