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1、第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 1 |21 x Ax ， 2 |20Bx xx，则(AB ) A1，2) B1，2 C(0，3 D(1，2 2 （5 分）在复平面内，复数1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

2、 3 （5 分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足2CFFB，那么(EF ) A 11 23 ABAD B 11 32 ABAD C 12 23 ABAD D 11 42 ABAD 4 （5 分）函数 2 | | 1x x y e （其中e为自然对数的底）的图象大致是( ) A B C 第 2 页（共 21 页） D 5 （5 分）在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为( ) A 1 2 B 2 C1 2 D2 2 6 （5 分） 5 1 (31)(1)x x

3、的展开式中的常数项为( ) A14 B14 C16 D16 7 （5 分）已知为锐角，且cos (13tan10 )1 ，则的值为( ) A20 B40 C50 D70 8（5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(0E，)(0)ttb 已知动点P在椭圆上，且P，E， 2 F不共线，若 2 PEF的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为( ) A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 5 3 9（5 分）设三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面，2ABAC，90BAC， 1 3 2AA ，且三棱柱的所有顶点都在同一

4、球面上，则该球的表面积是( ) A24 B18 C26 D16 10 （5 分）设 n S是数列 n a的前n项和，若2n nn aS， * 21 22() n b nn aanN ，则数列 1 n nb 的前 99 项和为( ) 第 3 页（共 21 页） A 97 98 B 98 99 C 99 100 D100 101 11 （5 分）已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟若f（a）f（b）()ab，则ab的最小值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab

5、 ab ，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为 B 交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间已知O为原点，且 5 | 3 OAa，则 | ( | FA FC ) A 5 4 B 4 3 C 3 2 D 5 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 2 ( )log (21)cos () x f xaxx aR为偶函数，则a 14 （5 分）已知 n S，是等比数列 n a的前n项和，且 3 S， 9 S， 6 S成等差数列， 24 6aa，则 8 a 15 （5 分）若(

6、)2sin(2)(0)f xx 的图象关于直线 12 x 对称，且当取最小值时， 0 (0,) 2 x ，使得 0 ()f xa，则a的取值范围是 16（5 分）在四面体PABC中，ABC为等边三角形，边长为 6，6PA ，8PB ，10PC ，则四面体PABC的体积为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤. 第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答

7、作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （ 12 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 s i n ()s i n ()aABCcBC （）求角C的值；（）若26ab，且ABC的面积为3，求ABC的周长 18 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBC C是菱形，其对角线的交点为O，第 4 页（共 21 页）且 1 ABAC， 1 ABBC （）求证：AO 平面 11 :BBC C （）设 1 60B BC，若直线 11 A B与平面 11 BBC C所成的角为45，求二面角 111 ABCB的

8、余弦值 19 （12 分）已如椭圆： 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点与抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点重合，椭圆 1 C的离心率为 1 2 ，过椭圆 1 C的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4 2 （）求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程；（）过点( 4,0)A 的直线l与椭圆 1 C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论 20 （12 分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1 监管部门为

9、了了解这两种颜色汽车的质量决定从投放到市场上的汽车中随机抽取 5 辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同（）求抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率；（）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n， * ()nN次在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望 21（12 分）已知函数( )(1) () xx f xaeeaxR ，(

10、)f x既存在极大值，又存在极小值（）求实数a的取值范围；第 5 页（共 21 页）（）当01a时， 1 x， 2 x分别为( )f x的极大值点和极小值点且 12 ()()0f xkf x，求实数k的取值范围（二）选考题，共（二）选考题，共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题计分.选修选修 4-4：极标系与参数方程：极标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系0x y中，直线 1 l的参数方程为 3 ( xt t ykt 为参数），直线 2 l 的参数方程为 3 ( 3

11、 xm m m y k 为参数）设直线 1 l与 2 l的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线 1 C （）求出曲线 1 C的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为 sin()3 2 4 ，点Q为曲线 1 C上的动点，求点Q到直线 2 C的距离的最大值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|f xx （）求不等式( ) 32|f xx的解集；（）若函数( )( ) |5|g xf xx的最小值为m，正数a，b满足abm 求证： 22 4 ab ba 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖

12、南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 1 |21 x Ax ， 2 |20Bx xx，则(AB ) A1，2) B1，2 C(0，3 D(1，2 【解答】解： 1 21 x ， |1Ax x，又 2 20xx，则 |02Bxx剟， |12(1ABxx，2，故选：D 2

13、（5 分）在复平面内，复数1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解： 1(1) 1 1 iii i i 故选：D 3 （5 分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足2CFFB，那么(EF ) A 11 23 ABAD B 11 32 ABAD C 12 23 ABAD D 11 42 ABAD 【解答】解： 1212 2323 EFECCFDCCBABAD，故选：C 4 （5 分）函数 2 | | 1x x y e （其中e为自然对数的底）的图象大致是( ) 第 7 页（共 21 页） A B C D 【解答】解：当0x

14、时，函数 22 | | 11xx xx y ee ， 2 1 2 x xx y e ，有且只有一个极大值点是2x ，故选：A 5 （5 分）在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为( ) A 1 2 B 2 C1 2 D2 2 【解答】解：设正方形的边长为 2，则正方形面积为 4 图中阴影部分的面积可看作 8 个弓形的面积和，其面积为 2 11 8(11 1)24 42 第 8 页（共 21 页）所求概率 24 1 42 P 故选：C 6 （5 分） 5 1 (31)(

15、1)x x 的展开式中的常数项为( ) A14 B14 C16 D16 【解答】解： 5 5432 11510105 (31)(1)(31)(1)xx xxxxxx ，故它的展开式中的常数项为3 5 1 ( 1)14 ，故选：A 7 （5 分）已知为锐角，且cos (13tan10 )1 ，则的值为( ) A20 B40 C50 D70 【解答】解：c o s( 13 t a n 1 0 )1整理得： sin10 cos(13)1 cos10 ，转换为 c o s 1 03 s i n 1 0 c o s()1 c o s 1 0 ，即 2sin(1030 ) co

16、s1 cos10 ，则： 2sin40 cos1 cos10 当40时，两边相等故选：B 8（5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(0E，)(0)ttb 已知动点P在椭圆上，且P，E， 2 F不共线，若 2 PEF的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为( ) A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 5 3 【解答】解： 2 PEF的周长为 2221 | |PEPFEFPEPFEF，当P，E， 1 F共线时，此时周长最小， 2121 | | 23PEPFEFPFPFab， 222 49()aac， 22 59ac 5

17、 3 c e a ，故选：D 第 9 页（共 21 页） 9（5 分）设三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面，2ABAC，90BAC， 1 3 2AA ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A24 B18 C26 D16 【解答】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点 O ，则外接圆的半径 2 BC r ，而2ABAC，90BAC，所以2 2BC ，所以2r ，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得： 2221 913 ()2 222 AA Rr，所以外接球的表面积 2 426SR，故选：C 10 （5 分

18、）设 n S是数列 n a的前n项和，若2n nn aS， * 21 22() n b nn aanN ，则数列 1 n nb 的前 99 项和为( ) A 97 98 B 98 99 C 99 100 D100 101 【解答】解：2n nn aS， 1 11 2n nn aS ，两式作差得 11 2n nnnn aaSS ， 1 22n nn aa ，故 1 21 222 n bn nn aa ， 1 n bn，所以 111 1 n nbnn ，所以 99 11111 1 22399100 S 第 10 页（共 21 页） 99 100 ，故选：C 11 （5 分）已知函数 1 2

19、1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟若f（a）f（b）()ab，则ab的最小值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 【解答】解：画出函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟的图象，如图所示；由f（a）f（b），且ab，设 1 2 2log2bak，则24k ；所以 2 1 ( ) 2 k a ， 2 logbk；当4k 时， 2 2 111 ( ) log 42 242 ab ；考虑 223 22 1111 ( )log( )(log2) 2222 kkk abkk ，在同一坐标系中画

20、出函数 2 logyx和 3 2xy 的图象，其中(2x，4，如图所示；则函数 2 logyx的图象总在 3 2xy 的图象上方，所以 1 0 2 ab ，即ab的最小值为 1 2 故选：B 第 11 页（共 21 页） 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为 B 交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间已知O为原点，且 5 | 3 OAa，则 | ( | FA FC ) A 5 4 B 4 3 C 3 2 D 5 2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的

22、小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 2 ( )log (21)cos () x f xaxx aR为偶函数，则a 1 2 【解答】解：根据题意，函数 2 ( )log (21)cos x f xxx，其定义域为R，若( )f x为偶函数，则()( )fxf x，则有 22 ()log (21)cos()log (21)cos xx axxaxx ，变形可得： 22 2log (21)log (21) xx axx ，必有 1 2 a ；故答案为： 1 2 14 （5 分）已知 n S，是等比数列 n a的前n项和，且 3 S， 9 S， 6 S

23、成等差数列， 24 6aa，则 8 a 3 3 22 【解答】解： n S是等比数列 n a的前n项和，设公比为q， 3 S， 9 S， 6 S成等差数列，可得 936 2SSS，若1q ，则 111 1836aaa，即 1 0a 不成立；由1q ，可得 936 111 (1)(1)(1) 2 111 aqaqaq qqq ，即有 936 2qqq，即 63 210qq ，第 13 页（共 21 页）则 3 1 (1 2 q 舍去）， 24 6aa，即为 3 11 6aqaq，可得 1 3 12 22 a q ，则 72 81 33 1213 () 22222 aa q

24、，故答案为： 3 3 22 15 （5 分）若( )2sin(2)(0)f xx 的图象关于直线 12 x 对称，且当取最小值时， 0 (0,) 2 x ，使得 0 ()f xa，则a的取值范围是 (3，2 【解答】解：( )2sin(2)(0)f xx 的图象关于直线 12 x 对称，所以2() 122 kkZ ，解得 3 k ，当0k 时， 3 所以( )2sin(2) 3 f xx 由于 0 (0,) 2 x ，所以 0 4 2 333 x ，所以 0 3() 2f x，即a的范围为(3，2 故答案为：(3，2 16（5 分）在四面体PABC中，ABC为等边三角形，边长

25、为 6，6PA ，8PB ，10PC ，则四面体PABC的体积为 8 11 【解答】解：在四面体PABC中，ABC为等边三角形，边长为 6， 6PA ，8PB ，10PC ， 222 PBBCPC，PBBC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则ADBC，AEPC，DEBC，第 14 页（共 21 页）且3693 3PD ，4DE ，362511AE ， 222 AEDEPD，AEDE， PCDEE，AE平面PBC，四面体PABC的体积为： 11111 86118 11 33232 P ABCA PBCPBC VPSAEPBBCAE 故答案为：8 11 三、解答题：

26、本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤. 第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （ 12 分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 s i n ()s i n ()aABCcBC （）求角C的值；（）若26ab，且ABC的面积为3，求ABC的周长【解答】解：( )si

27、n()sin()IaABCcBC， sinsin(2 )sinsinACCA， 2sinsincossinsinACCCA， sinsin0AC ， 1 cos 2 C， 0C， 1 3 C， ()II由题意可得， 13 3 22 ab，第 15 页（共 21 页） 4ab， 26ab，联立可得， 1 4 a b 或 2 2 a b ，若1a ，4b ，则由余弦定理可得， 2 1 1 162 1 413 2 c ，此时513abc，若2a ，2b ，则此时ABC为等边三角形，此时周长 6 18 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBC C是菱形，其对角线的交

28、点为O，且 1 ABAC， 1 ABBC （）求证：AO 平面 11 :BBC C （）设 1 60B BC，若直线 11 A B与平面 11 BBC C所成的角为45，求二面角 111 ABCB的余弦值【解答】解：（）证明：侧面 11 BBC C是菱形， 11 BCBC，又 1 ABBC， 1 ABBCB，AB， 1 BC均在平面 1 ABC内， 1 BC平面 1 ABC， AO 平面 1 ABC， 1 BCAO， 1 ABAC，O为 1 BC的中点， 1 AOBC，又 11 BCBCO， 1 B C， 1 BC均在平面 11 BBC C内， AO平面 11 BBC C；

29、第 16 页（共 21 页）（） 11 / /ABAB，直线 11 A B与平面 11 BBC C所成角等于直线AB与平面 11 BBC C所成角， AO 平面 11 BBC C，直线AB与平面 11 BBC C所成角为ABO，即45ABO，设菱形 11 BBC C的边长为 2，则在等边 1 BBC中， 1 3,1BOCOBO，在直角ABO中， 3AOBO，以O为坐标原点建立空间直角坐标系， 111 (0,0,0), (0,0, 3),(3,1, 3),(0,1,0),(3,0,0)OAABC， 1111 ( 3,0,3),(0, 1,3)ABAC ，设平面 111 A B C

30、的一个法向量为( , , )mx y z，则 11 11 330 30 m ABxz m ACyz ，令3x ，则 ( 3, 3,3)m ，易知平面 11 B C B的一个法向量为(0,0, 3)OA， 35 cos, 5|3933 m OA m OA m OA ，又二面角 111 ABCB为钝角，故其余弦值为 5 5 19 （12 分）已如椭圆： 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点与抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点重合，椭圆 1 C的离心率为 1 2 ，过椭圆 1 C的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4 2 第 17 页（共 21 页）

31、（）求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程；（）过点( 4,0)A 的直线l与椭圆 1 C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论【解答】解：（）设椭圆 1 C的半焦距为c，依题意，可得 2 p a ，则 2 2: 4Cyax，代入xc，得 2 4yax，即2yax ，所以44 2ac ，则有2ac ， 1 2 c a ， 222 2abca，3b ，1c ，4p ，所以椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xy ，抛物线 2 C的方程为 2 8yx；（）过点( 4,0)A 的直线l设为(4)yk x，联立椭圆方

32、程 22 3412xy，消去y得 2222 (34)3264120kxk xk，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 1 (E x， 1) y，可得 2 12 2 32 34 k xx k ， 2 12 2 6412 34 k x x k ，直线EN的方程为 21 11 21 () yy yyxx xx ，即为 12 11 21 ()8 (4)() k xxk yk xxx xx ，即 121212 2121 ()824 ()k xxkkx xk xx yx xxxx ，代入韦达定理可得 2 21 124 (1) 34 k yx xxk ，则直线EN过定点(

33、 1,0) 20 （12 分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1 监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量决定从投放到市场上的汽车中随机抽取 5 辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同（）求抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率；（）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n， *

34、 ()nN次在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以表示，求的分布列和数学期望第 18 页（共 21 页）【解答】解：（）黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1 任取 1 辆汽车取到蓝色汽车的概率为 1 4 ，从投放到市场上的汽车中随机抽取 5 辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量 1 (5, ) 4 XB，抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率： 223 5 135 (2)( ) ( ) 44512 P XC （）的可能取值为 0，1，2，n， 1 (0) 4 P， 31 (1) 44 P， 2 31 (2)( ) 44 P， 1 31 (1)( ) 44 n Pn ，

35、 3 ()( ) 4 n Pn，的分布列为： 0 1 2 1n n P 1 4 3 1 4 4 2 31 ( ) 44 1 31 ( ) 44 n 3 ( ) 4 n 21 3 131313 ( )2 ( )(1) ( )( ) 4 444444 nn Enn ， 231 3313133 ( )( )2 ( )(1) ( )( ) 4444444 nn Enn ，，得： 231 13 131313131 ( )( )( )( )( ) 44 444444444 nn E 23 3333 ( )( )( )( ) 4444 n E 33 1( ) 44 3 1 4 n 3 33 ( ) 4

36、n 21（12 分）已知函数( )(1) () xx f xaeeaxR ，( )f x既存在极大值，又存在极小值（）求实数a的取值范围；（）当01a时， 1 x， 2 x分别为( )f x的极大值点和极小值点且 12 ()()0f xkf x，求实数k的取值范围【解答】解：（1） 2 (1)1(1)(1) ( )(1) xxxx xx xx aeaeaee fxaeea ee ，第 19 页（共 21 页） ( )f x存在极大值点 1 x和极小值点 2 x， 0a且1a ，令( )0fx，解得 2 xlna ，或 1 0x ， 01a时，0lna，当0x 或xlna 时

37、，( )0fx，函数单调递增，当0xlna 时，( )0fx，函数单调递减，当 1 0x 时，函数取得极大值，当 2 xlna 时，函数取得极小值， 1a 时，0lna，当0x 或xlna 时，( )0fx，函数单调递增，当0lnax时，( )0fx，函数单调递减，当 1 0x 时，函数取得极小值，当 2 xlna 时，函数取得极大值，故a的范围为(0，1)(1，)，（2）由（1）可知01a，且( )f x的极大值点为 1 0x ，极小值点为 2 xlna ， 2 ()()1(1)f xflnaaalna ， 1 ()(0)1f xfa， 12 ()()f xkf x ，令km

38、， 11(1)amaalna 对任意01a恒成立，由于此时 12 ()()0f xf x，故0m ，故 1 (1)(1)(1)alnaa m ，即 11 (1) 1 a lna ma ，设 11 ( )(1) 1 x g xlnx mx ， 2 2 2 1 ( ) (1) x x m g x x x ，令 2 2 10(*) x x m ， 2 4 4 m ， 1m时，0，故( )0g x，( )g x在(0,1)递增，第 20 页（共 21 页）故g（a）g（1）0，即 11 (1) 1 a lna m a ，符合题意， 01m时，0，设(*)的两根为 3 x， 4 x，且

39、34 xx，则 34 0xx， 34 1x x ，故 34 01xx ，则当 3 (xx， 4) x时，( )0g x，( )g x递减，故当01a时，g（a）g（1）0，即 11 (1) 1 a lna ma ，矛盾，不合题意，综上，1m，即1k ， 1k （二）选考题，共（二）选考题，共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题计分.选修选修 4-4：极标系与参数方程：极标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系0x y中，直线 1 l的参数方程为 3 ( xt t ykt 为参

40、数），直线 2 l 的参数方程为 3 ( 3 xm m m y k 为参数）设直线 1 l与 2 l的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线 1 C （）求出曲线 1 C的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为 sin()3 2 4 ，点Q为曲线 1 C上的动点，求点Q到直线 2 C的距离的最大值【解答】解：（）直线 1 l的参数方程为 3 ( xt t ykt 为参数），转换为直角坐标方程为 (3)yk x 直线 2 l的参数方程为 3 ( 3 xm m m y k 为参数）转换为直角坐标方程为 1 ( 3) 3 yx k 所以

41、得到 2 2 1(0) 3 x yy （）直线 2 C的极坐标方程为sin()3 2 4 ，转换为直角坐标方程为60xy 第 21 页（共 21 页）设曲线 1 C的上的点( 3cos ,sin )Q到直线80xy的距离 |3cossin6| 2 d |2sin()6| 3 2 ，当sin()1 3 时， 8 4 2 2 max d 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|f xx （）求不等式( ) 32|f xx的解集；（）若函数( )( ) |5|g xf xx的最小值为m，正数a，b满足abm 求证： 22 4 ab ba 【解答】解：（）( ) |1|f xx，由( ) 32|f xx，得|1| 2|3xx 31,1 |1| 2|1,01 31,0 xx xxxx xx 剟，由|1| 2|3xx，有 31 3 1 x x 或 1 3 01 x x 剟或 31 3 0 x x ， 4 3 x 或 2 3 x，不等式的解集为 4 | 3 x x或 2 3 x （）证明：( )( ) |5| |1|5|(1)(5)| 4g xf xxxxxx， ( )4 min g xm，4abm， 2222 ()()4 2244 abab baab baba ，当且仅当2ab时取等号， 22 4 ab ba

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