1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（文科）学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx，则( RA ) A(，0 B2，) C(0,2) D(，02， ) 2 （5 分）若复数(2 )(1)aii为纯虚数，则实数a的值是( ) A2 B1 C1 D2 3 （5 分）若 2 sin()cos()
2、445 ，则cos2( ) A 4 5 B 2 5 C 2 5 D 4 5 4 （5 分）新中国成立 70 周年，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中， “快闪” 因其独特新颖的传播方式吸引大众眼球根据腾讯指数大数据，关注“快闪”系列活动的网 民群体年龄比例构成，及男女比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是( ) A35 岁以下网民群体超过70% B男性网民人数多于女性网民人数 C该网民群体年龄的中位数在15 25之间 D25 35岁网民中的女性人数一定比35 45岁网民中的男性人数多 5 （5 分）设E是中心在坐标原点的双曲线若(2,0)A是E的一个顶点，( 4,0)F 是E的一
3、 第 2 页（共 19 页） 个焦点，则E的一条渐近线方程为( ) A 1 3 yx B 3 3 yx C3yx D3yx 6 （5 分）已知等差数列 n a中， 36 8aa，则 47 5(aa ) A32 B27 C24 D16 7 （5 分） “堑堵”是中国古代数学名著九章算术中记载着的一种多面体如图，网格 纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于 ( ) A12 B8 C6 D4 8 （5 分）函数( )sinf xxx的图象大致为( ) A B C D 9 （5 分）明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律” 在创造律制的过程中，他不 仅给
4、出了求解三项等比数列的等比中项的方法， 还给出了求解四项等比数列的中间两项的方 法 比如， 若已知黄钟、 大吕、 太簇、 夹钟四个音律值成等比数列， 则有大吕黄钟 太簇， 大吕 2 3黄钟夹钟， 太簇 2 3黄钟夹钟 据此， 可得正项等比数列 n a中，( k a ) A 1 1 n k n k n aa B 1 1 n k n k n a a 第 3 页（共 19 页） C 1 1 1 n kk n n aa D 1 1 1 kn k n n aa 10 （5 分）若直线0xay与函数( ) x e f x x 的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围 为( ) A 2 4 (,0)(,)
5、e B 2 4 (,) e C 2 (,) 4 e D 2 1 ( ,) 4 e e 11 （5 分）若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的 离心率等于( ) A 2 2 B 51 2 C 1 2 或 2 2 D 2 2 或 51 2 12 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，0) 2 若() 8 f x 为奇函数，() 8 f x 为偶函数，且 2 ( ) 2 f x 在(0,) 6 至多有 2 个实根，则的最大值为( ) A10 B14 C15 D18 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
6、分. 13 （5 分）已知向量, a b，且(3, 2)a ，(5,2)ab，则|b 14 （5 分）若x，y满足约束条件 0 1 0 22 0 x xy xy ，则32zxy的最大值为 15 （5 分）已知直线:(1)10()l mxm ymR 与圆 22 :8O xy交于A，B两点，C， D分别为OA，AB的中点，则| |ABCD的最小值为 16 （5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 动点P在棱 1 AA上， 四棱锥 11 PBDD B 的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7、骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S若233 nn Sa （1）证明： n a为等比数列； （2）设 9 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 第 4 页（共 19 页） 18（12 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知( 3cos)cosaCcA （1）求 b a ； （2）
8、求cos A的最小值 19 （12 分）如图，MA平面ABCD，CN 平面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的菱 形，60BAD，1CN ，3AM （1）证明：/ /BN平面ADM； （2）求三棱锥NADM的体积 20 （12 分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点在y轴上，过点(1,0)A且斜率为 2 的直线与 E相切 （1）求E的标准方程； （2）过A的直线l与E交于P，Q两点，与y轴交于点R，证明： 2 | |ARAPAQ 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1) 2 a f xxaxlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1x时，( ) 2 e f x，求a的取值范围 （
9、二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分 22 （10 分） 在同一平面直角坐标系xOy中， 经过伸缩变换 2xx yy 后， 曲线 22 1: 1Cxy变 为曲线 2 C （1）求 2 C的参数方程； （2）设(2,1)A，点P是 2 C上的动点，求OAP面积的最大值，及此时P的坐标 第 5 页（共 19 页） 23已知函数 1 ( ) |f xxax a （1）证明：( ) 2f x ； （2）当 1 2 a 时，( )f xxb，求b的取值范围 第 6 页
10、（共 19 页） 2019-2020 学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（文科）学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx，则( RA ) A(，0 B2，) C(0,2) D(，02， ) 【解答】解：因为集合 2 |20 |2Ax xxx x厖或0x； (0,2) RA 故选：C 2 （5 分）若复数
11、(2 )(1)aii为纯虚数，则实数a的值是( ) A2 B1 C1 D2 【解答】解：(2 )(1)(2)(2)aiiaai是纯虚数， 20a且20a ，即2a 故选：A 3 （5 分）若 2 sin()cos() 445 ，则cos2( ) A 4 5 B 2 5 C 2 5 D 4 5 【解答】解：由 2 sin()cos() 445 ， 得 12 sin(2 ) 225 ， 即 4 cos2 5 故选：A 4 （5 分）新中国成立 70 周年，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中， “快闪” 因其独特新颖的传播方式吸引大众眼球根据腾讯指数大数据，关注“快闪”系列活动的网 民群体年
12、龄比例构成，及男女比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是( ) 第 7 页（共 19 页） A35 岁以下网民群体超过70% B男性网民人数多于女性网民人数 C该网民群体年龄的中位数在15 25之间 D25 35岁网民中的女性人数一定比35 45岁网民中的男性人数多 【解答】解：.35A岁以下网民群体23%31%20%74%70%，正确 B男性网民人数占55%，女性网民人数占45%，因此男性网民人数多于女性网民人数， 正确 .15C岁以下占23%，15 25岁占31%，因此该网民群体年龄的中位数在15 25之间，正 确 .25 35D岁网民中的女性人数与35 45岁网民中的男性人数无法判
13、断多少，因此不正确 故选：D 5 （5 分）设E是中心在坐标原点的双曲线若(2,0)A是E的一个顶点，( 4,0)F 是E的一 个焦点，则E的一条渐近线方程为( ) A 1 3 yx B 3 3 yx C3yx D3yx 【解答】解：由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且2a ，4c ， 则 22 1642 3bca 双曲线的渐近线方程为 2 3 3 2 yxx E的一条渐近线方程为3yx 故选：C 第 8 页（共 19 页） 6 （5 分）已知等差数列 n a中， 36 8aa，则 47 5(aa ) A32 B27 C24 D16 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 36 8aa，
14、1 278ad 则 4711 56213(27 )24aaadad 故选：C 7 （5 分） “堑堵”是中国古代数学名著九章算术中记载着的一种多面体如图，网格 纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于 ( ) A12 B8 C6 D4 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱 如图所示： 所以 1 3226 2 V ， 故选：C 8 （5 分）函数( )sinf xxx的图象大致为( ) A B 第 9 页（共 19 页） C D 【解答】 解：()sin()sin( )fxxxxxf x ， 则函数( )f x是偶函数， 图象关
15、于y轴对称， 排除C，D 当0 2 x 时，函数( )f x为增函数，排除A， 故选：B 9 （5 分）明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律” 在创造律制的过程中，他不 仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法， 还给出了求解四项等比数列的中间两项的方 法 比如， 若已知黄钟、 大吕、 太簇、 夹钟四个音律值成等比数列， 则有大吕黄钟 太簇， 大吕 2 3黄钟夹钟， 太簇 2 3黄钟夹钟 据此， 可得正项等比数列 n a中，( k a ) A 1 1 n k n k n aa B 1 1 n k n k n a a C 1 1 1 n kk n n aa D 1 1 1 kn k n n
16、 aa 【解答】解：根据题意，该问题为已知等比数列的首项、末项球求数列中任意一项， 设数列的首项为 1 a，末项为 n a， 其公比 1 1 nn a q a ，则1 1 n n a q a ， 则 11 1 1 111 1 () kkn kkn n n kn a aaqaaa a ； 故选：C 10 （5 分）若直线0xay与函数( ) x e f x x 的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围 为( ) A 2 4 (,0)(,) e B 2 4 (,) e C 2 (,) 4 e D 2 1 ( ,) 4 e e 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：由题意，函数( ) x e f
17、 x x 的定义域为 |0x x ， 0 x e 恒成立，0 x e y x 则可联立 0 x xay e y x ，整理得 x xe ax 参变量分离，可得 2 x x a e 令 2 ( ) x x g x e ，0x 则 (2) ( ) x x x g x e ，0x 令( )0g x，解得0x ，或2x ； 令( )0g x，解得2x ； 令( )0g x，解得02x ( )g x在(,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减 ( )g x在2x 处取得极大值g（2） 2 4 e 0x ，( )0g x ；x，( )g x ；x，( )0g x 函数( )g x大致
18、图象如下： 由题意及图可知，ya与函数( )g x图象只有一个交点， ag（2） 2 4 e 故选：B 11 （5 分）若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的 离心率等于( ) A 2 2 B 51 2 C 1 2 或 2 2 D 2 2 或 51 2 【解答】解：由菱形的对称性垂直可知，在椭圆的顶点与焦点中， 可以找出不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，有 3 种情况，如图： 第 11 页（共 19 页） 图 1 中，顶点D焦点B，为菱形的顶点，C为中心，则DCBC， 由勾股定理可得 222 ()2()abaac，又 222 abc， 化简可 22 0caca，
19、解 2 10ee ，得 51 2 e 在图 2 中，以焦点AB菱形的顶点，C为中心，则ACBC， 所以45OCB，可得 2 2 c e a ； 如图 3，以B为菱形的中心，C，E为菱形的顶点，则CDEB， 可得 2 2 c e a 故选：D 12 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，0) 2 若() 8 f x 为奇函数，() 8 f x 为偶函数，且 2 ( ) 2 f x 在(0,) 6 至多有 2 个实根，则的最大值为( ) A10 B14 C15 D18 【解答】解：由() 8 f x 为奇函数可得( )f x的图象关于( 8 ，0)对称，由() 8 f x 为偶函 数，
20、可得( )f x的图象关于 8 x 对称， 结合正弦函数的性质可知，( 44 nT n 为奇数） ， 2 T n ， 故2n，n为奇数， 结合选项可知，当18时，( )sin(18)f xx， 又当 8 x 时， 91 42 k ，kz，结合0 2 ，可知 4 ， 由 2 ( )sin(18) 42 f xx 可得在(0,) 6 根有 18 ， 36 ， 9 ， 12 不符合题意， 第 12 页（共 19 页） 当14时，( )sin(14)f xx， 又当 8 x 时， 71 42 k ，kz，结合0 2 ，可知不存在， 当10时，( )sin(10)f xx， 又当 8 x 时， 51 4
21、2 k ，kz，结合0 2 ，可知 4 ， 由 2 ( )sin(10) 42 f xx 可得在(0,) 6 根有 10 ， 20 符合题意， 结合选项可知A符合题意 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量, a b，且(3, 2)a ，(5,2)ab，则|b 2 5 【解答】解：向量, a b，且(3, 2)a ，(5,2)ab， 则()(2,4)baba， 所以 22 |242 5b 故答案为：2 5 14 （5 分）若x，y满足约束条件 0 1 0 22 0 x xy xy ，则32zxy的最
22、大值为 4 【解答】解：作出x，y满足约束条件 0 1 0 22 0 x xy xy 的平面区域如图： 由32zxy，则 3 22 z yx ， 平移直线 3 22 z yx ，由图象可知当直线 3 22 z yx ， 经过点A时，直线 3 22 z yx ， 的截距最大，此时z最大， 由 0 220 x xy ，解得(0,2)A， 此时3 0224 max z ， 故答案为：4 第 13 页（共 19 页） 15 （5 分）已知直线:(1)10()l mxm ymR 与圆 22 :8O xy交于A，B两点，C， D分别为OA，AB的中点，则| |ABCD的最小值为 4 3 【解答】解：直线l
23、的方程可化为()10m xyy ，由 0 10 xy y ，得1xy，即直线l恒 过定点(1,1)P C，D分别为OA，OB的中点， 1 |2 2 CDOB， 当OPAB时，|AB最小，此时 2 2 | 2 (2 2)22 6AB ， |2 |2 2 64 3AB CDAB 故答案为：4 3 16 （5 分） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 动点P在棱 1 AA上， 四棱锥 11 PBDD B 第 14 页（共 19 页） 的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积取值范围是 2，17 8 【解答】解取矩形 11 BB D D的外心即对角线的交点E，过E做垂直于面 11 B
24、B D D垂线交 1 AA于 M，则M为 1 AA的中点， 2 2 ME ，在ME上取O使OPOBOA为外接球的半径R， 当P在 1 AA的中点时，R最小，当P在A或 1 A时，R最大 当P在 1 AA的 中 点 时 ， 连 接OB， 则 22222 ()OBBEOEBEMEOM， 即 222 22 ()() 22 RR，解得 1 2 R ，所以 2 1 2 R ； 当P在A或 1 A时，连接OA，在三角形AMO中， 2222221 1 ()( ) 22 AA RAOMOMO， 在三角形OBE中， 222222 22 ()()() 22 ROBBEMEMOMO， 联立可得 3 4 2 MO ，
25、 即球心为 1 AA的中点时外接球的半径中点， 且为 2 1917 43232 R ， 所以球的表面积 2 17 42 , 8 SR， 故答案为：2，17 8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S若233 nn Sa （1）证明： n a为等比数列； （2
26、）设 9 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 第 15 页（共 19 页） 【解答】解： （1）证明：233 nn Sa，可得 111 2233aSa，即 1 3a ， 2n时， 11 233 nn Sa ，又233 nn Sa，相减可得 1 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa ， 即有 n a为首项和公比均为 3 的等比数列； （2）由（1）可得 1 3 33 nn n a ， 99 loglog 3 nn ba 1 2 n n， 1 1411 4() (1)1 nn b bn nnn ， 则前n项和 1111114 4(1)4(1) 2231
27、11 n n T nnnn 18（12 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知( 3cos)cosaCcA （1）求 b a ； （2）求cos A的最小值 【解答】解： （1）( 3cos)cosaCcA 可得：3sinsincossincossin()sinACAACACB， 3ab，可得3 b a （2）3ba， 2222 2 cos 22 bcabca A bcbc ，当且仅当3bca时取等号 5 cos 6 A其最小值为 5 6 19 （12 分）如图，MA平面ABCD，CN 平面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的菱 形，60BAD，1CN ，3AM （1）证
28、明：/ /BN平面ADM； （2）求三棱锥NADM的体积 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）证明：MA平面ABCD，CN 平面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的菱形， / /AMCN，/ /ADBC， AMADA，CNBCC， 平面/ /ADM平面BCN， BN 平面BCN，/ /BN平面ADM （2）解：MA平面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的菱形， 60BAD，1CN ，3AM 点N到平面ADM的距离 22 213d ， 三棱锥NADM的体积为： 111 32333 332 NADMADM VS 20 （12 分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点在y轴上，过点(
29、1,0)A且斜率为 2 的直线与 E相切 （1）求E的标准方程； （2）过A的直线l与E交于P，Q两点，与y轴交于点R，证明： 2 | |ARAPAQ 【解答】解： （1）设抛物线的方程为 2 xmy，0m ，过点(1,0)A且斜率为 2 的直线方程为 第 17 页（共 19 页） 2(1)yx， 联立抛物线方程可得 2 220xmxm， 由直线和抛物线相切可得 2 480mm，解得2m ， 则抛物线的标准方程为 2 2xy； （2） 证明： 设过(1,0)A的直线的参数方程为 1cos ( sin xt yt 为倾斜角且为钝角，t为参数） ， 代入抛物线 2 2xy，可得 22 cos(2c
30、os2sin ) 10tt ， 设AP、AQ对应的参数为 1 t， 2 t， 1 2 2 1 t t cos ， 令0x ，可得 1 cos t ，设AR对应的参数为t， 可得 2 | |ARAPAQ 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1) 2 a f xxaxlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1x时，( ) 2 e f x，求a的取值范围 【解答】解： （1）函数 2 ( )(1) 2 a f xxaxlnx(0,)x 1(1)(1) ( )2(1) axx fxxa xx ， 对a分类讨论：0a时，( )0fx，此时函数( )f x在(0,)x上单调递减 0a 时，可
31、得：函数( )f x在 1 (0,) a 上单调递减在 1 ( a ，)上单调递增 （2）当1x时，( ) 2 e f x，即 2 2 22 (1) 222 aexlnxe xaxlnxa xx 厖， 令 2 22 ( ) 2 xlnxe g x xx ，1x，) 22 2(22)(1) ( ) (2 ) exlnx x g x xx ， 令( )22h xexlnx 在1x，)上单调递减，且h（e）0 xe 时，函数( )g x取得极大值即最大值，g（e） 1 e 1 a e a的取值范围是 1 e，) 第 18 页（共 19 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考
32、生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分 22 （10 分） 在同一平面直角坐标系xOy中， 经过伸缩变换 2xx yy 后， 曲线 22 1: 1Cxy变 为曲线 2 C （1）求 2 C的参数方程； （2）设(2,1)A，点P是 2 C上的动点，求OAP面积的最大值，及此时P的坐标 【解答】解： （1）曲线 22 1: 1Cxy，经过伸缩变换 2xx yy 后，变为曲线 2 C 即： 2 2 1 4 x y 转换为参数方程为： 2cos ( sin x y 为参数） （2）由于(2,1)A，(0,0)O 则 22
33、 |125OA 所以OA的直线方程为 1 2 yx，即20xy 点(2cos ,sin )P， 所以点P到直线20xy的距离 |2 2cos()| |2cos2sin| 4 55 d ， 当 4 时， 2 2 5 max d 所以 12 2 52 25 OAP S 所以点 2 ( 2,) 2 P 23已知函数 1 ( ) |f xxax a （1）证明：( ) 2f x ； （2）当 1 2 a 时，( )f xxb，求b的取值范围 【解答】解： （1） 11 |xaxxax aa 第 19 页（共 19 页） 1 |2a a ( ) 2f x （2）当 1 2 a 时， 1 ( ) |2| 2 f xxx， 当2x时， 3 ( )2 2 f xx 当 1 2 2 x时， 5 ( ) 2 f x 当 1 2 x时， 3 ( )2 2 f xx 做出( )f x的图象，如图所示 由图，可( )f xxb，当且仅f（2）2b，解 1 2 b， b的取值范围 1 (, 2
