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1、第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |340Ax xx， |1Bx x，则(AB ) A(1,4) B(1，4 C(2，4 D2，4 2 （5 分）设 1 2 i z i ，其中i为虚数单位，则(z ) A 12 5 i B 12 5 i C1 3 5 i

2、D1 3 5 i 3 （5 分）已知a，bR，则0ab 是 22 0ab的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）等差数列 n a中， 126 9aaa，则 24 (aa ) A3 B4 C5 D6 5 （5 分）为庆祝中华人民共和国成立七十周年，某中学高三年级举办庆祝中华人民共和国成立七十周年知识竞赛活动现将高三年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30、0.15、0.10、0.05，第二小组的频数是 40则这两个班参

3、赛学生的成绩的中位数应落在第( )小组内 A1 B2 C3 D4 6 （5 分）已知向量(1,2)a ，(1, )bm若()aba，则(m ) A4 B3 C2 D1 7（5 分）函数sin()(0yAxA，0，02 )一个周期的图象如图所示，则( 第 2 页（共 19 页） ) A 4 B 3 4 C 5 4 D 4 或 5 4 8 （5 分）函数|sin|yx ln x的部分图象大致为( ) A B C D 9 （5 分）双曲线C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为P， 1 PF交另一条渐近线于Q，且Q为 1 PF的中点，则双曲线C

4、的离心率为( ) A2 B3 C2 D5 10 （5 分）定义在R上的函数( )f x，当1x，)时， 12(1)(3),1,3) ( ) 1 (2),3,) 2 xxx f x f xx ，且(1)yf x为偶函数函数 2 ( )log |1|g xx，则方程( )( )0f xg x所有根的和为( ) A6 B8 C10 D12 11 （5 分）长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2AD ， 1 5AA ，P是棱 1 DD上的动点，则 1 PAC的面积最小时，(DP ) 第 3 页（共 19 页） A1 B2 C 5 2 D4 12 （5 分）数列 n a满足 1 1a

5、， 2 1 1 nnnn aaaa ，则使得 2020 |ak值最小的整数(k ) A43 B44 C45 D46 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知实数x，y满足 023 3 20 xy xy 剟剟，则yx的最大值为 14（5 分）已知P是抛物线 2 4yx上一动点，则点P到直线2yx的距离的最小值为 15 （5 分）周髀算经是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高” （太阳高度）的方法大意为： “在A，B两处立表（古代测望用的杆子，即“髀” )，设表高均为h，测得表距为d，两表日

6、影长度差为(0)蝌，则可测算出日高”由所学知识知，日高H （用h，d，表示） 16 （5 分）已知函数( )sin(2) (1)f xxax ln x，(0x，若( )0f x 恒成立，则实数a的取值范围为三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且231 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式；（2）若数列 n b满足 31 log nn ba ，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 18（10分）在锐角ABC中，角A，B，C的对

7、边分别为a，b，c，已知sincos() 6 aCcA （1）求角A的大小；（2）设H为ABC的垂心，且1AH ，求BHCH的范围第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调， “绿水青山就是金山银山” ，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高已知该厂每月的污水处理量最少为 150 万吨，最多为 300 万吨，月处理成本y（万元）与月处理量 x（

8、万吨）之间的函数关系可近似地表示为 2 11 40 10005 yxx，且每处理一万吨污水产生的收益价值为 0.3 万元（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低；（2）该厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润 20（12 分）如图，平行四边形PBCD中，A为PD的中点，2PD ，2PB ，45P，连接AB，将PAB沿AB折起，得到四棱锥PABCD，如图，点E在线段PA上，若/ /PC 平面BDE （1）求证：2PEAE；（2）若二面角PABC的平面角为60，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值 21 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，长为 3

9、的线段的两端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足 1 2 APPB （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）A、B、Q为曲线C上三个动点，满足OQOAOB，判断四边形OAQB的面积是否为定值，若为定值，求出其值 22 （14 分）已知函数 2 ( )(0) 1 x e f xa ax ，e为自然对数的底（1）若函数( )f x有两个极值点，求实数a的范围；（2）若 1 x， 212 ()x xx为( )f x的极值点，求证： 12 ()()f xf xe 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省亳州市高三（上）期末数

10、学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |340Ax xx， |1Bx x，则(AB ) A(1,4) B(1，4 C(2，4 D2，4 【解答】解： | 14Axx ， |1Bx x， (1,4)AB 故选：A 2 （5 分）设 1 2 i z i ，其中i为虚数单位，则(z ) A 12 5 i B 12 5 i C 13 5 i D1 3 5

11、i 【解答】解： 1(1)(2)13 2(2)(2)55 iii zi iii ， 13 55 zi 故选：C 3 （5 分）已知a，bR，则0ab 是 22 0ab的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解： “0ab ” “ 22 0ab” ，反之不成立，取0a ，0b “0ab ”是“ 22 0ab”的充分非必要条件故选：A 4 （5 分）等差数列 n a中， 126 9aaa，则 24 (aa ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：由等差数列 n a的性质可得： 126 9aaa， 3 39a，解得 3 3a ，则 243 2

12、6aaa 故选：D 5 （5 分）为庆祝中华人民共和国成立七十周年，某中学高三年级举办庆祝中华人民共和国第 6 页（共 19 页）成立七十周年知识竞赛活动现将高三年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30、0.15、0.10、0.05，第二小组的频数是 40则这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第( )小组内 A1 B2 C3 D4 【解答】解：频率分布直方图中，从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30、0.15、0.10、0.05，第二小组的频数是

13、40 第二小组的频率为10.300.150.100.050.4，这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内故选：B 6 （5 分）已知向量(1,2)a ，(1, )bm若()aba，则(m ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：向量(1,2)a ，(1, )bm (2,2)abm， ()aba，()2420ab am，解得3m 故选：B 7（5 分）函数sin()(0yAxA，0，02 )一个周期的图象如图所示，则( ) 第 7 页（共 19 页） A 4 B 3 4 C 5 4 D 4 或 5 4 【解答】解：根据函数sin()(0yAxA，0，02 )一个周期的图象，可得

14、 27 22 ， 1 2 再根据五点法作图可得 1 () 22 ， 5 4 ，故选：C 8 （5 分）函数|sin|yx ln x的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】解：函数的定义域为 |0x x ，() |sin()| |sin |( )fxxlnxx ln xf x，故( )f x 为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除AC；又当0x 时，( )0f x ，故排除B；故选：D 9 （5 分）双曲线C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为P， 1 PF交另一条渐近线于Q，且Q为 1 PF的中点，则双曲线C的离心率为( )

16、（5 分）定义在R上的函数( )f x，当1x，)时， 12(1)(3),1,3) ( ) 1 (2),3,) 2 xxx f x f xx ，且(1)yf x为偶函数函数 2 ( )log |1|g xx，则方程( )( )0f xg x所有根的和为( ) A6 B8 C10 D12 【解答】解：因为(1)yf x是偶函数，所以(1)(1)fxf x ，即函数( )f x关于1x 对称根据( )f x在1，)解析式可得( )f x在(，1上解析式为 2 1212, 11 ( ) 6(3)(1),1 xx f x xxx ，第 9 页（共 19 页）方程( )( )0f xg x所有

17、根即函数( )f x与( )g x图象交点的横坐标，作出函数( )f x与( )g x图象如图：由图可知共 6 个交点，且两两关于1x 对称，故( )( )f xg x的所有根的和等于326，故选：A 11 （5 分）长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2AD ， 1 5AA ，P是棱 1 DD上的动点，则 1 PAC的面积最小时，(DP ) A1 B2 C 5 2 D4 【解答】解：以点A为坐标原点，AB，AD， 1 AA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，第 10 页（共 19 页）则 1(0 A，0，5)，(1C，2，0)，(0P，2，)(0

19、5 D46 【解答】解：因为 2 1 1 nnnn aaaa ，故可得 1 1 1 nn n aa a ，即可求出 2 3a ， 3 2 1 4a a ， 4 3 1 5a a ，从而可得 1 1 1 n n an a ，根据递推式可知，0 n a ，所以 1 1 10 nn n aa a ，即可知数列 n a为递增数列，所以 1 n a 为递减数列，当2n时， 11 2 n a ，于是 2020 2020 1 20212021a a ，202144.96，故使得 2020 |ak最小的整数为 45 第 11 页（共 19 页）故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小

20、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知实数x，y满足 023 3 20 xy xy 剟剟，则yx的最大值为 12 5 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 23 23 xy xy 3 3 5 ( 95 5 x A y ， 9) 5 令zyx得yxz，平移直线yxz，则当直线yxz经过点 3 ( 5 A ， 9) 5 时，直线的截距最大，此时z最大，此时 12 5 z ，故答案为： 12 5 14 （5 分）已知P是抛物线 2 4yx上一动点，则点P到直线2yx的距离的最小值为 2 2 【解答】解：P是抛物线 2 4yx上一动点，可设 2

21、 ( 4 m P，)m，则点P到直线2yx的距离 2 22|2| |48|(2)4 4 24 24 2 m m mmm d ，可得2m 时，d取得最小值 2 2 ，故答案为： 2 2 第 12 页（共 19 页） 15 （5 分）周髀算经是我国最古老的天文学与数学著作，书中讨论了测量“日高” （太阳高度）的方法大意为： “在A，B两处立表（古代测望用的杆子，即“髀” )，设表高均为h，测得表距为d，两表日影长度差为(0)蝌，则可测算出日高”由所学知识知，日高H ()Hd （用h，d，表示）【解答】解：如图；设AEx，ADa；由题意得：BCx；ABd；在ODE 中，由三角形

22、相似可得 hx Hxa 在ODC 中，由三角形相似可得 hx Hxda 联立可得： xx xaxda ；整理得： a x d ；代入整理得： ()h d H 故答案为： ()h d 16 （5 分）已知函数( )sin(2) (1)f xxax ln x，(0x，若( )0f x 恒成立，则实数a的取值范围为 1 (0, 2 【解答】解：( )0f x 等价于 sin (2) (1) x ax ln x ，令 sin ( ),( )(2) (1) x g xm xa x ln x ，第 13 页（共 19 页）对函数( )g x求导可得 2 sin (1) cos 1 ( ) (1)

23、 x ln xx x g x lnx ，令 sin ( )(1) cos 1 x h xln xx x ，可得 2 1 ( )sin (1) (1) h xxln x x ，因为 2 1 (1) (1) yln x x 为减函数，且0x 时，10y ，x时，0y ，故存在 0 (0, )x，使得( )h x在区间 0 (0,)x上单增，在 0 (x，)上单减，又(0)0h，( )(1)0hln ，故存在 10 (xx，)，使得( )g x在区间 1 (0,)x上单增，在 1 (x，)上单减，又当0x 时，( )1g x ，且( )0g，而函数( )m x过点(2,0)且斜率为a的

24、直线，故若满足题意，则只需直线( )m x在函数( )g x的下方，由图可知，当且仅当直线(2)ya x 过点(0,1)时，是一种临界状态，此时直线斜率 11 022 a ，解得 1 2 a ，又函数 sin ( ) (1) x g x ln x 在0x 处无意义，故要满足题意，直线斜率可取 1 2 ，且当直线斜率大于 1 ,0) 2 a 均满足题意，解得 1 (0, 2 a 故答案为： 1 (0, 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且

25、231 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式；（2）若数列 n b满足 31 log nn ba ，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 【解答】解：（1）由题意，当1n 时， 111 2312Saa ，解得 1 1a 第 14 页（共 19 页）当2n时，由231 nn Sa，可得 11 231 nn Sa ，两式相减并整理得， 1 3 nn aa 数列 n a是以 1 为首项，公比为 3 的等比数列， 1 3() n n anN （2）由（1）知， 313 loglog 3 nn ba n n 则 1 1111 (1)1 nn b bn nnn ，故 1 223

26、1 111 n nn T bbb bb b 11111 (1)() 2231nn 1 n n 18（10分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sincos() 6 aCcA （1）求角A的大小；（2）设H为ABC的垂心，且1AH ，求BHCH的范围【解答】解：（1）由sincos() 6 aCcA ，结合正弦定理得，sincos() 6 AA ，进一步整理得，sin()0 3 A ，又A为锐角，故 3 A （2）由ABC是锐角三角形，则垂心H必在ABC内部，不妨设BAH，则(0,) 3 由H为ABC的垂心，则 6 ABHACH 在ABH中使用

27、正弦定理得， sinsin AHBH ABHBAH ，整理得：2sinBH 同理在ACH中使用正弦定理得，2sin() 3 CH 2sin2sin()2sin() 33 BHCH ，由(0,) 3 可得 2 333 ，所以( 3,2BHCH 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调， “绿水青山就是金山银山” ，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水

28、处理能力大大提高已知该厂每月的污水处理量最少为 150 万吨，最多为 300 万吨，月处理成本y（万元）与月处理量 x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为 2 11 40 10005 yxx，且每处理一万吨污水产生的收益价值为 0.3 万元（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低；（2）该厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润【解答】解：（1）由题意可知，每万吨污水的处理成本为： 1404011 2 10005100055 yxx xxx ，当且仅当200x 时等号成立；所以该厂每月污水处理量为 200 万吨时，才能使每万吨的处理成本最低，最低成本为

29、1 5 万元（2）设该厂每月获利为Z万元，则 22 111 0.3(40)(250)22.5 100051000 Zxxxx ，因为150x，300，所以12.5Z ，22.5，当250x 时，Z有最大值 22.5，所以该污水处理厂每月能获利；且当月处理量为 250 万吨时，利润最大，为 22.5 万元 20（12 分）如图，平行四边形PBCD中，A为PD的中点，2PD ，2PB ，45P，连接AB，将PAB沿AB折起，得到四棱锥PABCD，如图，点E在线段PA上，若/ /PC 平面BDE 第 16 页（共 19 页）（1）求证：2PEAE；（2）若二面角PABC

30、的平面角为60，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于F，连接EF，因为/ /PC平面BDE，PC 平面PAC，平面BDE平面PACEF，所以/ /EFPC，所以 AEAF PEFC ，又因为/ /ADBC，且 1 2 ADBC，所以 1 2 AFAD FCBC ，所以 1 2 AE PE ，故2PEAE；（2）取AD的中点O，连接PO，过O作/ /OGAB交BC于G，由图（1）得：ABAD，ABAP，所以PAD就是二面角PABC的平面角，所以60PAD，又因为1ADAP，所以PAD为等边三角形，所以OPAD 又ADAPA，所以AB 平面P

31、AD，因为/ /OGAB，所以OG 平面PAD，所以OP， OD，OG两两互相垂直，以OG为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 1 (1,0) 2 B， 3 (1,0) 2 C， 1 (0,0) 2 D， 3 (0,0,) 2 P， 13 (1,) 22 PB ，(0,2,0)BC ， 13 (0,) 22 PD ，(1,1,0)DC 设平面PBC的一个法向量为 111 (,)mx y z，则 0 0 m PB m BC ，所以 111 1 13 0 22 20 xyz y ，令 1 3x ，得( 3,0,2)m ，设平面PCD的一个法向量为 222 (,)

32、nxyz，则 0 0 n PD n DC ，所以 22 22 13 0 22 0 yz xy ，令 2 1x ，得 3 (1, 1,) 3 n ，设平面PBC与平面PCD夹角为， 1 cos| |7 m n m n 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，长为 3 的线段的两端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足 1 2 APPB （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）A、B、Q为曲线C上三个动点，满足OQOAOB，判断四边形OAQB的面积是否为定值，若为定值，求出其值【解答】解：（1）设( ,0)A m、(0, )Bn、( , )P x y

33、，则由| 3AB 得， 22 9mn 又 1 2 APPB，则 1 2 xmx ， 1 () 2 yny整理可得， 2 2 1 4 x y，所求轨迹C方程 2 2 1 4 x y （2）四边形OAQB的面积为定值，且3 OAQB S，理由如下： 1当直线AB斜率不存在时，不妨设直线AB在y轴左侧，结合题意可知，四边形OAQB为菱形，且Q与椭圆C的左顶点重合，| 2OQ ，|3AB 故 1 | |3 2 OAQB SOQAB 2当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为yk xt，联立 2 2 1 4 yk xt x y ，消去y，整理得， 222 (14)844

34、0kxktxt，由 22 16(41)0kt ，得 22 410kt 第 18 页（共 19 页）设 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y，则由根与系数关系知， 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k ，由OQOAOB，知， 12 (Q xx， 12) yy，即 22 82 (,) 1414 ktt Q kk 又Q在椭圆C上，则 22 2222 (8 )(2 ) 1 4(14)(14) ktt kk ，整理得， 22 414tk 2 12 22 | |4 3| | 2| | |3 144 OAQBOAB ttt SSxxt kt 综上所

35、述，可知四边形OAQB的面积为定值，且3 OAQB S 22 （14 分）已知函数 2 ( )(0) 1 x e f xa ax ，e为自然对数的底（1）若函数( )f x有两个极值点，求实数a的范围；（2）若 1 x， 212 ()x xx为( )f x的极值点，求证： 12 ()()f xf xe 【解答】解：（1）由 2 ( ) 1 x e f x ax 知， 2 22 (21) ( ) (1) x eaxax fx ax 由函数( )f x有两个极值点知，方程 2 210axax 有两不等实数根，则 2 440 0 aa a ，解得1a （2）因为 12 12 22 12 (

36、)() 11 xx ee f xf x axax ，要证 12 ()()f xf xe，结合1a ，只需证 12 22 12 11 xx ee e xx 即可由（1）知， 12 2xx，且 12 01xx 令 2 22 ( ) 1(2)1 xx ee g xe xx ，(0,1)x，则只需证：( )0g x ，(0,1)x 22222122122 22222222 (1)(1)(1) (45)(1)(45)(1) ( ) (1)(45)(1) (45) xxxxx exexexexxxexxx g x xxxxxx 令 122 ( )(45)(1) x h xexxx ，(0,1)x，则 12 ( )(21)2 x h xexxx ，设( )( )xh x，则 12 ( )(1)20 x xex ，第 19 页（共 19 页）故( )h x在(0,1)内单调递减，又 1 (0)0h e ， h （1）20 由零点存在定理知，存在 0 (0,1)x ，使得 0 ()0h x，且 0 (0,)xx时，( )0h x； 0 (xx，1) 时，( )0h x又 5 (0)10h e ，h（1）0，故( )0h x ，(0,1)x 因此( )0g x，即( )g x在(0,1)内单调递增，又g（1）0，故( )0g x ，(0,1)x 综上所述，原结论成立

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