1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |0Ax x， | 21Bxx ，则(AB ) A( 2,0) B(0,1) C( 2,) D(1,) 2 （5 分）(2)3zii，则| (z ) A1 B2 C3 D2 3 （5 分） 中华文化博大精深， 源远流长
2、， 每年都有大批外国游客入境观光旅游或者学习等， 下面是 2014 年至 2018 年三个不同年龄段外国入境游客数量的柱状图： 下面说法错误的是( ) A2014 年至 2018 年外国入境游客中，2544岁年龄段人数明显较多 B2015 年以来，三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加 C2015 年以来，2544岁外国入境游客增加数量大于4564岁外国入境游客增加数量 D2017 年，2544岁外国入境游客增长率大于1524岁外国入境游客增长率 4 （5 分） 已知椭圆 22 :1 43 xy C的右焦点、 右顶点、 上顶点分别为F，A，B， 则( FAB S ) A 1 2 B 3 2
3、C2 D3 5 （5 分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1, 2)，则 cos2( ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 第 2 页（共 18 页） 6 （5 分）设x，y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ，则2zxy的最小值为( ) A2 B1 C1 D2 7 （5 分）已知aln， 3 log 2b ， 2 0.3c ，则( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 8 （5 分）已知| 1a ，| 2b ，0a b ，若23cab，则a与c的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 9 （5 分）函数|sin|yx ln
4、 x的部分图象大致为( ) A B C D 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F作C的 一条渐近线的垂线，垂足为P， 2 PF交另一条渐近线于Q，且Q为 2 PF的中点，则C的离心 率为( ) A2 B3 C2 D5 11 （5 分）在边长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，过AB中点E的直线l与直线 11 AD， 直线 1 BC分别交于点M，N，则MN的长为( ) A5 B4 2 C6 D4 3 12 （5 分）关于曲线 22 :1C xxyy有下述三个结论： 曲线C关于y轴对称 第 3 页
5、（共 18 页） 曲线C上任意一点的横坐标不大于 1 曲线C上任意一点到原点的距离不小于 6 3 其中所有正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 x yx e在点(1, ) e处的切线方程为 14 （5 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和已知 3 0a ， 8 48S ，则公差d 15 （5 分）设函数( )sin()(0) 6 f xx 在区间( 2 ，)内有零点，无极值点，则的 取值范围是 16 （5 分） 周髀算经是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨
6、论了测量“日高” （太 阳高度）的方法大意为： “在A，B两处立表（古代测望用的杆子，即“髀” )，设表高 均为h，测得表距为d，两表日影长度差为(0)蝌，则可测算出日高”由所学知识知，日 高H （用h，d，表示） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目” ，将针对闯红灯 行为进行曝光 交警部门根据某十字路口以往的监测数据， 从穿越该路口的行人中随机抽查 了 200 人，得到如图示的列联表： 闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过 45 岁 6
7、74 80 年龄超过 45 岁 24 96 120 合计 30 170 200 （1）能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？ 第 4 页（共 18 页） （2）如图是某路口监控设备抓拍的 5 个月内市民闯红灯人数的统计图请建立y与x的回 归方程 ybxa，并估计该路口 6 月份闯红灯人数 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ， 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 2 ()P Kk 0.050 0.025 0.0010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10
8、.828 参考数据： 5 2 1 685 i i y ， 5 1 1966 ii i x y 18 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和已知12 nn Sa （1）求 n a的通项公式； （2）求使得 2 2020 nn aS的n的取值范围 19（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sin()cos() b ABAB a （1）求A； （2）若232bac，求cosB 20 （12 分）如图，DA平面ABEF，四边形ABEF为矩形，/ /ABCD，4AB ， 2AFADCD，M，N分别为DF，BC的中点 （1）证明：/ /MN平面ABEF； （2）求点F到平
9、面MBC的距离 第 5 页（共 18 页） 21 （12 分）设抛物线 2 :4C xy的焦点为F，P为直线:2l y 上的动点，过P作C的两 条切线，切点分别为M，N （1）若P的坐标为(0, 2)，求|MN； （2）证明： 2 | |PFMFNF 22 （12 分）已知函数( )()1 x f xxa e （1）证明：( )f x存在唯一零点； （2）若0x时，( ) 2f xax，求a的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2019-2020 学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本
10、大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |0Ax x， | 21Bxx ，则(AB ) A( 2,0) B(0,1) C( 2,) D(1,) 【解答】解：集合 |0Ax x， | 21Bxx ， | 21( 2,)ABxx 故选：C 2 （5 分）(2)3zii，则| (z ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：由(2)3zii，得 3 2 i z i ， 3|3|10 | |2 2|2|5 ii z ii
11、故选：B 3 （5 分） 中华文化博大精深， 源远流长， 每年都有大批外国游客入境观光旅游或者学习等， 下面是 2014 年至 2018 年三个不同年龄段外国入境游客数量的柱状图： 下面说法错误的是( ) A2014 年至 2018 年外国入境游客中，2544岁年龄段人数明显较多 B2015 年以来，三个年龄段的外国入境游客数量都在逐年增加 C2015 年以来，2544岁外国入境游客增加数量大于4564岁外国入境游客增加数量 第 7 页（共 18 页） D2017 年，2544岁外国入境游客增长率大于1524岁外国入境游客增长率 【解答】解：由柱状图可知A，B，C显然正确， D中 2017 年
12、，2544岁外国入境游客人数多于1524岁外国入境游客，但是 2017 年， 2544岁外国入境游客增长率不一定大于1524岁外国入境游客增长率，所以D不正确， 故选：D 4 （5 分） 已知椭圆 22 :1 43 xy C的右焦点、 右顶点、 上顶点分别为F，A，B， 则( FAB S ) A 1 2 B 3 2 C2 D3 【解答】解：由题意，可知2a ，3b ，1c 故(1,0)F，(2,0)A，(0, 3)B 113 ()(21)3 222 FAB Sac b 故选：B 5 （5 分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1, 2)，则 cos2( ) A 3 5
13、B 3 5 C 4 5 D 4 5 【解答】解：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1, 2)， 1x，2y ， 22 1( 2)5r ， 1 cos 5 x r 2 13 cos22cos121 55 故选：A 6 （5 分）设x，y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ，则2zxy的最小值为( ) A2 B1 C1 D2 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：由x，y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ，作出可行域如图， 联立 33 1 xy xy ，解得(2,3)A， 化目标函数2zxy为2yxz， 由图可知，当直线2yxz过点A时，直线在y轴上的截
14、距最大，z有最小值为：1 故选：C 7 （5 分）已知aln， 3 log 2b ， 2 0.3c ，则( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 【解答】解： 333 1 1,3231 2 lnlnelogloglog， 2 0 30.3， abc 故选：A 8 （5 分）已知| 1a ，| 2b ，0a b ，若23cab，则a与c的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：由题意得： 222 |(23 )(2 )( 3 )4 13 44cabab ； 2 (23 )22a caaba； 第 9 页（共 18 页） cosa， 1 |2 a c c a c ；
15、a，0c ， a， 3 c 故选：B 9 （5 分）函数|sin|yx ln x的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】 解： 函数的定义域为 |0x x ，() |sin()| |sin |( )fxxlnxx ln xf x， 故( )f x 为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除AC； 又当0x 时，( )0f x ，故排除B； 故选：D 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F作C的 一条渐近线的垂线，垂足为P， 2 PF交另一条渐近线于Q，且Q为 2 PF的中点，则C的离心 率为( ) A2 B
16、3 C2 D5 【解答】解：由题意可知，焦点到渐近线的距离db，所以 1 |PFb，|OPa， 在 2 POF中， 21 coscos a POFPOF c ， 由余弦定理可知： 222 2222 |2| | cosPFPOOFPOOFPOF， 即 22222 2 |2()3 a PFacacac c ， 第 10 页（共 18 页） 由题意可知| 2 b OQ ， 由 22222 222222 |43 |()| 4442 PFbabac OPOQaPQ ，则90POQ 所以 2 45QOF， 所以渐近线的倾斜角为45， 双曲线为等轴双曲线，所以离心率2e 故选：A 11 （5 分）在边长为
17、2 的正方体 1111 ABCDABC D中，过AB中点E的直线l与直线 11 AD， 直线 1 BC分别交于点M，N，则MN的长为( ) A5 B4 2 C6 D4 3 【解答】解：如图所示， 过AB中点E的直线l与直线 11 AD， 直线 1 BC分别交于点M，N， 则点M必然与点 1 D重合| 11 | 2| 4 2C NBC 22 |2(4 2)6MN 故选：C 第 11 页（共 18 页） 12 （5 分）关于曲线 22 :1C xxyy有下述三个结论： 曲线C关于y轴对称 曲线C上任意一点的横坐标不大于 1 曲线C上任意一点到原点的距离不小于 6 3 其中所有正确结论的个数是( )
18、 A0 B1 C2 D3 【解答】解：关于曲线 22 :1C xxyy有下述三个结论： 曲线C关于原点轴对称，故错误 曲线C上任意一点的横坐标不大于 1，假设1x ，则函数中的y不存在，故正确 由于 22 1xxyy， 所以 22 22 11 2 xy xyxy ， 整理得 22 2xy，即 22 2xy，所以与曲线C上任意一点到原点的距离不小于 6 3 矛 盾，故错误 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 x yx e在点(1, ) e处的切线方程为 31 22 yexe 【解答】解：由 x yx
19、e，得 1 2 xx yex e x ， 则 1 3 | 2 x ye ， 曲线 x yx e在点(1, ) e处的切线方程为 3 (1) 2 yee x， 第 12 页（共 18 页） 即 31 22 yexe 故答案为： 31 22 yexe 14 （5 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和已知 3 0a ， 8 48S ，则公差d 4 【解答】解：由已知可得， 1 1 20 82848 ad ad ， 解可得，4d 故答案为：4 15 （5 分）设函数( )sin()(0) 6 f xx 在区间( 2 ，)内有零点，无极值点，则的 取值范围是 1 ( 6 ， 14 ) 33 ， 5
20、 3 【解答】解：函数( )sin()(0) 6 f xx 在区间( 2 ，)内有零点，无极值点， 22 T ，02 再根据 226 kk ，且 3 62 kk ，kZ， 即 47 22 33 kk，且 75 63 kk， 令0k ，可得的取值范围为 4 3 ， 5 3 ，令1k ，可得可得的取值范围为 1 ( 6 ， 1) 3 综上，可得可得的取值范围为 1 ( 6 ， 14 ) 33 ， 5 3 ， 故答案为： 1 ( 6 ， 14 ) 33 ， 5 3 16 （5 分） 周髀算经是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高” （太 阳高度）的方法大意为： “在A，B两处立表（古代
21、测望用的杆子，即“髀” )，设表高 均为h，测得表距为d，两表日影长度差为(0)蝌，则可测算出日高”由所学知识知，日 高H ()Hd （用h，d，表示） 第 13 页（共 18 页） 【解答】解：如图； 设AEx，ADa； 由题意得：BCx；ABd； 在ODE 中，由三角形相似可得 hx Hxa 在ODC 中，由三角形相似可得 hx Hxda 联立可得： xx xaxda ； 整理得： a x d ； 代入整理得： ()h d H 故答案为： ()h d 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）
22、某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目” ，将针对闯红灯 行为进行曝光 交警部门根据某十字路口以往的监测数据， 从穿越该路口的行人中随机抽查 了 200 人，得到如图示的列联表： 闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过 45 岁 6 74 80 年龄超过 45 岁 24 96 120 合计 30 170 200 （1）能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？ （2）如图是某路口监控设备抓拍的 5 个月内市民闯红灯人数的统计图请建立y与x的回 归方程 ybxa，并估计该路口 6 月份闯红灯人数 第 14 页（共 18 页） 附： 2 2 () ()()()() n adbc K
23、 ab cdac bd ， 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 2 ()P Kk 0.050 0.025 0.0010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考数据： 5 2 1 685 i i y ， 5 1 1966 ii i x y 【解答】解： （1）由列联表计算 2 2 200 (6 967424) 5.8825.024 30 170 80 120 K ， 所以有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关 （2）由题意得， 1 (12345)3 5 x ， 1 (158143134130
24、120)137 5 y ； 所以 5 1 2 5 2 1 5 196653 137 8.9 5559 5 i ii ii x yxy b xx ， 137( 8.9) 3163.7aybx ， 所以y与x的回归方程8.9163.7yx ， 当6x 时，8.9 6163.7110.3y ； 所以估计该路口 6 月份闯红灯人数为 110（或 111 也可） 18 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和已知12 nn Sa （1）求 n a的通项公式； （2）求使得 2 2020 nn aS的n的取值范围 第 15 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由题知，12 nn Sa 11 12
25、 nn Sa 2n， 相减得， 1 2 nn aa 又 1 1a ，故 n a为等比数列， 所以 1 2n n a ； （2）由（1）知， 21 2 2 n n a ；21 n n S ， 2 2020 nn aS等价于2 (22)4038 nn ， 易得2 (22) nn 随n的增大而增大， 而6n ，2 (22)4038 nn ，7n ，2 (22)4038 nn ， 故7n，*nN 19（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sin()cos() b ABAB a （1）求A； （2）若232bac，求cosB 【解答】解： （1）由正弦定理得： sin sinc
26、os sin B CC A ， sinsinsinsincosBACAC， 即sin()sinsinsincosACACAC， 整理，得cossinsinsinACAC， 因为sin0C ，则cossinAA，即tan1A ， 又(0, )A， 4 A （2）由正弦定理得：2sin3sin2sinBAC 2sin3sin2sin() 44 BB ， 6 sincos 2 BB， 3 sin() 42 B ， 3 0 4 B ， 442 B ， 第 16 页（共 18 页） 43 B ， 即 43 B ， 所以 26 coscos()coscossinsin 4343434 B 20 （12 分
27、）如图，DA平面ABEF，四边形ABEF为矩形，/ /ABCD，4AB ， 2AFADCD，M，N分别为DF，BC的中点 （1）证明：/ /MN平面ABEF； （2）求点F到平面MBC的距离 【解答】解： （1）证明：取AD中点O，连结OM，ON 由题知，/ /OMAF，/ /OMAB，又OMONO， 则平面/ /OMN平面ABEF，而MN 平面OMN， / /MN平面ABEF （2）解：连结AM，OB 由题知，AFAB，AFAD，得AF 平面ABCD， 则AFOB，MOOB，3 2MB， 在MBC中，3 2MB ，6MC ，2 2BC ，11 MBC S， 设点F到平面MBC的距离为h 由题
28、可得，AM 平面CDFE， 1 3 FMBCMBC VSh ， 1 3 A FMCFMC VSAM ， F F MBCB MCA FMC VVV ， 11 33 MBCFMC ShSAM ， 点F到平面MBC的距离 2 11 11 FMC MBC SAM h S 第 17 页（共 18 页） 21 （12 分）设抛物线 2 :4C xy的焦点为F，P为直线:2l y 上的动点，过P作C的两 条切线，切点分别为M，N （1）若P的坐标为(0, 2)，求|MN； （2）证明： 2 | |PFMFNF 【解答】解： （1）因为 2 4xy，所以 2 1 4 yx，所以 1 2 yx ， 设切点坐标为
29、 0 (x， 2 0 1 ) 4 x，则切线斜率 0 2 x k ， 切线方程为 20 00 1 () 42 x yxxx， 又因为切线过点P，则 2 0 1 2 4 x ，解得： 0 2 2x ， 所以| 4 2MN （2）证明：设 1 (M x， 2 1 1 ) 4 x， 2 (N x， 2 2 1 ) 4 x，( , 2)P t ， 则切线PM方程为： 2 111 11 () 42 yxx xx， 又直线PM 过点P，则有 2 11 11 2 24 xtx ， 即 2 11 11 20 42 xtx， 同理有 2 22 11 20 42 xtx， 于是 1 x， 2 x是方程 2 11
30、20 42 xtx 的两个根， 则 12 2xxt， 12 8x x ， 22 |9PFt， 222 12121212 111 | | (1) (1)()()19 1642 MFNFyyx xxxx xt ， 第 18 页（共 18 页） 2 | |PFMFNF 22 （12 分）已知函数( )()1 x f xxa e （1）证明：( )f x存在唯一零点； （2）若0x时，( ) 2f xax，求a的取值范围 【解答】解： （1）因为( )(1) x f xxae， 由( )0fx，得1xa ， 当1xa 时，( )0fx，( )f x单调递减；当1xa 时，( )0fx，( )f x单调
31、递增 故1xa 时，函数取得最小值 1 (1)10 a fae ， 取0b 且1ba ， 则f（b）()110 bb ba ee ， 故( )f x存在唯一零点 （2）设( )( )2(2 )1 xx g xf xaxa exxe， 设( )2 x h xex，0x，则( )2 x h xe， 易得( )( 2)2(12)0h xh lnln， 由题知，(0) 0g，可得1a， 当1a时， 1 ( ) (2 )1(21)(1) 21 xxx x g xexxexe x ， 设 1 ( )1 21 x x xe x ，0x， 则 2 (23) ( )0 (21) x xx xe x ， （仅当0x 取等号） ， 则( )x在0，)递增， 所以( )(0)0x， 可得( ) (21) ( ) 0g xxx厖， 因此a的范围是1，)
