1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年天津市滨海新区七所学校高三（上）期末数学试学年天津市滨海新区七所学校高三（上）期末数学试 卷卷 一、选择题（共一、选择题（共 9 小题）小题） 1 （3 分）记全集UR，集合 2 |16Ax x，集合 |22 x Bx，则()( UA B ) A4，) B(1，4 C1，4) D(1,4) 2 （3 分） 已知直线 1:( 2)30laxay， 2: (2)40lxay， 其中aR， 则 “1a ” 是“ 12 ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （3 分）已知 3 log 2a ，
2、5 log 6b ，2cln，则a，b，c的大小关系为( ) Aacb Bcab Cabc Dcba 4 （ 3 分 ） 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 已 知 22 (sinsin )sinsinsinBCABC，2 3a ，2b ，则ABC的面积为( ) A2 B2 3 C4 D4 3 5 （3 分）已知抛物线 2 1 20 xy的焦点F与双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一个焦点重合， 且点F到双曲线的渐近线的距离为 4，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 1641 xy C 22 1 4116 yx
3、D 22 1 916 yx 6 （3 分） 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺蒲生 日自半，莞生日自倍意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长 高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍请问第几天，莞的长度是蒲的长度的 4 倍( ) A4 天 B5 天 C6 天 D7 天 7 （3 分）已知函数( )sin3cos(0,)f xxxxR的图象与x轴交点的横坐标构成一 个公差为 2 的等差数列，把函数( )f x的图象沿x轴向左平移 3 个单位，纵坐标扩大到原来 第 2 页（共 19 页） 的 2 倍得到函数( )g x的图象，则下列关于函数( )g x
4、的命题中正确的是( ) A函数( )g x是奇函数 B( )g x的图象关于直线 6 x 对称 C( )g x在, 3 12 上是增函数 D当, 6 6 x 时，函数( )g x的值域是0，2 8 （3 分）在梯形ABCD中，已知/ /ABCD，2ABCD，2DMMC，2CNNB，若 AMACAN，则 11 ( ) A 13 12 B 64 13 C 35 12 D 40 13 9 （3 分）已知函数 2 ( )3323 xx f xx ，若函数( ) |( )|log (2)(0 a g xf xxa，1)a 在区间 1，1上有 4 个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A 1 1 (
5、,) 3 2 B(2,) C 3 7 3 ,2) D 3 7 3 ,) 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题）小题） 10 （3 分）已知复数 2 1 i z i ，则复数z的虚部为 11 （3 分）在二项式 10 2 2 ()x x 的展开式中，常数项是 12 （3 分） 已知圆 22 :2260C xyxy 直线l过点(0,3)， 且与圆C交于A、B两点， | 4AB ，则直线l的方程 13 （3 分）底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥已知 正四棱锥的高为 2，体积为 12，则该正四棱锥的外接球的表面积为 14 （3 分）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，
6、现在要从小张、小赵、小李、小罗、 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种 15 （3 分）已知0x ，0y ，则 2222 2 82 xyxy xyxy 的最大值是 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题）小题） 16某校高三实验班的 60 名学生期中考试的语文、数学成绩都在100，150内，其中语文 成绩分组区间是：100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150其 成绩的频率分布直方图如图所示，这 60 名学生语文成绩某些分数段的人数x与
7、数学成绩相 第 3 页（共 19 页） 应分数段的人数y之比如表所示： 分组区间 100，110) 110，120) 120，130) 130，140) 140，150 :x y 1:2 2:1 3:5 3:4 语文人数x 24 3 数学人数y 12 4 （1）求图中a的值及数学成绩在130，140)的人数； （2）语文成绩在140，150的 3 名学生均是女生，数学成绩在140，150的 4 名学生均是 男生， 现从这 7 名学生中随机选取 4 名学生， 事件M为： “其中男生人数不少于女生人数” ， 求事件M发生的概率； （3）若从数学成绩在130，150的学生中随机选取 2 名学生，且这
8、 2 名学生中数学成绩在 140，150的人数为X，求X的分布列和数学期望()E X 17 已知数列 n a的前n项和为 n S， 2* () n Sn nN， 数列 n b为等比数列， 且 2 1a ， 4 1a 分别为数列 n b第二项和第三项 （1）求数列 n a与数列 n b的通项公式； （2）若数列 1 1 nnn nn ca b a a ，求数列 n c的前n项和 n T 18如图，三棱柱 111 ABCABC中，AB 侧面 11 BBC C，已知 1 3 BCC ，1BC ， 1 2ABC C，点E是棱 1 C C的中点 （1）求证： 1 C B 平面ABC； （2）求二面角 1
9、1 AEBA的余弦值； 第 4 页（共 19 页） （3） 在棱CA上是否存在一点M， 使得EM与平面 11 A B E所成角的正弦值为 2 11 11 ， 若存在， 求出 CM CA 的值；若不存在，请说明理由 19已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，左、右焦点分别是 1 F、 2 F，且椭 圆上一动点M到 2 F的最远距离为21，过 2 F的直线l与椭圆C交于A，B两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）当 1 F AB以 1 F AB为直角时，求直线AB的方程； （3）直线l的斜率存在且不为 0 时，试问x轴上是否存在一点P使得OPAOPB ，若
10、存 在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由 20已知函数( )sin(1)f xmxlnx （1）当1m 时，求函数( )f x在(0,1)的单调性； （2）当0m 且 1 a e 时， 1 ( )( )g xaf x x ，求函数( )g x在(0， e上的最小值； （3）当0m 时， 1 ( )( ) 2 h xf xb x 有两个零点 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 12 1xx 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年天津市滨海新区七所学校高三（上）期末数学试学年天津市滨海新区七所学校高三（上）期末数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共
11、一、选择题（共 9 小题）小题） 1 （3 分）记全集UR，集合 2 |16Ax x，集合 |22 x Bx，则()( UA B ) A4，) B(1，4 C1，4) D(1,4) 【解答】解：全集UR，集合 2 |16 |4Ax xx x厖或4x， 集合 |22 |1 x Bxx x厖， | 44 U C Axx ， () |141 UA Bxx，4) 故选：C 2 （3 分） 已知直线 1:( 2)30laxay， 2: (2)40lxay， 其中aR， 则 “1a ” 是“ 12 ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由2(2
12、)0aa a，解得2a 或1a “1a ”是“ 12 ll”的充分必要条件， 故选：A 3 （3 分）已知 3 log 2a ， 5 log 6b ，2cln，则a，b，c的大小关系为( ) Aacb Bcab Cabc Dcba 【解答】解： 3 log 221ln， 5 log 61b ， acb， 故选：A 4 （ 3 分 ） 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 已 知 22 (sinsin )sinsinsinBCABC，2 3a ，2b ，则ABC的面积为( ) 第 6 页（共 19 页） A2 B2 3 C4 D4 3 【解答】解： 22 (sins
13、in )sinsinsinBCABC， 222 sinsin2sinsinsinsinsinBCBCABC， 由正弦定理可得 222 2bcbcabc，可得 222 bcabc， 由余弦定理可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ，由(0, )A，可得 3 A ， 3 sin 2 A， 2 3a ，2b ， 由正弦定理可得 3 2 sin1 2 sin 22 3 bA B a ，由ba，B为锐角，可得 6 B ， 2 CAB ， ABC的面积 11 2 22 Sab322 3 故选：B 5 （3 分）已知抛物线 2 1 20 xy的焦点F与双曲线 22 22 1(0,0)
14、yx ab ab 的一个焦点重合， 且点F到双曲线的渐近线的距离为 4，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 1641 xy C 22 1 4116 yx D 22 1 916 yx 【解答】解：抛物线 2 1 20 xy的焦点坐标为(0,5)， 双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一条渐近线的方程为0byax， 抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4， 22 5 4 b b ab ，即4b ， 5c ，3a， 双曲线方程为： 22 1 916 yx 故选：D 6 （3 分） 九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺蒲生 日自半
15、，莞生日自倍意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长 第 7 页（共 19 页） 高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍请问第几天，莞的长度是蒲的长度的 4 倍( ) A4 天 B5 天 C6 天 D7 天 【解答】解：根据题意，设蒲的长度组成数列 n a，莞的长度组成数列 n b，第t天莞的长 度是蒲的长度的 4 倍， 则 数 列 n a为 等 比 数 列 ， 其 首 项 1 4a ， 公 比 为 1 2 ， 其 前n项 和 为 n A， 则 1 4(1) 1 2 8(1) 1 2 1 2 n n n A ， 数列 n b为等比数列， 其首项 1 1b ， 公比为 2，
16、其前n项和为 n B， 则 1 ( 21 ) 21 2 1 n n n B ， 若第t天莞的长度是蒲的长度的 4 倍，则有 1 4 8(1)21 2 t t ； 解可得：5t ， 故选：B 7 （3 分）已知函数( )sin3cos(0,)f xxxxR的图象与x轴交点的横坐标构成一 个公差为 2 的等差数列，把函数( )f x的图象沿x轴向左平移 3 个单位，纵坐标扩大到原来 的 2 倍得到函数( )g x的图象，则下列关于函数( )g x的命题中正确的是( ) A函数( )g x是奇函数 B( )g x的图象关于直线 6 x 对称 C( )g x在, 3 12 上是增函数 D当, 6 6
17、x 时，函数( )g x的值域是0，2 【解答】解：函数( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ， 由题意知 22 T ，解得T， 所以 2 2 T ， 所以( )2sin(2) 3 f xx ； 把函数( )f x的图象沿x轴向左平移 3 个单位， 第 8 页（共 19 页） 得()2sin2()2sin(2) 3333 yf xxx ； 纵坐标扩大到原来的 2 倍，得4sin(2) 3 yx ； 则函数( )4sin(2) 3 g xx ； 所以( )g x不是定义域R上的奇函数，A错误； 6 x 时， 2 22 36332 xk ，kZ， 所以( )g x的图象不关于直线 6
18、 x 对称，B错误； , 3 12 x 时，2 33 x ， 2 ， 所以( )g x是增函数，C正确； , 6 6 x 时，20 3 x ， 2 3 ，4sin(2)0 3 x ，4， 所以函数( )g x的值域是0，4，D错误 故选：C 8 （3 分）在梯形ABCD中，已知/ /ABCD，2ABCD，2DMMC，2CNNB，若 AMACAN，则 11 ( ) A 13 12 B 64 13 C 35 12 D 40 13 【解答】解：由向量的运算法则知，AMACCM， 2,2DMMC ABDC 111 () 366 CMDCABACCB 151 () 666 AMACACCBACCB 2
19、2 3 CNNBCB 51 64 AMACCN 51131 () 64124 ACANACACAN， 131 , 124 111240 4 1313 第 9 页（共 19 页） 故选：D 9 （3 分）已知函数 2 ( )3323 xx f xx ，若函数( ) |( )|log (2)(0 a g xf xxa，1)a 在区间 1，1上有 4 个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A 1 1 ( ,) 3 2 B(2,) C 3 7 3 ,2) D 3 7 3 ,) 【 解 答 】 解 ： 函 数()|() |l o g(2 ) a gxfxx的 零 点 即 为 函 数|() |yfx与
20、 函 数 ()l o g(2 ) a gxx在 1，1上有四个交点， 易知偶函数 2 ( )3323 xx f xx 在(0,)单调递增，且 7 (0)1,(1) 3 ff ，故在(0,1)上 存在唯一的零点， 又函数( )f x为偶函数，故其在( 1,0)上有另一个零点，作图象如下， 函数log (2) a yx恒过点( 1,0)， 若01a时，函数log (2) a yx在定义域上单调递减，此时不可能满足函数|( )|yf x与 函数( )log (2) a g xx在 1，1上有四个交点， 故1a ， 假设2a ，如图， 显然此时满足函数|( )|yf x与函数( )log (2) a
21、g xx在 1，1上有四个交点，即2a 满足 第 10 页（共 19 页） 条件， 观察选项可知，只有选项D含 2， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题）小题） 10 （3 分）已知复数 2 1 i z i ，则复数z的虚部为 3 2 【解答】解： 2(2)(1)13 1(1)(1)22 iii zi iii ， 复数z的虚部为 3 2 故答案为： 3 2 11 （3 分）在二项式 10 2 2 ()x x 的展开式中，常数项是 180 【解答】解：二项式 10 2 2 ()x x 的展开式的通项公式为 5 5 2 110 2 r rr r TCx ， 令 5 50 2 r，则2
22、r ， 常数项是 22 10 2180C， 故答案为：180 12 （3 分） 已知圆 22 :2260C xyxy 直线l过点(0,3)， 且与圆C交于A、B两点， | 4AB ，则直线l的方程 3y 或 4 3 3 yx 【解答】解：根据题意，圆 22 :2260C xyxy即 22 (1)(1)8xy，圆心(1,1)C， 半径2 2r ， 又由直线l与圆C交于A、B两点，| 4AB ， 则点C到直线l的距离 22 | ()2 2 AB dr， 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为0x ，点C到直线l的距离1d ，不符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为3ykx，即30kxy，
23、则有 2 |2| 2 1 k d k ，解可得0k 或 4 3 ； 故直线l的方程为3y 或 4 3 3 yx； 故答案为：3y 或 4 3 3 yx 13 （3 分）底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥已知 第 11 页（共 19 页） 正四棱锥的高为 2，体积为 12，则该正四棱锥的外接球的表面积为 169 4 【解答】解：做PO 面ABCD于 O ，由题意知 O 为正方形ABCD 的中心，则外接球的 球心在 PO 所在的直线上， 设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r，高2h PO ， 设底面正方形的边长为a，由题意知： 2 1 12 3 ah ，解得3 2a
24、 ，所以 2 3 2 ra， 所以 222 ()RrRh，或 222 ()RrhR，解得： 13 4 R ， 所以正四棱锥的表面积 2 169 4 4 SR ， 故答案为：169 4 14 （3 分）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 36 种 【解答】解：由题意知本题需要分类， 若小张或小赵只有一人入选，则有选法 113 223 24C C A ； 若小张、小赵都入选，则有选法 22 23 12A A ，
25、根据分类计数原理知共有选法241236种 故答案为：36 15 （3 分）已知0x ，0y ，则 2222 2 82 xyxy xyxy 的最大值是 2 3 【解答】解： 33 22224224 2312 821016 xyxyx yxy xyxyxx yy 222 44 3()3() 4 ( )16( )10()2 xyxy yxyx xyxy yxyx ， 第 12 页（共 19 页） 3 42 () 4 xy xy yx yx ， 令 4xy t yx ，则 4 24 xy t yx ， 当且仅当2xy时取等号， 函数 2 yt t ，在4，)上单调递增， 2 yt t 的最小值为： 9
26、 2 ， 29 2 yt t ， 332 422 3 () 4 xy t xy yxt yx 2222 2 82 xyxy xyxy 的最大值为： 2 3 故答案为： 2 3 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题）小题） 16某校高三实验班的 60 名学生期中考试的语文、数学成绩都在100，150内，其中语文 成绩分组区间是：100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150其 成绩的频率分布直方图如图所示，这 60 名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相 应分数段的人数y之比如表所示： 分组区间 100，110) 110，120) 120，130)
27、 130，140) 140，150 :x y 1:2 2:1 3:5 3:4 第 13 页（共 19 页） 语文人数x 24 3 数学人数y 12 4 （1）求图中a的值及数学成绩在130，140)的人数； （2）语文成绩在140，150的 3 名学生均是女生，数学成绩在140，150的 4 名学生均是 男生， 现从这 7 名学生中随机选取 4 名学生， 事件M为： “其中男生人数不少于女生人数” ， 求事件M发生的概率； （3）若从数学成绩在130，150的学生中随机选取 2 名学生，且这 2 名学生中数学成绩在 140，150的人数为X，求X的分布列和数学期望()E X 【解答】解： （1
28、）(0.0050.200.0400.005) 101a， 解得0.030a ， 语文成绩在100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150)中的人数分 别为 3，24，18，12，3， 数学成绩在100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150)中的人数分 别为 6，12，30，8，4， 数学成绩在130，140)的人数为 8 人 （2）语文成绩在140，150的 3 名学生均是女生，数学成绩在140，150的 4 名学生均是 男生， 现从这 7 名学生中随机选取 4 名学生，基本事件总数 4 7 35nC， 事件M为
29、： “其中男生人数不少于女生人数” ， 则事件M包含的基本事件个数 22314 43434 31mC CC CC， 事件M发生的概率为 31 35 m P n （3）由题意得X的可能取值为 0，1，2， 20 84 2 12 14 (0) 33 C C P X C ， 11 84 2 12 16 (1) 33 C C P X C ， 02 84 2 12 1 (2) 11 C C P X C ， 第 14 页（共 19 页） X的分布列为： X 0 1 2 P 14 33 16 33 1 11 141612 ()012 3333113 E X 17 已知数列 n a的前n项和为 n S， 2*
30、 () n Sn nN， 数列 n b为等比数列， 且 2 1a ， 4 1a 分别为数列 n b第二项和第三项 （1）求数列 n a与数列 n b的通项公式； （2）若数列 1 1 nnn nn ca b a a ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）因为：数列 n a的前n项和为 n S， 2* () n Sn nN， 1 1 ,11,1 21 ,221,2 n nn S nn an SSnnn ； 数列 n b为等比数列，且 2 1a ， 4 1a 分别为数列 n b第二项和第三项； 2 4b， 3 8b ； 2q ； 1 2b ； 2n n b； （2）数列 1 11
31、111 (21)2(21)2() (21)(21)2 2121 nn nnn nn ca bnn a annnn ； 令 123 1 23 25 2(21) 2nAn ； 2341 21 23 25 2(21) 2nAn ， 得： 1231 22 22 22 2(21) 2 nn An 2 1 222 22(21)2 12 n n n ； 1 (32 ) 26 n n 1 (23) 26 n An 令 111 1111111 (1)()()(1) 232 352 212122121 n B nnnn ； 第 15 页（共 19 页） 数列 n c的前n项和 1 (23)26 21 n n n
32、Tn n 18如图，三棱柱 111 ABCABC中，AB 侧面 11 BBC C，已知 1 3 BCC ，1BC ， 1 2ABC C，点E是棱 1 C C的中点 （1）求证： 1 C B 平面ABC； （2）求二面角 11 AEBA的余弦值； （3） 在棱CA上是否存在一点M， 使得EM与平面 11 A B E所成角的正弦值为 2 11 11 ， 若存在， 求出 CM CA 的值；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：1BC ， 1 2CC ， 1 3 BCC ， 1 3BC， 222 11 BCBCCC， 1 BCBC， 又AB 侧面 11 BBC C， 1 ABBC， 又ABBCB
33、， 1 C B平面ABC； （2）以B为原点，BC， 1 BC，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则(0B，0，0)，(0A，0，2)， 1( 1 B ，3，0)， 1( 1 A ，3，2)， 1 (2E， 3 2 ，0)，(1C，0，0)； 则 1 ( 2 EA ， 3 2 ，2)， 1 3 ( 2 EB ， 3 2 ，0)， 11 (0B A ，0，2)； 设平面 1 AEB的法向量为(nx，y，) z，则 1 0 0 n EA n EB ，即 13 20 22 33 0 22 xyz xy ， 第 16 页（共 19 页） 令1x ，得3y ，1z ，所以(1n ，3，1)；
34、 设平面 11 AEB的法向量为(mx，y，) z，则 1 11 0 0 m EB m B A ，即 33 0 22 20 xy z ， 令1x ，求得(1m ，3，0)； cosn， 1 1331 02 5 | |513 1130 n m m nm ， 二面角 11 AEBA的余弦值为 2 5 5 ； （3）假设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面 11 A B E所成角的正弦值为 2 11 11 ， 不妨设CMCA，0，1； 又(1CMx，y，) z，( 1CA ，0，2)； 即 1 0, 2 x y z ，所以(1M，0，2 )； 所以 1 (2EM， 3 2 ，2 )，平面 11 A
35、B E的法向量为(1m ，3，0)； 则EM与平面 11 A B E所成角的正弦值为： |cosEM， 22 13 | |2 11 22 | 11|13 ()42 24 EM m m EMm ， 化简得 2 693850，解得 1 3 或 5 23 ； 所以在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面 11 A B E所成角的正弦值为 2 11 11 ， 此时 1 3 CM CA 或 5 23 第 17 页（共 19 页） 19已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，左、右焦点分别是 1 F、 2 F，且椭 圆上一动点M到 2 F的最远距离为21，过 2 F的
36、直线l与椭圆C交于A，B两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）当 1 F AB以 1 F AB为直角时，求直线AB的方程； （3）直线l的斜率存在且不为 0 时，试问x轴上是否存在一点P使得OPAOPB ，若存 在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由题意，可得 2 2 21 c a ac ，解得 2 1 a c 故 2 2a ， 2 1c ， 2 1b 椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）由题意，可知 当直线l斜率不存在时， 1 F AB不符合题意， 故直线l斜率存在，设斜率为k，很明显0k 则直线:(1) AB lyk x直线 1 1 :(1) AF
37、lyx k 联立 (1) 1 (1) yk x yx k ，可得 22 (1)1kxk A点坐标为 2 2 1 ( 1 k k ， 2 2 ) 1 k k 将点A坐标代入椭圆C方程，可得 第 18 页（共 19 页） 2 22 22 12 ()2 ()2 11 kk kk 整理，得 42 210kk ， 解得 2 1k ，即1k 直线AB的方程为1yx 或1yx （3）由题意，假设点P存在，设点P坐标( P x，0) 直线l的斜率存在且不为 0，可设斜率为k，且0k OPAOPB ，0 PAPB kk 1 1 PA P y k xx ， 2 2 PB P y k xx 12 12 0 PP y
38、y xxxx ， 化简整理，得 1221 12 P x yx y x yy 1221 12 (1)(1) (2) x k xx k x k xx 1212 12 () 2 x xxx xx 22 22 2 2 2(1)4 2121 4 2 21 kk kk k k 2 1k 斜率k存在， 2 1k存在，即 P x存在 存在一点P，使得OPAOPB ，且P点坐标为 2 (1k ，0) 20已知函数( )sin(1)f xmxlnx （1）当1m 时，求函数( )f x在(0,1)的单调性； （2）当0m 且 1 a e 时， 1 ( )( )g xaf x x ，求函数( )g x在(0， e上
39、的最小值； （3）当0m 时， 1 ( )( ) 2 h xf xb x 有两个零点 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 12 1xx 【解答】解： （1）当1m 时，( )sin(1)f xxlnx，则 1 ( )cos(1)fxx x ， 当(0,1)x，( )fx在(0,1)上单调递减，( )fxf（1）0， 第 19 页（共 19 页） 当(0,1)x时，( )f x在(0,1)上单调递增 （2）当0m 时， 11 ( )(g xalnxa xe ，0)x e ， 则 22 11 ( ) aax g x xxx ， 1 a e ，( )0g x，( )g x在(0， e上单调递减
40、， 1 ( )( ) min g xg ea e （3）当0m 时， 1 ( )(0) 2 h xlnxb x x ， 1 x， 2 x是函数 1 ( ) 2 h xlnxb x 的两个零点， 1 1 1 0 2 lnxb x ， 2 2 1 0 2 lnxb x ， 两式相减，可得 1 221 11 22 x ln xxx ，即 112 22 1 2 xxx ln xx x ， 12 12 1 2 2 xx x x x ln x ， 1 2 1 1 2 1 2 x x x x ln x ， 2 1 2 1 2 1 2 x x x x ln x 令 1 2 (01) x tt x ，则 12 11 1 1 222 t t tt xx lntlntlnt 记 1 ( )2(01)F ttlntt t ，则 2 2 (1) ( ) t F t t 01t ，( )0F t恒成立，( )F tF（1） ， 即 1 20tlnt t 1 1 2 t t lnt ， 故 12 1xx
