2019-2020学年湖北省宜昌市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖北省宜昌市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖北省宜昌市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分） 已知实数集R， 集合 2 |430Ax xx ， 集合 |2Bx yx， 则(AB ) A |12xx B |23xx C |23xx D |13xx 2 （5 分）设 0.2 3a ， 3 0.2b ， 0.2 log3c

2、，则a，b，c的大小关系是( ) Aacb Bbca Cbac Dabc 3 （5 分） 已知等比数列 n a的各项均为正数， 若 212228 logloglog8aaa， 则 45 (a a ) A1 B2 C4 D8 4 （5 分）已知向量(1,2)a ，( ,3)bm，若(2)aab，则a在b方向上的投影为( ) A 2 2 B1 C 3 2 2 D2 5 （5 分）中国的计量单位可以追溯到 4000 多年前的氏族社会末期，公元前 221 年，秦王 统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器下图是古代的 一种度量工具“斗” （无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧

3、视图为等腰梯形） ， 则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）( ) 第 2 页（共 24 页） A2000 B2800 C3000 D6000 6 （5 分） “1m ”是“椭圆 22 360mxym的焦距为 4”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）函数 4 ( ) xx x f x ee 的部分图象可能是( ) A B C D 8 （5 分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300 吨垃圾，最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本（元)与月处理量（吨)之间的函数关系可近 似的表示为 2 1 3008

4、0000 2 yxx，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( ) A300 吨 B400 吨 C500 吨 D600 吨 第 3 页（共 24 页） 9（5 分） 已知函数( )2sin()(0f xx ，0)的部分图象如图所示， 点(0, 3)A， (,0) 3 B ，则下列说法错误的是( ) A直线 12 x 是( )f x图象的一条对称轴 B( )f x的最小正周期为 C( )f x在区间(,) 3 12 上单调递增 D( )f x的图象可由( )2sin2g xx向左平移 3 个单位而得到 10 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 与圆 222 xyc

5、在第二象限的交点是P点， 1( ,0)Fc是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线 1 PF的距离是 3 2 c，则椭圆的离心率是 ( ) A21 B31 C 51 2 D 61 2 11（5 分） 已知函数 | |2 ( ) x f xeax， 对任意 1 0x ， 2 0x ， 都有 2121 ()( ()()0xxf xf x， 则实数a的取值范围是( ) A(, 2 e B(, 2 e C0, 2 e D,0 2 e 12（5 分） 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中， 点M是对角线 1 AC上的点 （点M与A、 1 C不重合） ，则下列结论正确的个数为( ) 存在点

6、M，使得平面 1 ADM 平面 1 BC D； 存在点M，使得/ /DM平面 11 B CD； 若 1 ADM的面积为S，则 2 3 (,2 3) 3 S； 若 1 S、 2 S分别是 1 ADM在平面 1111 A BC D与平面 11 BBC C的正投影的面积，则存在点M， 第 4 页（共 24 页） 使得 12 SS A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知实数x、y满足条件 2 0 22 0 3 xy xy x ，则3zxy的最小值为 14 （5 分）已知

7、 1 tan 2 ，则 2 3 sin ()sin()cos() 22 15 （5 分）已知O为坐标原点，直线l与圆 22 650xyy交于A、B两点，| 2AB ， 点M为线段AB的中点则点M的轨迹方程是 ，|OAOB的取值范围为 16 （5 分）已知直线ykxb与函数 x ye的图象相切于点 1 (P x， 1) y，与函数ylnx的图 象相切于点 2 (Q x， 2) y，若 2 1x ，且 2 ( ,1)xn n，nZ，则n 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （ 12 分 ） 已 知a，b，c

8、分 别 为ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边 ， 且 2222 coscosbcaacCcA （1）求A； （2） 在ABC中，3BC ，D为边AC的中点，E为AB边上一点， 且DEAC， 6 2 DE ， 求ABC的面积 第 5 页（共 24 页） 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且231 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 12 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）在斜三棱柱 111 ABCABC中， 2 ABC ，侧面 11 ACC A是边长为 4 的菱形， 1 3 A

9、AC ， 1 4AB ，E、F分别为AC、 11 A B的中点 （1）求证：BC 平面 1 A EF； （2）若 6 BAC ，求二面角 11 AEFC的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F、 2 F为椭圆的左、右焦点， 2 (1,) 2 P为 椭圆上一点，且 1 3 2 | 2 PF （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线:2l x ，过点 2 F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交 直线l、直线AB于M、N两点，当MAN最小时，求直线AB的方程 21 （12 分）已知函数 2 ( )(0)f xxlnxax a 第 6

10、页（共 24 页） （1）当1a 时，求 ( )f x x 的最大值； （2）若( )f x只有一个极值点 0 x ( ) i求实数a的取值范围； ( )ii证明： 0 1 ()f x e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第第 一题记分一题记分. 22 （10 分）已知曲线C的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为 参数） （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； （2）已知点(1,0)M，直线l与曲线C交于A、B两点

11、，求|MAMB 23已知函数( ) |23|21|f xxx （1）解不等式：( ) 6f x ； （2） 设xR时，( )f x的最小值为M 若正实数a，b，c满足abcM， 求a b b c c a 的最大值 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖北省宜昌市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖北省宜昌市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要

12、求的. 1 （5 分） 已知实数集R， 集合 2 |430Ax xx ， 集合 |2Bx yx， 则(AB ) A |12xx B |23xx C |23xx D |13xx 【解答】解： |13Axx， |2Bx x， |23ABxx 故选：B 2 （5 分）设 0.2 3a ， 3 0.2b ， 0.2 log3c ，则a，b，c的大小关系是( ) Aacb Bbca Cbac Dabc 【解答】解： 0.2 31a ， 3 00.21b， 0.2 log30c ， abc 故选：D 3 （5 分） 已知等比数列 n a的各项均为正数， 若 212228 logloglog8aaa， 则

13、45 (a a ) A1 B2 C4 D8 【解答】解：由题意可得 2122282128 loglogloglog ()8aaaa aa ， 则 48 12845 ()2aaaa a， 因为等比数列 n a的各项均为正数 则 45 4a a 故选：C 4 （5 分）已知向量(1,2)a ，( ,3)bm，若(2)aab，则a在b方向上的投影为( ) 第 8 页（共 24 页） A 2 2 B1 C 3 2 2 D2 【解答】解：因为向量(1,2)a ，( ,3)bm， 2(2,1)abm； (2)2204aabmm； (4,3)b ； 向量a在b方向上的投影为 22 10 2 | 34 a b

14、 b 故选：D 5 （5 分）中国的计量单位可以追溯到 4000 多年前的氏族社会末期，公元前 221 年，秦王 统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器下图是古代的 一种度量工具“斗” （无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形） ， 则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）( ) A2000 B2800 C3000 D6000 【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱台， 其上、下底面边长分别为 10、20，棱台的高为 12， 所以棱台的体积为 22 1 10201020122800 2 V 四棱台 第 9 页（共 24 页） 故选：B 6 （5 分） “1m

15、 ”是“椭圆 22 360mxym的焦距为 4”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：椭圆 22 360mxym， 化为： 22 1 62 xy m 椭圆的焦距为 4，462m，或264m ， 解得1m 或5m 经过验证满足题意 “1m ”是“椭圆 22 360mxym的焦距为 4”的充分不必要条件 故选：A 7 （5 分）函数 4 ( ) xx x f x ee 的部分图象可能是( ) A B C D 【解答】解：函数的定义域为 |0x x ， 44 () ()( ) xxxx xx fxf x eeee ，故函数为奇 函数，其图象

16、关于原点对称，故排除A，C； 又 1 1 (1)0f ee ，故排除D 故选：B 8 （5 分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300 吨垃圾，最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本（元)与月处理量（吨)之间的函数关系可近 似的表示为 2 1 30080000 2 yxx，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( 第 10 页（共 24 页） ) A300 吨 B400 吨 C500 吨 D600 吨 【解答】解：300600x剟 2 1 30080000 2 yxx 180000180000 300 2300100 22 y xx xxx ，当且仅

17、当 180000 2 x x ，解得400x ， 为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为 400 吨 故选：B 9（5 分） 已知函数( )2sin()(0f xx ，0)的部分图象如图所示， 点(0, 3)A， (,0) 3 B ，则下列说法错误的是( ) A直线 12 x 是( )f x图象的一条对称轴 B( )f x的最小正周期为 C( )f x在区间(,) 3 12 上单调递增 D( )f x的图象可由( )2sin2g xx向左平移 3 个单位而得到 【解答】解：由题意可得： 2sin3 2sin()0 3 ， 由2sin3，得 3 sin 2 ，由0，得 3 或 2 3 ；

18、 又点(0, 3)A在最高点的左侧， 3 由五点作图的第三点知， 33 ，即2 ( )2sin(2) 3 f xx 由()2sin(2)2 12123 f ，可知直线 12 x 是( )f x图象的一条对称轴，故A正确； 第 11 页（共 24 页） 由周期公式可得 2 2 T ，故B正确； 当(,) 3 12 x ，2(,) 33 2 x ，可知( )f x在区间(,) 3 12 上单调递增，故C正确； ( )2sin(2)2sin2() 36 f xxx ，( )f x的图象可由( )2sin2g xx向左平移 6 个单位 而得到，故D错误 故选：D 10 （5 分）已知椭圆 22 22

19、1(0) xy ab ab 与圆 222 xyc在第二象限的交点是P点， 1( ,0)Fc是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线 1 PF的距离是 3 2 c，则椭圆的离心率是 ( ) A21 B31 C 51 2 D 61 2 【解答】解：如图，过O作 1 ONPF， 12 PFPF， 2 / /ONPF， 又O为 12 F F的中点，ON为 12 FPF的中位线 又O到直线 1 PF的距离是 3 2 c， 2 | 2|3F PONc， 则 22 1 |43FPccc， 由题意定义可得， 12 | ( 31)2FPF Pca， 则 22( 31) 31 31( 31)( 31) c e a

20、故选：B 第 12 页（共 24 页） 11（5 分） 已知函数 | |2 ( ) x f xeax， 对任意 1 0x ， 2 0x ， 都有 2121 ()( ()()0xxf xf x， 则实数a的取值范围是( ) A(, 2 e B(, 2 e C0, 2 e D,0 2 e 【解答】解：由题意可知函数( )f x是(,0)上的单调递减函数， 且当0x 时， 2 121 ( ),( )20 x x xx axe f xeaxfxax ee ， 据此可得：21 0 x axe ，即 1 2 x a xe 恒成立， 令( )(0) x g xxe x，则( )(1 ) x g xe x，据

21、此可得函数( )g x在区间(, 1) 上单调递减，在 区间( 1,0)上单调递增，函数( )g x的最小值为 1 ( 1)g e ，则 1 () 22 min x e xe ， 据此可得：实数a的取值范围是(, 2 e 故选：A 12（5 分） 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中， 点M是对角线 1 AC上的点 （点M与A、 1 C不重合） ，则下列结论正确的个数为( ) 存在点M，使得平面 1 ADM 平面 1 BC D； 存在点M，使得/ /DM平面 11 B CD； 若 1 ADM的面积为S，则 2 3 (,2 3) 3 S； 若 1 S、 2 S分别是 1 ADM

22、在平面 1111 A BC D与平面 11 BBC C的正投影的面积，则存在点M， 使得 12 SS A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：连接 1 B C，设平面 11 ABCD与体对角线 1 AC交于点M， 由 11 BCBC， 1 DCBC，可得 1 BC 平面 11 ABCD，即 1 BC 平面 1 ADM， 存在点M，使得平面 1 ADM 平面 1 BC D，故对； 由 11 / /BDB D， 11 / /ADBC，利用面面平行的判定可得，平面 1 / /A BD平面 11 B DC， 设平面 1 A BD与 1 AC交于点M，可得/ /

23、DM平面 11 B CD，故对； 连接 1 AD交 1 A D于点O，过O作 1 OMAC，在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 AD 平面 11 ABC D， 1 ADOM， OM为异面直线 1 A D与 1 AC的公垂线，根据AOE 11 AC D，则 111 OMOA C DAC ，即 11 1 226 32 3 OA C D OM AC ， 1 ADM的最小面积为 1 1 1162 3 2 2 2233 A DM SADOM，故错； 在点P从 1 AC的中点向着点A运动过程中， 1 S从 1 减少趋向于 0，即 1 (0,1)S ， 2 S从 0 增 大到趋向于 2，即 2

24、(0,2)S ， 在这过程中，必存在某个点P使得 12 SS，故式对 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知实数x、y满足条件 2 0 22 0 3 xy xy x ，则3zxy的最小值为 9 2 【解答】解：满足实数x、y满足条件 2 0 22 0 3 xy xy x 的可行域如下图示： 3zxy的最小值就是直线在y轴上的截距的 1 3 倍， 由图可知，3zxy经过 3 220 x xy 的交点 5 (3, ) 2 A时， 第 14 页（共 24 页） 3Zxy有最小值 9 2 故答案为：

25、 9 2 14 （5 分）已知 1 tan 2 ，则 2 3 sin ()sin()cos() 22 1 5 【解答】解： 1 tan 2 ，则 22 3 sin ()sin()cos()sincossin 22 22 222 sincossintantan1 sincostan15 ， 故答案为： 1 5 15 （5 分）已知O为坐标原点，直线l与圆 22 650xyy交于A、B两点，| 2AB ， 点M为线段AB的中点则点M的轨迹方程是 22 (3)3xy ，|OAOB的取值范围 为 【解答】解：圆方程可化为 22 (3)4xy，则圆心(0,3)C，半径2r ，设( , )M x y， 则

26、 222 ()3 2 AB CMr，即 22 (3)3xy，所以M点的轨迹方程为 22 (3)3xy， 因为M点在 22 (3)3xy上运动，所以|OM最大值33，最小值33， 则| 2| 62 3OAOBOM，62 3， 故答案为： 22 (3)3xy；62 3，62 3 16 （5 分）已知直线ykxb与函数 x ye的图象相切于点 1 (P x， 1) y，与函数ylnx的图 第 15 页（共 24 页） 象相切于点 2 (Q x， 2) y，若 2 1x ，且 2 ( ,1)xn n，nZ，则n 4 【解答】解：由题意， 1 2 1 x ke x ， 曲线 x ye在点 1 (P x，

27、 1) y处的切线方程为 11 1 () xx yeexx， 即 111 1 xxx yexexe； 曲线ylnx在点 2 (Q x， 2) y处的切线方程为 22 2 1 ()ylnxxx x ， 即 2 2 1 1yxlnx x 11 12 1 xx bexelnx ， 联立可得， 22222 10(1)x lnxlnxxx ， 令( )1g xxlnxlnxx，则 1 ( )g xlnx x ，该函数在(1,)上为增函数， g（1）10 ，g（2） 1 20 2 ln， 存在 0 (1,2)x ，使得 0 ()0g x， 则( )g x在 0 (1,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调

28、递增， 而 0000000 ()10g xx lnxlnxxlnxx ， 当1x 时，( )0g x ，( )g x的零点在 0 (x，)上， 又g（4）6 250ln，g（5）4 560ln， 0 (4,5)x， 则4n 故答案为：4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （ 12 分 ） 已 知a，b，c分 别 为ABC三 个 内 角A，B，C的 对 边 ， 且 2222 coscosbcaacCcA （1）求A； （2） 在ABC中，3BC ，D为边AC的中点，E为AB边上一点， 且DEAC， 6

29、2 DE ， 求ABC的面积 第 16 页（共 24 页） 【解答】解： （1） 2222 coscosbcaacCcA 由余弦定理可得： 2 2coscoscosbcAacCcA 化为：2 coscoscosbAaCcA 2sincossincossincossin()sin0BAACCAACB 1 cos 2 A，(0, )A， 3 A （2）在ABC中，DEAC， 6 2 DE ， 3 A 6 2 tan 3AD ，解得 2 2 AD 2AC 又3BC 2 322 2cos 3 ABAB ， 解得 62 2 AB ABC的面积 16233 2sin 2234 S 18 （12 分）已知数

30、列 n a的前n项和为 n S，且231 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 12 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）由231 nn Sa，取1n ，得 1 1a 当2n时，有 11 231 nn Sa ， 两式作差可得： 1 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa ，2n 第 17 页（共 24 页） 由 1 1a ，且231 nn Sa，得 2 3a 1 3 n n a a ，*nN， 即数列 n a是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列， 则 1 3n n a ； （2） 1 11

31、12 22 311 (1)(1)(31)(31)3131 n n n nnnn nn a b aa ， 数列 n b的前n项和 12231 111111 313131313131 n nn T 1 11 231 n 19 （12 分）在斜三棱柱 111 ABCABC中， 2 ABC ，侧面 11 ACC A是边长为 4 的菱形， 1 3 A AC ， 1 4AB ，E、F分别为AC、 11 A B的中点 （1）求证：BC 平面 1 A EF； （2）若 6 BAC ，求二面角 11 AEFC的正弦值 【解答】解： （1）证明：依题意，四边形 11 ACC A是菱形， 1 3 A AC ，E为A

32、C的中点， 1 AEAC， 又BE是直角三角形ABC斜边上的中线， 2BE， 又 11 4,2 3ABAE， 222 11 ABAEBE，则 1 AEBE， ACBEE， 第 18 页（共 24 页） 1 A E平面ABC， 1 AEBC， 又BCAB， 1 / /AFAB， 1 BCAF， BC平面 1 A EF； （2）由（1）知BC 平面 1 A EF， BC在平面ABC内， 平面ABC 平面 1 A EF， 又由 1 A EAC， 1 A E平面ABC， 以B为坐标原点，射线BC为x轴，射线BA为y轴，过点B向上作平面ABC的垂线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 1 / /AEz

33、轴， 则 111 (0,0,0), (0,2 3,0), (2,0,0),(1, 3,2 3),(1,3,2 3),(3,3,2 3), (1, 3,0),(1,0,2 3)BACABCEF ， 由（1）知，BC 平面 1 A EF，故平面 1 A EF的一个法向量为(1,0,0)m ， 设平面 1 C EF的一个法向量为( , , )nx y z，又 1 (0,3,2 3),(2,3,0)EFFC， 1 32 30 230 n EFyz n FCxy ，可取( 3,2,1)n ， 6 cos, |4 m n m n m n ， 二面角 11 AEFC的正弦值为 10 4 第 19 页（共 2

34、4 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F、 2 F为椭圆的左、右焦点， 2 (1,) 2 P为 椭圆上一点，且 1 3 2 | 2 PF （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线:2l x ，过点 2 F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交 直线l、直线AB于M、N两点，当MAN最小时，求直线AB的方程 【解答】解： （1）由题意，可知 1( ,0)Fc，则 1 2 (1,) 2 PFc 22 1 23 2 |(1)() 22 PFc ， 解得1c 222 1abc 点 2 (1,) 2 P为椭圆上一点， 22 11 1 2ab

35、 联立 22 22 1 11 1 2 ab ab ，解得 2 2 2 1 a b 椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）由题意，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y则 12 ( 2 xx N ， 12) 2 yy 当直线AB的斜率不存在时，则:1 AB lx 第 20 页（共 24 页） 此时( 2,0)M 点N即为右焦点 2 F，即(1,0)N 2 (1,) 2 A 此时 |3 tan3 2 |2 2 MN MAN AN 当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，很明显0k 则:(1) AB lyk x 由题意，联立 2 2 (1) 1 2 yk x x y ， 消

36、去y，整理得 2222 (21)42(1)0kxk xk 则 4222 168(21)(1)8(1)0kkkk， 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 2(1) 21 k x x k 2 12 2 2 221 xxk k ， 2 1212 22 2 (1)(1) 222121 yyxxkk kk kk 第 21 页（共 24 页） 点N坐标为 2 2 2 (2 1 k k ， 2 ) 21 k k 线段AB的垂直平分线的斜率为 1 k ， 线段AB的垂直平分线的直线方程为 2 22 12 () 2121 kk yx kkk 设点M坐标为( M x，) M y 点M在直线:2l

37、 x 上，即2 M x 22 222 1252 ( 2) 2121(21) M kkk y kkkkk 点M坐标为( 2， 2 2 52 ) (21) k kk 222 22 22222 2522(31)1 |(2)()1 21(21)2121 kkkk MN kkkkkk 22 121 2 |1()4ABkxxx x 22 22 22 42(1) 1()4 2121 kk k kk 2 2 2 2(1) 21 k k 2 2 2(1) | 21 k AN k 在Rt MAN中， 2 22 2 22 2 1 2(31) 1 |(31) tan2 |(1)2(1) k MNk k MAN ANk

38、kk 令 2 tk，则0t ；令 22 2 (31)961 0 (1) ttt m t ttt 则 2 (9)(6)10mtmt ， 2 (6)4(9)(8) 0mmm m， 解得8m 当8m 时，tanMAN取最小值284 此时 2 (31) 8 (1) t t t ，解得1t 即1k 综上所述，可知tanMAN的最小值为 4，此时1k 直线AB的方程为：1yx或1yx 第 22 页（共 24 页） 21 （12 分）已知函数 2 ( )(0)f xxlnxax a （1）当1a 时，求 ( )f x x 的最大值； （2）若( )f x只有一个极值点 0 x ( ) i求实数a的取值范围；

39、 ( )ii证明： 0 1 ()f x e 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当1a 时 ， ( ) (0) f x lnxx x x ， 令( )(0 )g xl n xx x， 则 11 ( )1 x g x xx ， ( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， ( )maxg xg（1）1，即 ( )f x x 的最大值为1； （2） 1 ( )12,( )2fxlnxax fxa x ， ( ) i当0a 时，( )0fx在(0,)上恒成立，则( )fx在(0,)上单调递增， 又 12 ( )0 a f ee ，当01x时，( )1212fxlnxaxlnxa ， 则

40、 21 ()0 a f e ，且 21 1 a e e ， 存在 21 0 1 (, ) a xe e ，使得 0 ()0fx， 当 0 (0,)xx时，( )0fx，则( )f x单调递减， ( )f x只有一个极值点 0 x 当0a 时，令 1 ( )20fxa x ，则 1 2 x a ， 当 1 (0,) 2 x a 时，( )0fx，( )fx单调递增；当 1 (,) 2 x a 时，( )0fx，( )fx单调递 减， 1 ( )()2 2 max fxfln a a ， 当21a，即 1 2 a时，( ) 0fx在(0,)上恒成立，( )f x在(0,)上单减，无极值点，舍 去；

41、 当021a，即 1 0 2 a时， 1 ()0 2 flna a ， 第 23 页（共 24 页） 又 12 ( )0 a f ee ，且 11 2ea ， 存在 1 11 ( ,) 2 x ea ，使得 1 ()0fx， 由（1）知当0x 时，1lnx x，则22(1)21lnxln xxx， ( )12222(1)fxlnxaxxaxxa x ，则 2 1 ()0f a ，且 2 11 2aa ， 存在 2 2 11 (,) 2 x a a ，使得 2 ()0fx， 当 1 (0,)xx时，( )0fx，( )f x单减； 当 1 (xx， 2) x时，( )0fx，( )f x单增；

42、当 2 (xx， )时，( )0fx，( )f x单减， ( )f x有两个极值点，不合题意， 综上，实数a的取值范围为(,0)； ( )ii证明： 000 ()120fxlnxax ， 210 0 0 11 ,(, ) 2 a lnx axe xe ， 2 000000 1 ()(1) 2 f xx lnxaxx lnx， 令 21 11 ( )(1),(, ) 2 a m xx lnxxe e ，则 1 ( )0 2 m xlnx， ( )m x在 211 (, ) a e e 上单减， 当 211 (, ) a xe e 时， 11 ( )( )m xm ee ， 00 1 ()()f xm x e ，即得证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分. 22 （10 分）已知曲线C的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为 参数） （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； （2）已知点(1,0)