1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年湖北省襄阳市、孝感市高三（上）期末数学试卷学年湖北省襄阳市、孝感市高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 |1Ax yx，集合 2 |0Bx xx，则(AB ) A B |1x x C |01xx D |0x x 2 （5 分）复数 43 12 i z i 的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 3 （5
2、分）若直线0xya平分圆 22 2410xyxy 的面积，则a的值为( ) A1 B1 C2 D2 4 （5 分）已知向量( 1,2)AB ，( , 5)BCx，若7AB BC ，则| (AC ) A5 B4 2 C6 D5 2 5 （5 分）图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图” （又称“赵爽弦图” )， 它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形， 受其启发， 某同 学设计了一个图形， 它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角 形，如图 2 所示，若5AD ，3BD ，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正 三角形（阴影部分）
3、的概率为( ) A 9 64 B 4 49 C 2 25 D 2 7 6 （5 分）若x、y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy的最小值为( ) 第 2 页（共 20 页） A 1 3 B 1 3 C5 D5 7 （5 分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排 1 人，则甲不去A学校的不同分配方法有( ) A18 种 B24 种 C32 种 D36 种 8 （5 分）已知实数0x ，0y ，则“1xy”是“224 xy ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）将函数( )2sin(
4、2) 6 f xx 的图象向左平移 6 个单位，再向上平移 1 个单位，得 到( )g x的图象若 12 ()()9g xg x，且 1 x， 2 2x ，2 ，则 12 xx的最大值为( ) A B2 C3 D4 10 （5 分）关于函数 12 ( )(1) 1 x f x xe 有下列结论： 图象关于y轴对称；图象关于原点对称；在(,0)上单调递增；( )f x恒大于 0 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 11 （5 分）已知抛物线 2 :2C xpy的焦点为F，定点(2 3,0)M，若直线FM与抛物线C相 交于A，B两点（点B在F，M中间） ，且与抛物线C的准线交于点N，若
5、| 7|B NB F， 则AF的长为( ) A 7 8 B1 C 7 6 D3 12 （5 分）在三棱锥PABC中，ABC是Rt且ABBC，30CAB，2BC ，点P 在平面ABC的射影D点在ABC的外接圆上， 四边形ABCD的对角线2 3BD ，ADCD， 若四棱锥PABCD的外接球半径为5，则四棱锥PABCD的体积为( ) A 4 3 3 B 8 3 3 C4 3 D16 3 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在 2 log 0.2， 0.2 2， 0.3 0.2三个数中，则最大的数为 14 （5 分）
6、已知F是双曲线 2 2 :1 3 y C x 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 第 3 页（共 20 页） | |OPOF，则OPF的面积为 15 （5 分）设数列 n a满足 1 aa， * 1 (1)(1)2() nnn aaa nN ，若数列 n a的前 2019 项 的乘积为 3，则a 16 （5 分）已知函数( )(1)sincosf xxxx，若对于任意的 1212 ,0,() 2 x xxx ，均有 12 12 |( )()| xx f xf xa ee成立，则实数a的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 题第题第 21 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答.第第 22 题第题第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必（一）必 考题：共考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 3 ( )2sin cos() 32 f xxx （1）求 5 () 12 f 的值； （2）求( )f x的最小正周期及单调增区间 18 （12 分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，24ABBC， 60BAD，SBSD，平面SBD 平面ABCD （1）求证：BCSD； （2）已知SBD
8、的面积为2 3，求二面角BSAD的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，点A为该椭圆的左顶点，过 右焦点( ,0)F c的直线l与椭圆交于B，C两点，当BCx轴时，三角形ABC的面积为 18 （1）求椭圆的方程； （2） 如图， 当动直线BC斜率存在且不为 0 时， 直线xc分别交直线AB，AC于点M、N， 问x轴上是否存在点P，使得PMPN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公 司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一
9、年内可不限次畅游全市 19 家签约景区为了解市 民每年旅游消费支出情况（单位：百元） ，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问 卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 组别 0，20) 20，40) 40，60) 60，80) 80，100) 频数 10 390 400 188 12 （1）求所得样本的中位数（精确到百元） ； （2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布(45N， 2 15 )，若该 市总人口为 750 万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上； （3）若年旅游消费支出在 40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客
10、中随 机抽取 3 人，一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来该景点游玩记 1 分，将上述调查所得的 频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X的分布列 与数学期望 （ 参 考 数 据 ：()0 . 6 8 2 7PX，(22 )0.9545PX； (33 )0.9973)PX 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xalnxxe，其中a为非零常数 （1）讨论( )f x的极值点个数，并说明理由； （2）若ae，( ) i证明：( )f x在区间(1,)内有且仅有 1 个零点；( )ii设 0 x为( )f x的极值 点， 1 x为( )f x的零点且 1
11、1x ，求证： 001 2xlnxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分.作答时写清题号作答时写清题号.选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 32cos ( 2sin x y 为参数） 以坐标 第 5 页（共 20 页） 原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 2: () 6 CR 与曲线 1 C相交于点A， B （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）在极坐标系
12、中，已知点(2 7,) 2 C ，求ABC的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|4|f xxxa，a是实数 （1）若1a ，解不等式( )0f x ； （2）若存在实数 0 x使得 0 ()0f x成立，求实数a取值范围 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年湖北省襄阳市、孝感市高三（上）期末数学试卷学年湖北省襄阳市、孝感市高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题
13、给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 |1Ax yx，集合 2 |0Bx xx，则(AB ) A B |1x x C |01xx D |0x x 【解答】解： |1Ax x， |0Bx x或1x ， |0ABx x 故选：D 2 （5 分）复数 43 12 i z i 的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 【解答】解： 43(43 )(12 )105 2 12(12 )(12 )5 iiii zi iii ， 则复数 43 12 i z i 的虚部为：1 故选：C 3 （5 分）若直线0xya平分圆 22 2410xyxy 的面积，则a
14、的值为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解：根据题意，圆的方程为 22 2410xyxy ，其圆心为(1, 2)， 若直线0xya平分圆 22 2410xyxy 的面积，则圆心在直线0xya上， 则有120a ，解可得1a ； 故选：A 4 （5 分）已知向量( 1,2)AB ，( , 5)BCx，若7AB BC ，则| (AC ) A5 B4 2 C6 D5 2 【解答】 解： 向量( 1,2)AB ，( , 5)BCx， 若7A BB C ， 可得107x ， 解得3x ， 所以( 4, 3)AC ， 第 7 页（共 20 页） 则 22 |( 4)( 3)5AC 故选：A 5 （5
15、 分）图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图” （又称“赵爽弦图” )， 它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形， 受其启发， 某同 学设计了一个图形， 它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角 形，如图 2 所示，若5AD ，3BD ，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正 三角形（阴影部分）的概率为( ) A 9 64 B 4 49 C 2 25 D 2 7 【解答】解：18060120ADB， 在ABD中，可得 222 2cosABADBDAD BDADB， 即为 222 1 53253 ()49 2 AB ， 解得7AB
16、 ， 2DEADBD； 2 24 ( ) 749 DEF ABC S S 故选：B 6 （5 分）若x、y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy的最小值为( ) A 1 3 B 1 3 C5 D5 【解答】解：由约束条件 21 21 0 xy xy xy 作出可行域如图： 第 8 页（共 20 页） 联立 21 21 xy xy ，解得( 1,1)A 化目标函数32zxy为 3 22 z yx， 由图可知，当直线 3 22 z yx过A时，直线在y轴上的截距最大， z有最小值为5 故选：C 7 （5 分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排
17、 1 人，则甲不去A学校的不同分配方法有( ) A18 种 B24 种 C32 种 D36 种 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论， 其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有 112 322 12C A A 种情况， 没有人与甲在同一个学校，则有 122 232 12C C A 种情况； 则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12 1224种； 故选：B 8 （5 分）已知实数0x ，0y ，则“1xy”是“224 xy ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：实数0x ，0y ， 当3x ， 1 4 y 时， 1 3 4 22224
18、xy ， “1xy”推不出“224 xy ” ； 反之，实数0x ，0y ， “22 4 xy ” “1xy” 第 9 页（共 20 页） 实数0x ，0y ，则“1xy”是“224 xy ”的必要不充分条件 故选：B 9 （5 分）将函数( )2sin(2) 6 f xx 的图象向左平移 6 个单位，再向上平移 1 个单位，得 到( )g x的图象若 12 ()()9g xg x，且 1 x， 2 2x ，2 ，则 12 xx的最大值为( ) A B2 C3 D4 【解答】解：函数( )2sin(2) 6 f xx 的图象向左平移 6 个单位，得到2sin(2) 6 yx 的图 象，再向上平
19、移 1 个单位，得到( )2sin(2)1 6 g xx 的图象， 由于若 12 ()()9g xg x，且 1 x， 2 2x ，2 ， 所以函数在 1 xx和 2 x时，函数都取得最大值 所以 1 22() 62 xkkZ ，解得 1 6 xk ， 由于且 1 x， 2 2x ，2 ，所以 1 7 6 x ， 同理 2 11 6 x ， 所以 711 3 66 故选：C 10 （5 分）关于函数 12 ( )(1) 1 x f x xe 有下列结论： 图象关于y轴对称；图象关于原点对称；在(,0)上单调递增；( )f x恒大于 0 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【解答】解
20、：函数 12 ( )(1) 1 x f x xe ， 在中， 12121 1212 ()(1)(1)()(1)( ) 11111 xxx xxxxx eee fxf x xexex eexe 函数 12 ( )(1) 1 x f x xe 是偶函数，图象关于y轴对称，故正确； 在中，函数 12 ( )(1) 1 x f x xe 是偶函数，图象关于y轴对称，故错误； 在中，在(,0)上任取 1 x， 2 x，令 12 0xx， 第 10 页（共 20 页） 2121 21 2121 12121122 ()( )(1)(1)0 1111 xxxx f xf x xxxxeeee ， 函数 12
21、( )(1) 1 x f x xe 在(,0)上单调递增，故正确； 在中，当0x 时， 1 0 x ， 2 10 1 x e ，( )0f x ， 当0x 时， 1 0 x ， 2 10 1 x e ，( )0f x ( )f x恒大于 0，故正确 故选：D 11 （5 分）已知抛物线 2 :2C xpy的焦点为F，定点(2 3,0)M，若直线FM与抛物线C相 交于A，B两点（点B在F，M中间） ，且与抛物线C的准线交于点N，若| 7|B NB F， 则AF的长为( ) A 7 8 B1 C 7 6 D3 【解答】解：如图，过B作BB垂直于准线，垂足为B，则| |BFBB， 由| 7|BNBF
22、，得| 7|BNBB，可得 1 sin 7 BNB ， 4 3 cos 7 BNB ， 1 tan 4 3 BNB ， 又(2 3M，0)， AB的方程为 1 (2 3) 4 3 yx ，取0x ，得 1 2 y ， 即 1 (0, ) 2 F，则1p ， 抛物线方程为 2 2xy 联立 2 1 (2 3) 4 3 2 yx xy ，解得 2 3 A y 1217 | 2326 A AFy 故选：C 第 11 页（共 20 页） 12 （5 分）在三棱锥PABC中，ABC是Rt且ABBC，30CAB，2BC ，点P 在平面ABC的射影D点在ABC的外接圆上， 四边形ABCD的对角线2 3BD
23、，ADCD， 若四棱锥PABCD的外接球半径为5，则四棱锥PABCD的体积为( ) A 4 3 3 B 8 3 3 C4 3 D16 3 3 【解答】解在三棱锥PABC中，ABC是Rt且ABBC，30CAB，2BC ， 24PCBC，1642 3BP ， 取BC中点E，则2PEBEDE， 点P在平面ABC的射影D点在ABC的外接圆上， 四边形ABCD的对角线2 3BD ，ADCD， 44121 coscos 2222 BEDBEB ， 120BEDBEPPED ，2 3PDPBBD， 2BCCD， 设球心为O，则OE 平面BPDC， 2OD ，四棱锥PABCD的外接球半径为5， 541OE，四
24、棱锥PABCD的高22PDOE， 四棱锥PABCD的体积为： 8 311111 42 32 332323 BPDC VSPDPCBDPD 四边形 故选：B 第 12 页（共 20 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在 2 log 0.2， 0.2 2， 0.3 0.2三个数中，则最大的数为 0.2 2 【解答】解： 22 log 0.2log 10， 2 log 0.20， 0.20 221， 0.2 21， 0.30 00.20.21， 0.3 00.21 ， 0.2 2最大， 故答案为： 0.2 2
25、14 （5 分）已知F是双曲线 2 2 :1 3 y C x 的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 | |OPOF，则OPF的面积为 3 2 【解答】解：如图，不妨设F为双曲线 2 2 :1 3 y C x 的右焦点，P为第一象限点 由双曲线方程可得， 2 1a ， 2 3b ，则2c ， 则以O为圆心，以 2 为半径的圆的方程为 22 4xy 第 13 页（共 20 页） 联立 22 2 2 4 1 3 xy y x ，解得 7 ( 2 P， 3) 2 133 2 222 OPF S 故答案为： 3 2 15 （5 分）设数列 n a满足 1 aa， * 1 (1)(1)2() nnn
26、aaa nN ，若数列 n a的前 2019 项 的乘积为 3，则a 2 【解答】解：由题意，根据递推式，1 n a 故递推式可转化为 1 1 1 n n n a a a 1 aa， 2 1 1 a a a ， 2 3 2 1 1 11 1 1 1 1 1 a a a a a aa a ， 3 4 3 1 1 11 1 11 1 aa a a aa a ， 4 5 4 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a aa a a a 数列 n a是以最小正周期为 4 的周期数列 1234 111 ()1 11 aa a a a aa aaa 201945043， 122019123 111 ()3
27、 11 aa a aaa a aa aaa ， 解得2a 故答案为：2 16 （5 分）已知函数( )(1)sincosf xxxx，若对于任意的 1212 ,0,() 2 x xxx ，均有 第 14 页（共 20 页） 12 12 |( )()| xx f xf xa ee成立，则实数a的取值范围为 1，) 【解答】解：( )sin(1)cossin(1)cosfxxxxxxx，任意的 1212 ,0,() 2 x xxx ， ( )0fx恒成立，所以( )f x单调递增， 不 妨 设 12 xx， 则 12 ()()f xf x， 又 12 xx ee， 故 12 12 |( )()|
28、xx f xf xa ee等 价 于 21 21 ()( ) xx f xf xaeae，即 12 12 ( )() xx f xaef xae， 设( )( )(1)sincos,0, 2 xx h xf xaexxxaex ，易知函数( )h x在0, 2 上为减函数， 故( )(1)cos0 x h xxxae在0, 2 上恒成立，即 (1)cos x xx a e 在0, 2 上恒成立， 设 (1)cos ( ),0, 2 x xx g xx e ，则 2 cos(1)sin(1)cossinsincos ()0 () xx xx xxx exx exxxxx g x ee ， 故函数
29、( )g x在0, 2 上为减函数，则( )(0)1 max g xg，故1a 故答案为：1，) 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 题第题第 21 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答.第第 22 题第题第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必（一）必 考题：共考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 3 ( )2sin cos() 32 f xxx （1）求 5 () 12 f 的值； （2）求( )f x的最小正周
30、期及单调增区间 【解答】解： （）因为 133 ( )2sin ( cossin ) 222 f xxxx， 11cos23 sin23sin(2) 2223 x xx 所以 551 ()sin() 12632 f ， （2）( )f x的最小正周期 2 2 T 令222 232 kxk 剟，解得 5 1212 kx k 剟 所以( )f x的单调增区间为 5 ,() 1212 kkkZ 18 （12 分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，24ABBC， 第 15 页（共 20 页） 60BAD，SBSD，平面SBD 平面ABCD （1）求证：BCSD； （2）已知SBD的面
31、积为2 3，求二面角BSAD的余弦值 【解答】解： （1）证明：BCD中，4CD ，2BC ，60BADBCD ， 得4162 2 4cos60122 3BD ， 222 16BCBDCD，BCBD， 又平面SBD 平面ABCD，平面SBD平面ABCDBD，BC 平面ABCD， BC平面SBD， SD 平面SBD，BCSD； （2）连接AC交BD于点O，则O是AC与BD的中点， 又SBSD，SOBD， SO平面ABCD， 取AB的中点E，连OE，则OEBD， 分别以OE，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立如图示直角坐标系， 1 2 3 2 SBD SBDSO ，2 3BD ，2SO， 则(0S，
32、 0，2)，(2,3,0)A，(0, 3,0)B，(0,3,0)D，(2,3, 2)SA，(0, 3, 2)SB ， (0,3, 2)SD ， 设平面SAB的法向量为( , , )mx y z， 由 2320 320 m SAxyz m SByz ，故(2 3,2, 3)m ， 设平面SAD的法向量为( , , )na b c， 320 2320 n SDbc n SAabc ，得(0,2,3)n ， 第 16 页（共 20 页） 则二面角BSAD的余弦值为 |133 cos |133 m n m n 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，
33、点A为该椭圆的左顶点，过 右焦点( ,0)F c的直线l与椭圆交于B，C两点，当BCx轴时，三角形ABC的面积为 18 （1）求椭圆的方程； （2） 如图， 当动直线BC斜率存在且不为 0 时， 直线xc分别交直线AB，AC于点M、N， 问x轴上是否存在点P，使得PMPN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由 【解答】解（1）由已知条件得 2 222 1 2 12 ()18 2 c a b ac a abc ，解得4,2 3ab； 所以椭圆的方程为 22 :1 1612 xy ； （2）设动直线BC的方程为(2)yk x， 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 第 17 页
34、（共 20 页） 则直线AB、AC的方程分别为 1 1 (4) 4 y yx x 和 2 2 (4) 4 y yx x ， 所以点M、N的坐标分别为 12 12 66 (2,),(2,) 44 yy MN xx ， 联立 22 (2) 1 1612 yk x xy 得 2222 (34)1616480kxk xk， 所以 22 1212 22 161648 , 3434 kk xxx x kk ； 于是 22 2 2 22 1212 22 1212 22 164816 36(24) 6636(2)(2) 3434 9 16481644(4)(4) 416 3434 MN kk k yykxx
35、kk yy kkxxxx kk ， 假设存在点( ,0)P t满足PMPN，则 2 (2)0 MN ty y，所以1t 或 5， 所以当点P为( 1,0)或(5,0)时，有PMPN 20 （12 分）黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公 司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市 19 家签约景区为了解市 民每年旅游消费支出情况（单位：百元） ，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问 卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 组别 0，20) 20，40) 40，60) 60，80) 80，100) 频数 10 390 400 188
36、12 （1）求所得样本的中位数（精确到百元） ； （2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布(45N， 2 15 )，若该 市总人口为 750 万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上； （3）若年旅游消费支出在 40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随 机抽取 3 人，一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来该景点游玩记 1 分，将上述调查所得的 频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X的分布列 与数学期望 （ 参 考 数 据 ：()0 . 6 8 2 7PX，(22 )0.9545PX； (33 )0.99
37、73)PX 【解答】解： （1）设样本的中位数为x，则 10390400 (40) 0.5 10001000100020 x ， 第 18 页（共 20 页） 解得45x ，所得样本中位数为 45（百元） （2）45，15，275， 旅游费用支出在7500元以上的概率为 1(22 )10.9544 (2 )0.0228 22 Px P x ， 0.022875017.1， 估计有 17.1 万市民旅游费用支出在 7500 元以上 （3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为 3 5 ，X可能取值为 3，4，5，6 3 28 (3)( ) 5125 P X ， 12 3 3236 (4)(
38、)( ) 55125 P XC， 22 3 3254 (5)( ) ( ) 55125 P XC， 3 327 (6)( ) 5125 P X ， 故其分布列为 X 3 4 5 6 P 8 125 36 125 54 125 27 125 836542724 ()3456 1251251251255 E X 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xalnxxe，其中a为非零常数 （1）讨论( )f x的极值点个数，并说明理由； （2）若ae，( ) i证明：( )f x在区间(1,)内有且仅有 1 个零点；( )ii设 0 x为( )f x的极值 点， 1 x为( )f x的零点且
39、1 1x ，求证： 001 2xlnxx 【解答】解： （1）解：由已知，( )f x的定义域为(0,)， 2 ( ) x x aax e fxxe xx ， 当0a 时， 2 0 x ax e，从而( )0fx， 所以( )f x在(0,)内单调递减，无极值点， 当0a 时，令 2 ( ) x g xax e， 则由于( )g x在0，)上单调递减，(0)0ga，()(1)0 aa gaaaeae， 所以存在唯一的 0 (0,)x ，使得 0 ()0g x， 第 19 页（共 20 页） 所以当 0 (0,)xx时，( )0g x ，即( )0fx；当 0 (xx，)时，( )0g x ，即
40、( )0fx， 所以当0a 时，( )f x在(0,)上有且仅有一个极值点 （2）证明：( ) i由（1）知 2 ( ) x ax e fx x 令 2 ( ) x g xax e，由ae得g（1）0ae， 所以( )0g x 在(1,)内有唯一解，从而( )0fx在(0,)内有唯一解， 不妨设为 0 x，则( )f x在 0 (1,)x上单调递增，在 0 (x，)上单调递减， 所以 0 x是( )f x的唯一极值点 令( )1h xlnxx，则当1x 时， 1 ( )10h x x ， 故( )h x在(1,)内单调递减， 从而当1x 时，( )h xh（1）0，所以1lnxx 从而当ae时
41、，1lna ，且()()(1)(1)(1)0 lna f lnaaln lnalnaea lnalnaa 又因为f（1）0，故( )f x在(1,)内有唯一的零点 ( )ii由题意， 0 1 ()0 ()0 fx f x 即 0 1 2 0 11 0 (1)0 x x ax e alnxxe ， 从而 01 2 011 (1) xx x e lnxxe，即 10 1 1 2 0 1 xx x lnxe x 因为当 1 1x 时， 11 1lnxx，又 10 1xx， 故 10 1 1 2 0 1 1 xx x ex x ，即 10 2 0 xx ex ， 两边取对数，得 10 2 0 xx l
42、nelnx ， 于是 100 2xxlnx， 整理得 001 2xlnxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分.作答时写清题号作答时写清题号.选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 32cos ( 2sin x y 为参数） 以坐标 原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 2: () 6 CR 与曲线 1 C相交于点A， 第 20 页（共 20 页） B （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点(2 7,) 2 C ，求ABC的面积 【解答】解： （1）曲线 1 C的普通方程为 22 (3)4xy， 即 22 650xyx， 化为极坐标方程为 2 6 cos50 （2）设 1 (,) 6 A ， 2 (,) 6 B ， 由得 2 3 350， 12 3 3， 12 5 ， 2 121212 | |()47AB ， 点(2 7,) 2 C 到直线 6 的距离h为2 7sin6021 ， 17 3 22 ABC SABh 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式
