1、 第 1 页（共 16 页） 2019-2020 学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（文科）学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |230Ax xx ， |20Bx x，则(AB ) A( 1,2) B(2,3) C( 3, 1) D(,2) 2 （5 分）复数 3 1 i z i 的模| (z ) A1 B2 C2 D5 3 （5 分）圆 22 2270
2、xyxy的圆心到直线0xy的距离为( ) A2 B3 C2 D3 4 （5 分）某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额 的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为 20 万元，B点表示Q产品 9 月份销售额 约为 25 万元 根据图中信息，下面统计结论错误的是( ) AP产品的销售额极差较大 BP产品销售额的中位数较大 CQ产品的销售额平均值较大 DQ产品的销售额波动较小 5 （5 分）设 0.6 0.6a ， 1.5 0.6b ， 0.6 1.5c ，则a，b，c的大小关系( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 6 （5 分）若sin2cos，
3、则 2 cossin2( ) 第 2 页（共 16 页） A 12 5 B 9 5 C1 D 4 5 7 （5 分）已知非零向量a，b满足| 2|ab，且()abb，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8 （5 分）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 9 （5 分）设，是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误 的是( ) A如果m，/ /n，那么mn B如果/ /，m，那么/ /m C如果mn，m
4、，/ /n，那么 D如果内有两条相交直线与平行，那么/ / 10 （5 分）下列函数中，其图象与函数ylgx的图象关于点(1,0)对称的是( ) A(1)ylgx B(2)ylgx C 0.1 log(1)yx D 0.1 log(2)yx 11 （5 分）关于函数( ) |sin|sin|f xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数( )f x在区间( 2 ，0)单调递减 ( )f x在，有 4 个零点( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 12 （5 分）设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直
5、 径的圆与圆 222 xya交于P，Q两点，若| |PQOF，则C的渐近线方程为( ) A2yx B3yx C2yx Dyx 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）抛物线 2 4yx上一点P到该抛物线的焦点距离是 10，则P点的横坐标为 14 （5 分）已知函数( )f x在R单调递减，且为奇函数，则满足(1)(3)0f xf x的x的 取值范围为 第 3 页（共 16 页） 15（5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若ABC的面积为 222 4 abc ， 则A 16 （5 分）已知正三棱柱 11
6、1 ABCABC的六个顶点都在球O的表面上，若这个三棱柱的体 积为9 3，3AB ，则 1 AA ，球O的表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）等差数列 n a的公差为 2，若 2 a， 4 a， 8 a成等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2）设 n S是数列 n a的前n
7、项和，求数列 1 n S 的前n项和 n T 18 （12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元， 未售出的产品，每1t亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X（单位：t， 100150)X剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度 内经销该农产品的利润 （）将T表示为X的函数； （）根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为 AC的中点 第 4
8、页（共 16 页） （1）证明：PO 平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 四点 1(1,1) P， 2(0,1) P， 3 2 ( 1,) 2 P ， 4 2 (1,) 2 P 中恰有三点在椭圆C上 （1）求C的方程； （2）设C的短轴端点分别为A，B，直线:(1)l yxt t 交C于M，N两点，交y轴于 D点，若| | |DMDNDADB，求实数的值 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )1 2 f xxlnx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）设 2 1
9、( ) 2 g xxaxlnx，证明：曲线( )yg x没有经过坐标原点的切线 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ，以原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos （1）写出直线l的参数方程(为常数）和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与C交于A、B两点，且|
10、 | 40MAMB ，求倾斜角的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知0a ，0b （1）证明： 3322 aba bab； （2）若2ab，求 33 ab的最小值 第 5 页（共 16 页） 2019-2020 学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（文科）学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合
11、 2 |230Ax xx ， |20Bx x，则(AB ) A( 1,2) B(2,3) C( 3, 1) D(,2) 【解答】解： | 13Axx ， |2Bx x， ( 1,2)AB 故选：A 2 （5 分）复数 3 1 i z i 的模| (z ) A1 B2 C2 D5 【解答】解： 3 1 i z i ， 3|3|10 | |5 1|1|2 ii z ii 故选：D 3 （5 分）圆 22 2270xyxy的圆心到直线0xy的距离为( ) A2 B3 C2 D3 【解答】解： ：圆 22 2270xyxy的圆心(1,1)到直线0xy的距离 1 1 2 2 d 故选：A 4 （5 分）
12、某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额 的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为 20 万元，B点表示Q产品 9 月份销售额 约为 25 万元 根据图中信息，下面统计结论错误的是( ) 第 6 页（共 16 页） AP产品的销售额极差较大 BP产品销售额的中位数较大 CQ产品的销售额平均值较大 DQ产品的销售额波动较小 【解答】解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对； P产品的销售额极差更大，故A对； Q产品的销售额基本维持在 25 万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q销售额平均 值更大，故C对， 故选：B 5 （5 分）设 0.6
13、0.6a ， 1.5 0.6b ， 0.6 1.5c ，则a，b，c的大小关系( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：函数0.6xy 为减函数； 故 0.61.5 0.60.6ab， 函数 0.6 yx在(0,)上为增函数； 故 0.60.6 0.61.5ac， 故bac， 故选：C 6 （5 分）若sin2cos，则 2 cossin2( ) A 12 5 B 9 5 C1 D 4 5 【解答】解：sin2cos，故tan2， 所以 2 2 222 cos2sincos12tan cossin21 sincos1tan ， 第 7 页（共 16 页） 故选：C 7 （5
14、分）已知非零向量a，b满足| 2|ab，且()abb，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：()abb， 2 ()ab ba bb 2 |cos,0a ba bb ， 2 | cos, | b a b a b 2 2 |1 2 2| b b ， ,0, a b， , 3 a b 故选：B 8 （5 分）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 【解答】解：从分别写有 1，2，3，4，5 的 5
15、张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数5525n ， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： (2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， 共有10m 个基本事件， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 102 255 p 故选：D 9 （5 分）设，是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误 的是( ) A如果m，/ /n，那么mn 第 8 页（共 16 页） B如果/ /，m，那么/ /m C如果mn，m，/ /n，那么 D如果内有两条相交直线与平行，那
16、么/ / 【解答】解：m，/ /n，那么mn，满足直线与平面垂直的性质，所以A正确； / /，m，那么/ /m，满足两个平面平行的性质定理，所以B正确； 如果mn，m，/ /n，那么，、也可能相交，也可能平行，所以C不正 确； 如果内有两条相交直线与平行， 那么/ /，满足两个平面平行的判断定理，所以D正 确 故选：C 10 （5 分）下列函数中，其图象与函数ylgx的图象关于点(1,0)对称的是( ) A(1)ylgx B(2)ylgx C 0.1 log(1)yx D 0.1 log(2)yx 【解答】解：设所求函数图象上任意一点( , )P x y，则( , )P x y关于(1,0)对
17、称的点(2,)xy在 ylgx上， 即(2)ylgx ， 所以 0.1 (2)log(2)ylgxx 故选：D 11 （5 分）关于函数( ) |sin|sin|f xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数( )f x在区间( 2 ，0)单调递减 ( )f x在，有 4 个零点( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【解答】解：()sin|sin()| sin|sin |( )fxxxxxf x则函数( )f x是偶函数，故 正确， 当( 2 x ，0)时，sin|sinxx ，|sin |sinxx ， 则( )sinsin2sinf xxxx 为减函
18、数，故正确， 第 9 页（共 16 页） 当0 x剟时，( )sin|sin| sinsin2sinf xxxxxx， 由( )0f x 得2sin0x 得0x 或x， 由( )f x是偶函数，得在，)上还有一个零点x ，即函数( )f x在，有 3 个 零点，故错误， 当sin| 1x ，|sin| 1x 时，( )f x取得最大值 2，故正确， 故正确是， 故选：A 12 （5 分）设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直 径的圆与圆 222 xya交于P，Q两点，若| |PQOF，则C的渐近线方程为( ) A2yx B3yx C2y
19、x Dyx 【解答】解：如图， 以OF为直径的圆的方程为 22 0xycx， 又圆O的方程为 222 xya， 第 10 页（共 16 页） PQ所在直线方程为 2 a x c 把 2 a x c 代入 222 xya，得 2ab PQ c ， 再由| |PQOF，得 2ab c c ，即 22 2abab， ab，解得双曲线的渐近线方程为：yx 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 抛物线 2 4yx上一点P到该抛物线的焦点距离是 10， 则P点的横坐标为 9 【解答】解：设( , )P x y， P到该抛
20、物线焦点的距离为 10， 10 2 P x，即101x ，解得9x 故答案为：9 14 （5 分）已知函数( )f x在R单调递减，且为奇函数，则满足(1)(3)0f xf x的x的 取值范围为 (1,) 【解答】解：( )f x在R单调递减，且为奇函数， 则由(1)(3)0f xf x可得(1)(3)(3)f xf xfx ， 则有13xx ， 解可得，1x ， 故答案为：(1,) 15（5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若ABC的面积为 222 4 abc ， 则A 3 4 【解答】解：ABC的面积为 222 1 sin 42 abc bcA ， 又 222 2cos
21、abcbcA，可得 222 2cosabcbcA ， 2cos1 sin 42 bcA bcA ，可得cossinAA，即tan1A ， (0, )A， 3 4 A 故答案为： 3 4 第 11 页（共 16 页） 16 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在球O的表面上，若这个三棱柱的体 积为9 3，3AB ，则 1 AA 4 ，球O的表面积为 【解答】解：由题意设高 1 AAb，由题意 2 3 39 3 4 VS bb，解得：4b ； 外接球的球心为过底面外接圆的圆心做底面的垂线与中截面的交点， 设外接球的半径为R，底面半径为r，则 222 ( ) 2 b Rr， 因为
22、底面为等边三角形， 所以 3 2 sin 3 r ，即3r ， 所以 2 347R ， 所以球O的表面积为4728； 故答案分别为：4，28 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）等差数列 n a的公差为 2，若 2 a， 4 a， 8 a成等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2）设
23、n S是数列 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和 n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的首项为 1 a， 由题意得 2 428 aa a，即 2 11 (6)(2)(aa 1 14)a ，解得 1 2a 第 12 页（共 16 页） n a的通项公式2 n an； （2）由（1）得 1 1 ()(1) 2 nn Saan n， 1111 (1)1Snn nnn 于是 1111111 (1)()()() 223341 n T nn 1 1 11 n nn 18 （12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元， 未售出的产品，每1t亏
24、损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X（单位：t， 100150)X剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度 内经销该农产品的利润 （）将T表示为X的函数； （）根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率 【解答】 解：( ) I由题意得， 当100X ，130)时，500300(130)80039000TXXX， 当130X ，150时，500 13065000T ， 80039000,100,130) 65000,130,150 XX T X ()II由( ) I知，
25、利润T不少于 57000 元，当且仅当120150X剟 由直方图知需求量120X ，150的频率为 0.7， 所以下一个销售季度的利润T不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为 第 13 页（共 16 页） AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 【解答】 （1）证明：2 2ABBC，4AC ， 222 ABBCAC，即ABC是直角三 角形， 又O为AC的中点，OAOBOC， PAPBPC，POAPOBPOC ，90POAPOBPOC
26、， POAC，POOB，0OBAC ，PO平面ABC； （2）解：由（1）得PO 平面ABC， 22 2 3POPAAO， 在COM中， 220 2 5 2cos45 3 OMOCCMOC CM 112 52 15 2 3 2233 POM SPOOM ， 124 233 COMABC SS 设点C到平面POM的距离为d由 P OMCC POM VV 11 33 POMOCM SdSPO ， 解得 4 5 5 d ， 点C到平面POM的距离为 4 5 5 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 四点 1(1,1) P， 2(0,1) P， 3 2 ( 1,
27、) 2 P ， 4 2 (1,) 2 P 中恰有三点在椭圆C上 （1）求C的方程； （2）设C的短轴端点分别为A，B，直线:(1)l yxt t 交C于M，N两点，交y轴于 D点，若| | |DMDNDADB，求实数的值 第 14 页（共 16 页） 【解答】 解：（1） 由于 3 P， 4 P关于轴对称， 故由题设知C经过 3 P， 4 P两点， 所以 22 11 1 2ab 又由 2222 1111 1 2abab 知，C不经过点 1 P，所以点 2 P在上，所以 2 1 1 b 因此 2 2a ，故C的方程为 2 2 1 2 x y （2）设: l yxt， 1 (M x， 1) y，
28、2 (N x， 2) y，则(0, )Dt， 22 111 |(0)()2|DMxytx， 2222 2 |(0)()2|DNxytx yxt与 2 2 1 2 x y联立得 22 34220xtxt 当 2 8(3) 0t时，即33t剟时， 2 12 22 3 t x x 所以 2 12 4|1| | | 2| 3 t DMDNx x 由（1）得(0, 1)A，(0,1)B，所以 2 | | |1| |1| |1|DADBttt 等式| | |DMDNDADB可化为 2 2 4|1| |1| 3 t t 因为1t ，所以 | |4 | |3 DADB DMDN 21 （12 分）已知函数 2
29、 1 ( )1 2 f xxlnx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）设 2 1 ( ) 2 g xxaxlnx，证明：曲线( )yg x没有经过坐标原点的切线 【解答】解： （1）f ( ) x定义域为(0,)， (1)(1) ( ) xx fx x 当01x时，( )0fx，1x 时，( )0fx 于是f ( ) x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增 （2）因为( )g x定义域为(0,)， 所以y轴不是曲线( )yg x 的切线 当经过坐标原点的直线不是y轴时，设ykx是曲线( )yg x的切线，切点是 0 (x， 0) y 因为 2 1 ( )g xxa x ， 所以消
30、去k得 2 00 1 10 2 xlnx ，即f 0 ()0x 由（1）知f ( )xf （1） 3 0 2 ， 第 15 页（共 16 页） 所以f 0 ()0x无解 因此曲线( )yg x没有经过坐标原点的切线 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ，以原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
31、的极坐标方程为 2 sin2cos （1）写出直线l的参数方程(为常数）和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与C交于A、B两点，且| | 40MAMB ，求倾斜角的值 【解答】解： （1）倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ， 直线l的参数方程是 2cos 4sin xt yt ，(t是参数） ， 曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos， 曲线C的直角坐标方程是： 2 2yx； （2）把直线的参数方程代入 2 2yx，得 22 sin(2cos8sin )200tt， 12 2 2cos8sin sin tt ， 1 2 2 20 sin t t ， 根据直线参数的几何意义 1 2 2
32、 20 | |40 sin MA MBt t ， 故 4 或 3 4 ， 又 22 (2cos8sin )80sin0， 故 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知0a ，0b （1）证明： 3322 aba bab； （2）若2ab，求 33 ab的最小值 【解答】解： （1） 33222 aba baba 2 ()abb ()ba 第 16 页（共 16 页） 222 ()()() ()ab ababab 0a ，0b ，0ab ， 2 ()0ab， 2 () () 0abab 于是 3322 aba bab （2）2ab， 3322 ()()abab aabb 222 2()2()386aabbababab 2 ()1 2 ab ab ，当且仅当1ab等号成立， 862ab 故当1ab时， 33 ab取最小值 2
