1、安阳工学院 数理学院李学志李学志 2013年10月9日数学的魅力数学的魅力2安阳工学院一、数学是什么一、数学是什么二、数学的特点数学的特点三、数学与其他学科的关系三、数学与其他学科的关系四、数学问题四、数学问题五、数学中的美五、数学中的美六、数学语言六、数学语言3安阳工学院 一个人不识字可以生活，一个人不识字可以生活，但若不识数就很难生活了！但若不识数就很难生活了！一个国家科学的进步，一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量！可以用它消耗的数学来度量！-拉奥拉奥 （A.N.RaoA.N.Rao）4安阳工学院 著名科学家、著名科学家、X射线的发现者射线的发现者伦琴伦琴在被在被问到科学工作者必
2、须具备什么素养时，他回问到科学工作者必须具备什么素养时，他回答说：答说：“第一是数学，第二是数学，第三还第一是数学，第二是数学，第三还是数学。是数学。”5安阳工学院数学是思维的体操！数学是思维的体操！苏联科学家苏联科学家 加里宁加里宁数学是学习其他知识的基础！数学是学习其他知识的基础！6安阳工学院恩格斯：数学是研究现实世界中恩格斯：数学是研究现实世界中数数量关系量关系与与空间形式空间形式的一门的一门科学。科学。7安阳工学院 数学不仅是一种重要的数学不仅是一种重要的“工具工具”或或“方法方法”，也是一种思维模式，即，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维数学方式的理性思维”.在提高一个人的推理
3、能力、抽象能在提高一个人的推理能力、抽象能力、分析能力和创新能力方面，数力、分析能力和创新能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以代学训练的作用，是其他训练难以代替的。替的。8安阳工学院数学不仅是一门科学，也是一种数学不仅是一门科学，也是一种文化，即文化，即“数学文化数学文化”。9安阳工学院数学不仅是一些知识，也是一种素质，数学不仅是一些知识，也是一种素质，即即“数学素质数学素质”。数学素质：通俗说法，把所学的数学知数学素质：通俗说法，把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。识都排除或忘掉后，剩下的东西。例如：从数学的角度看问题的出发点；有条理的思例如：从数学的角度看问题的出发点；有条理的
4、思维，严密的思考、求证；简洁、明晰、准确地表达；维，严密的思考、求证；简洁、明晰、准确地表达；在解决问题、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；在解决问题、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理的量化和简化，周到到地运对所从事的工作，合理的量化和简化，周到到地运筹帷幄等。筹帷幄等。10安阳工学院数学的哲学说：数学的哲学说：数学是一种哲学。数学是一种哲学。亚里士多德亚里士多德:“新的思想家把数学与哲学看新的思想家把数学与哲学看作是相同的作是相同的”。牛顿：牛顿：“在哲学范围内尽量把数学呈现出在哲学范围内尽量把数学呈现出来来”。11安阳工学院“科学说科学说”：数学是精密的科学，：数学是
5、精密的科学，“数数学是科学的皇后学是科学的皇后”。“艺术说艺术说”：“数学是一门艺术数学是一门艺术”。“工具说工具说”：“数学是其他所有知识工数学是其他所有知识工具的源泉具的源泉”。12安阳工学院三个特点：三个特点：1.抽象性抽象性 2.精确性精确性 3.应用的广泛性应用的广泛性13安阳工学院1、抽象性、抽象性第一、数学的研究对象本身就是抽象的第一、数学的研究对象本身就是抽象的第二、数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间第二、数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式形式第三、数学的抽象程度大大超过了其他学科第三、数学的抽象程度大大超过了其他学科第四、核心数学主要处理抽象概念以及概念之间的第四
6、、核心数学主要处理抽象概念以及概念之间的抽象关系抽象关系14安阳工学院2、精确性、精确性 数学的精确性，表现在数学的精确性，表现在数学推理的严格数学推理的严格和和数学结论数学结论的确定的确定两方面。数学科学是依靠逻辑推理展开的，而逻辑两方面。数学科学是依靠逻辑推理展开的，而逻辑推理的严格性是大家公认的。所以，只要数学推理的前提推理的严格性是大家公认的。所以，只要数学推理的前提是正确的，推理的过程又没有错误，那么得到的数学结论是正确的，推理的过程又没有错误，那么得到的数学结论一定是确定无疑的。并不是说其他学科缺乏精确性，而是一定是确定无疑的。并不是说其他学科缺乏精确性，而是说，数学的这种精确性，
7、是与其他学科不同的，是其他学说，数学的这种精确性，是与其他学科不同的，是其他学科难以企及的。科难以企及的。15安阳工学院3、应用的广泛性、应用的广泛性 数学高度的抽象性，带来了应用的极其广泛性。事物数学高度的抽象性，带来了应用的极其广泛性。事物越抽象，其外延就越广泛。华罗庚（越抽象，其外延就越广泛。华罗庚（1910-19851910-1985）先生当）先生当年说过：年说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。凡是出现。凡是出现“量量”的关系的地方就少不了用数学，研究
8、量的关系，量的关系的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学。16安阳工学院第一个例子第一个例子:哈雷彗星的发现哈雷彗星的发现 英国天文学家英国天文学家哈雷哈雷（Edmond Edmond HalleyHalley，1656-17421656-1742）通过计算）通过计算发现发现16821682年、年、16071607年、年、15311531年出年出现的彗星有类似的轨道。他判断现的彗星有类似的轨道。他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，这三颗彗星其实是同一颗彗星，彗星的轨道可能不是抛物线而是很
9、扁的椭圆。这样彗星就会返彗星的轨道可能不是抛物线而是很扁的椭圆。这样彗星就会返回太阳系。哈雷预言上述彗星将在回太阳系。哈雷预言上述彗星将在17581758年底或年底或17591759年初再次出年初再次出现。现。17591759年这颗彗星果然出现了。年这颗彗星果然出现了。17安阳工学院第二个例子第二个例子:海王星的发现海王星的发现 如果把冥王星排除在外的话如果把冥王星排除在外的话,海王星是海王星是太阳系最远的行星了。它也是太阳系最远的行星了。它也是18461846年在年在数学数学计算计算的基础上被发现的。天文学家观察到，的基础上被发现的。天文学家观察到，17811781年发现的第七个行星年发现的
10、第七个行星-天王星的运动轨天王星的运动轨道道,总是同根据万有引力定律计算出来的有一总是同根据万有引力定律计算出来的有一定的偏离定的偏离,当时有人推测当时有人推测,在天王星轨道外还在天王星轨道外还有一个未发现的行星有一个未发现的行星,是它对天王星的引力引起的偏离是它对天王星的引力引起的偏离.英国剑桥大学学生英国剑桥大学学生亚当斯亚当斯和法国年轻天文爱好者和法国年轻天文爱好者勒维列勒维列根据天王星观测资料根据天王星观测资料,各自独立地用各自独立地用万有引力定律计算出来了这颗新行星的轨道万有引力定律计算出来了这颗新行星的轨道,并于并于18461846年年9 9月月2323日晚日晚,德国德国的的加勒加
11、勒在勒维列的预演位置发现了这颗行星在勒维列的预演位置发现了这颗行星,后来命名为后来命名为海王星海王星。18安阳工学院第三个例子第三个例子:电磁波的发现电磁波的发现 电磁波在现代的生产、生活中无处电磁波在现代的生产、生活中无处不在，是人们熟知的词汇，但很少有人不在，是人们熟知的词汇，但很少有人知道电磁波的发现本质上知道电磁波的发现本质上依赖于数学依赖于数学。英国物理学家英国物理学家麦克斯韦麦克斯韦（James Clerk James Clerk Maxwell,1831-1879Maxwell,1831-1879）18641864年概括了从年概括了从实验中总结的电磁现象规律，用实验中总结的电磁现
12、象规律，用数学数学方程组的形式表述出来方程组的形式表述出来，由此推导出可能存在现在称为，由此推导出可能存在现在称为“电磁波电磁波”的物质，的物质，并且应该以光速传播。据此，他提出了光的电磁理论，把光、电、磁统一起并且应该以光速传播。据此，他提出了光的电磁理论，把光、电、磁统一起来。来。2424年以后，德国物理学家年以后，德国物理学家赫兹赫兹（Heinrich Rudolf Hertz,1857-1894Heinrich Rudolf Hertz,1857-1894）用实验证实了电磁波的存在性，不久，意大利的用实验证实了电磁波的存在性，不久，意大利的马可尼马可尼和俄国的和俄国的波波夫波波夫又在又
13、在此基础上各自独立的发明了无线电报。从此电磁波走进了千家万户。此基础上各自独立的发明了无线电报。从此电磁波走进了千家万户。19安阳工学院 中国科学院数学物理学部有一个中国科学院数学物理学部有一个“今日数学今日数学及其应用及其应用”课题的结题报告，其中说：课题的结题报告，其中说：“数学的数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高技术）水平贡献在于对整个科学技术（尤其是高技术）水平的推进和提高，对科技人才的培养和滋润，对经的推进和提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维和文化素济建设的繁荣，对全体人民的科学思维和文化素质的哺育。这四方面的作用是极为巨大的，也是质的哺育。这四
14、方面的作用是极为巨大的，也是其他学科不能比拟的。其他学科不能比拟的。”20安阳工学院 数学的许多高深理论与方法正广泛深入的渗透到自然数学的许多高深理论与方法正广泛深入的渗透到自然科学的各个领域中。科学的各个领域中。高科技往往在本质上是一种数学技术。高科技往往在本质上是一种数学技术。事实上，从医学上的事实上，从医学上的CTCT技术技术到到印刷排版印刷排版的自动化，从的自动化，从飞行飞行器的模拟设计器的模拟设计到到指纹的识别指纹的识别，从，从石油勘探的数据处理石油勘探的数据处理到到信信息安全技术息安全技术等等，在形形色色的技术背后，数学都扮演着等等，在形形色色的技术背后，数学都扮演着十分重要的角色
15、，常常成为解决问题的关键。美国国家自十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。美国国家自然科学基金委员会最近指出：然科学基金委员会最近指出：当代自然科学的研究正在日当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势益呈现出数学化的趋势。美国国家研究委员会在一份报告。美国国家研究委员会在一份报告中把中把数学数学与与能源能源、材料材料等并列为必须优先发展的基础研究等并列为必须优先发展的基础研究领域。领域。21安阳工学院 数学已广泛地应用到社会科学的各个领域。如用数学数学已广泛地应用到社会科学的各个领域。如用数学模型研究宏观经济，用数学手段进行社会和市场调查与预模型研究宏观经济，用数学手段进行社会和市场调查
16、与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资等等，在许测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资等等，在许多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济和多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济和金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。在诺贝尔经济在诺贝尔经济学奖的获得者中，数学家或有研究数学经历的经济学家占学奖的获得者中，数学家或有研究数学经历的经济学家占一半以上。一半以上。总之，数学在当代科学、文化、社会、经济和国防等总之，数学在当代科学、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。22安阳工学院
17、数学与几乎所有的领域都有关系，这一点现在数学与几乎所有的领域都有关系，这一点现在已经公认。数学与已经公认。数学与物理、化学、生物、天文物理、化学、生物、天文等领等领域的联系，大家都比较了解。实际上，数学与教域的联系，大家都比较了解。实际上，数学与教育，数学与文学，数学与史学，数学与哲学，数育，数学与文学，数学与史学，数学与哲学，数学与经济，数学与社会学等学科都有联系。学与经济，数学与社会学等学科都有联系。23安阳工学院下面我仅说说数学与文学的联系。下面我仅说说数学与文学的联系。用数学方法对作品进行写作风格分析、词汇相关程度用数学方法对作品进行写作风格分析、词汇相关程度分析和句型频谱分析分析和句
18、型频谱分析例例:红楼梦红楼梦前八十回与后四十回的作者是否相同？前八十回与后四十回的作者是否相同？1980 1980年年6 6月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届红楼梦红楼梦研讨会上，来自威斯康辛大学的华裔学者研讨会上，来自威斯康辛大学的华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇陈炳藻先生宣读了一篇从词汇上的统计论从词汇上的统计论红楼梦红楼梦的作者问题的作者问题的博士论文，引起了国际红学界的关注的博士论文，引起了国际红学界的关注和兴趣。和兴趣。24安阳工学院 1986 1986年，陈炳藻公开发表了年，陈炳藻公开发表了电脑在文学上的应用：电脑在文学上的应用：红楼梦红楼梦与与儿
19、女英雄传儿女英雄传两书作者两书作者的专著，利用计算机对的专著，利用计算机对红楼梦红楼梦前八前八十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计的观点出发，探讨十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计的观点出发，探讨红楼梦红楼梦前后用字的相关度。前后用字的相关度。他将他将红楼梦红楼梦的一百二十回分为三组，每组四十回，并将的一百二十回分为三组，每组四十回，并将儿女儿女英雄传英雄传作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分别挑出作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分别挑出名词、动词、形容词、副词、虚词这五组词汇，运用数理统计学，通名词、动词、形容词、副词、虚词这五组词汇，运用数理统计学，
20、通过计算机程序对这些词进行编排、统计、比较、处理，进而找出各组过计算机程序对这些词进行编排、统计、比较、处理，进而找出各组相关程度。相关程度。结果发现结果发现红楼梦红楼梦前八十回与后四十回的词汇相关程度达到前八十回与后四十回的词汇相关程度达到78.57%78.57%，而，而红楼梦红楼梦与与儿女英雄传儿女英雄传的词汇相关程度是的词汇相关程度是32.14%32.14%。由此他推断由此他推断红楼梦红楼梦的作者为一个人的结论。的作者为一个人的结论。25安阳工学院 这个结论是否被红学界所接受，还存在一定的争论。这个结论是否被红学界所接受，还存在一定的争论。但这种方法却给许多人留下深刻的印象。但这种方法却
21、给许多人留下深刻的印象。前苏联的著名长篇小说前苏联的著名长篇小说静静的顿河静静的顿河，也曾有过关，也曾有过关于作者的争论，有人认为该书是于作者的争论，有人认为该书是肖洛霍夫肖洛霍夫(M.A.SholokhovM.A.Sholokhov,1905-1984)1905-1984)剽窃了一名无名作者的作品后加工而成。后来，剽窃了一名无名作者的作品后加工而成。后来，用上述方法类似的数学方法，还了肖洛霍夫的清白。用上述方法类似的数学方法，还了肖洛霍夫的清白。26安阳工学院 能展示数学魅力的有趣数学问题很能展示数学魅力的有趣数学问题很多，这里我举几个例子。多，这里我举几个例子。（1 1）渔网的几何规律）渔
22、网的几何规律 你是否知道，用数学方法可以证你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的论你织一片多大的网，它的结点数结点数（V V），网眼数（），网眼数（F F），边数（），边数（E E）都必都必须符合下面的公式：须符合下面的公式：V+F-E=1V+F-E=127安阳工学院 网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们全都满足同样的规律，这里，当然是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。而有其内在的本质。而用数学方法，不但可以用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种
23、本质。你看，表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，数学是不是具有某种魅力？数学是不是具有某种魅力？28安阳工学院 事实上，这种规律在三维的情形，事实上，这种规律在三维的情形，就是就是多面体的欧拉公式：多面体的欧拉公式：V+F-E=2V+F-E=2 这里，这里，VV 表示凸多面体的表示凸多面体的顶点数顶点数，F F表示凸多面体的表示凸多面体的面数面数，E E表示凸多面体表示凸多面体的的棱数棱数。你可能知道多面体的这个欧拉。你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的
24、情形。式在二维时的情形。29安阳工学院 数学就是有这样的本领，能够把看起数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律事物理出规律!30安阳工学院（2 2）任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多）任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多 标题中给出的问题在数学上是一个存在性问题。对于存标题中给出的问题在数学上是一个存在性问题。对于存在性问题，通常有两类证明方法：一类是在性问题，通常有两类证明方法：一类是构造性证明构造性证明方法，方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是即把需要证明存在的事物构造出来，便
25、完成了证明；一类是纯存在性证明纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。辑的力量，证明事物的存在。上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。31安阳工学院 这个命题如果采用纯存在性证明的方法，则完全是另外一种途径。我这个命题如果采用纯存在性证明的方法，则完全是另外一种途径。我们先形
26、象的介绍一个们先形象的介绍一个“抽屉原理抽屉原理”：四个苹果放在三个抽屉里，则至少有：四个苹果放在三个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；n n个苹果放在少于个苹果放在少于n n个抽屉里，则至个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。现在我们来证明这个命题，体会一下抽屉原理的用法。首先介绍一个现在我们来证明这个命题，体会一下抽屉原理的用法。首先介绍一个事实：事实：任何一个人的头发根数都不会多于任何一个人的头发根数都不会多于2020万根万根。省会城市中的人数则远。省会城市中的人数则远远大于远大于202
27、0万，例如万，例如5050万人。现在把头发根数为万人。现在把头发根数为1 1至头发根数为至头发根数为2020万分别当作万分别当作2020万个抽屉，把万个抽屉，把5050万人放到万人放到2020万个抽屉里，根据万个抽屉里，根据“抽屉原理抽屉原理”，则至少有，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的人。而同一个抽屉里的人，是头发根数一一个抽屉里有两个或两个以上的人。而同一个抽屉里的人，是头发根数一样多的人。于是便证明了样多的人。于是便证明了“任何一个省会城市至少存在两个头发根数一样任何一个省会城市至少存在两个头发根数一样多的人多的人”。这就是纯存在性的证明方法，。这就是纯存在性的证明方法，这就是数学推
28、理的力量这就是数学推理的力量！32安阳工学院 （3 3）四色问题）四色问题 四色问题也称为四色问题也称为“四色猜想四色猜想”或或“四色定理四色定理”，它于，它于18521852年首年首先由一位英国大学生古色利先由一位英国大学生古色利（Francis GuthrieFrancis Guthrie）提出。他在）提出。他在为一张英国地图着色时发现，为一张英国地图着色时发现，为为了使任意两个具有公共边界的区了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了色就够了。但他证明不了这个猜。但他证明不了这个猜想。想。33安阳工学院 100100多年来许多数学家对四色
29、问题进行了大量研究，获多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获得了一系列成果。但都没有最终证明。直到得了一系列成果。但都没有最终证明。直到19721972年，美国依年，美国依利诺大学的利诺大学的哈肯哈肯（W.HakenW.Haken）和）和阿佩尔阿佩尔（K.AppelK.Appel）在前人的）在前人的基础上，开始用计算机进行证明。到基础上，开始用计算机进行证明。到19761976年年6 6月，他们终于月，他们终于获得成功。他们使用获得成功。他们使用3 3台台IBM360IBM360型超高速电子计算机，耗时型超高速电子计算机，耗时12001200小时，终于证明了四色猜想。小时，终于证明了四色
30、猜想。34安阳工学院 （4 4）素数的奥秘）素数的奥秘 “每一个足够大的偶数都是两个素数的和每一个足够大的偶数都是两个素数的和（简（简称称1+11+1）（）（“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”）”，“每一个足够每一个足够大的奇数都是三个素数的和（简称大的奇数都是三个素数的和（简称1+1+11+1+1）”。35安阳工学院 （1 1）黄金分割）黄金分割 定义：把任意一线段分割成两段，使定义：把任意一线段分割成两段，使 大段大段/全段全段=小段小段/大段大段(=0.618)(=0.618)，这样的分割叫黄金分割，这样这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。设黄金比为的比值叫黄金比。设黄金比为x,x,不妨
31、设全段长为不妨设全段长为1 1，则，则大段长为大段长为x,x,小段长为小段长为1-x1-x，固有：，固有：x/1=(1-x)/x,x/1=(1-x)/x,即：即：。解得：。解得：x=0.618.x=0.618.11-x1-xx x210 xx(51)/236安阳工学院 黄金分割之所以称为黄金分割之所以称为“黄金分割黄金分割”，“黄金比黄金比”之之所以称为所以称为黄金比黄金比，是比喻这一，是比喻这一“分割分割”和这种和这种“比比”在在视觉上给人极大的视觉上给人极大的愉悦感愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵！，非常难得，如黄金一样珍贵！“黄金比黄金比”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中是工艺美术
32、、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，认为审美的要素之一，认为它表现了恰到好处的它表现了恰到好处的“和谐和谐”。37安阳工学院 （a a）人体各部分的）人体各部分的 人体是美的，是因为人体的人体是美的，是因为人体的许多部分存在黄金分割、黄金比。许多部分存在黄金分割、黄金比。肚脐分割头和脚；印堂穴分割口肚脐分割头和脚；印堂穴分割口和头顶；肘关节分割肩和中指，和头顶；肘关节分割肩和中指，膝盖分割髋关节和足尖等都是黄膝盖分割髋关节和足尖等都是黄金分割。金分割。38安阳工学院 (b)(b)著名建筑物各部分的比著名建筑物各部分的比 如埃及如埃及胡夫金字塔胡夫金字塔塔高塔高（137m137m）与底边
33、长（）与底边长（227m227m）之比为之比为0.6290.629；古希腊；古希腊巴特农巴特农神殿神殿，其大理石石柱廊的高，其大理石石柱廊的高度占整个神殿高度的度占整个神殿高度的0.618,0.618,都是黄金比值的近似值。都是黄金比值的近似值。39安阳工学院（c c）美观矩形的宽长比）美观矩形的宽长比 以黄金比为宽长比的矩以黄金比为宽长比的矩形称为形称为黄金矩形黄金矩形，给人和谐、，给人和谐、愉悦的美感，常常在建筑、愉悦的美感，常常在建筑、家具中采用。如多数国家的家具中采用。如多数国家的国旗，均采用接近黄金矩形国旗，均采用接近黄金矩形的矩形。的矩形。40安阳工学院（d d）风景照片中地平线的
34、）风景照片中地平线的位置、人在照片中的位置位置、人在照片中的位置 风景照片中的地平线的风景照片中的地平线的位置，并不是安排在中间最位置，并不是安排在中间最好，往往安排在黄金分割的好，往往安排在黄金分割的位置比较美观。当然有上下位置比较美观。当然有上下两种安排，都可以构成黄金两种安排，都可以构成黄金分割。分割。41安阳工学院（e e）舞台报幕者的最佳）舞台报幕者的最佳站位站位 在整个舞台宽度的在整个舞台宽度的0.6180.618处较美，小说、戏剧的高潮处较美，小说、戏剧的高潮出现在整个作品的出现在整个作品的0.6180.618处处较好。较好。42安阳工学院（2 2）兔子问题与斐波拉契数列）兔子问
35、题与斐波拉契数列 （a a）兔子问题：）兔子问题：意大利数学家意大利数学家斐波拉契斐波拉契（L.FibonacciL.Fibonacci,1170-12501170-1250）在）在算盘书算盘书（12021202年）中曾年）中曾经收录一个有趣的民间数学问题经收录一个有趣的民间数学问题-兔子问题，兔子问题，叙述如下：设初生的兔子一个月以后成熟，叙述如下：设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟的兔子每月会生一对兔子。假设而一对成熟的兔子每月会生一对兔子。假设每次生的兔子都是一雌一雄，且所有的兔子每次生的兔子都是一雌一雄，且所有的兔子都不病不死。那么，由一对初生兔子开始，都不病不死。那么，由一对初生
36、兔子开始，1212个月后会有多少对成熟兔子呢？个月后会有多少对成熟兔子呢？43安阳工学院44安阳工学院 “斐波拉契数列斐波拉契数列”也可以定义为：也可以定义为：若一个数列，若一个数列，前两项都等于前两项都等于1 1，从第三项起，每一项都是其前两项，从第三项起，每一项都是其前两项的和，则称该数列为的和，则称该数列为“斐波拉契数列斐波拉契数列”。1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，5555，8989，144.144.45安阳工学院 自然界中的斐波拉契数：大多数植物的花，其自然界中的斐波拉契数：大多数植物的花，其花瓣花瓣数都恰好数都恰好是斐波拉契数是斐波拉契
37、数，如兰花、茉莉花、百，如兰花、茉莉花、百合花有合花有3 3个花瓣。个花瓣。兰花兰花 茉莉花茉莉花 百合花百合花46安阳工学院 毛莨属植物有毛莨属植物有5 5个花瓣，翠雀属植物有个花瓣，翠雀属植物有8 8个花瓣，个花瓣，万寿菊属植物有万寿菊属植物有1313个花瓣等。个花瓣等。毛莨毛莨 翠雀翠雀 万寿菊万寿菊47安阳工学院 树杈的数目树杈的数目是是斐波拉契数斐波拉契数；向日葵花盘内葵花；向日葵花盘内葵花子排列的螺线数，松果种子的排列、菜花表面排列子排列的螺线数，松果种子的排列、菜花表面排列的螺线数等，也都是斐波拉契数。的螺线数等，也都是斐波拉契数。向日葵向日葵 松果松果 菜花菜花48安阳工学院
38、（3 3）圆，三角形内角之和）圆，三角形内角之和 圆是非常美丽的图形圆是非常美丽的图形，圆又非常有用，其，圆又非常有用，其魅力来自多方面。圆上任何一点到圆心的距离魅力来自多方面。圆上任何一点到圆心的距离都是定长。这使得车轮能不停的平稳转动，使都是定长。这使得车轮能不停的平稳转动，使坐在车上的人没有上下起伏的感觉。另外，无坐在车上的人没有上下起伏的感觉。另外，无论大圆还是小圆，论大圆还是小圆，圆的周长与直径之比总是一圆的周长与直径之比总是一个常数个常数。而求出这个常数的近似值，竟成为历。而求出这个常数的近似值，竟成为历史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且
39、该近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学发展程度的标志，这个常数后来被称为发展程度的标志，这个常数后来被称为圆周率，圆周率，并记作并记作。49安阳工学院三角形内角之和三角形内角之和 三角形三内角之和等于三角形三内角之和等于180180度；度；n n边形边形n n个个“内内”角角之和等于之和等于180180乘以（乘以（n-2n-2）度；）度；n n边形边形n n个个“外外”角之和等角之和等于于360360度。度。50安阳工学院 客观事物都是运动和变化的。在这种运动和变化中，事客观事物都是运动和变化的。在这种运动和变化中，事物的大多性质也会随之变化；但有些
40、性质却相对稳定，并不物的大多性质也会随之变化；但有些性质却相对稳定，并不改变，这就是改变，这就是“变中有不变变中有不变”。这种变中有不变的性质，在。这种变中有不变的性质，在事物变化时具有相对稳定性，说明事物变化时具有相对稳定性，说明他反映了事物的某种本质他反映了事物的某种本质，值得我们加以专门的研究。值得我们加以专门的研究。数学家就要有这样的眼光，善于抓住事物中的数学家就要有这样的眼光，善于抓住事物中的“变中有变中有不变不变”的性质，善于抓住事物的本质的性质，善于抓住事物的本质!51安阳工学院 在数学上，在数学上，“变中有不变变中有不变”的性质在许多场合出现：如的性质在许多场合出现：如不管直角
41、三角形怎么变，但不管直角三角形怎么变，但“两直角边的平方和等于斜边的两直角边的平方和等于斜边的平方平方”（及勾股定理）的性质不变（及勾股定理）的性质不变；线性代数中向量组中可能有许多向量，但是可以在其中线性代数中向量组中可能有许多向量，但是可以在其中找到找到“极大线性无关向量组极大线性无关向量组”，他们可以把向量组中所有其，他们可以把向量组中所有其他向量线性表示出来。极大线性无关组不是唯一的，但极大他向量线性表示出来。极大线性无关组不是唯一的，但极大线性无关组中所含向量的个数是一定的，是不变的，这个不线性无关组中所含向量的个数是一定的，是不变的，这个不变量称为该向量组的变量称为该向量组的“秩秩
42、”。52安阳工学院 1 1自然语言与数学语言自然语言与数学语言 （1 1）自然语言是具体语言，数学语言是形式化的语言）自然语言是具体语言，数学语言是形式化的语言 数学语言是由数学符号、数学术语和经过改造的自数学语言是由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。然语言构成的科学语言。（2 2）数学语言使科学精确化）数学语言使科学精确化53安阳工学院 2 2数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言 （1 1）数学语言是人类文明的共同语言）数学语言是人类文明的共同语言 对于数学语言对于数学语言 和和 表达的意思，任何一个民族、表达的意思，任何一个民族、
43、任何一个地域的人都能明白。任何一个地域的人都能明白。（2 2）数学语言是宇宙文明的共同语言）数学语言是宇宙文明的共同语言222()2abaabb22sincos1xx54安阳工学院 （3 3）数学语言的特点）数学语言的特点 （a a）明晰）明晰 含有两方面的意思含有两方面的意思:数学语言是明确的，数学语言是有条理的。数学语言是明确的，数学语言是有条理的。（b b）严谨）严谨 严谨是指逻辑推理的严格与谨慎。严谨是指逻辑推理的严格与谨慎。首先，定理叙述是严谨的。首先，定理叙述是严谨的。算术基本定理算术基本定理:任意一个大于任意一个大于1 1的自然数的自然数,都可以表都可以表 示为有限个素数示为有限
44、个素数(可以重复可以重复)的乘积，并且，如果不计次序的话，表法是唯一的。的乘积，并且，如果不计次序的话，表法是唯一的。其次，推理的过程是严谨的。其次，推理的过程是严谨的。（c c）简洁）简洁 （d d）规范）规范55安阳工学院 数学是具有魅力的数学是具有魅力的，就如同音乐、图画具有魅力一样！，就如同音乐、图画具有魅力一样！你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它让你赏心悦目；那么，你更应该喜欢数学，欢图画，因为它让你赏心悦目；那么，你更应该喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽；而且它在更深的因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽；而且它在更深的层面上，揭示自然和人类社会内在的规律、内在的美，用简层面上，揭示自然和人类社会内在的规律、内在的美，用简洁、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，是无声的音洁、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，是无声的音乐、无色的图画；乐、无色的图画；数学有无穷的魅力数学有无穷的魅力！56安阳工学院 谢谢大家！
