1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 |03Axx，集合 | 2Bx x，则(AB ) A( 2,0) B(0,2) C( 2,3) D(2,3) 2 （5 分）已知 3 1 i z i ，其中i是虚数单位，则| (z ) A3 B5 C2 D3 3 （5 分）某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的 分组区间是：20，40)，40，60
2、)，60，80)，80，100，该校参与答题活动的学生共 1000 人，则答题分数不低于 80 分的人数为( ) A15 B30 C150 D300 4 （5 分）双曲线 22 1 916 xy 的左顶点到其渐近线的距离为( ) A2 B 9 5 C 12 5 D3 5 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，且0 n a ，若 2 6S ， 4 15 2 S ，则 2 (a ) A1 B2 C4 D 1 2 6 （5 分）已知 0.1 2a ， 0.1 0.8b ， 4 log 8c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 7 （5 分） “1m
3、”是“直线 1: 10lxmy 与直线 2: 10lxmy 垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）在ABC中， 1 2 BDDA，CEEA，则DE为( ) 第 2 页（共 19 页） A 71 62 BABC B 11 62 BABC C 71 62 BABC D 11 62 BABC 9 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为( ) A2 B6 C3 D3 3 10 （5 分）已知函数 2 ( )2cosf xxx，( )fx是( )f x的导函数，则函数( )yfx的图象大 致为(
4、) A B C D 11 （5 分）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数 目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本的 卷 13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、 正 方 体 、 正 八 面 体 的 外 接 球 半 径 相 同 ， 则 它 们 的 棱 长 之 比 为( ) 第 3 页（共 19 页） A2 :1:3 B2:2 :3 C2:2 :1 D2:2 :3 12 （5 分）已知函数( ) |cos2 |cos|f xxx，x ，则下列说法错误的为( ) A( )f x有 2 个零点 B(
5、 )f x最小值为 2 2 C( )f x在区间(0,) 4 单调递减 D( )f x的图象关于y轴对称 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若x，y满足约束条件 2 2 0 2 0 x xy xy ，则3zxy的最小值为 14 （5 分）曲线yxlnx在点1x 处的切线方程是 15 （5 分）已知数列 n a是等差数列，且公差0d ， 1 (1)af x， 2 0a ， 3 (1)af x， 其中 2 ( )42f xxx，则 n a的前 10 项和 10 S 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22
6、22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，过左焦点 1 F的直线交椭 圆于A，B两点，且满足 21 | | 4|ABBFBF，则该椭圆的离心率是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 1coscos ac BC bb （1）求角
7、C的大小； （2）若2c ，13ab，求ABC的面积 18 （12 分）为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国 家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年 1500 元，具 第 4 页（共 19 页） 体标准由各地结合实际在 1000 元至 3000 元范围内确定， 可以分为两或三档 各学校积极响 应政府号召， 通过各种形式宣传国家助学金政策 为了解某高中学校对国家助学金政策的宣 传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查 （1）若该高中学校有 2000 名在校学生，编号分别为 0001，0002，0003，2000，请用 系统
8、抽样的方法，设计一个从这 2000 名学生中抽取 50 名学生的方案 （写出必要的步骤） （2）该校根据助学金政策将助学金分为 3 档，1 档每年 3000 元，2 档每年 2000 元，3 档每 年 1000 元，某班级共评定出 3 个 1 档，2 个 2 档，1 个 3 档，若从该班获得助学金的学生中 选出 2 名写感想，求这 2 名同学不在同一档的概率 19 （12 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点E是AB中点 （1）证明： 1/ / AC平面 1 ECB； （2）求直线 1 D E与平面 11 D BC所成角的正弦值 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C
9、 ypx p上一点 0 (P x，4)到焦点F的距离 0 | 2PFx （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l与抛物C交于A，B两点(A，B异于点)P，且2 APBP kk ，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 21 （12 分）已知函数( )2 x f xaex，aR （1）求函数( )f x的极值； （2）当1a时，证明：( )22f xlnxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标：
10、坐标系与参数方程系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos2 x y 为参数） ， 第 5 页（共 19 页） 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线 1 l， 2 l的极坐标方程分别为() 6 R ， 2 () 3 R ，设直线 1 l， 2 l与曲 线C的交点分别为M，N（除极点外） ，求OMN的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4| 2|1|f xxx的最大值为m （1）解不等式( )1f x ； （2）若a，b，c均为正数，且满
11、足abcm，求证： 222 3 bca abc 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 |03Axx，集合 | 2Bx x，则(AB ) A( 2,0) B(0,2) C( 2,3) D(2,3) 【解答】解： |03Axx， | 22Bxx ， ( 2,3)AB 故选：C 2 （5 分）已知 3 1 i z i ，其中i是虚数单位，
12、则| (z ) A3 B5 C2 D3 【解答】解： 3(3)(1)24 12 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 22 |125z 故选：B 3 （5 分）某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的 分组区间是：20，40)，40，60)，60，80)，80，100，该校参与答题活动的学生共 1000 人，则答题分数不低于 80 分的人数为( ) A15 B30 C150 D300 【解答】解：根据频率分布直方图知，答题分数不低于 80 分的频率为0.015200.3， 所以答题分数不低于 80 分的人数为10000.3300（人) 故选：D 4 （5
13、分）双曲线 22 1 916 xy 的左顶点到其渐近线的距离为( ) 第 7 页（共 19 页） A2 B 9 5 C12 5 D3 【解答】解：由双曲线 22 1 916 xy ，得 2 9a ， 2 16b ， 双曲线 22 1 916 xy 的左顶点坐标为( 3,0)， 其一条渐近线方程为 4 3 yx，即430xy 由对称性得左顶点到其渐近线的距离为 22 | 12|12 5 4( 3) d 故选：C 5 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，且0 n a ，若 2 6S ， 4 15 2 S ，则 2 (a ) A1 B2 C4 D 1 2 【解答】解： 2 6S ， 4
14、 15 2 S ， 所求公比1q ， 4 24 2 2 15 1 14 Sq q Sq ， 由题意可知0q ， 所以 1 2 q ， 1 2 1 (1) 4 6 1 1 2 a s ， 解可得， 1 4a ， 则 2 2a 故选：B 6 （5 分）已知 0.1 2a ， 0.1 0.8b ， 4 log 8c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 【解答】解： 0.1 3 122 2 a， 0.1 0.8b ，1， 4 3 log 8 2 c ， cab 故选：D 7 （5 分） “1m ”是“直线 1: 10lxmy 与直线 2: 10lxmy 垂直”的(
15、 ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 8 页（共 19 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：直线 1: 10lxmy 与直线 2: 10lxmy 垂直 2 10m ，解得1m “1m ”是“直线 1: 10lxmy 与直线 2: 10lxmy 垂直”的充分不必要条件 故选：A 8 （5 分）在ABC中， 1 2 BDDA，CEEA，则DE为( ) A 71 62 BABC B 11 62 BABC C 71 62 BABC D 11 62 BABC 【解答】解：如图， 1 , 2 BDDA CEEA， DEDBBCCE 1111 3222 BABCCABABCCA
16、 11 () 32 BABCBABC 11 62 BABC 故选：D 9 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为( ) 第 9 页（共 19 页） A2 B6 C3 D3 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为四棱锥体 如图所示： 所以： 11 (12)233 32 V 故选：C 10 （5 分）已知函数 2 ( )2cosf xxx，( )fx是( )f x的导函数，则函数( )yfx的图象大 致为( ) A B 第 10 页（共 19 页） C D 【解答】解：函数的导数( )22sinfxxx， 则( )fx为奇函数，图象关
17、于原点对称，排除A，B， 设( )( )22sing xfxxx，则( )22cos0g xx，即( )g x为增函数，排除D 故选：C 11 （5 分）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数 目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本的 卷 13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、 正 方 体 、 正 八 面 体 的 外 接 球 半 径 相 同 ， 则 它 们 的 棱 长 之 比 为( ) A2 :1:3 B2:2 :3 C2:2 :1 D2:2 :3 【解答】解：设正四面体的棱长为a， 所以利
18、用勾股定理的应用： 222 236 ()() 323 aarr，解得 2 6 3 ar 正方体的棱长为b，则： 2222 (2 ) rbbb，解得： 2 3 3 br 设正八面体的棱长为c， 所以： 22 31 22 ()2 44 rccc，解得2cr， 所以： 2 62 3 : :22:2 : 3 33 a b c 故选：B 12 （5 分）已知函数( ) |cos2 |cos|f xxx，x ，则下列说法错误的为( ) 第 11 页（共 19 页） A( )f x有 2 个零点 B( )f x最小值为 2 2 C( )f x在区间(0,) 4 单调递减 D( )f x的图象关于y轴对称 【
19、解答】解：由x ，关于原点对称，且 () |cos2()|cos| |cos2 |cos|( )fxxxxxf x， 即有( )f x为偶函数，即( )f x的图象关于y轴对称，故D正确； 由对称性可知只需考虑0x， 当0x， 4 时，20x， 2 ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos (1) 2 txt剟，则 2 19 2() 48 yt在0，1递增， 则( )f x在0x， 4 递减，故C正 确； 当 4 x ， 2 时，2 2 x ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(c
20、os) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos (0) 2 txt剟， 则 2 19 2() 48 yt 在0， 1 4 递增，1 4 ， 2 2 递减， 则( )f x在 4 x ， 1 arccos 4 递增， 在 1 arccos 4 x， 2 递减； 2 x ， 3 4 时，2x， 3 2 ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos (0) 2 txt剟，则 2 19 2() 48 yt 在 2 2 ，0递增，则( )f x在 2 x ， 3 4 递 减， 3 4 x ，时， 3 2 2 x ，2 ，c
21、os20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos ( 1) 2 txt剟，则 2 19 2() 48 yt在 1， 2 2 递减，则( )f x在 3 4 x ，递 增， 综上可得，( )f x在 3 4 x 处取得最小值，且为 2 2 ，故B正确； 第 12 页（共 19 页） 又( )f x在0， 2 时( )0f x ，( )f x在( 2 ， 3 ) 4 递减， 在 3 4 ，递增， 3 ()0 4 f ，( )0f， 可得( )f x在0，有两个零点，则( )f x在，有 4 个零点，故A错误， 故选：A 二、填空
22、题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若x，y满足约束条件 2 2 0 2 0 x xy xy ，则3zxy的最小值为 2 【解答】解：画出x，y满足约束条件 2 2 0 2 0 x xy xy 的平面区域，如图示： 由3zxy得到3yxz， 显然直线过(0,2)A时，z最小， z的最小值是2， 故答案为：2 14 （5 分）曲线yxlnx在点1x 处的切线方程是 10xy 【解答】解：求导函数，可得1ylnx 1x 时，1y ，0y 曲线yxlnx在点1x 处的切线方程是1yx 即10xy 故答案为：10xy 第 13 页
23、（共 19 页） 15 （5 分）已知数列 n a是等差数列，且公差0d ， 1 (1)af x， 2 0a ， 3 (1)af x， 其中 2 ( )42f xxx，则 n a的前 10 项和 10 S 70 【解答】解： 1 (1)af x， 2 0a ， 3 (1)af x，其中 2 ( )42f xxx， 可得 213 2aaa，即 22 (1)4(1)2(1)4(1)20xxxx， 化为 2 430xx，解得1x 或 3， 则数列的前三项为2，0，2 或 2，0，2， 但公差0d ，可得2d ， 1 2a ， 10 1 102109( 2)70 2 S 故答案为：70 16 （5 分
24、）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，过左焦点 1 F的直线交椭 圆于A，B两点，且满足 21 | | 4|ABBFBF，则该椭圆的离心率是 10 5 【解答】解： 1 F， 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，过左焦点 1 F的直线交椭圆 于A，B两点，且满足 21 | | 4|ABBFBF， 可设 1 |BFn，所以 2 | | 4ABBFn， 2 | 2AFn， 1 | 3AFn， 2 12 1 | 1 2 cos |4 AF F AF AB ，52na， 2 5 na， 在三角形 12 AFF中， 2 22
25、22 18 4942 3210 45 a cnnnnn ， 所以 2 2 210 55 c e a 故答案为： 10 5 第 14 页（共 19 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 1coscos ac BC bb （1）求角
26、C的大小； （2）若2c ，13ab，求ABC的面积 【解答】解： （1）由1coscos ac BC bb 得：coscosabcBbC， 由正弦定理可得：sinsinsincossincosABCBBC， 又()ABC， sin()sinsincossincosBCBCBBC， 故：sin2sincosBBC ， 又sin0B ， 1 cos 2 C ， (0, )C， 3 C （2）由余弦定理得： 2222 2cos()3cababCabab， 3ab， 第 15 页（共 19 页） 13 3 sin 24 ABC SabC 18 （12 分）为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多
27、的孩子接受良好的教育，国 家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年 1500 元，具 体标准由各地结合实际在 1000 元至 3000 元范围内确定， 可以分为两或三档 各学校积极响 应政府号召， 通过各种形式宣传国家助学金政策 为了解某高中学校对国家助学金政策的宣 传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查 （1）若该高中学校有 2000 名在校学生，编号分别为 0001，0002，0003，2000，请用 系统抽样的方法，设计一个从这 2000 名学生中抽取 50 名学生的方案 （写出必要的步骤） （2）该校根据助学金政策将助学金分为 3 档，1 档每
28、年 3000 元，2 档每年 2000 元，3 档每 年 1000 元，某班级共评定出 3 个 1 档，2 个 2 档，1 个 3 档，若从该班获得助学金的学生中 选出 2 名写感想，求这 2 名同学不在同一档的概率 【解答】解： （1）第一步：分组将 2000 名学生分成 50 组，每组 40 人， 编号是0001 0040的为第 1 组，编号为0041 0080的为第 2 组，编号为1961 2000为 第 50 组； 第二步：抽样在第 1 组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为m的学生， 则在第k组抽取编号为40(1)km的学生每组抽取一人，共计抽取 50 名学生 （2）记该班 3
29、 个 1 档的学生为 1 A， 2 A， 3 A，2 个 2 档的学生为 1 B， 2 B，1 个 3 档的学生为 1 C， 从该班获得助学金的同学中选择 2 名同学不在同一档为事件A 基本事件有 15 个，分别为： 12 A A， 13 A A， 11 A B， 11 A B， 11 AC， 23 A A， 21 A B， 22 A B， 21 A C， 31 A B， 32 A B， 31 AC， 12 B B， 11 BC， 21 B C 事件A包含的基本事件共有 11 个， 则这 2 名同学不在同一档的概率为 11 ( ) 15 P A 19 （12 分）如图，在正方体 1111 AB
30、CDABC D中，点E是AB中点 （1）证明： 1/ / AC平面 1 ECB； （2）求直线 1 D E与平面 11 D BC所成角的正弦值 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）证明：连接 1 BC，交 1 B C于点F， 连接EF，则F为 1 BC的中点， 又E为AB的中点，EF为 1 ABC的中位线， 1/ / ACEF， 又 1 AC 平面 1 ECB，EF 平面 1 ECB， 1/ / AC平面 1 ECB （2）解：连接 1 D F，可以证明 1 AC 平面 11 D BC， 由（1）得： 1/ / ACEF，EF平面 11 D BC， 直线 1 D E与平面 11
31、D BC所成的角为 1 ED F， 设正方体的棱长为a，则 1 3 2 D Ea， 3 2 EFa， 1 1 3 sin 3 EF ED F D E ， 直线 1 D E与平面 11 D BC所成角的正弦值为 3 3 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点 0 (P x，4)到焦点F的距离 0 | 2PFx （1）求抛物线C的方程； 第 17 页（共 19 页） （2）设直线l与抛物C交于A，B两点(A，B异于点)P，且2 APBP kk ，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 【解答】解： （1）由题可得： 0 00 162
32、|2 2 px p PFxx 解得 0 2x ，4p ，抛物线的方程为 2 8yx； （2）设直线l的方程为xmyn， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 联立 2 8yx xmyn ， 消x得： 2 880ymyn， 2 3 2 ( 2) 0mn， 12 8yym，1 2 8y yn ， 11 2 111 448 24 2 8 AP yy k yxy ，同理 2 8 4 BP k y ， 又2 APBP kk ， 12 160y y，2n ，直线l的方程为：2xmy， 过定点( 2,0) 21 （12 分）已知函数( )2 x f xaex，aR （1）求函数( )f x的
33、极值； （2）当1a时，证明：( )22f xlnxx 【解答】解： （1）( )2 x fxae， 当0a时( )0fx，( )f x在R单调递减，则( )f x无极值 当0a 时，令( )0fx得 2 xln a ，( )0fx得 2 xln a ，( )0fx得 2 xln a ， ( )f x在 2 (,)ln a 上单调递减， 2 (,)ln a 单调递增， ( )f x的极小值为 22 ()22f lnln aa ，无极大值， 综上：当0a时，( )f x无极值 当0a 时，( )f x的极小值为 22 ()22f lnln aa ，无极大值； （2）当1a时，( )2 x f x
34、lnxx elnx， 令( )2 x g xelnx， 1 ( )(0) x g xex x ， 令( )0g x得 0 xx，因为( )g x在(0,)为增函数， 所以函数( )g x在 0 (0,)x上单减函数，在 0 (x，)上单增函数， 第 18 页（共 19 页） 所以 0 0000 0 1 ( )()22(1)0 x g xg xelnxxx x 即得证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做如果多做，则按所做的第一的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
35、 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos2 x y 为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线 1 l， 2 l的极坐标方程分别为() 6 R ， 2 () 3 R ，设直线 1 l， 2 l与曲 线C的交点分别为M，N（除极点外） ，求OMN的面积 【解答】解： （1）由参数方程 cos3sin sin3cos2 x y ，得普通方程 22 (2)4xy， 所以极坐标方程： 2222 cossin4 sin0，则4sin （2）直线 1: () 6 lR 与曲线C的交点
36、为O，M，得 1 | 4sin2 6 OM 又直线 2 2 :() 3 lR 与曲线C的交点为O，N，得 2 2 | 4sin2 3 3 ON 且 2 MON ，所以 11 | |22 32 3 22 OMN SOMON 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4| 2|1|f xxx的最大值为m （1）解不等式( )1f x ； （2）若a，b，c均为正数，且满足abcm，求证： 222 3 bca abc 【解答】解： （1） 2,(1) ( ) |4| 2|1|36,(14) 2,(4) xx f xxxxx xx ， ( )1f x ， 21 1 x x 或 361 14 x x 或 21 4 x x ， 5 1 3 x ， 不等式的解集为 5 ( 1, ) 3 （2）由（1）知( )f x的最大值3m a，b，c均为正数， 第 19 页（共 19 页） 2 2 a ca c ， 2 2 b ab a ， 2 2 c bc b ， 又3abcm， 222 222 abc abcabc cab 222 3 bca abc ，当且仅当1abc时取等号 222 3 bca abc
