1、21.3 实际问题与一元二次方程（1）【引例引例】九章算术卷九九章算术卷九“勾股勾股”中记载：今中记载：今有户不知高广，竿不知长短有户不知高广，竿不知长短.横之不出四尺，纵之横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出不出二尺，斜之适出.问户斜几何问户斜几何.【引例引例】九章算术卷九九章算术卷九“勾股勾股”中记载：今中记载：今有户不知高广，竿不知长短有户不知高广，竿不知长短.横之不出四尺，纵之横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出不出二尺，斜之适出.问户斜几何问户斜几何.注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去长出二尺；斜放恰好能出
2、去.求户斜多长求户斜多长.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放
3、，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.解：设 BD=x尺.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.解：设 BD=x尺.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；
4、斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.解：设 BD=x尺.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.解：设 BD=x尺.由题意，BCD=90，BC 2+CD 2=BD 2.(x 4)2+(x 2)2=x 2.(x 4)2+(x 2)2=x 2.x 2 8x+16+x 2 4x+4=x 2.(x 4)2+(x 2)2=x 2.x 2 8x+16+x 2 4x+4=x 2.x 2 12x+20=0.(x 4)2+(x 2)2=x 2.x
5、2 8x+16+x 2 4x+4=x 2.x 2 12x+20=0.(x 2)(x 10)=0.(x 4)2+(x 2)2=x 2.x 2 8x+16+x 2 4x+4=x 2.x 2 12x+20=0.(x 2)(x 10)=0.(x 4)2+(x 2)2=x 2.x 2 8x+16+x 2 4x+4=x 2.x 2 12x+20=0.(x 2)(x 10)=0.x1=10，x2=2 (不合题意，舍去).共有多少个队参加比赛？x1=9(不合题意，舍去)，x2=10.1x x2 =91.解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.解：设 BD=x尺.
6、一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的有效数学模型.x1=9(不合题意，舍去)，x2=10.进一步思考：这道题和探究1有什么区别？两轮传染之后共有 121 个人患了流感，第三轮的传染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：【引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；x2+2x+1=121.答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人.竖放，竿比门高长出二尺；【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则第一轮后共有 个人患了流感；第一轮后：1+10=11(人).解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.【引例】注释：横放，竿比门
7、宽长出四尺；如何理解“两轮传染”？【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人感染流感？横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出.进一步思考：利用图形说明如何修改练习1使之与探究1模型相同.(x 4)2+(x 2)2=x 2.第二轮后：22+1022=22(1+10)=2112(人).而练习1的题目告诉我们，第一轮是一个主干长出9个支干，第二轮只有这9个支干（而不包括主干）分别又长出了9个小分支.x2+2x+1=121.共有
8、多少个队参加比赛？x 2 12x+20=0.解：设每个支干长出 x 个小分支.进一步思考：这道题和探究1有什么区别？【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(x 4)2+(x 2)2=x 2.则第一轮后共有 个人患了流感；第二轮后有 2112 人.进一步思考：这道题和探究1有什么区别？x(x1)=90.(x+1)+x(x+1)=121.x2 x 90=0.x1=10，x2=12 (不合题意，舍去).(x+1)+x(x+1)=121.横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出.【引例引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，注释：横放，竿
9、比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去.求户斜多长求户斜多长.解：设 BD=x尺.由题意，BCD=90，BC 2+CD 2=BD 2.(x 4)2+(x 2)2=x 2解得x1=10，x2=2 (不合题意，舍去).答：户斜斜1010尺尺.【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平
10、均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？第一轮的传染源有几人？第一轮的传染源有几人？第一轮的传染源只有 1 个人.【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？【探究探究1】有一个人患了流感，经过有一个人患了流感，经过两轮传染两轮传染后后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？如何理解如何理解“两轮传染两轮传染”？如何理解“两轮传染”？第一轮由 1
11、 个人传染给几个人，为了便于理解，我们先假定为 3 个人，那么第一轮传染后共有 4 个人患流感.这 4 个人就成为第二轮的传染源，每个人又分别传染给 3 个人，那么第二轮的新患流感人数为12 人.【探究探究1】有一个人患了流感，经过有一个人患了流感，经过两轮传染两轮传染后后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？如何理解“共有”？如
12、何理解“共有”？按照我们刚才的假设，第一轮传染后有 4 名患者，第二轮传染后有 12 名新患者，那么两轮之后的总人数就是 16 人.【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？如何用算术的方法解决这样的问题？【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个
13、人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？如果用方程的方法，你认为相等关系是什么？如果用方程的方法，你认为相等关系是什么？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.则第一轮后共有 个人患了流感；【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染
14、中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.则第一轮后共有 个人患了流感；(x+1)【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.则第一轮后共有 个人患了流感；第二轮共有 个人新患了流感.(x+1)【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮
15、传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？x(x+1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.则第一轮后共有 个人患了流感；第二轮共有 个人新患了流感.(x+1)【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.(x+1)+x(x+1)=121.(x+1)+x(x+1)=121.x+1+x2+x=121.(x+1)+x(x+1)=121.x+1+x2+x=121.x2+2x+1=121.(x+1)+x(x+
16、1)=121.x+1+x2+x=121.x2+2x+1=121.(x+1)2=121.(x+1)+x(x+1)=121.x+1+x2+x=121.x2+2x+1=121.(x+1)2=121.x+1=11.(x+1)+x(x+1)=121.x+1+x2+x=121.x2+2x+1=121.(x+1)2=121.x+1=11.x1=10，x2=12 (不合题意，舍去).(x+1)+x(x+1)=121.x+1+x2+x=121.x2+2x 120=0.(x+12)(x 10)=0.x1=10，x2=12 (不合题意，舍去).(x+1)+x(x+1)=121.(x+1)+x(x+1)=121 (x
17、+1)(x+1)=121.(x+1)2=121.x+1=11.x1=10，x2=12 (不合题意，舍去).【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后有一个人患了流感，经过两轮传染后共有共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.(x+1)+x(x+1)=121.解得 x1=10，x2=12 (不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人.解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.(x+1)+x(x+1)=121.解得 x1=10，x2=12 (不合题意，舍去).答
18、：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人.进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？【探究探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有一个人患了流感，经过两轮传染后共有有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？了几个人？进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？两轮传染之后共有两轮传染之后共有 121 个人患了流感，个人患了流感，第三轮的传染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：12110=1210(人).进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？两轮传染之后共有两轮传染之后共有 121
19、 个人患了流感，个人患了流感，第三轮的传染源也正是这 121 人，所以第三轮感染的人数是：12110=1210(人).三轮后感染的总人数是：121+1210=1331(人).进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少人感染流感？进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少人感染流感？第一轮后：1+10=11(人).第二轮后：11+1011=121(人).第三轮后：121+10121=1331(人).进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少人感染流感？第一轮后：1+10=11(人).第二轮后：11+1011=11(1+10)=112(人).第三轮后：121+10121=121(1+1
20、0)=113(人).进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少人感染流感？第一轮后：1+10=11(人).第二轮后：11+1011=11(1+10)=112(人).第三轮后：121+10121=121(1+10)=113(人).第 n 轮后共有 11n 人感染流感.进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人感染流感？准确地用含未知数的代数式表达相等关系要建立在充分理解题意的基础上.(x+1)2=121.横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出.【引例】注释：横放，竿比门宽长出四尺；x 2 8x+16+x 2 4x+4=x 2.进一步思考：按照
21、这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？共有多少个队参加比赛？进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？(x 2)(x 10)=0.x2+2x+1=121.则第一轮后共有 个人患了流感；第一轮的传染源只有 1 个人.【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出.解：设共有 x 个队参加比赛.如何用算术的方法解决这样的问题？1x x2 =91.x1=9(不合题意，舍去)，x2=10.【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？进一步思考：按照这样的情形，n 轮之
22、后共有多少人感染流感？解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.x2 x 90=0.进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人感染流感？第一轮后：2+20=22(人).进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人感染流感？第一轮后：2+20=22(人).第二轮后：22+1022=22(1+10)=2112(人).进一步思考：如果最初有两个人患了流感，按照上述的传染模式，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人感染流感？第一轮后：2+20=22=211(人).第二轮后：22+1022=22(1+1
23、0)=2112(人).如果最初有一个人患了流感：第一轮后有 11 人，第二轮后有 112 人，第三轮后有 113 人.如果最初有两个人患了流感：第一轮后有 211 人；第二轮后有 2112 人.进一步思考：如果最初有 m 个人患了流感，按照上述的传染模式，n 轮传染后共有多少人感染流感？进一步思考：如果最初有 m 个人患了流感，按照上述的传染模式，n 轮传染后共有多少人感染流感？n 轮传染后共有 m 11n 人感染流感.第三轮后：121+10121=1331(人).【引例】九章算术卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短.进一步思考：按照这样的情形，n 轮之后共有多少人感染流感？【探究1
24、】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(x+1)+x(x+1)=121.x2 x 90=0.解：设共有 x 个队参加比赛.进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？而练习1的题目告诉我们，第一轮是一个主干长出9个支干，第二轮只有这9个支干（而不包括主干）分别又长出了9个小分支.x2 x 90=0.解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.进一步思考：按照这样的情形，三轮之后共有多少人感染流感？【探究1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？第一轮后有 211 人；(
25、x+1)+x(x+1)=121.x(x1)=90.x1=9(不合题意，舍去)，x2=10.解：设共有 x 个队参加比赛.解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.解：设每个支干长出 x 个小分支.(x+1)+x(x+1)=121.【练习1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分支？进一步思考：如果最初有 m 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给 k 个人，那么 n 轮传染后共有多少人感染流感？进一步思考：如果最初有 m 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给 k 个人，那么 n 轮传染后共有多少人感染流
26、感？n 轮后共有 m(1+k)n 人感染流感.【练习练习1】某种植物的主干长出若干数目的支干，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分，每个支干长出多少个小分支？支？【练习练习1】某种植物的主干长出若干数目的支干，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分，每个支干长出多少个小分支？支？【练习练习1】某种植物的主干长出若
27、干数目的支干，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分，每个支干长出多少个小分支？支？解：设每个支干长出 x 个小分支.【练习练习1】某种植物的主干长出若干数目的支干，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分，每个支干长出多少个小分支？支？解：设每个支干长出 x 个小分支.1x x2 =91.1x x2 =91.x2
28、x 90=0.1x x2 =91.x2 x 90=0.(x+10)(x9)=0.1x x2 =91.x2 x 90=0.(x+10)(x9)=0.x1=10(不合题意，舍去)，x2=9.【练习练习1】某种植物的主干长出若干数目的支干，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分，每个支干长出多少个小分支？支？解：设每个支干长出 x 个小分支.1x x2 =91.解得 x1=10(不合题意，舍去)，x2=9.答：每个支干长出 9 个小分支.【练习练习1】某种植物
29、的主干长出若干数目的支干，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分，每个支干长出多少个小分支？支？进一步思考：这道题和探究1有什么区别？进一步思考：这道题和探究1有什么区别？探究1中，第一轮的传染源是1个人，传染了10个人，使得第二轮的传染源变成11个人；而练习1的题目告诉我们，第一轮是一个主干长出9个支干，第二轮只有这9个支干（而不包括主干）分别又长出了9个小分支.进一步思考：利用图形说明如何修改练习1使之与探究1模型相同.进一步思考：利用图形说明如何修
30、改练习1使之与探究1模型相同.【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.共有多少个队参加比赛？【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.共有多少个队参加比赛？解：设共有 x 个队参加比赛.共比赛 场 场场.【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.共有多少个队参加比赛？解：设共有 x 个队参加比赛.共比赛 x(x1）场场.【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.共有多少个队参加比赛？解：设共有 x 个队参加比赛.x(x1)=90.x(x1)=90.x2 x 90=0.x(x1)=9
31、0.x2 x 90=0.(x 10)(x+9)=0.x(x1)=90.x2 x 90=0.(x 10)(x+9)=0.x1=9(不合题意，舍去)，x2=10.【练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场.共有多少个队参加比赛？解：设共有 x 个队参加比赛.x(x1)=90.解得 x1=9(不合题意，舍去)，x2=10.答：共有 10 个队参加比赛.【引例引例】九章算术卷九九章算术卷九“勾股勾股”中记载：今有中记载：今有户不知高广，竿不知长短户不知高广，竿不知长短.横之不出四尺，纵之不横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出出二尺，斜之适出.问户斜几何问户斜几何.【探究探究1
32、】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？几个人？【练习练习2】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛赛，共要比赛 90 场场.共有多少个队参加比赛？共有多少个队参加比赛？课堂小结课堂小结1.准确地用含未知数的代数式表达相等关系要建立准确地用含未知数的代数式表达相等关系要建立在充分理解题意的基础上在充分理解题意的基础上.2.快速地解一元二次方程的前提是熟练掌握四种方快速地解一元二次方程的前提是熟练掌握四种方法以及细致地观察法以及细致地观察.3.要结合题目背景对一元二次方程的两个解进行检要结合题目背景对一元二次方程的两个解进行检验和取舍验和取舍.课堂小结课堂小结4.一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的有效数学模型有效数学模型.在运用一元二次方程分析、表达和在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，要注意体会建立数学模型解决实际问题的过程中，要注意体会建立数学模型解决实际问题的思想和方法解决实际问题的思想和方法.
