1、120222023 学学年年高高三三年年级级模模拟拟试试卷卷数数学学(满分：150 分考试时间：120 分钟)20231一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A0，a，B2a，b，若 AB1，则 ab()A.1B.2C.3D.42.若 1i 是实系数一元二次方程 x2pxq0 的一个根，则()A.p2，q2B.p2，q2C.p2，q2D.p2，q23.若(xy)6a0y6a1xy5a2x2y4a6x6，则(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2的值为()A.0B.32C.64D.1284.在音乐理论中，若音 M
2、 的频率为 m，音 N 的频率为 n，则它们的音分差 1 200log2mn.当音 A 与音 B 的频率比为98时，音分差为 r；当音 C 与音 D 的频率比为256243时，音分差为 s，则()A.2r3s600B.3r2s600C.5r2s1 200D.2r5s1 2005.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x2y20 与抛物线 C：y24x 相交于 A，B 两点，则OAOB的值为()A.4B.8C.12D.166.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(6，8)，将OA绕点 O 顺时针旋转4后得OA，则 A的纵坐标为()A.2B.3C.2D.57.已知函数 f(x)sin(x)(
3、0，0)，若 f(4)0，f()1，f(x)的最小正周期 T2，则的值为()A.6B.3C.23D.568.若实数 a，b，c 满足 6a12ac3，3bab5aab，则 a，b，c 的大小关系是()A.abcB.bcaC.cabD.cba二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知一组数据为 4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则()A.标准差为85B.众数为 2 和 3C.第 70 分位数为72D.平均数为 3210.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()A
4、.锐角三角形B.直角梯形C.正五边形D.边长不全相等的六边形11.已知定义域为 R 的函数 f(x)x4x2ax1，则()A.存在唯一的实数 a，使函数 f(x)的图象是轴对称图形B.存在实数 a，使函数 f(x)为单调函数C.对任意实数 a，函数 f(x)都存在最小值D.对任意实数 a，函数 f(x)都存在两条过原点的切线12.过圆 O：x2y28 内一点 P(1，3)作两条互相垂直的弦 AB，CD，得到四边形 ADBC，则()A.AB 的最小值为 4B.当 AB25 时，CD2 7C.四边形 ADBC 面积的最大值为 16D.ACBD为定值三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 2
5、0 分13.若椭圆 C2的焦点在 y 轴上，且与椭圆 C1：x24y221 的离心率相同，则椭圆 C2的一个标准方程为_14.某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是 0.5.根据以往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为 0.8；若选员工乙，按时完成任务的概率为 09.则选派一名员工，任务被按时完成的概率为_15.设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S410S2，则S6S2的值为_16.一名学生参加学校社团活动，利用 3D 技术打印一个几何模型 该模型由一个几何体M 及其外接球 O 组成，几何体 M 由一个内角都是 120的六边形 ABCDEF 绕边
6、BC 旋转一周得到，且满足 ABAFDCDE，BCEF，则球 O 与几何体 M 的体积之比为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分 10 分)记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知sin Asin Csin Csin A2cos B1.(1)求证：b2ac；(2)若b2a2c225，求 cos B 的值318.(本小题满分 12 分)已知数列an满足3anan12an1a2，2a11a21a3，a0.(1)求证：数列1an是等差数列；(2)求数列anan1的前 n 项和 Sn.19.(本小题满分 12 分
7、)甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得 100 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为 0.4，0.6，0.5，各项目比赛互不影响(1)求乙校获得冠军的概率；(2)用 X 表示甲校的总得分，求 X 的分布列与数学期望20.(本小题满分 12 分)如图，在三棱台 ABCDEF 中，已知平面 ABED平面 BCFE，BABC，BC3，BEDEDA12AB1.(1)求证：直线 AE平面 BCFE；(2)求平面 CDF 与平面 AEF 所成角的正弦值421.(本小题满分 12 分)在平面直角
8、坐标系 xOy 中，过点 P(2，0)的直线 l 与双曲线 C：x2a2y2b21 的左支交于 A，B 两点，直线 OA 与双曲线 C 的右支交于点 D.已知双曲线 C 的离心率为 2，当直线 l与 x 轴垂直时，BD 2 AB.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)求证：直线 BD 与圆 O：x2y22 相切22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ex16ax3(a0)，记 fn1(x)fn(x)(nN),f0(x)f(x).(1)当 x0 时，f(x)0 恒成立，求实数 a 的最大值；(2)当 a1 时，设 gn(x)错错误误!i(x)，对任意的 n3，当 xtn时，ygn(x)取
9、得最小值，求证：gn(tn)0 且所有点(tn，gn(tn)在一条定直线上；(3)若函数 f0(x)，f1(x)，f2(x)都存在极小值，求实数 a 的取值范围520222023 学学年年高高三三年年级级模模拟拟试试卷卷(泰泰州州)数数学学参参考考答答案案及及评评分分标标准准1.B2.C3.A4.C5.C6.A7.D8.D9.BCD10.BC11.ACD12.ABD13.形如y22tx2t1(t0)都行14.0.8515.9116.56 78117.(1)证明：由正弦定理知sin Asin Csin Csin Aacca，由余弦定理知 cos Ba2c2b22ac，(3 分)所以acca2a2
10、c2b22ac1，化简得 b2ac.(5 分)(2)解：因为b2a2c225，b2ac，所以a2c2ac52.(7 分)由(1)知a2c2ac2cos B1，所以 2cos B152，即 cos B34.(10 分)18.(1)证明：因为数列an满足3anan12an1a2，a20，令 n1，得3a1a22a11a2，所以 a11，(2 分)令 n2，得3a2a32a21a2.又因为2a11a21a3，a20，所以 a213，(4 分)所以anan12an1，所以1an12an1an21an，故1an11an2，所以数列1an是首项为 1，公差为 2 的等差数列(7 分)(2)解：由(1)知，
11、1an12(n1)2n1，所以 anan11（2n1）（2n1）12(12n112n1)，(9 分)Sn12(113131512n112n1)12(112n1)n2n1，即数列anan1的前 n 项和 Snn2n1.(12 分)19.解：(1)甲校在三个项目中获胜的概率分别为 0.4，0.6，0.5，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛第二场比赛第三场比赛6甲学校获胜概率0.40.60.5乙学校获胜概率0.60.40.5乙校要获得冠军，需要在 3 场比赛中至少获胜 2 场，若乙校 3 场全胜，概率为 P10.60.40.50.12，若乙校获胜 2 场败 1 场，概率为 P20.
12、60.40.50.60.60.50.40.40.50.38，所以乙校获得冠军的概率为 PP1P20.5.(5 分)(2)甲校的总得分 X 的可能取值为 0，100，200，300，其概率分别为P(X0)0.60.40.50.12，P(X100)0.40.40.50.60.60.50.60.40.50.38，P(X200)0.40.60.50.40.40.50.60.60.50.38，P(X300)0.40.60.50.12，则 X 的分布列为X0100200300P0.120.380.380.12X 的数学期望 E(X)00.121000.382000.383000.12150.(12 分)2
13、0.(1)证明：在三棱台 ABCDEF 中，DEAB.因为 BEAD，所以四边形 ABED 为等腰梯形因为 BEDE1，AB2，所以可得ABE3.在ABE 中，由余弦定理可得 AE 3，所以 BE2AE2AB2，所以 AEBE.(3 分)又因为平面 ABED平面 BCFE，平面 ABED平面 BCFEBE，AE平面 ABED，所以直线 AE平面 BCFE.(5 分)(2)由(1)知 AE平面 BCFE，因为 BC平面 BCFE，所以 AEBC.又 BCBA，AE，BA平面 ABED，所以 BC平面 ABED.又 BC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABED，在平面 ABED 内过 B 作
14、BHBA，则 BH平面 ABC.以BC，BA，BH为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，由题意可得 A(0，2，0)，E(0，12，32)，B(0，0，0)，C(3，0，0)，D(0，32，32)，因为EF12BC(32，0，0)，F(32，12，32)，所以DF(32，1，0)，AF(32，32，32)，设平面 AEF 的法向量 n(x0，y0，z0)，7则nAF32x032y032z00，nEF32x00，则x00，3x03y0 3z00，取 y01，z0 3，则 n(0，1，3)，(8 分)同理可求平面 CDF 的一个法向量 m(2，3，3)，(10 分)设平面 CDF
15、 与平面 AEF 所成的角为，由|cos m，n|mn|m|n|34，则 sin 74，所以平面 CDF 与平面 AEF 所成的角的正弦值为74.(12 分)21.(1)解：当直线 l 与 x 轴垂直时，在x2a2y2b21 中，令 x2 得4a2y2b21，所以 yba4a2.不妨令 A(2，ba4a2)，B(2，ba4a2)，则 D(2，ba4a2)，所以 BD4，AB2ba4a2.因为 BD 2 AB，所以 4 2 2ba4a2，又a2b2a 2，所以 a2b22，所以双曲线 C 的标准方程为x22y221.(4 分)(2)证明：显然直线 BD 的斜率存在，设为 ykxm，设 D(x1，
16、y1)，B(x2，y2)，A(x1，y1)，联立ykxm，x2y22，得(1k2)x22kmxm220，则 x1x22kmk21，x1x2m22k21，(6 分)所以|x1x2|x1x2（x1x2）24x1x2（2kmk21）24m22k212|k21|m22k22.(8 分)因为直线 l 经过点 P(2，0)，所以y1x12y2x22，即kx1mx12kx2mx22，即 m(x1x2)2k(x1x2)4m，则2m|k21|m22k22 2k2kmk214m，显然 m0，化简得m22k22|k21|2k21，所以 m22k22，(10 分)所以 O 到直线 BD 的距离 d|m|1k22k22
17、1k2 2，所以直线 BD 与圆 O：x2y22 相切(12 分)822.解：(1)因为 x0，所以 f(x)0 即16aexx3.令 h(x)exx3(x0)，则 h(x)x3x4ex，当 0 x3 时，h(x)0，h(x)在(0，3)上单调递减；当 x3 时，h(x)0，h(x)在(3，)上单调递增，所以 h(x)minh(3)e327，所以16ae327，即 a2e39，所以实数 a 的最大值是2e39.(3 分)(2)当 a1 时，f0(x)ex16x3，f1(x)ex12x2，f2(x)exx，f3(x)ex1，当 n4 时，fn(x)ex；当 n3 时，gn(x)ni2fi(x)(
18、n1)exx1，所以 gn(x)(n1)ex1.令 gn(x)0，得 xln1n1，当 x(，ln1n1)时，gn(x)0，gn(x)单调递减；当 x(ln1n1，)时，gn(x)0，gn(x)单调递增，所以 tnln1n1，且 ygn(x)的最小值为 gn(tn)gn(ln1n1)ln(n1).因为 n3，故 gn(tn)0，此时点(tn，gn(tn)对应的坐标为(ln(n1)，ln(n1)，所以所有点(tn，gn(tn)都在定直线 yx 上(6 分)(3)易知 f0(x)ex16ax3，f1(x)ex12ax2，f2(x)exax，f3(x)exa，若 a0，f3(x)exa0，f2(x)
19、在 R 上单调递增，无极值，所以 a0，(7 分)(或 f1(x)ex12ax20，f0(x)在 R 上单调递增，无极值，所以必有 a0)此时，当 xln a 时，f2(x)单调递减；当 xln a 时，f2(x)单调递增，所以 f2(x)存在极小值，且 f2(x)minf2(ln a)aa ln a.当 0ae 时，有 aa ln a0，即 f2(x)0，所以 f1(x)ex12ax2在 R 上单调递增，无极值，所以必有 ae，(8 分)此时 f2(ln a)a(1ln a)0，f2(a)eaa20，f2(0)10，其中 0ln aa，所以存在 t1(0，ln a)使得 f2(t1)0，存在
20、 t2(ln a，a)使得 f2(t2)0，所以当 t1xt2时，f2(x)0，f1(x)单调递减；当 xt2时，f2(x)0，f1(x)单调递增，因此 f1(x)存在极小值，(10 分)下证当 ae，f0(x)一定存在极小值(事实上，只要 a0 即可).当 x0 时，f2(x)exax0，则 f1(x)在(，0)上单调递增，且 f1(1)e112a0，f1(0)10，9所以存在 t3(1，0)使得 f1(t3)0，所以当 xt3时，f1(x)0，f0(x)单调递减；当 t3x0 时，f1(x)0，f0(x)单调递增；所以 f0(x)存在极小值综上，实数 a 的取值范围是(e，).(12 分)
