1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（文科）学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合1A ，2，3，4，5， |3Bxx ，则(AB ) A5 B1，2 C3，4，5 D4，5 2 （5 分）复数 5 i z i 上的虚部为( ) A 5 26 B 5 26 i C 5 26 D 5 26 i 3 （5 分
2、）若双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的实轴长为2 2，则该双曲线的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B 2 2 yx C2yx D2yx 4（5分） 已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线， 且，m，l， 则“ml”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以(0)a a 得到一 组新数据，则下列说法正确的是( ) A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n 6 （5 分）设函数 (),0
3、 ( ) ( )1,0 lnx x f x g xx ，若( )f x是奇函数，则 2 ()(g e ) A3 B2 C1 D1 7 （5 分）第 28 届金鸡百花电影节将于 11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办，近日首批 影展片单揭晓， 南方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜五部 优秀作品将在电影节进行展映若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春 潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为( ) A 1 2 B 3 5 C 7 10 D 4 5 8（5 分） 将曲线sin2yx向左平移(0) 个单位长度， 得到的曲线关于直线 12 x 对称， 第 2 页（共
4、17 页） 则的最小值为( ) A 12 B 4 C 6 D 3 9 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 5 4S ， 10 10S，则 15 (S ) A16 B19 C20 D25 10 （5 分）在三棱锥ABCD中，ADCD，2ABBC，5AD ，3CD ，则该 三棱锥的外接球的表面积为( ) A8 B9 C10 D12 11 （5 分）已知函数 1cos ( ) 2cos x f x x ，( )2(0)g xaxa若 1 xR， 2 1x，2， 12 ()()f xg x，则a的取值范围是( ) A 2 1, 3 B 2 ,2 3 C 4 ,2 3 D 4 ,)
5、3 12 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为椭圆上不同 于左、右顶点的任意一点，I为 12 PFF的内心，且 11 22 IPFIF FIPF SSS，若椭圆的离心率 为e，则( ) A 1 e B 2 e Ce D2e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设x，y满足则 22 0, 22 0, 2 0, xy xy xy 则3zxy的最小值是 14 （5 分）若函数( ) x f xemx在 2，0上为减函数，则m的取值范围为 15 （5
6、分）最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经 和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题，我国的九章算术也有记载所以，商高比毕达 哥拉斯早 500 多年发现勾股定理 现有ABC满足 “勾 3 股 4 弦 5” ， 其中4AB ，D为弦BC 上一点（不含端点） ，且ABD满足勾股定理，则()CBCA AD 16 （5 分）在数列 n a中， 1 3a ，且 1 22 2 1 nn aa nn （1） n a的通项公式为 ； 第 3 页（共 17 页） （2）在 1 a、 2 a、 3 a、 2019 a这 2019 项中，被 10 除余 2 的项数为 三、解答题：共
7、三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表 购买金额（元) 0，15) 15，30) 30，45) 45，60) 60，75) 75，90 人数 10 15 20 15 20 10 （
8、1）求购买金额不少于 45 元的频率； （2）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 附：参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 附表： 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 18在ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且 3 cossin ab AB （1）求A； （2）若2a ，且cos(
9、)2sinsincosBCBCC，求ABC的面积 19如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，F，G分别是棱 1 CC， 1 AA的中点，E，M分别 为棱AB， 11 A B上一点， 11 3B MMA，且/ /GM平面 1 B EF （1）证明：E为AB的中点 （2）若四棱锥 1 FB MGE的体积为 3 2 ，求正方体 1111 ABCDABC D的表面积 第 4 页（共 17 页） 20已知直线l与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点，(2M， 00 )(0)yy 为弦AB的中点， 过M作AB的垂线交x轴于点P （1）求点P的坐标； （2）当弦AB最长时，求直线l的方程 21已
10、知函数( )2 x f xeaxa，( )g xlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2） 用m a xm，n表示m，n中的最大值， 已知2a ， 求函数( ) ( )h xmax f x，( )(0)g xx 的零点的个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分. 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，曲线C的参数方程 为 cos (0 sin xm m yan ，0n ，为参数） ，以坐标
11、原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，且曲线C的极坐标方程为8sin （1）求a，m，n的值； （2）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB 23已知函数( )3|1|24|f xxx （1）求不等式( )3f x 的解集； （2）若对任意xR，不等式 2 ( ) |2|8f xxtt恒成立，求t的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（文科）学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小
12、题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合1A ，2，3，4，5， |3Bxx ，则(AB ) A5 B1，2 C3，4，5 D4，5 【解答】解：1A，2，3，4，5， |3Bx x， 4AB，5 故选：D 2 （5 分）复数 5 i z i 上的虚部为( ) A 5 26 B 5 26 i C 5 26 D 5 26 i 【解答】解： (5)15 5(5)(5)2626 iii zi iii ， 复数 5 i z i 上的虚部为 5 26 故选：A 3 （5 分）若双曲线
13、 22 2 1(0) 4 xy a a 的实轴长为2 2，则该双曲线的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B 2 2 yx C2yx D2yx 【解答】解：双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的实轴长为2 2， 可得2a ，所以双曲线方程为： 22 1 24 xy ， 该双曲线的渐近线方程为：2yx 故选：D 4（5分） 已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线， 且，m，l， 则“ml”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由，m，l，ml，利用面面垂直的性质可得m； 第 6 页（共 17 页） 由，m，l，m
14、，利用面面垂直的性质可得ml ，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且，m，l，则 “ml”是“m”的充要条件 故选：C 5 （5 分）一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以(0)a a 得到一 组新数据，则下列说法正确的是( ) A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n 【解答】解：一组数据的平均数为m，方差为n， 将这组数据的每个数都乘以(0)a a ，得到一组新数据， 则这组新数据的平均数为am， 方差为 2 a n，标准差为a n 故选：D 6 （5 分）设函数 (),0 ( ) ( )1,0
15、lnx x f x g xx ，若( )f x是奇函数，则 2 ()(g e ) A3 B2 C1 D1 【解答】解：根据题意，函数 (),0 ( ) ( )1,0 lnx x f x g xx ， 则 22 ()2felne， 又由( )f x为奇函数，则 22 ()()2f efe， 则有 22 ()() 13g ef e ； 故选：A 7 （5 分）第 28 届金鸡百花电影节将于 11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办，近日首批 影展片单揭晓， 南方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜五部 优秀作品将在电影节进行展映若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则
16、春 潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为( ) A 1 2 B 3 5 C 7 10 D 4 5 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为： (南方车站的聚会 ， 春江水暖)，(南方车站的聚会 ， 第一次的离别)，(南 方车站的聚会 ， 春潮)， (南方车站的聚会 ， 抵达之谜)，(春江水暖 ， 第一次的离别)，(春江水暖 ， 春潮 ，(春江水暖 ， 抵达之谜)， (第一次的离别 ， 春潮)(第一次的离别 ， 抵达之谜)，(春潮 ， 抵达之谜 )，共 10 种情况， 其中春潮与抵达之谜至少有一部被选中的有 7 种， 故春潮与抵达之谜至少有一
17、部被选中的概率为 7 10 p 故选：C 8（5 分） 将曲线sin2yx向左平移(0) 个单位长度， 得到的曲线关于直线 12 x 对称， 则的最小值为( ) A 12 B 4 C 6 D 3 【解答】解：将曲线sin2yx向左平移(0) 个单位长度， 得sin2()sin(22 )yxx的图象； 该图象对应的曲线关于直线 12 x 对称， 则22 122 k ，kZ； 解得 26 k ，kZ； 又0，所以的最小值为 6 故选：C 9 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 5 4S ， 10 10S，则 15 (S ) A16 B19 C20 D25 【解答】解：等比数列
18、n a的前n项和为 n S， 5 S， 105 SS， 1510 SS成等比数列， 5 4S ， 105 1046SS， 第 8 页（共 17 页） 1510 6 69 4 SS， 所以 15101510 19SSSS， 故选：B 10 （5 分）在三棱锥ABCD中，ADCD，2ABBC，5AD ，3CD ，则该 三棱锥的外接球的表面积为( ) A8 B9 C10 D12 【解答】解：因为ADCD，5AD ，3CD ，所以532 2AC ， 又因为2ABBC，2 2AC ， 所以 2 ABC ， 取AC 的中点E，则2AEEBECED， 所以E为外接球的球心，且半径2R ， S所以外接球的表面
19、积 2 48SR， 故选：A 11 （5 分）已知函数 1cos ( ) 2cos x f x x ，( )2(0)g xaxa若 1 xR， 2 1x，2， 12 ()()f xg x，则a的取值范围是( ) A 2 1, 3 B 2 ,2 3 C 4 ,2 3 D 4 ,) 3 【解答】解： 1cos1 ( )1 2cos2cos x f x xx ， 当xR时， 2 ( )0, 3 f x 第 9 页（共 17 页） ( )2(0)g xaxa，当1x，2时， ( )g x单调递增，( )2g xa，22a 1 xR， 2 1x，2， 12 ()()f xg x， 2 0, 2,22 3
20、 aa， 2 0 2 22 3 a a ， 4 2 3 a剟， a的取值范围为 4 ,2 3 故选：C 12 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为椭圆上不同 于左、右顶点的任意一点，I为 12 PFF的内心，且 11 22 IPFIF FIPF SSS，若椭圆的离心率 为e，则( ) A 1 e B 2 e Ce D2e 【解答】解：设 12 PFF的内切圆半径为r， 则 1 1 1 | 2 IPF SPFr， 2 2 1 | 2 IPF SPFr， 1 2 12 1 | 2 IF F SFFr， 121 2 IPFIPFIF
21、 F SSS， 1212 111 | 222 PFrPFrFFr， 可得 1212 |PFPFFF 22ac， 解得： 1 e 故选：A 第 10 页（共 17 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设x，y满足则 22 0, 22 0, 2 0, xy xy xy 则3zxy的最小值是 4 【解答】解：作出不等式组 22 0, 22 0, 2 0, xy xy xy 对应的平面区域如图： 由3zxy得 11 33 yxz， 平移直线 11 33 yxz，由图象可知当直线 11 33 yxz经过点C时， 直
22、线 11 33 yxz的截距最大，此时z最小， 220 220 xy xy 2 (2,2) 2 x C y 此时2324z ， 故答案为：4 14 （5 分） 若函数( ) x f xemx在 2，0上为减函数，则m的取值范围为 1，) 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：函数( ) x f xemx在 2，0上为减函数， ( )0 x fxem 在 2，0上恒成立， 即 x m e对 2x ，0恒成立， 0 1m e m的取值范围为1，) 故答案为：1，) 15 （5 分）最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经 和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题
23、，我国的九章算术也有记载所以，商高比毕达 哥拉斯早 500 多年发现勾股定理 现有ABC满足 “勾 3 股 4 弦 5” ， 其中4AB ，D为弦BC 上一点（不含端点） ，且ABD满足勾股定理，则()CBCA AD 144 25 【解答】解：如图，根据题意知，ABC，ABD都为直角三角形，则： 53 4AD ， 12 5 AD ，且DABACB ，且4AB ，3AC ， 12123144 ()|cos4cos4 55525 CBCA ADAB ADABADDABACB 故答案为： 144 25 16 （5 分）在数列 n a中， 1 3a ，且 1 22 2 1 nn aa nn （1） n
24、 a的通项公式为 2 22 n ann ； （2）在 1 a、 2 a、 3 a、 2019 a这 2019 项中，被 10 除余 2 的项数为 【解答】解： （1）数列 n a中， 1 3a ，且 1 22 2 1 nn aa nn （常数） 所以数列 2 n a n 是以 1 2 1 1 a 为首项，2 为公差的等差数列 所以 2 12(1) n a n n ， 解得 2 22 n ann（首项符合通项） 第 12 页（共 17 页） 故 2 22 n ann （2）由于 2 22 n ann，所以被 10 除余 2 的数设为108k 故： 2 22108 n annk 整理得： (21)
25、 1 10 nn k ， 由于kN， 故(21)nn是 10 的倍数 所以：21n为正奇数， 所以n为偶数 所以8n ，10，18，20，2008，2010，2018 一共有202201403 故答案为： 2 22:403 n ann 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17某土特产超市为预估 2020
26、年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表 购买金额（元) 0，15) 15，30) 30，45) 45，60) 60，75) 75，90 人数 10 15 20 15 20 10 （1）求购买金额不少于 45 元的频率； （2）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 附：参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 附表： 第 13 页（共 17 页
27、） 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【解答】 解：（1） 根据题意， 由统计表可得： 购买金额不少于 45 元的人数为15201045， 则购买金额不少于 45 元的频率 45 0.5 90 P ； （2）根据题意， 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 12 40 52 女 18 20 38 合计 30 60 90 则 2 2 90 (122040 18) 5.833.841 52 38 30 60 K ； 故有95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 18
28、在ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且 3 cossin ab AB （1）求A； （2）若2a ，且cos()2sinsincosBCBCC，求ABC的面积 【解答】解： （1） 3 cossin ab AB ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 cos sin 3 A A ，可得 3 tan 3 A ， (0, )A， 6 A （2）cos()2sinsincosBCBCC， coscossinsin2sinsincosBCBCBCC，可得coscossinsincosBCBCC， cossinsincoscoscos()cosCBCBCBCA ， A，(0, )C
29、， 6 A ，2a ， 6 CA ， 2 3 BAC ，2ca， ABC的面积 113 sin223 222 SacB 第 14 页（共 17 页） 19如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，F，G分别是棱 1 CC， 1 AA的中点，E，M分别 为棱AB， 11 A B上一点， 11 3B MMA，且/ /GM平面 1 B EF （1）证明：E为AB的中点 （2）若四棱锥 1 FB MGE的体积为 3 2 ，求正方体 1111 ABCDABC D的表面积 【解答】 解：（1）/ /GM平面 1 B EF，GM 平面 11 A ABB， 平面 11 A ABB平面 11 B EFB
30、E， 1 / /GMB E， 11 3B MMA，M是 11 A B的四等分点，又G是 1 A A的中点， E为AB的中点； （2）设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为4a， 由（1）可知， 1 2 1 2 2 AGM Saaa， 2 1 222 2 AGE Saaa ， 1 2 1 244 2 B BE Saaa， 1 22222 (4 )249 MGEB Saaaaa 梯形 ， 又四棱锥 1 FB MGE的体积为 3 2 ， 2 13 94 32 aa，解得： 1 2 a ， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 正方体 1111 ABCDABC D的表面积为： 2
31、 6224 20已知直线l与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点，(2M， 00 )(0)yy 为弦AB的中点， 过M作AB的垂线交x轴于点P （1）求点P的坐标； （2）当弦AB最长时，求直线l的方程 【解答】 解：（1） 设直线l的方程为ykxb， 联立 2 4yx， 可得 222 (24)0k xkbxb， 第 15 页（共 17 页） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，可得 12 2 42 4 kb xx k ，即 2 22kbk， 2 12 2 b x x k ， 设( ,0)P t，由题意可得 0 1 2 MP y k tk ，即 0 22(2)224tk
32、ykkb； 可得(4,0)P； （2）由（1）可得 12 4xx， 2 12 2 b x x k ， 222 (24)40kbk b，即1kb ， 则 2 222 1212 2 4 |1()4116 b ABkxxx xk k 2222 22 44242 4(22)(1)(21)119113 11644 24()46 422 kkk k kkkkk ， 当 2 2k 即2k 时，|AB取得最大值 6 21已知函数( )2 x f xeaxa，( )g xlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2） 用m a xm，n表示m，n中的最大值， 已知2a ， 求函数( ) ( )h xmax f
33、 x，( )(0)g xx 的零点的个数 【解答】解： （1）定义域为R，因为( )2 x fxea，当0a时，( )0fx恒成立，所以( )f x 单调递增， 当0a ，令( )0fx，即2 x ea，解得2xln a，2xln a，( )0fx，( )f x单调递增； 2xln a，( )0fx，( )f x单调递减； 综上所述：0a，函数( )f x在R上单调递增； 0a ，函数( )f x在(,2 )ln a单调递减，在( 2 ,)ln a 单调递增； （2）2a 时，( )42 x f xex， 当(1,)x，( )0g xlnx，从而函数( ) ( )h xmax f x，( )(
34、 )0g xg x ， 所以函数( )h x无零点， 1x 时，f（1）60e，g（1）0，所以1x 是函数( )h x的一个零点； (0,1)x，( )0g xlnx，所以函数( )h x的零点个数就考虑( )f x的零点个数， 由（1）得：( )42 x f xex在(0,1)上单调递减， 第 16 页（共 17 页） 所以( )(0)10f xf ，从而函数( )h x在(0,1)无零点， 综上所述函数( )h x的零点只有一个 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第
35、一 题计分题计分. 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，曲线C的参数方程 为 cos (0 sin xm m yan ，0n ，为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，且曲线C的极坐标方程为8sin （1）求a，m，n的值； （2）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB 【解答】解： （1）曲线C的极坐标方程为8sin转换为 2 8 sin， 则 22 8xyy， 即 22 (4)16xy 因为0m ，0n ， 所以4amn （2）将直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2
36、xt t yt 为参数） ， 代入 22 (4)16xy， 得 2 3 270tt 设A，B两点对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 3 20tt， 1 2 70t t 所以 12121 2 | |()446PAPBttttt t 23已知函数( )3|1|24|f xxx 第 17 页（共 17 页） （1）求不等式( )3f x 的解集； （2）若对任意xR，不等式 2 ( ) |2|8f xxtt恒成立，求t的取值范围 【解答】解： （1）当1x 时，( )3(1)(24)3f xxx ， 解得10x ； 当12x 剟时，( )3(1)(24)3f xxx， 解得 4 5 x ，则 4 2 5 x ； 当2x 时，( )3(1)(24)3f xxx， 解得4x ，则2x ； 综上知，不等式( )3f x 的解集为(， 4 10)(5，)； （2）由 ()|2|3|1|24|2|3|1|3|2|33|36|33(36)|9fxxxxxxxxxxx ， 若对任意xR，不等式 2 ( ) |2|8f xxtt恒成立， 则 2 89tt， 解得1t或9t； 则t的取值范围是(，19，)
