1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（文科）学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知i是虚数单位，则 2 ( 1 i i ) A1i B1i C1i D22i 2 （5 分）已知集合 2 |23 0Ax xx ， | 22Bxx，则(AB ) A 2，1 B 1，2) C 2，1 D1，2) 3 （5 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) log (),0 x x f x x x ，则( 4)
2、(f ) A3 B 1 16 C8 D2 4 （5 分）直线2x 被圆 22 ()4xay所截弦长等于2 3，则a的值为( ) A1或3 B2或2 C1 或 3 D3 5 （5 分）设x，y满足约束条件 0, 2 0, 24 0, xy xy xy 则2zxy的最大值为( ) A2 B3 C12 D13 6 （5 分）在等差数列 n a中， 65 2aa，则 17 (aa ) A0 B1 C2 D3 7 （5 分）已知向量a，b的夹角为45，且| 1a ，| 3 2b ，则|2| (ab ) A10 B2 2 C5 D4 2 8 （5 分）中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅
3、监制的一种标准量器 商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示（单位：寸） ，若取 3，则该模型 的体积（单位：立方寸）为( ) 第 2 页（共 17 页） A11.9 B12.6 C13.8 D16.2 9 （5 分）若函数( )3sincosf xxxm在0，上的最小值是1，则实数m的值为( ) A1 B1 C0 D3 10 （5 分）已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，1AB ，2BC ，2PA，E为 BC的中点，则异面直线AE与PD所成的角为( ) A 6 B 4 C 3 D 11 （5 分）函数 2 ( )f xlnxx的图象大致为( ) A B C D 12 （5 分）
4、已知点F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点，P为C右支上一点以 C的实轴为直径的圆与线段PF交于A，B两点，且A，B是线段PF的三等分点，则C的 渐近线方程为( ) A 1 3 yx B 6 2 5 yx C 5 2 12 yx D 97 5 yx 二、填空题：二、填空题： 第 3 页（共 17 页） 13 （5 分）求ylnx在1x 处的切线方程 14 （5 分）已知(0,) 2 a ，tan2，则sin() 4 15 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F上顶点为A在x轴 负半轴上有一点B，满足 1
5、12 BFFF，且 2 ABAF，则椭圆的离心率为 16 （5 分）三棱柱 111 ABCABC中，ABBCAC，侧棱 1 AA 底面ABC，且三棱柱的侧 面积为6 3若该三棱柱的顶点都在球O的球面上，则球O体积的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 题第题第 21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 17 （12 分）在各项均为正数的等比数列 n a中，已知 1 2a
6、 ， 246 82aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 nn ban，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3 cosaBbA （1）求A； （2）若13a ，ABC的面积为3 3，求ABC的周长 19 （12 分）如图（1） ，在等腰梯形ABCD中，/ /ABCD， 1 2 2 ABBCADCD，P为 CD中点以AP为折痕将ADP折起，使点D到达点S的位置，如图（2） （1）求证：SBAP； （2）若6SB ，求点C到平面SPB的距离 20 （12 分）已知动圆C与圆 22 1:( 2)1Cxy外切，又与
7、直线:1l x 相切设动圆C的 圆心的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； 第 4 页（共 17 页） （2） 在x轴上求一点P（不与原点重合） ， 使得点P关于直线 1 2 yx的对称点在曲线E上 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )2(21) 2 f xlnxaxax，aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，证明： 5 ( )4 2 f x a （二）选考题：请考生在（二）选考题：请考生在（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计如果多做，则按所做第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数
8、方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已 知直线l的参数方程为 1 , 2 ( 3 2 xt t yt 为参数） ，曲线C的极坐标方程为2cos3 （1）求C的直角坐标方程； （2）求l被C截得的线段长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数x，y，z满足 222 4xyz （1）证明：2 2xy ； （2）若 11 2 xy ，求z的最大值 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（文科）学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选
9、择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知i是虚数单位，则 2 ( 1 i i ) A1i B1i C1i D22i 【解答】解： 2 22 (1)22 1 1(1)(1)1 iiii i iiii 故选：A 2 （5 分）已知集合 2 |23 0Ax xx ， | 22Bxx，则(AB ) A 2，1 B 1，2) C 2，1 D1，2) 【解答】解：由A中不等式变形得：(1)(3) 0xx， 解得：3x 或1x，即(A ，31，)， 2B ，2)， 1AB，2)， 故选：D 3 （5 分）已知
10、函数 2 2 ,0 ( ) log (),0 x x f x x x ，则( 4)(f ) A3 B 1 16 C8 D2 【解答】解：因为函数 2 2 ,0 ( ) log (),0 x x f x x x ， 则 2 ( 4)log 42f ； 故选：D 4 （5 分）直线2x 被圆 22 ()4xay所截弦长等于2 3，则a的值为( ) A1或3 B2或2 C1 或 3 D3 【解答】解：由圆 22 ()4xay，得到圆心坐标为( ,0)a，半径2r ， 圆心到直线2x 的距离 |2| |2| 1 a da ，又直线被圆截得的弦长为2 3， 第 6 页（共 17 页） 222 2 3 (
11、)(2)2 2 a， 整理得： 2 430aa， 解得：1a 或3a ， 则a的值为 1 或 3 故选：C 5 （5 分）设x，y满足约束条件 0, 2 0, 24 0, xy xy xy 则2zxy的最大值为( ) A2 B3 C12 D13 【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图： （阴影部分） 由2zxy得 由图象可知当直线 11 22 yxz ， 经过点A时，直线 11 22 yxz ， y的截距最大， 此时z最大 由 0 20 xy xy ，解得(1,1)A， 代入目标函数2zxy得12 13z 故选：B 6 （5 分）在等差数列 n a中， 65 2aa，则 17 (aa )
12、 A0 B1 C2 D3 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：由 65 2aa，可得 11 52(4 )adad， 即 1 30ad， 则 174 20aaa 故选：A 7 （5 分）已知向量a，b的夹角为45，且| 1a ，| 3 2b ，则|2| (ab ) A10 B2 2 C5 D4 2 【解答】解：根据题意， 2222 |2|(2)44ababaa bb， 又由| 1a ，| 3 2b 且向量a，b的夹角为45， 则 2222 2 |2|(2)444184 1 3 210 2 ababaa bb ， 则|2|10ab， 故选：A 8 （5 分）中国古代数学名著九章算术中记载了公元
13、前 344 年商鞅监制的一种标准量器 商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示（单位：寸） ，若取 3，则该模型 的体积（单位：立方寸）为( ) A11.9 B12.6 C13.8 D16.2 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体由一个直径为 1，高为 1.6 的圆柱和一个长为 3.8，宽为 3，高为 1 的长方体构成 所以 2 1 ( )1.63.8 3 112.6 2 V 故选：B 9 （5 分）若函数( )3sincosf xxxm在0，上的最小值是1，则实数m的值为( 第 8 页（共 17 页） ) A1 B1 C0 D3 【解答】解：因为函数( )3sinc
14、os2sin() 6 f xxxmxm ； 0x， 66 x ， 71 sin() 662 x ，1； ( )3sincosf xxxm在0，上的最小值是： 1 2()10 2 mm ； 故选：C 10 （5 分）已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，1AB ，2BC ，2PA，E为 BC的中点，则异面直线AE与PD所成的角为( ) A 6 B 4 C 3 D 【解答】解：根据题意，借助于长方体，且E，F为相应的棱的中点，则易得/ /PDEF， 所以AEF即为异面直线AE与PD所成的角或补角， 根据题意可得， 11 2 22 22 EFPD， 1 12AE ，1 12AF ， 所以AEF
15、为等边三角形， 1 3 AEF 故选：C 11 （5 分）函数 2 ( )f xlnxx的图象大致为( ) A B 第 9 页（共 17 页） C D 【解答】解：令( )0f x ，则2|ln xx，即| 2 x ln x ， 易知， 函数|yln x与函数 2 x y 的图象仅在第三象限有一个交点即( )0f x 仅有一个负根， 观察选项可知，只有选项B符合题意 故选：B 12 （5 分）已知点F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点，P为C右支上一点以 C的实轴为直径的圆与线段PF交于A，B两点，且A，B是线段PF的三等分点，则C的 渐近线方程为( ) A 1
16、 3 yx B 6 2 5 yx C 5 2 12 yx D 97 5 yx 【解答】解：如图，取AB中点H，双曲线的另一个焦点为 F ，连结 PF ， A、B三等分线段PF，H也是AB中点，即OHAB， 设|OHd，则| 2PFd ，| 22PFad， 221 |() 33 ad AHadad ， 在Rt OHA中， 222 |OAOHAH，即 222 1 () 9 adad， 解得 4 5 da， 在Rt OHF中， 9 | 5 FHada， 4 | 5 OHa，|OFc， 由 222 |OFOHFH，即 22222 1681 2525 cabaa， 化简得 22 7225ab， 则双曲线
17、的渐近线方程为 b yx a ，即 6 2 5 yx 故选：B 第 10 页（共 17 页） 二、填空题：二、填空题： 13 （5 分）求ylnx在1x 处的切线方程 1yx 【解答】解：根据题意，令( )f xlnx， 有 1 ( )fx x ，则f（1）1， 即ylnx在1x 处的切线的斜率1k ， 而( )f xlnx，则f（1）0，即切点为(1,0) 曲线( )1f xnx在1x 处的切线方程为1yx 故答案为：1yx 14 （5 分）已知(0,) 2 a ，tan2，则sin() 4 3 10 10 【解答】解：由(0,) 2 a ，tan2，可得 2 sin 5 ， 1 cos 5
18、 ， 则 2233 10 sin()(sincos ) 422105 故答案为： 3 10 10 15 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F上顶点为A在x轴 负半轴上有一点B，满足 112 BFFF，且 2 ABAF，则椭圆的离心率为 1 2 【解答】解：由题意，根据 112 BFFF，可知点B坐标为( 3 ,0)c， (0, )Ab， 2( ,0) F c， ( 3 ,)ABcb ， 2 ( ,)AFcb， 2222222 2 3340AB AFcbcacac ， 第 11 页（共 17 页） 解得 2 2 1 4 c a ，即
19、1 2 c e a 故答案为： 1 2 16 （5 分）三棱柱 111 ABCABC中，ABBCAC，侧棱 1 AA 底面ABC，且三棱柱的侧 面积为6 3若该三棱柱的顶点都在球O的球面上，则球O体积的最小值为 8 2 3 【解答】解：设ABa， 1 AAh，外接球的半径R， 则由题意可得2 3ah ，即 2 3 h a ， 设ABC外接圆的半径为r，由正弦定理可得， 2 2 sin603 aa r ， 则 3 3 a r ， 由正三棱柱外接球的性质可得， 2 222 2 13 ()2 23 a Rhr a ，当且仅当3a 时取等号， 此时R取得最小值2， 则球体积的最小值 3 48 2 33
20、 R V 故答案为： 8 2 3 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 题第题第 21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 17 （12 分）在各项均为正数的等比数列 n a中，已知 1 2a ， 246 82aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设2 nn ban，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）设 n a的公比为q，0q ， 第 12 页（共
21、17 页） 因为 246 82aaa，所以 35 111 82aqaqaq， 所以 24 82qq，即 42 280qq ， 解得 2 4q ，又因为0q ，所以2q 因为 1 2a ，所以2n n a ， * nN （2）由（1）知22 n n bn 则 123123 (22)(24)(26)(22 )(2222 )(2462 ) nn n Tnn 12 (22) 2(21)22 2 nn nn nn 所以数列 n b的前n项和为 12 22 n n Tnn 18 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3 cosaBbA （1）求A； （2）若13a ，ABC
22、的面积为3 3，求ABC的周长 【解答】解： （1）因为sin3 cosaBbA， 由正弦定理2 sinsin ab R AB ，得sin3sincosABBA， 又sin0B ，所以sin3cosAA， 所以tan3A ， 因为(0, )A，所以 3 A （2）在ABC中，13a ， 3 A ，3 3 ABC S 由 1 sin3 3 2 ABC SbcA ， 得12bc ， 由余弦定理 222 2cosbcbcAa， 得 222 2cosbcbcAa， 所以 2 ()313bcbc，即 2 ()49bc， 所以7bc， 第 13 页（共 17 页） 所以ABC的周长为713 19 （12
23、分）如图（1） ，在等腰梯形ABCD中，/ /ABCD， 1 2 2 ABBCADCD，P为 CD中点以AP为折痕将ADP折起，使点D到达点S的位置，如图（2） （1）求证：SBAP； （2）若6SB ，求点C到平面SPB的距离 【解答】 （1）证明：在图 1 中，/ /ABCD， 1 2 2 ABBCADCD，P为CD中点， 四边形ABCP是菱形，且DAP是等边三角形，即图 2 中SAP是等边三角形 连结BP，则BPABAP，即BAP是等边三角形 设AP中点为E，连结EB，ES，则APES，APEB， 又ESEBE，AP平面SEB SB 平面SEB，SBAP； （2）解：由（1）得3SEBE
24、 又6SB ， 222 SEBESB，得SBBE 又SEAP，APBEE， SE平面ABCP，即SE为三棱锥SPBC的高 设点C到平面SPB的距离为d，在SPB中，2SPPB，6SB ， 第 14 页（共 17 页） 11015 6 222 SPB S， 由 C SPBSPBC VV ，有 11513 43 3234 d ， 2 15 5 d， 即点C到平面SPB的距离为 2 15 5 20 （12 分）已知动圆C与圆 22 1:( 2)1Cxy外切，又与直线:1l x 相切设动圆C的 圆心的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2） 在x轴上求一点P（不与原点重合） ， 使得点P关于直线
25、1 2 yx的对称点在曲线E上 【解答】解：解法一： （1）依题意得圆心C到于直线2x 的距离等于到圆 1 C圆心的距离， 所以C的轨迹是(2,0)为焦点，以直线2x 为准线的抛物线， 设其方程 2 2(0)ypx p，则2 2 p ，4p ， 所以曲线E的方程为 2 8yx （2）设( ,0)P t，P关于直线 1 2 yx的对称点为 1( , ) P m n， 则 2, 1 (), 222 n mt nmt 即 22 , 2, mnt nmt 解得 3 , 5 3 . 5 mt nt 代入曲线E得 2 1624 255 tt， 解得0t （舍去） ， 15 2 t ，即点P的坐标为 15
26、(,0) 2 解法二： （1）设圆心( , )C x y，依题意1x， 因为圆C与直线:1l x 相切，所以1rx， 又圆C与圆 1 C外切，所以 1 |1CCr， 即 22 (2)2xyx， 化简得曲线E的方程为 2 8yx 第 15 页（共 17 页） （2）同解法 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )2(21) 2 f xlnxaxax，aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，证明： 5 ( )4 2 f x a 【解答】解法一： （1）因为 2 1 ( )2(21) 2 f xlnxaxax，定义域为(0,)， 所以 2(2)(1) ( )(21) xax fx
27、axa xx 当0a时，( )0fx，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时， 1 (0,)x a 时，( )0fx，( )f x单调递增， 1 (,)x a 时，( )0fx，( )f x单 调递减 综上所述：当0a时，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，( )f x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单调递减 （2）由（1）可知，当0a 时，( )f x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单调递减 所以 111 ( )()2 ()2 2 max f xfln aaa 要证 5 ( )4 2 f x a ， 只要证 115 2 ()
28、24 22 ln aaa ，即证 11 ()1 0ln aa 令 1 t a ，即证1 0lntt 在0t 上成立 令( )1g tlntt ，即证( ) 0g t 因为 1 ( )1g t t ， 所以( )g t在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减 所以( )g tg（1）0，命题得证 解法二： （1）同解法 （2）由（1）可知，当0a 时，( )f x在 1 (0,) a 单调递增，在 1 (,) a 单调递减， 所以 111 ( )()2 ()2 2 max f xfln aaa 要证 5 ( )4 2 f x a ， 第 16 页（共 17 页） 只要证 115 2 ()24
29、 22 ln aaa ，即证 11 ()1 0ln aa 因为 22 111 ( ) a g a aaa ， 所以g（a）在(, 1) 上单调递增，在( 1,0)上单调递减 所以g（a）( 1)0g ，命题得证 （二）选考题：请考生在（二）选考题：请考生在（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计如果多做，则按所做第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已 知直线l的参数方程为 1 , 2 ( 3 2 xt t yt 为参数）
30、 ，曲线C的极坐标方程为2cos3 （1）求C的直角坐标方程； （2）求l被C截得的线段长 【解答】解法一： （1）因为 22 xy，cosx， 所以由2cos3；得 22 23xyx， 两边平方得 222 4()69xyxx， 化简得C的直角坐标方程为 22 34690xyx （2）由直线l的参数方程得其普通方程为3yx 由 22 34690, 3 xyx yx 消去y，得 2 5230xx 设l与C的交点为 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y则 12 2 5 xx， 12 3 5 x x 则l被C截得的线段 2 1212 16 | 2 ()4 5 MNxxx x 解法二：
31、 （1）同解法 （2）由已知可得C的极坐标方程化为 3 2cos ， 直线的极坐标方程为 3 或 4 (0) 3 ， 由（1）可知极点在曲线C的内部，而直线l过极点， 设l与C的两个交点的极坐标分别为 1 (,) 3 ， 2 4 (,) 3 第 17 页（共 17 页） 则 1 3 2 2cos 3 ， 2 36 4 5 2cos 3 所以l被C截得的线段长为价 12 16 5 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数x，y，z满足 222 4xyz （1）证明：2 2xy ； （2）若 11 2 xy ，求z的最大值 【解答】解： （1） 222 4xyz， 222 44xyz 22 2xyxy， 222 ()2() 8xyxy剟， 2 2xy （2） 11 2 xy ， 2 11 ()4 xy ， 22222 111 ()() 4 xyxy xy 2 11 2(2)2 4 xy xy 又 222 4zxy， 2 42z ， 2 2z，2z ， 当1xy时，z取得最大值2
