1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |15Axx剟， 2 |280Bx xx ，则(AB ) A |14xx B |12xx C | 45xx D | 25xx 2 （5 分） 3 ( 13 i i ) Ai B2i C 3 2 i D 31 22 i 3 （5
2、分）图（1）是某品牌汽车 2019 年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所 属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是( ) A该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多 B该品牌汽车 2019 年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份 C2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的汽车销量比 8 月份多 D该品牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 4 （5 分）已知 1 2 ( )log2f xxx，则满足(1) 1f x 的x的取值范围是( ) A 3 (, 4 B 3 ( 1, 4 C 3 ,) 4 D 5
3、(1, 4 5 （5 分） 25 (2) a x x 的展开式中，含 7 x项的系数为 40，则(a ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 第 2 页（共 21 页） 6 （5 分）如图为函数( )sin()f xx的部分图象，将其向左平移 1 4 个单位长度后与函数 ( )g x的图象重合，则( )g x可以表示为( ) Asin2 x Bsin2 x Csinx Dsinx 7 （5 分）圆 222 :O xyr与抛物线 2 :4yx交于A，B两点，与的准线交于C，D两 点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为( ) A2 B4 C8 D16 8 （5 分）一个几何体的三视图如图所示
4、，小正方形的边长为 1，则这个几何体的表面积是( ) A11 B9 C7 D5 9 （5 分）若cos2sin1，则tan( ) A 4 3 B 3 4 C0 或 4 3 D0 或 3 4 10 （5 分）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，CD的中点，AF与BE相交于 点M，则(AM ) A 31 44 ABAE B 41 55 ABAE C 13 44 ABAE D 14 55 ABAE 11 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，渐近线上存在一点 M，使得 12 FMF为直角， 2 MF交双曲线于点N，若 1 / /O
5、NFM，则该双曲线的离心率为( 第 3 页（共 21 页） ) A51 B51 C52 D5 12 （5 分） 已知直线l与曲线( ) x f xe和( )g xlnx分别相切于点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y有 以下命题： 90 (AOBO为原点） ； 1 ( 1,1)x ；当 1 0x 时， 21 2( 21)xx， 则正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数( )f x满足( )2 (4)3f xfxx，则f（1） 14 （5 分）学
6、校在周一至周五的 5 天中安排 2 天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排 的 2 天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有 种 15 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，. 2 cCA ， 1 sin 3 A ，3a ， 则b 16 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N分别为 1 B B，CD的中点，有以下命题： / /MN平面 1 A BD； 1 MNCD； 平面 1 AMN 平面 1 A AC， 则正确命题的序号为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
7、第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第（第（22） ， （） ， （23）题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分. 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和 1 22 n n S （1）求 n a的通项公式； （2）记 1 n n n b a ，求 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图，PABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上的点，PC垂直圆 所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点 （1）求证：DE 平面PAC； （2）若二面角ADEC是45，4AB
8、PC，求AE与平面ACD所成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）河北省高考综合改革从 2018 年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将 实行“312 ”模式，其中 3 表示语文、数学、外语三科必选，1 表示从物理、历史两科 中选择一科，2 表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科某校 2018 级入学的高一 学生选科情况如表： 选科 组合 物化 生 物化 政 物化 地 物生 政 物生 地 物政 地 史政 地 史政 化 史生 政 史地 化 史地 生 史化 生 合计 男 130 45 55 30 25 15 30 10 40 10 15 20 425 女 100 45
9、50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475 合计 230 90 105 65 60 50 70 30 95 25 40 40 900 （1）完成下面的22列联表，并判断是否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为“选择 物理与学生的性别有关”？ （2）以频率估计概率，从该校 2018 级高一学生中随机抽取 3 名同学，设这三名同学中选择 物理的人数为X，求X的分布列和数学期望 选择物理 不选择物理 合计 男 425 女 475 合计 900 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.150 0.
10、100 0.050 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ， 3 (1,) 2 P为椭圆E上一点 （1）求椭圆E的方程； （2）过点(1,0)Q的直线l交椭圆E于A，B两点，直线l与直线4x 相交于点C，求证： 直线PA，PC，PB的斜率成等差数列 21 （12 分）设函数 2 ( )2 cos2sin 2 x f xxxx （1）讨论( )f x在，上的单调性； （2）证明：( )f x在R上有三个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10
11、分分.请考生在第（请考生在第（22） ， （） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分的第一题记分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)1Cxy，直线:2l y 以坐标原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆C和直线l的极坐标方程； （2）设A、B分别为圆C和直线l上的点，且满足AOAB，设AOB，求tan的最 小值 23已知a、b、c、d是正实数，且23ab，1cd （1）证明： 21 3 ab ； （2）当 a c 为何值时，2acbd取得最大值？ 第 6 页（共 21 页） 2019-
12、2020 学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |15Axx剟， 2 |280Bx xx ，则(AB ) A |14xx B |12xx C | 45xx D | 25xx 【解答】解：集合 |15Axx剟， 2 |280 | 24Bx xxxx ， | 25ABxx 故选：D
13、 2 （5 分） 3 ( 13 i i ) Ai B2i C 3 2 i D 31 22 i 【解答】解： 3( 3)( 13 )4 413( 13 )( 13 ) iiii i iii 故选：A 3 （5 分）图（1）是某品牌汽车 2019 年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所 属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是( ) A该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多 第 7 页（共 21 页） B该品牌汽车 2019 年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份 C2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的汽车销量比 8 月份多 D该品
14、牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 【解答】解：由图（1）可知该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多，所以A正 确； 该品牌汽车 2019 年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份，所以B正 确； 该品牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，所以D正确； 由图 （2） 可知 2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的该品牌汽车销量占所属汽车公司当月总 销量比 8 月份多， 不一定 2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的汽车销量比 8 月份多， 所以C 不正确， 故选：C 4 （5 分）已知 1
15、 2 ( )log2f xxx，则满足(1) 1f x 的x的取值范围是( ) A 3 (, 4 B 3 ( 1, 4 C 3 ,) 4 D 5 (1, 4 【解答】解： 1 2 ( )log2f xxx， 1 2 (1)(1)21f xlogxx 由(1) 1f x ，得 1 2 log (1)21 1xx ， 得 1 2 log (1)121 0xx ， 11 22 1 log (1)log21 0 2 xx ， 也就是 1 2 log 2(1)21 0xx 令 1 2 ( )log 2(1)21g xxx 1 2 log 2(1)yx与21yx 均为( 1,) 上的减函数， 1 2 (
16、)log 2(1)21g xxx是( 1,) 上的减函数 而 1 2 333 ()2(1)2 10 444 glog 满足(1) 1f x 的x的取值范围是( 1， 3 4 故选：B 第 8 页（共 21 页） 5 （5 分） 25 (2) a x x 的展开式中，含 7 x项的系数为 40，则(a ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解： 25 (2) a x x 的展开式中通项公式： 52535 155 ( )( 2)( 2) rrrrrrr r a Txax x 痧， 令357r ，解得4r 含 7 x项的系数是 40， 44 5 ( 2)40a ， 解得 1 2 a 故选：
17、A 6 （5 分）如图为函数( )sin()f xx的部分图象，将其向左平移 1 4 个单位长度后与函数 ( )g x的图象重合，则( )g x可以表示为( ) Asin2 x Bsin2 x Csinx Dsinx 【解答】解：函数的周期 51 2()2 44 T ，即 2 2 ，则， 由五点对应法得 1 4 ，得 3 4 ， 即 3 ( )sin() 4 f xx ，将其向左平移 1 4 个单位长度后与函数( )g x的图象重合， 则 13 ( )sin ()sin()sin 44 g xxxx ， 故选：D 7 （5 分）圆 222 :O xyr与抛物线 2 :4yx交于A，B两点，与的
18、准线交于C，D两 点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为( ) A2 B4 C8 D16 【解答】解：由 2 :4yx，得其直线方程为1x ， 第 9 页（共 21 页） 联立 222 1x xyr ，解得 2 ( 1,1)Dr， 由四边形ABCD为矩形，得 2 (1,1)Ar ， 把A代入 2 4yx，得 2 14r ，即5r (1,2)A， 则该矩形的面积为248S 故选：C 8 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为 1，则这个几何体的表面积是( ) A11 B9 C7 D5 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为球的 1 8 份 故 22 13 4225 8
19、4 S， 故选：D 9 （5 分）若cos2sin1，则tan( ) A 4 3 B 3 4 C0 或 4 3 D0 或 3 4 第 10 页（共 21 页） 【解答】解：cos2sin1，且 22 sincos1， 2 5sin4sin0， 4 0 5 sin或， 3 1 5 cos或， 则tan0或 4 3 ， 故选：C 10 （5 分）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，CD的中点，AF与BE相交于 点M，则(AM ) A 31 44 ABAE B 41 55 ABAE C 13 44 ABAE D 14 55 ABAE 【解答】解：如图，作/ /EKDF交AF与点F； / /
20、/EKDFAB， EF分别为边AD，CD的中点； 11 24 EKDDFAB； 1 4 EMMB； 1114 () 5555 AMAEEMAEEBAEABAEABAE 故选：D 11 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，渐近线上存在一点 M，使得 12 FMF为直角， 2 MF交双曲线于点N，若 1 / /ONFM，则该双曲线的离心率为( ) A51 B51 C52 D5 【解答】 解： 由双曲线的一条渐近线方程为 b yx a ， 设 0 (M x， 0) b x a ，00x ， 由 12 90FMF， 所以|OMc，所以 2
21、2 00 () b xxc a ，解得 0 xa，所以( , )M a b， 第 11 页（共 21 页） 由 1 / /ONFM，则N为 2 MF的中点，所以( 2 ac N ，) 2 b ， 代入双曲线的方程 22 22 () 44 1 acb ab ，即5aca，( 51)ca， 所以51 c e a ， 故选：A 12 （5 分） 已知直线l与曲线( ) x f xe和( )g xlnx分别相切于点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y有 以下命题： 90 (AOBO为原点） ； 1 ( 1,1)x ；当 1 0x 时， 21 2( 21)xx， 则正确命题的个数为(
22、) A0 B1 C2 D3 【解答】解：AB为公切线，故 1 1 2 2 122 1 1 x x e x elnx xxx ， 21 lnxx 1 1 1 1 1 x x x ex e xe ， 1 1 1 1 1 x x e x 1 0 x e， 1 1 1 0 1 x x ，故 1 1x 或 1 1x ，故错误 当1x 时，令 12 ( )1 11 xx x g xee xx ， 则 2 2 ( )0 (1) x g xe x ，故( )g x在(, 1) 上为增函数， 而 2 1 ( 2)0 3 ge， 3 2 31 () 25 ge ， 2.52.8e，故 3 15.62521.952
23、e， 故 3 25e ，故 3 2 5e 即 3 2 1 5 e ，故 3 ()0 2 g ， 1 3 2 2 x ， 令 3 ( ),( 2,) 2 x h xex x ，则( )10 x h xe ， ( )h x在 3 ( 2,) 2 为单调减函数， 3 2 333 ( )()52 22 222 h xhe，故成立 又 111 1221( ) xxx OA OBx xe lnxx ee ， 如果 1 1x ，则0OA OB ；若 1 1x ，则0OA OB ， 第 12 页（共 21 页） 90AOB，成立， 综上，正确命的题为 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，
24、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数( )f x满足( )2 (4)3f xfxx，则f（1） 5 【解答】解：根据题意，已知函数( )f x满足( )2 (4)3f xfxx， 令1x 可得：f（1）2f（3）3， 令3x 可得：f（3）2f（1）9， 联立可得：f（1）5； 故答案为：5 14 （5 分）学校在周一至周五的 5 天中安排 2 天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排 的 2 天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有 9 种 【解答】解：若甲安排在周二，则乙从周五，周四这两天中选一天，有两种安排方式； 若甲安排在周三，则乙从周一
25、，周五这两天中选一天，有两种安排方式； 若甲安排在周四，则乙从周一，周二这两天中选一天，有两种安排方式； 若甲安排在周五，则乙从周一，周二，周三这三天中选一天，有三种安排方式； 所以：共有22239种安排方式 故答案为：9 15 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，. 2 cCA ， 1 sin 3 A ，3a ， 则b 7 【解答】解： 2 CA ， 1 sin 3 A ，3a ， 2 CA ，C为钝角，A，B为锐角， 2 12 2 sinsin()cos1( ) 233 CAA ，可得 1 cossin 3 CA ， 112 22 27 sinsin()sincosc
26、ossin() 33339 BACACAC ， 由正弦定理 sinsin ab AB 可得 7 3 sin 9 7 1 sin 3 aB b A 故答案为：7 第 13 页（共 21 页） 16 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N分别为 1 B B，CD的中点，有以下命题： / /MN平面 1 A BD； 1 MNCD；平面 1 AMN 平面 1 A AC，则正确命题的序号为 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2， 则(2A，0，0)，(0D，0，0)，(0C，2，0)，(2B，2，0)， 1(2 A，0，2)， 1(0 D，0，2)， 1(0
27、 C，2，2)， 1(2 B，2，2)， 故(2M，2，1)，(0N，1，0)， ( 2, 1, 1)MN ， 1 (0, 2,2)CD ， 故 1 0MN CD ， 1 MNCD，故正确 又(2,2,0)DB ， 1 (2,0,2)DA ，设平面 1 A BD的法向量为( , , )nx y z， 由 1 0 0 n DB n DA ，得 0 0 xy xz ，取1z ，则(1, 1, 1)n ， 0MN n 且MN 平面 1 A BD，故/ /MN平面 1 A BD，故正确 又 1 (0,2, 1)AM ，设平面 1 AMN的法向量为( , , )mx y z， 由 1 0 0 m MN
28、m AM ，得 20 20 xyz yz ，取1y ，则 3 (,1,2) 2 m ， 平面 1 A AC的法向量为(2,2,0)a ，则0m a 故平面 1 AMN 平面 1 A AC不成立，故错 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第（第（22） ， （） ， （23）题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 第 14 页（共 21 页） 共共 60 分分. 1
29、7 （12 分）已知数列 n a的前n项和 1 22 n n S （1）求 n a的通项公式； （2）记 1 n n n b a ，求 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）数列 n a的前n项和 1 22 n n S ， 可得 11 2aS， 1 2n nnn aSS ，(2)n， 综上可得2n n a ，(*)nN； （2） 11 (1) ( ) 2 n n n n bn a ， 前n项和 111 23(1) ( ) 242 n n Tn， 1 1111 23(1) ( ) 2482 n n Tn ， 相减可得 1 11111 1( )(1) ( ) 24822 nn n Tn 1
30、 1 11 (1) 1 42 1(1) ( ) 1 2 1 2 n n n ， 化简可得 1 3(3) ( ) 2 n n Tn 18 （12 分）如图，PABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上的点，PC垂直圆 所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点 （1）求证：DE 平面PAC； （2）若二面角ADEC是45，4ABPC，求AE与平面ACD所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：PABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上的点，PC垂 第 15 页（共 21 页） 直圆所在的平面， ACBC，PCBC， ACPCC，BC平面PAC， D，E分别是棱PB，PC的中点，/ /DEB
31、C， DE平面PAC （2）解：DE 平面PAC，AEDE，CEDE， AEC是二面角ADEC的平面角， 二面角ADEC是45，45AEC PC垂直圆所在的平面，4ABPC， 1 2 2 ACCEPC， 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系， (0A，2，0)，(0E，0，2)，(0C，0，0)，(0P，0，4)，(2 3B，0，0)，(2D，0，2)， (0EA，2，2)，(0CA，2，0)，(2CD ，0，2)， 设平面ACD的法向量(nx，y，) z， 则 20 220 n CAy n CDxz ，取1x ，得(1n ，0，1)， 设AE与平面ACD所成角为
32、， 则 |21 sin 2| |82 EA n EAn AE与平面ACD所成角的正弦值为 1 2 19 （12 分）河北省高考综合改革从 2018 年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将 第 16 页（共 21 页） 实行“312 ”模式，其中 3 表示语文、数学、外语三科必选，1 表示从物理、历史两科 中选择一科，2 表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科某校 2018 级入学的高一 学生选科情况如表： 选科 组合 物化 生 物化 政 物化 地 物生 政 物生 地 物政 地 史政 地 史政 化 史生 政 史地 化 史地 生 史化 生 合计 男 130 45 55 30 25 15 3
33、0 10 40 10 15 20 425 女 100 45 50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475 合计 230 90 105 65 60 50 70 30 95 25 40 40 900 （1）完成下面的22列联表，并判断是否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为“选择 物理与学生的性别有关”？ （2）以频率估计概率，从该校 2018 级高一学生中随机抽取 3 名同学，设这三名同学中选择 物理的人数为X，求X的分布列和数学期望 选择物理 不选择物理 合计 男 300 425 女 475 合计 900 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc
34、 K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 【解答】解： （1）根据题意填写22列联表如下， 选择物理 不选择物理 合计 男 300 125 425 女 300 175 475 合计 600 300 900 根据表中数据，计算 2 2 900 (300 175300 125) 5.5736.635 600 300 425 475 K ， 所以不能在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关” ； 第 17 页（共 21 页） （2）由题意知， 2 (3, )
35、 3 XB； 所以 03 3 11 (0)( ) 327 P XC， 12 3 122 (1)( ) 339 P XC， 22 3 124 (2)( ) 3 39 P XC， 33 3 28 (3)( ) 327 P XC； 所以X的分布列为： P 0 1 2 3 X 1 27 2 9 4 9 8 27 数学期望为 1248 ()01232 279927 E X 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ， 3 (1,) 2 P为椭圆E上一点 （1）求椭圆E的方程； （2）过点(1,0)Q的直线l交椭圆E于A，B两点，直线l与直线4x 相交于点
36、C，求证： 直线PA，PC，PB的斜率成等差数列 【解答】 （1）解：由题意， 3 2 c e a ， 故 2222 222 3 1 4 cabb aaa ， 2 2 1 4 b a ，即 22 4ab 将点 3 (1,) 2 P为椭圆E方程，得 22 13 1 4aa ，即 222 134 1 aaa ， 2 4a， 2 1b 椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y （2）证明：由题意，可知直线l斜率存在，设斜率为k，则直线:(1)l yk x 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y(4,3 )Ck 1 1 3 2 1 PA y k x ， 2 2 3 2 1 PB y k
37、 x ， 3 3 3 2 36 PC k kk 第 18 页（共 21 页） 联立 2 2 (1) 1 4 yk x x y ， 消去y，整理得 2222 (41)84(1)0kxk xk 2 12 2 8 41 k xx k ， 2 12 2 4(1) 41 k x x k 12 12 33 22 11 PAPB yy kk xx 1221 12 33 ()(1)()(1) 22 (1)(1) yxyx xx 1221 12 33 (1)(1) (1)(1) 22 (1)(1) k xxk xx xx 1212 1212 3 2(2)()23 2 ()1 kx xkxxk x xxx 22
38、22 22 22 4(1)38 2(2)23 41241 4(1)8 1 4141 kk kkk kk kk kk 3 2 ()2 6 PC kk 根据等差中项的知识，可知： 直线PA，PC，PB的斜率成等差数列 21 （12 分）设函数 2 ( )2 cos2sin 2 x f xxxx （1）讨论( )f x在，上的单调性； （2）证明：( )f x在R上有三个零点 【解答】解： （1） 2 ( )2cos2 sin2cos2 (sin ) 2 fxxxxxxxx， 由( )0fx，x ，得 3 0, 44 x ， 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表， x ， 0) 0
39、(0,) 4 4 3 (,) 44 3 4 3 (, 4 ( )fx 0 0 0 第 19 页（共 21 页） ( )f x 极 小 值 极大值 极小值 ( )f x的单调递减区间为 3 ,0),(,) 44 ，单调递增区间为 3 (0,),(, 44 ； （ 2 ） 证 明 ： 当x ， 由 （ 1 ） 得 ，( )f x的 极 小 值 分 别 为 2 3 (0)0, ()( )20 428 fff ； 极大值()(0)0 4 ff ，又 2 ( )20 2 f ， ( )f x在，0上仅有一个零点 0，在 33 (0,),(, 44 上各有一个零点， 当x时， 2 ()22s i n 2
40、x fxxx，令 2 ()22s i n 2 x gxxx，则 ()22c o sgxxx， 显然当 3 (,) 2 x 时，( )g x单调递增，( )()2 20g xg ； 当 3 (, 2 x 时， 3 ( )2 20 2 g x ， ； 从而x时，( )0g x，( )g x单调递减， 因此 2 ( )()20 2 g xg ，即( )( )0f xg x ， ( )f x在(,) 上无零点； 当x时， 2 ()22sin 2 x fxxx，令 2 ()22sin 2 x hxxx，则 ()22coshxxx， 显然当 3 ( ,) 2 x 时，2cos0x，( )0h x； 当 3
41、 ,) 2 x 时， 3 ( )2 20 2 h x ； 从而x时，( )0h x，( )h x单调递增， 因此 2 ( )( )20 2 h xh ，即( )( )0f xh x ， ( )f x在( ,)上无零点； 综上，( )f x在R上有三个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第（请考生在第（22） ， （） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分的第一题记分. 第 20 页（共 21 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)1Cxy，直线:2l y 以坐标原点O为极 点，x轴
42、的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆C和直线l的极坐标方程； （2）设A、B分别为圆C和直线l上的点，且满足AOAB，设AOB，求tan的最 小值 【解答】解： （1）圆 22 :(1)1Cxy，整理得： 22 20xxy，转换为极坐标方程为 2cos 直线:2l y 转换为极坐标方程为sin2 （2）设A、B分别为圆C和直线l上的点，且满足AOAB，所以设( A A，)，( B B， )() 22 ， 所以2cos A ，sin()2 B ，cos BA ， 从而得到：2cos sin()2cos，即 2 cos sin coscossincos， 由于 22 ， 所以cos0， 所以 2
43、2 22 22 1 cos sinsincoscos sin13 tantantan1(tan) coscos24 ， 当 1 tan 2 时，tan的最小值为 3 4 23已知a、b、c、d是正实数，且23ab，1cd （1）证明： 21 3 ab ； （2）当 a c 为何值时，2acbd取得最大值？ 【解答】解： （1）证明：a、b是正实数，且23ab， 21121122122 (2)()(5)(52)3 333 baba ab abababab ，当且仅当1ab，取得等 号； （2）a、b、c、d是正实数，且23ab，1cd， 可得 22222 (2)()( 2 )() ()() ( 2)ab cdabcdacbd， 则23acbd，当且仅当 2 3 ab cd 取得等号， 第 21 页（共 21 页） 即有当 3 2 a c 时，2acbd取得最大值3
