1、 第 1 页（共 22 页） 2019-2020 学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）已知集合 |5Ax x， |39 x Bx，则(AB ) A(，2 B(，5 C(2，5 D(，2)(2， 5) 2 （5 分）已知复数 1 12zi ， 12 1z z ，则复数 2 z的虚部为( ) A 2 5 B 2 5 C 1 5 D 1 5 3
2、（5 分）已知函数 2 ( )(1) x f xxxe，则( )f x在(0，(0)f处的切线方程为( ) A10xy B10xy C210xy D210xy 4 （5 分）设x，y满足约束条件 26 22 2 0 xy xy y ，则2zxy的最大值是( ) A2 B6 C10 D14 5 （5 分）已知函数( )2sin cos()cos 3 f xxxx ，则函数( )f x的最小正周期是( ) A 2 B C2 D4 6 （5 分）若输入的值为 7，则输出结果为( ) 第 2 页（共 22 页） A 7 4 B 3 4 C 7 8 D 3 2 7 （5 分）如图，在各棱长均为 2 的正
3、三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱） 111 ABCABC中，P，E，F分别是 1 AA， 11 AC，AC的中点，则四棱锥 1 PEFBB的体积 为( ) A 3 3 B 3 2 C 2 3 3 D 4 3 3 8 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若 3 2,2 6, 4 bcC ， 则ABC的面积为( ) A2 B2 2 C3 D3 2 9 （5 分） 5 1 ()(3)xx x 展开式中含x的项的系数为( ) 第 3 页（共 22 页） A112 B112 C513 D513 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab
4、ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P是C的 右支上一点，连接 1 PF与y轴交于点M，若 1 | 2|(FOOMO为坐标原点） ， 12 PFPF，则 双曲线C的渐近线方程为( ) A3yx B3yx C2yx D2yx 11（5 分） 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC， 2 ,4 3 ABCPA ， 若三棱锥PABC 外接球的表面积为32，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为( ) A 7 7 B 6 6 C 2 7 7 D 2 7 12 （5 分）已知定义在R上的奇函数( )f x恒有(1)(1)f xf x，当0x，1)时， 21 ( ) 21 x x f x ，则当函
5、数 1 ( )( ) 3 g xf xkx在0，7上有三个零点时，k的取值范围是( ) A 12 ,) 415 B 22 (, 915 C 21 (,) 96 D 221 (, 9153 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知在平行四边形ABCD中， 1 , 3 BEBC AExBDyBC，则xy 14 （5 分）已知是第四象限的角，且满足 2 9 cossin2 17 ，则tan 15 （5 分）一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球甲、乙两 人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球规则如下：若摸到绿球，则将此球
6、放回箱中可继续再 摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好 摸到两次绿球的概率是 16 （5 分） 已知抛物线 2 :4C yx的准线为l， 过点( 1,0)作斜率为正值的直线l交C于A， B两点，AB的中点为M， 过点A，B，M分别作x轴的平行线， 与l分别交于D，E，Q， 则当 | | MQ DE 取最小值时，|AB 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 11 1 ,(22) 2 n nn aSa 第 4 页（共 22 页）
7、（1）求 2 a及数列 n a的通项公式； （2）若 112 2 11 log (), nnn nn ba aac ab ，求数列 n c的前n项和 n T 18 （12 分）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改 进方案： 甲方案是引进一台新的生产设备， 需一次性投资 1000 万元， 年生产能力为 30 万件； 乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资 700 万元，年生产能力为 20 万件根 据市场调查与预测， 该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示， 无论是引进新生产设备 还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为 6 年，该产品的销售利润为 15
8、 元/件 （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表） ； （2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量 的估计值，并假设每年的销售量相互独立 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于 270 万元的概率； 若以该生产设备 6 年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方 案(6年的净利润6年销售利润一设备一次性投资费用） 19 （12 分）如图 1 所示，在直角梯形DCEF中，/ /DFCE，FDDC，/ /ABCD， 224BEABAFAD，将四边形ABEF沿AB边折成图 2 （1）求
9、证：/ /AC平面DEF； （2）若2 3EC ，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，点(4,1)在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线:3l ykx与C交于A，B两点，是否存在l，使得点(0,1)M在以AB为直径 的圆外，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知 1 ( ) m f xxmlnx x ，mR （1）讨论( )f x的单调区间； （2）当 2 0 2 e m时，证明 2 ( ) 1 x exxf xm 请
10、考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 35cos ( 45sin x y 为参数） ，以平 面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2） 过点(2,0)P， 倾斜角为 4 的直线l与曲线C相交于M，N两点， 求 11 |PMPN 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|2|f xxax （1）当2a 时，解不等
11、式( ) 3f xx （2）当 1 2 x时，不等式 2 ( ) 4f xx成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省益阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）已知集合 |5Ax x， |39 x Bx，则(AB ) A(，2 B(，5 C(2，5 D(，2)(2， 5) 【解
12、答】解： |5Ax x， |2Bx x， (AB ，5 故选：B 2 （5 分）已知复数 1 12zi ， 12 1z z ，则复数 2 z的虚部为( ) A 2 5 B 2 5 C 1 5 D 1 5 【解答】解：由 1 12zi ， 12 1z z ， 得 2 1 111212 12(12 )(12 )55 i zi ziii ， 复数 2 z的虚部为 2 5 故选：A 3 （5 分）已知函数 2 ( )(1) x f xxxe，则( )f x在(0，(0)f处的切线方程为( ) A10xy B10xy C210xy D210xy 【解答】解：由 2 ( )(1) x f xxxe，得 2
13、2 ( )(21)(1)(32) xxx f xxexxexxe， 则(0)2f，又(0)1f， ( )f x在(0，(0)f处的切线方程为21yx，即210xy 故选：D 4 （5 分）设x，y满足约束条件 26 22 2 0 xy xy y ，则2zxy的最大值是( ) A2 B6 C10 D14 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示， 第 7 页（共 22 页） 当直线2zxy过点B点时，目标函数2zxy截距最小，Z取最大值， 由 2 22 y xy ，解得(6,2)B时， 在y轴上截距最小，此时z取得最大值：26210 故选：C 5 （5 分）已知函数( )2sin cos()c
14、os 3 f xxxx ，则函数( )f x的最小正周期是( ) A 2 B C2 D4 【解答】解：函数( )2sin cos()cos 3 f xxxx ， 13 2sin ( cossincos ) 22 xxxx， 33 2sin ( cossin ) 22 xxx， 2 3sin cos3sinxxx， 31cos2 sin23 22 x x ， 333 sin2cos2 222 xx， 3 3sin(2) 62 x ， 所以函数的最小正周期为 2 2 T 故选：B 6 （5 分）若输入的值为 7，则输出结果为( ) 第 8 页（共 22 页） A 7 4 B 3 4 C 7 8 D
15、 3 2 【解答】解：模拟程序的运行过程，如下； 输入7x ，则7y ，6x ，0x； 7 2 x ， 7 2 y ， 5 2 x ，0x； 7 4 x ， 7 4 y ， 3 4 x ，0x； 7 8 x ， 7 8 y ， 1 8 x ，0x ； 713 884 z ； 所以输出结果为 3 4 故选：B 7 （5 分）如图，在各棱长均为 2 的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱） 111 ABCABC中，P，E，F分别是 1 AA， 11 AC，AC的中点，则四棱锥 1 PEFBB的体积 为( ) 第 9 页（共 22 页） A 3 3 B 3 2 C 2 3 3 D 4 3 3
16、 【解答】解：在各棱长均为 2 的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱） 111 ABCABC中， P，E，F分别是 1 AA， 11 AC，AC的中点， AFBF，AFEF， EFBFF，AF平面 1 BB EF， 22 213BF ， 四棱锥 1 PEFBB的体积为： 1 2 311 32 1 333 BB EF VSAF 矩形 故选：C 8 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若 3 2,2 6, 4 bcC ， 则ABC的面积为( ) A2 B2 2 C3 D3 2 第 10 页（共 22 页） 【解答】解： 3 2,26, 4 bcC ， 由余弦
17、定理 222 2coscababC， 可得： 2 2 26222() 2 aa ， 即 2 22 4 0aa， 解得4a ， （负值舍去） ， 113 sin42sin2 224 ABC SabC 故选：A 9 （5 分） 5 1 ()(3)xx x 展开式中含x的项的系数为( ) A112 B112 C513 D513 【解答】解： 5 1 ()(3)xx x 展开式中含x的项的系数： 523 5 1 ( 3)( 3)513C ， 故选：C 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P是C的 右支上一点，连接 1 PF
18、与y轴交于点M，若 1 | 2|(FOOMO为坐标原点） ， 12 PFPF，则 双曲线C的渐近线方程为( ) A3yx B3yx C2yx D2yx 【解答】解：由题意双曲线的图形如图，设 1 PFm， 2 PFn，点P是C的右支上一点， 连接 1 PF与y轴交于点M，若 1 | 2|(FOOMO为坐标原点） ， 12 PFPF， 可得： 1 1 2 OMn OFm ，所以2mn，2na，所以4ma， 可得 22222 164444aacab， 解得2 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故选：C 第 11 页（共 22 页） 11（5 分） 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，
19、 2 ,4 3 ABCPA ， 若三棱锥PABC 外接球的表面积为32，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为( ) A 7 7 B 6 6 C 2 7 7 D 2 7 【解答】解：PA平面ABC， 2 ,4 3 ABCPA ， 外接球球心为O，ABC外接圆的圆心为M，连接OA，OM，AM， 则有 222 OAOMAM 由题可知， 1 2 2 OMPA； 且AM为ABC外接圆的半径，设为r， OA 为球的半径，设为R，则有 222 2Rr 三棱锥PABC外接球的表面积为 22 3248RR； 2r ； 2 244sin2 3 sin3 AC rAC ABC ； 222 28PCPAAC； 2
20、7PC； 因为直线PC与平面ABC所成角为PCA； 42 7 sin 72 7 PA PCA PC ； 第 12 页（共 22 页） 即直线PC与平面ABC所成角的正弦值为 2 7 7 故选：C 12 （5 分）已知定义在R上的奇函数( )f x恒有(1)(1)f xf x，当0x，1)时， 21 ( ) 21 x x f x ，则当函数 1 ( )( ) 3 g xf xkx在0，7上有三个零点时，k的取值范围是( ) A 12 ,) 415 B 22 (, 915 C 21 (,) 96 D 221 (, 9153 【解答】解：(1)(1)f xf x，( )f x的周期为 2， 又( )
21、f x为奇函数，( )()f xfx ， 令1x ，得f（1）( 1)f ，又( 1)ff（1） ， f（1）( 1)0f，且( 1,1)x 时， 212 ( )1 2121 x xx f x ， 由 2 21 x y 单调递减得函数( )f x在( 1,1)上单调递增， ( 1)( )ff xf（1） ，得 11 ( ) 33 f x，作出函数图象如图， 第 13 页（共 22 页） 由图象可知当 1 3 ykx经过 1 (3,) 3 时， 2 9 k 当 1 3 ykx经过 1 (5,) 3 时， 2 15 k ， 当 1 3 ykx经过(1,0)时， 1 3 k ， 当函数 1 ( )(
22、 ) 3 g xf xkx在0，7上有三个零点时， 22 915 k或 1 3 k ， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分） 已知在平行四边形ABCD中， 1 , 3 BEBC AExBDyBC， 则xy 7 3 【解答】解： 1 3 AEABBEABBC，ABDCBCBD， 14 33 AEBCBDBCBDBC ， 由AExBDyBC得 4 1, 3 xy ， 7 3 xy 故答案为： 7 3 14 （5 分）已知是第四象限的角，且满足 2 9 cossin2 17 ，则tan 2 9 【解答】解： 2 9 cossin2
23、17 ， 2 222 2sincos12tan9 117 cos sincostan ，即 2 9tan34tan80， 第 14 页（共 22 页） 解得 2 tan 9 ，或 4， 是第四象限的角，tan0， 2 tan 9 故答案为： 2 9 15 （5 分）一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球甲、乙两 人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再 摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好 摸到两次绿球的概率是 15 128 【解答】解：设甲、乙两人摸到的球为红球分别为事件A，事件B，
24、 前四次摸球中甲恰好摸到两次绿球为事件C， 则P（A）P（B） 3 4 则P（C）()P AAABAAABAABAABAA 1133113113313311 4444444444444444 15 128 则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率为 15 128 故答案为： 15 128 16 （5 分） 已知抛物线 2 :4C yx的准线为l， 过点( 1,0)作斜率为正值的直线l交C于A， B两点，AB的中点为M， 过点A，B，M分别作x轴的平行线， 与l分别交于D，E，Q， 则当 | | MQ DE 取最小值时，|AB 4 3 【解答】解：由题意如图所示：设直线l的斜率为(0)k k
25、，( , )A x y，( ,)B x y， 设x x ，由题意设直线l的方程为：(1)yk x， 将直线与抛物线联立整理得： 2222 (24)0k xkxk， 224 (24)40kk， 解得 2 1k ，又斜率k为正，故01k， 2 2 24k xx k ，1xx ， 所以AB的中点M的横坐标 2 2 2 2 M xxk x k ， 第 15 页（共 22 页） 所以 2 22 22 | 1 k MQ kk ， 222 2 422 441 |2()22224 AB kkk DEyyxxxxxx kkk 所以 242 22 |111 |11 212 2() 24 MQ DE kkkk k
26、， 所以当 2 1 2 k 时， | | MQ DE 取最小值， 这时 222 1 24 1 2 |1()41()4 14 3 1 2 2 ABkxxxx ， 故答案为：4 3 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 11 1 ,(22) 2 n nn aSa （1）求 2 a及数列 n a的通项公式； （2）若 112 2 11 log (), nnn nn ba aac ab ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1） 1 11 1 ,(22) 2 n
27、nn aSa ， 2 112 (22)Saa，即 2 1 4 a ， 当2n时， 1 (22) n nn Sa ， 两式相减得： 1 1 (22)(22) nn nnn aaa ， 第 16 页（共 22 页） 整理得： 1 2(2) nn aan ， 由 1 1 2 a ， 2 1 4 a ，可得 12 2aa， 1 2 nn aa (*)nN， 由 1 0a ，得0(*) n anN， 1 1 (*) 2 n n a nN a ， 则数列 n a是以 1 2 为首项，以 1 2 为公比的等比数列， 1 111 ( )( ) 222 nn n a ； （2）由（1）知， 1 ( ) 2 n
28、n a ， 1 2 1121 22 1(1) ()( )12 22 n nn n n bloga aalogn 11211 222() (1)1 nn n nn c abn nnn 123 11111 (2222 )2(1)()() 2231 n n T nn 1 2(12 )12 2(1)2 1211 n n nn 18 （12 分）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改 进方案： 甲方案是引进一台新的生产设备， 需一次性投资 1000 万元， 年生产能力为 30 万件； 乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投资 700 万元，年生产能力为 20 万件根
29、据市场调查与预测， 该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示， 无论是引进新生产设备 还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为 6 年，该产品的销售利润为 15 元/件 （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表） ； （2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量 的估计值，并假设每年的销售量相互独立 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于 270 万元的概率； 若以该生产设备 6 年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方 案(6年的净利润6年销售利润一设备一次性投资费用） 第 1
30、7 页（共 22 页） 【解答】 解： （1） 年销量的平均数为0.05 120.35 160.3200.2240.1 2819.8x （万件） （2）该产品的销售利润为 15 元/件， 由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于 18 万件时年销售利润才不低于 270 万， 年销售利润不低于 270 万的概率为10.050.350.6P 设甲方案的净利润为：19.8 1561000782（万元） ， 乙方案的年销售量期望为19.8EX ， 6 年的净利润期望值为：19.8 1567001082（万元） 乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值， 企业应该选择乙方案 19 （12 分）如
31、图 1 所示，在直角梯形DCEF中，/ /DFCE，FDDC，/ /ABCD， 224BEABAFAD，将四边形ABEF沿AB边折成图 2 （1）求证：/ /AC平面DEF； （2）若2 3EC ，求平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：连接BD交AC于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG， 第 18 页（共 22 页） 则/ /OGBE， 1 2 OGBE， 又 1 / /, 2 AFBE AFBE， / AFOG， 四边形AOGF为平行四边形， / /ACFG， 又FG在平面DEF内，AC不在平面DEF内， / /AC平面DEF； （2）2 3,4,2EC
32、BEBC， 222 BEECBC， ECBC， 2 3,2 3,4 2ECACAE， 222 AEECAC， ECAC， 又ACBCC，且都在平面ABCD内， EC平面ABCD， CB，CD，CE两两互相垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(0,4,0), (0,0,2 3), (2,4,0), (2,0,0)CDEAB， 由 1 2 AFBE，得(1,4, 3)F， 设平面DEF的一个法向量为( , , )mx y z，又(0, 4,2 3),(1,0, 3)DEDF， 42 30 30 m DEyz m DFxz ，可取( 2 3, 3,2)m ， 设平面EAC的一
33、个法向量为( , , )na b c，又(0,0,2 3),(2,4,0)CECA， 2 30 240 n CEc n CAab ，可取( 2,1,0)n ， 285 cos, |19 m n m n m n ， 第 19 页（共 22 页） 平面DEF与平面EAC所成锐二面角的余弦值为 285 19 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，点(4,1)在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线:3l ykx与C交于A，B两点，是否存在l，使得点(0,1)M在以AB为直径 的圆外，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由 【
34、解答】解： （1）由题意知： 3 2 c a ， 22 161 1 ab ， 222 bac，解得： 2 20a ， 2 5b ， 所以椭圆的标准方程为： 22 1 205 xy ； （2）假设存在直线l满足条件，设( , )A x y，( ,)B x y， 联立直线与椭圆的方程整理得： 22 (14)24160kxkx， 2 24 14 k xx k ， 2 16 14 xx k ， 2 6 ()6 14 yyk xx k ， 所以AB的中点D的坐标 2 12 (1 4 k k ， 2 3 ) 14k ， 42 22 222 1234111 ()(1) 141414 kkk DM kkk 弦
35、长 2242 222 2222 2464541 21()418 (14)1414 kkk ABrkxxxxk kkk ，所以 42 2 541 4 14 kk r k ， 要使得点(0,1)M在以AB为直径的圆外，则DMr， 所以整理为： 42 47kk，解得 77 (,) 22 k ， 第 20 页（共 22 页） 所以k的权责范围： 7 ( 2 ， 7 ) 2 21 （12 分）已知 1 ( ) m f xxmlnx x ，mR （1）讨论( )f x的单调区间； （2）当 2 0 2 e m时，证明 2 ( ) 1 x exxf xm 【解答】解： （1） 2 222 1(1)(1)(1
36、) ( )1 mmxmxmxxm fx xxxx (0)x 2m 时，11m 则函数( )f x在(0,1)，(1,)m上单调递增，在(1,1)m上单调递减 2m 时， 2 2 (1) ( )0 x fx x ，函数( )f x在(0,)上单调递增； 12m时，011m ，则函数( )f x在(0,1)m，(1,)上单调递增，在(1,1)m上单调 递减 1m时， 2 (1)(1) ( )0 xxm fx x ，函数( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 （2）证明： 2 2 ( )10.0 2 xx e exxf xmemxlnxm 令( ) x g xemxlnx0x ，(
37、 )0g x (0,)x ( )(1) x g xem lnx ( ) x m gxe x 在(0,)上单调递增 存在 0 x使得 0 0 x m e x ， 00 lnxxlnm 可得 0 xx时，( )g x取得极小值 0 2 0000 00 1 ()(1)(1)()2(2)20 2 x me g xem lnxmlnmxmxmlnmmmlnm mlnmln xx 厖 函数( )g x在(0,)x上单调递增 ( )(0)0g xg 0 x emxlnx成立，即当 2 0 2 e m时，不等式 2 ( ) 1 x exxf xm 成立 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果
38、多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 35cos ( 45sin x y 为参数） ，以平 第 21 页（共 22 页） 面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2） 过点(2,0)P， 倾斜角为 4 的直线l与曲线C相交于M，N两点， 求 11 |PMPN 的值 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 35cos ( 45sin x y 为参数） ，转换为直角坐标方程为 22 (3)(4)25x
39、y， 转换为极坐标方程为 2 8 sin6 cos0，化简为6cos8sin （2）过点(2,0)P，倾斜角为 4 的直线l，整理得参数方程为 2 2 2 ( 2 2 xt t yt 为参数） ， 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得： 2 3 280tt， 所以 12 3 2tt ， 1 2 8t t ， 所以 2 121 2 12 1 21 2 ()4|1118325 2 |88 ttt ttt PMPNt tt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|2|f xxax （1）当2a 时，解不等式( ) 3f xx （2）当 1 2 x时，不等式 2 (
40、) 4f xx成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当2a 时，不等式( ) 3f xx即|4|22|3xxx 1x时，不等式化为：4(22) 3xxx，解得： 3 2 x 3 1 2 x 剟 41x 时，不等式化为：4(22) 3xxx，化为：4 0，41x 4x 时，不等式化为：(4)(22) 3xxx，解得：3x 4x 综上可得： 3 2 x，即不等式的解集为 3 (, 2 ； （2）依题意，当 1 2 x时，不等式 2 |4|2|4xaxx成立，即 2 |2|xxax， 22 11xa x xx 剟， 第 22 页（共 22 页） 当 1 2 x时，由基本不等式可得 2 1 2 21x x ，当且仅当“2x ”时取等号， 因为函数 2 1yx x 在 1 ,) 2 上单调递减， 所以当 1 2 x 时， 2 1yx x 取得最大值为 5 2 ， 实数a的取值范围为 5 ,2 21 2
