1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1（4 分） 已知全集1U ， 2， 3， 4，5， 集合1A ， 2，3， 集合2B ，4， 则()( UA B ) A B2 C4 D2，4 2 （4 分）若实数x，y满足约束条件 0 4 0 2 xy xy x ，则2xy的取值范围是( ) A 2
2、，4 B 2，10 C2，4 D2，10 3 （4 分）已知复数 1 3zi， 2 1zi （其中i是虚数单位） ，则 1 2 ( z z ) A22i B12i C1i D2i 4 （4 分）函数 2 2 ( ) 21 x xx f x 的图象大致是( ) A B C D 5 （4 分）已知(0, )x，则“ 6 x “是“ 1 sin 2 x “成立的_条件( ) A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 6 （4 分）若圆 22 220xyxyk上的点到直线100xy的最大距离与最小距离的 差为 6，则实数k的值是( ) A34 B1 C4 D7 7 （4 分）设01p，随
3、机变量的分布列是 第 2 页（共 18 页） 1 0 1 p 1 2 1 2 p 2 p 则当p在(0,1)内变化时，( ) A( )D增大 B( )D减小 C( )D先增大后减小 D( )D先减小后增大 8 （4 分） 如图， 在三棱锥DABC中， 已知DA平面ABC，ABBC， 且D A A B B C， 设P是棱DC上的点（不含端点） 记PAB，PBC，二面角PABC的大小为 ，则( ) A，且 B，且 C，且 D，且 9 （4 分） 已知a，bR， 设函数 2 ( )f xxaxb， 若函数( ( )yf f x有且只有一个零点， 则( ) A0a，且0b B0a，且0b C0a，且0
4、b D0a，且0b 10 （4 分）已知数列 n a满足 1 2 21 n n n a a a ，*nN，若 1 1 0 2 a，则( ) A 897 2aaa B 9108 2aaa C 6978 aaaa D 71089 aaaa 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分 11（6 分） 若直线 1: lykx与直线 2: 20lxy平行， 则k ，1l与 2 1之间的距离是 12 （4 分）学校开设了 7 门选修课，要求每一个学生从中任意选择 3 门，共有 种不同 选法 13 （
5、6 分）在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑 堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积 是 ，体积是 第 3 页（共 18 页） 14 （6 分） 6 1 ()x x 展开式中，各二项式系数的最大值是 ，常数项是 15 （6 分）在锐角ABC中，D是边BC上一点，且2 2AB ，3BC ，ACAD，若 3 cos 5 CAD，则sinC ，ABC的面积是 16 （4 分）已知单位向量a，b满足|2 | |2 |abb，设向量(2)cax ba，0x，1， 则|ca的取值范围是 17 （4 分）已知函数( )2|1|f x
6、xx，若对任意的实数x有|()( )| 1()f xtf xtR成 立，则实数t的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知函数( )2sin()cos()cos(2 ) 662 f xxxx （）求( )f x的最小正周期； （）当0x， 2 时，求( )f x的值域 19 （15 分）如图，已知四棱锥PABCD，PCD是等边三角形，/ /ABCD，ABAD， 1 2 ABADCD，PAPD，E是PC的中点 （）求证：直线/ /BE平面:PAD （）
7、求直线BE与平面ABCD的所成角的正弦值 20 （15 分）已知P是圆 22 :(1)4C xy上一点，( ,0)A t，(4,3)B t ，其中tR 第 4 页（共 18 页） （）若直线AB与圆C相切，求直线AB的方程： （）若存在两个点P使得PAPB，求实数t的取值范围 21 （15 分）已知数列 n a满足 12 23 3(21)3 2 n n n aana ，*nN，记 12nn Saaa （）求 n a和 n S； （）证明： 111 (1)1 23 n Slnn n 22 （15 分）已知kR，函数( ) x f xekx（其中e是自然对数的底数，2.718)e （）当1k 时，
8、求曲线( )f x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若当0x 时都有 2 ( )32(1)f xxxk成立，求整数k的最大值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1（4 分） 已知全集1U ， 2， 3， 4，5， 集合1A ， 2，3， 集合2B
9、，4， 则()( UA B ) A B2 C4 D2，4 【解答】解：全集1U ，2，3，4，5，集合1A ，2，3，集合2B ，4， 则4 UA ，5， 所以()4 UA B 故选：C 2 （4 分）若实数x，y满足约束条件 0 4 0 2 xy xy x ，则2xy的取值范围是( ) A 2，4 B 2，10 C2，4 D2，10 【解答】解：作出实数x，y满足约束条件 0 4 0 2 xy xy x 对应的平面区域如图： 设2zxy得2yxz ， 平移直线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点( 2,2)B 时，直线的截距最小， 此时z最小，为422z ， 当直线2yxz 经过点
10、A时，直线的截距最大， 此时z最大， 由 2 40 x xy ，解得(2,6)A，此时22610z ， 即210z 剟， 故选：B 第 6 页（共 18 页） 3 （4 分）已知复数 1 3zi， 2 1zi （其中i是虚数单位） ，则 1 2 ( z z ) A22i B12i C1i D2i 【解答】解：由 1 3zi， 2 1zi ， 得 1 2 3(3)(1) 12 1(1)(1) ziii i ziii 故选：B 4 （4 分）函数 2 2 ( ) 21 x xx f x 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解：由( )0f x 得 2 20xx得0x 或2x ，排除A，B，
11、 当2x 时，( )0f x ，排除D， 故选：C 5 （4 分）已知(0, )x，则“ 6 x “是“ 1 sin 2 x “成立的_条件( ) A充分不必要 B必要不充分 第 7 页（共 18 页） C充要 D既不充分也不必要 【解答】解：(0, )x， 1 sin 2 x 5 66 x “ 6 x “是“ 1 sin 2 x “成立的必要不充分条件 故选：B 6 （4 分）若圆 22 220xyxyk上的点到直线100xy的最大距离与最小距离的 差为 6，则实数k的值是( ) A34 B1 C4 D7 【解答】解：圆的方程化为标准方程为： 22 (1)(1)2xyk， 设圆心到直线100
12、xy的距离为d， 则圆 22 220xyxyk上的点到直线100xy的最大距离为：dr，最小距离为 dr， ()()6drdr， 3r， 2 29kr ，7k， 故选：D 7 （4 分）设01p，随机变量的分布列是 1 0 1 p 1 2 1 2 p 2 p 则当p在(0,1)内变化时，( ) A( )D增大 B( )D减小 C( )D先增大后减小 D( )D先减小后增大 【解答】解：依题意， 111 ( )101 2222 ppp E ， 2 111 ()101 2222 ppp E ， 所以 2 222 1(1)15 ( )()( )(2) 2444 pp DEEp ， 是关于p的开口向下
13、的抛物线，对称轴为2p ， 所以当(0,1)p时，( )D单调递增， 第 8 页（共 18 页） 即当P在(0,1)内增大时，( )D增大， 故选：A 8 （4 分） 如图， 在三棱锥DABC中， 已知DA平面ABC，ABBC， 且D A A B B C， 设P是棱DC上的点（不含端点） 记PAB，PBC，二面角PABC的大小为 ，则( ) A，且 B，且 C，且 D，且 【解答】解：若P从D到C运动，0，CAB ， 若P从C运动到D，则 2 ， 2 ， 从极限分析，得； 由BCAB，则二面角PABC等于BC与平面PAB所成的角， 由最小角原理，线面角线线角， 所以， 故选：D 9 （4 分）
14、 已知a，bR， 设函数 2 ( )f xxaxb， 若函数( ( )yf f x有且只有一个零点， 则( ) A0a，且0b B0a，且0b C0a，且0b D0a，且0b 【解答】解：由题意， 2 ( )( )0f xaf xb有实数根， 则 2 40ab 解得 2 4 ( ) 2 aab f x 0ab时， 22 44 22 aabaab 此时0，方程化为： 2 0x ，函数( ( )yf f x有且只有一个零点，满足条件 第 9 页（共 18 页） 2 40ab时， 22 44 22 aabaab 2 4 ( ) 2 aab f x 必然无解，否则不满足条件 而且： 2 4 ( ) 2
15、 aab f x 有且只有一解，即有两个相等实数根 2 (1)0xaxb 2 (1)40ab，可得0b 由 22 4 42 aaab b ， 化为： 22 440aabab， 综上可得：0a，且0b 故选：D 10 （4 分）已知数列 n a满足 1 2 21 n n n a a a ，*nN，若 1 1 0 2 a，则( ) A 897 2aaa B 9108 2aaa C 6978 aaaa D 71089 aaaa 【 解 答 】 解 ： 数 列 n a满 足 1 2 21 n n n a a a ，*nN， 1 1 0 2 a， 1 2 1 2 1 21 a a a ， 1 3 1 2
16、 221 n n a a ， 2 3 2 2 1 21 a a a ， 3 4 3 2 1 21 a a a ，同理， 6 1a ， 7 1a ， 8 1a ， 9 1a ， 并且奇数项为增数列，且小于 1偶数项为减数列，且大于 1， 6978 aaaa 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）若直线 1: lykx与直线 2: 20lxy平行，则k 1 ， 1 l与 2 1之间的距离 是 【解答】解：直线 1: lykx与直线 2: 20lxy平行， 1k
17、， 第 10 页（共 18 页） 1 l与 2 1之间的距离是： 2 2 2 d 故答案为：1，2 12 （4 分）学校开设了 7 门选修课，要求每一个学生从中任意选择 3 门，共有 35 种不 同选法 【解答】解：根据题意，每一个学生从 7 门选修课中任意选择 3 门， 则有 3 7 35C 种不同选法； 故答案为：35 13 （6 分）在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑 堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积 是 1 ，体积是 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为三棱柱：该正视图
18、为等腰直角三角形，且斜边上的高为 1，则斜边长为 2， 故该“堑堵”的正视图的面积是 1 2 11 2 体积 1 2 1 22 2 V 故答案为：1，2 第 11 页（共 18 页） 14 （6 分） 6 1 ()x x 展开式中，各二项式系数的最大值是 20 ，常数项是 【解答】解： 6 1 ()x x 展开式中，通项公式为 3 6 2 16 ( 1) r rr r TCx ， 故各二项式系数为 6 r C， 故当3r 时，系数最大为 20 令 3 60 2 r ，求得4r ，可得常数项为 15， 故答案为：20； 15 15 （6 分）在锐角ABC中，D是边BC上一点，且2 2AB ，3B
19、C ，ACAD，若 3 cos 5 CAD，则sinC 2 5 5 ，ABC的面积是 【解答】解：如图： 因为在锐角ABC中，D是边BC上一点， 且2 2AB ，3BC ，ACAD， 若 3 c o s 5 C A D， CADC ， 3 cos2cos() 5 CCAD ； 22 342 5 12sinsinsin 555 CCC ； 2 5 cos1 5 Csin C； 3 10 sin sinsin10 ABBC A CA ； 2 10 cos1 10 Asin A； 2 sinsin()sincoscossin 2 BACACAC， 112 sin2 233 222 ABC SBA C
20、BB ； 故答案为： 2 5 5 ；3 16 （4 分）已知单位向量a，b满足|2 | |2 |abb，设向量(2)cax ba，0x，1， 则|ca的取值范围是 15 2 ，6 【解答】解：如图所示，作OAa，2OBb，2BAab， 第 12 页（共 18 页） 单位向量a，b满足|2 | |2 |abb， | |OBBA，(1,0)A， 1 ( 2 B， 15 ) 2 (1,0)a ， 1 2(2b ， 15 ) 2 向量(2)(1 2 x caxba， 15 ) 2 x，0x，1， (2 2 x ca， 15 ) 2 x，0x，1， 则 222 1511515 |(2)()4() 224
21、42 x cax，6 故答案为： 15 2 ，6 17 （4 分）已知函数( )2|1|f xxx，若对任意的实数x有|()( )| 1()f xtf xtR成 立，则实数t的取值范围是 1 3 ， 1 3 【解答】解：函数 1,0 ( )2|1|31,01 1,1 x x f xxxxx xx ， 由()yf xt的图象由( )yf x的图象平移得到，不改变最值， 作出( )yf x的图象，可得( )f x的图象在(0,1)区间内变化最快， 则在(0,1)内，函数()( )f xtf x的值的最大为|( )(0)| |3 |f tft， 由对任意的实数x有|()( )| 1()f xtf x
22、tR成立，可得|3 | 1t ， 解得 11 33 t 剟 故答案为： 1 3 ， 1 3 第 13 页（共 18 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知函数( )2sin()cos()cos(2 ) 662 f xxxx （）求( )f x的最小正周期； （）当0x， 2 时，求( )f x的值域 【解答】解：（） 1333 ( )2sin()cos()cos(2 )sin(2)sin2sin2cos2sin2sin2cos2 66232222 f x
23、xxxxxxxxxx 31 3(sin2cos2 )3sin(2) 226 xxx ， 则函数的最小周期为 2 2 T （）当0x， 2 时，20x，2 66 x ， 7 6 ， 则当2 62 x 时，函数取得最大值为3sin3 2 y ，当 7 2 6 x 时，函数取得最小值 713 3sin3() 622 y ， 即函数的值域为 3 2 ，3 19 （15 分）如图，已知四棱锥PABCD，PCD是等边三角形，/ /ABCD，ABAD， 1 2 ABADCD，PAPD，E是PC的中点 （）求证：直线/ /BE平面:PAD （）求直线BE与平面ABCD的所成角的正弦值 第 14 页（共 18
24、页） 【解答】解：( ) I取PD的中点G，连接AG，EG， 根据中位线定理，/ /EGCD，且 1 2 EGCD， 又/ /ABCD，且 1 2 ABCD，所以/ /ABEG，ABEG， 故平行四边形ABEG，所以/ /BEAG， 由BE 平面PAD，AG 平面PAD， 所以/ /BEPAD； ()II以D为原点，DA，DC，过D垂直底面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 设1AB ，则(0D，.0，0)，(1A，0，0)，(1B，1，0)，(0C，2，0)，设(P x，y，) z， 由 222 2DPxyz， 222 (1)2APxyz， 222 (2)2CPxyz， 上面联立
25、解方程组得 1 2 x ，1y ， 11 2 z ， 故 111 ( ,1,) 22 P，所以 1 311 ( ,) 4 24 E， 得到 3 111 (,) 4 24 BE ， 平面ABCD的法向量为(0,0,1)m ， 由 22 11 66 4 cos, 121311 ( )( ) 4216 m BE ， 故直线BE与平面ABCD的所成角的正弦值为 66 12 第 15 页（共 18 页） 20 （15 分）已知P是圆 22 :(1)4C xy上一点，( ,0)A t，(4,3)B t ，其中tR （）若直线AB与圆C相切，求直线AB的方程： （）若存在两个点P使得PAPB，求实数t的取值
26、范围 【解答】解：因为P是圆 22 :(1)4C xy上一点，( ,0)A t，(4,3)B t ，其中tR （）圆心为(0,1)，半径2r ； 303 (4)4 AB K tt ； 直线AB的方程： 3 ()3430 4 yxtxyt； 直线AB与圆C相切； 22 |3 04 13 | 2|34| 102 3( 4) t tt 或 14 3 t ； 直线AB的方程：3460xy或34140xy； （）因为( ,0)A t，(4,3)B t ， 所以AB得中点 3 (2, ) 2 D t ；且 22 |345AB ； 即以AB为直径的圆的圆心为 3 (2, ) 2 D t ； 5 2 R ；
27、存在两个点P使得PAPB， 所以两圆相交， 即 22 1359 |(2)(1)2 2222 RrCDtRr； 2 0(2)202 522 52tt 且2t ； 实数t的取值范围是 | 2 522 52tt 且2t 21 （15 分）已知数列 n a满足 12 23 3(21)3 2 n n n aana ，*nN，记 第 16 页（共 18 页） 12nn Saaa （）求 n a和 n S； （）证明： 111 (1)1 23 n Slnn n 【解答】解：( ) I数列 n a满足 12 23 3(21)3 2 n n n aana ，*nN， 2n时， 121 1 21 3(23)3 2
28、 n n n aana ，*nN， 21 (21) 2 n n n na ，解得 1 2 n n a 1n 时， 1 51 3 22 a ，对于上式也成立 1 2 n n a 12 2 11 (1) 1111 22 1 1 2222 1 2 n nn nn Saaa （）证明：先证明1lnx x，(0)x 令( )1f xlnxx， 11 ( )1 x fx xx ，可得1x 时取得极大值即最大值 1lnx x，(0)x 1(0,1)lnxxxx 令 1 n x n ，则1 11 nn ln nn ， 化为： 1 (1) 1 ln nlnn n 分别令1n ，2，n， 则： 1 21 2 ln
29、ln， 1 32 3 lnln， 1 (1)lnnln n n ， 111 23 lnn n 111 11 23 lnn n 1111111111 (1)(1)(1)11 2323223 n n Slnn nnn 22 （15 分）已知kR，函数( ) x f xekx（其中e是自然对数的底数，2.718)e 第 17 页（共 18 页） （）当1k 时，求曲线( )f x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若当0x 时都有 2 ( )32(1)f xxxk成立，求整数k的最大值 【解答】解：( )1I k 时，( ) x f xex，( )1 x f xe， 根据题意可得，(0)1f，f（
30、1）0， 故曲线( )f x在点(0，(0)f处的切线方程1y ； ()II由0x 时都有 2 ( )32(1)f xxxk成立可得， 2 (32(1) x ekxxxk， 即 2 32 2 x exx k x 在0x 时恒成立， 令 2 32 ( ) 2 x exx g x x ，0x ， 则 2 2 (1)(2) ( ) (2) x xex g x x ， 令 2 ( )(1)(2) x h xxex，0x ， 则( )(2)(2) x h xxe， 易得，当(0,2)xln时，( )0h x，( )h x单调递减，当( 2,)xln时，( )0h x，( )h x单调 递增， 又h（1）
31、290e，h（2） 2 3160e， 故存在 0 (1,2)x ，使得 0 ()0h x即 0 2 00 (1)(2) x xex， 故当 0 (0,)xx时，( )0h x 即( )0g x，( )g x单调递减，当 0 (xx，)时，( )0h x 即 ( )0g x，( )g x单调递增， 故 0 2 0 00 000 0 00 (2) (1)(2) (1)(2)1 ( )() 22 x min x xx exxx g xg x xx ， 0 00 00 21 (1)1(1) 11 x xx xx ， 故 0 2 0 00 000 0 00 (2) (1)(2) (1)(2)1 ( )() 22 x min x xx exxx g xg x xx ， 0 00 00 21 (1)1(1) 11 x xx xx ， 令 0 1tx，则(2,3)t， 第 18 页（共 18 页） 1 ( )1g tt t 在(2,3)上单调递减， 所以 51 ( )(,) 32 g t ，即 51 ( ) 32 min g x ， 又0x 时，( )kg x恒成立， 从而( )minkg x， 故 5 3 k，故满足条件的2k
