1、21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系九年级数学上（RJ）教学课件人教版九年级上册1.探索一元二次方程的根与系数的关系。2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。3.体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路。学习目标学习目标导入新知导入新知 韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个
2、问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.复习引入 算一算 解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两 根关 系x1x2x2+3x-4=0 x2-5x+6=02x2+3x+1=0-412312-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=6231022xx+
3、=1232xx+=-1212x x=想一想 方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？探究新知探究新知新知一 探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？u重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=-p，x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1 x2=q.人
4、教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）猜一猜猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？12bxxa+=-12cx xa=你能证明这个猜测吗？人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）22124422bbacbbacxxaa-
5、+-+=+22442bbacbbaca-+-=22ba-=.ba-=证一证：人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）22124422bbacbbacxxaa-+-=()22244bbaca-=244aca=.ca=人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果 ax
6、2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2，那么12bx+x=a-12cxxa=注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.归纳总结人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）新知二 一元二次方程的根与系数的关系的应用例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 6x 15=0；解：这里 a=1,b=6,c=15.=b2 -4ac=(6)2 4 1(15)=96 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1
7、+x2=(6)=6，x1 x2=15.人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-，x1 x2=7393.3-=-解：这里 a=3,b=7,c=-9.=b2 -4ac=72 4 3 (-9)=157 0，方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根
8、与系数的关系课件（共26张PPT）（3）5x 1=4x2.解：方程可化为 4x2 5x+1=0，这里 a=4，b=5，c=1.=b2 -4ac=(5)2 4 4 1=9 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1+x2=，x1 x2=.5544-=14 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.归纳人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根
9、是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以 x1 x2=2x2=即 x2=由于x1+x2=2+=得 k=7.答：方程的另一个根是 ，k=7.5k-，3.5-3()5-35-65-，人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以 x1+x2=1+x2=6，即 x2=5.由于x1x2=15
10、=得 m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.3m，人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231.22xxxx+=-=-，解：根据根与系数的关系可知：()()22212112212,xxxx xx+=+()2221212122xxxxx x+=+-231132;224骣骣琪琪=-=琪琪桫桫()121212113123.22xxxxx x骣骣+琪琪+=-=琪琪桫桫人教版20
11、20年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：(1)x1+x2=，(2)x1x2=，(3)，(4).411412221)(xx2212xx+=练一练 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.归纳u 总结常见的求值:12111.xx+=1212;xxx x+124.(1)(1)xx+=1212()1;x xxx+12213.xxxx+221212xxx x+=2
12、121212()2;xxx xx x+-=125.xx-=212()xx-21212()4.xxx x=+-2221212122.()2;xxxxx x+=+-例4 设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4，解得 k1=0，k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍
13、去.所以k=0.1.2k 根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足0.归纳课堂练习课堂练习1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则p=，q=.1-22.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.32-33.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值.解：将x=1代入方程中 3-19+m=0.解得 m=16，设另一个根为x1，则：1 x1=x1=16.3ca=16.34.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4
14、；(1)求k的值；(2)求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得 k=-7.12xxk+=-，1 21.2kx x-=1()1 42kk-+-+=，(2)因为k=-7,所以 则：124.x x=-127xx+=，22212121 2()()474(4)65.xxxxx x-=+-=-=5.设x1，x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1)；(2).2112xxxx解：根据根与系数的关系得：(1)(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=(
15、2)121241.3bcxxxxaa+=-=-=-，44(-1)1.33-+=-22221121212121212()234.9xxxxxxx xxxx xx x+-+=-6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1-x2=1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得12121,22kxxx x+=2141,22k骣-=琪琪桫23,2k骣=琪琪桫2 3.k=7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|
16、=1，求m的值.解：(1)方程有实数根m0，m的取值范围为m0.(2)方程有实数根x1，x2，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，解得m=8.经检验m=8是方程的解()()2222424244880bacmmmmmmmD=-=-鬃-=-+=121222,.mxxxxm-+=22241.mm-=归纳新知归纳新知根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应用222121212()2xxxxx x+=+-22121212()()4xxxxx x-=+-12121211xxxxxx+=12bxxa+=-12cx xa=人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）人教版2020年数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（共26张PPT）
