1、人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学32.1几类不同增长的函数模型 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学目 标 要 求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢2理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义3会分析具体的实际问题，建模解决实际问题4培养对数学模型的应用意识.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学热 点 提 示学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运
2、用它在实际问题中建立函数模型.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学2.函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)增长速度的对比：(1)对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x
3、0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学想一想：当0a1，n0时，yax，yxn，ylogax为减函数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？提示：如下图所示：对于函数y
4、ax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，yax(0a1)的衰减速度越来越慢，会远远小于yxn(n0)的衰减速度，而ylogax(0ax0时，就有logaxxn0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范围人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正
5、比例函数(一次函数)本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学类型三指数函数、对数函数模型
6、应用题【例3】1999年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数字为y(亿)(1)求y与x的函数关系yf(x)；(2)求函数yf(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增减有什么实际意义人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写
7、出前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学解：(1)1999年人口数：13亿经过1年，2000年人口数：13131%13(11%)(亿)经过2年，2001年人口数：13(11%)13(11%)1%13(11%)(11%)13(11%)2(亿)经过3年，2002年人口数：13(11%)213(11%)21%13(11%)3(亿)经过年数与(11%)的指数相同，经过x年人口数：13(11%)x(亿)yf(x)13(11%)x.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学(2)理论上指数函数定义域为R.此问题以年作为
8、单位时间，N*是此函数的定义域(3)yf(x)13(11%)x是指数函数，11%1,130，yf(x)13(11%)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y，可以用下面的公式yN(1p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是
9、所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学类型四不同函数模型增长趋势的比较【例4】函数f(x)2x和g(x)x3的图象如下图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图象上可
10、以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2010)g(2010)又g(2010)g(6)，f(2010)g(2010)g(6)f(6)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学温馨提示：由指数函数、对数函数、幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象，哪个是幂函数的图象解决此类题型的关键是了解“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数
11、学4函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如下图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lgx.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学1增长规律在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxn0)、指数函数yax(a1)、对数函数ylogax(a1)、幂函数yxn(n0)的变化及相应增量规律：直线型均匀上升，增量恒定；指数型急剧上升，增量快速增大；对数型缓慢上升，增量逐渐减少；幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大，上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增一般简述为：直线上升、指数爆炸、对数函数逐渐增长、幂函数缓慢增长当然常数型无增长
