1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科）学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个备选项中，只在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 1A ，0，1，2，3， 2 |20Bx xx，则()( R AB ) A 1，3 B0，1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 2 （5 分）设复数z满足13izz，则| (z ) A 10 10 B 5 5 C5 D10 3 （
2、5 分）在区间 2，2内随机取一个数a，则关于x的方程 2 20xxa无实根的概率 是( ) A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 3 4 4 （5 分）函数 2| | ( )2 log x f x 的图象大致是( ) A B C D 5 （5 分）已知aR，则“ 1 2 a ”是“ 1 2 a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的 减免， 某机构调查了当地的中小型企业年收入情况， 并根据所得数据画出了样本的频率分布 直方图，下面三个结论： 样本数据落在区间30
3、0，500)的频率为 0.45； 如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型 第 2 页（共 19 页） 企业能享受到减免税政策； 样本的中位数为 480 万元 其中正确结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A3 B4 C5 D6 8（5 分） 已知平面非零向量a，b满足：(4 )(2 )abab，a在b方向上的投影为 1 | 2 b， 则a与b夹角的余弦值为( ) 第 3 页（共 19 页） A 2 2 3 B 2 3 C 1 3 D 1 6 9 （5 分）已知非零实数a，b满足| 1
4、ab，则下列不等关系不一定成立的是( ) A 22 1ab B 1 22 ab C 2 4ab D | 1 | a b b 10 （5 分）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的 较大底面圆重合已知圆台的较小底面圆的半径为 1，圆锥与圆台的高分别为51和 3， 则此组合体的外接球的表面积是( ) A16 B20 C24 D28 11 （5 分）已知AB是圆 22 :1O xy的任意一条直径，点P在直线20(0)xyaa上 运动，若PA PB的最小值为 4，则实数a的值为( ) A2 B4 C5 D6 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy C
5、ab ab 的左焦点为(,0)Fc，过点F且斜率为 1 的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点(2 ,0)Pc，则双 曲线C的离心率为( ) A 5 2 B2 C3 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线(sin ) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 14 （5 分）函数( )sin(2)2cos() 2 f xxx 的最大值为 15 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和 n S满足 1 2 nn Sa ，则 1 a 16（5 分） 已知函数 2, ( ) 1
6、( ) , 2 x xx a f x xa ， 若( )f x的值域为(0,)， 则实数a的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 第 4 页（共 19 页） 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和，已知 3 6a ， 2 n Snn，R （1）求的值及 n a的通项公式； （2）设 1
7、 n n b Sn ，求数列 n b的前n项和 18 （12 分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指 导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向 当地农户推行某类景观树苗种植 工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗， 为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各 50 株，试验 发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1:3 （1）完成22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？ A B 合计 成活株数 未成活株数 合计 50 50 100 2 2 (
8、) ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.05 0.010 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）已知树苗A经引种成活后再经过 1 年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株 售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：)cm影响，扶贫工作小组对一批已出售的 景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表： 直径x 10 15 20 25 30 单株售价y 4 8 10 16 27 根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说 明 （一般认为，| | 0.75r 为高度
9、线性相关） 参 考 公 式 及 数 据 ： 相 关 系 数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 5 2 1 ()250 i i xx ， 第 5 页（共 19 页） 5 2 1 ()320 i i yy 19（12 分） 如图， 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G，H分别是棱 1 CC， 1 DD， 11 BC， 11 AD的中点，直线AF与DH交于点P，直线BE与CG交于点S （1）求证：直线/ /PS平面ABCD； （2）求四棱锥BPDCS的体积 20 （12 分）已知椭圆 22 :1 43 xy
10、C，点(0,3)P，直线:1l ykx与椭圆C交于不同的两 点M，N （1）当 1 2 k 时，求PMN的面积； （2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值 21 （12 分）已知函数 1 ( )1 x f xealnx ，aR （1）若1x 是( )f x的极值点，求a的值及( )f x的单调区间； （2）若对任意1x，)，不等式( ) 0f x 成立，求a的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 8 cos6si
11、n110i （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l的参数方程为 1cos sin xt yt ，(t为参数，0)，点(1,0)P，直线l交曲 线C于A，B两点，求|PAPB的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知不等式|2| 1xxm对任意xR成立，记实数m的最小值为 0 m 第 6 页（共 19 页） （1）求 0 m； （2）已知实数a，b，c满足： 0 2abcm， 222 3 16 abc，求c的最大值 第 7 页（共 19 页） 2019-2020 学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科）学年重庆市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答
12、案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个备选项中，只在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 1A ，0，1，2，3， 2 |20Bx xx，则()( R AB ) A 1，3 B0，1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 【解答】解：解 2 20xx得，0x ，或2x ； |0Bx x，或2x ； |02 RB xx剟； ()0 R AB，1，2 故选：B 2 （5 分）设复数z满足13izz，则| (z ) A 10 10 B 5 5
13、C5 D10 【解答】解：由13izz，得(13 )1i z， 1 13 z i ，则 11110 | | 1 3|1 3 |1010 z ii 故选：A 3 （5 分）在区间 2，2内随机取一个数a，则关于x的方程 2 20xxa无实根的概率 是( ) A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 3 4 【解答】解：若关于x的方程 2 20xxa 无实根，则 2 240a ， 解得1a ； 记事件A：设在区间 2，2上随机地取一个数a，方程 2 20xxa无实根符合几何概 型， P（A） 211 2( 2)4 故选：B 第 8 页（共 19 页） 4 （5 分）函数 2| | ( )2 log
14、x f x 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解： 2| | 1 ,0 1 ( )2 1| ,0 logx x x f x x x x ， 观察选项可知，D选项符合题意 故选：D 5 （5 分）已知aR，则“ 1 2 a ”是“ 1 2 a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 1 2 a ， 1 0 2 a “ 1 2 a ”是“ 1 2 a ”的必要不充分条件 故选：B 6 （5 分）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的 减免， 某机构调查了当地的中小型企业年收入情况， 并根据所得数据画
15、出了样本的频率分布 直方图，下面三个结论： 样本数据落在区间300，500)的频率为 0.45； 如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型 企业能享受到减免税政策； 样本的中位数为 480 万元 其中正确结论的个数为( ) 第 9 页（共 19 页） A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据题意0.10.20.150.052000.52001aa，得0.0025a ， 样本数据落在区间300，500)的频率为0.20.250.45， 500 万元以内的概率约为0.450.10.55成立， 由知， 中位数在(400,500)之间， 设为x， 则由0.1
16、0.20.0025(400)0.5x得480a ， 故成立， 综上：正确的有 3 个， 故选：D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) 第 10 页（共 19 页） A3 B4 C5 D6 【解答】解：模拟程序的运算，可得 1s ，0n ，1m 执行循环体，0s ，3m ，1n 满足条件30s ，执行循环体，3s ，9m ，2n 满足条件30s ，执行循环体，12s ，27m ，3n 满足条件30s ，执行循环体，39s ，81m ，4n 此时，不满足条件30s ，推出循环，输出i的值为 4 故选：B 8（5 分） 已知平面非零向量a，b满足：(4 )(2 )abab，a
17、在b方向上的投影为 1 | 2 b， 则a与b夹角的余弦值为( ) A 2 2 3 B 2 3 C 1 3 D 1 6 【解答】解：设两向量夹角为， a在b方向上的投影为 1 | 2 b，则有 2 11 |cos| 22 aba bb ； 2222 (4 )(2 )|28|0|9|0| 3|ababaa bbabab， 所以 1 cos 6| | a b ab 故选：D 9 （5 分）已知非零实数a，b满足| 1ab，则下列不等关系不一定成立的是( ) A 22 1ab B 1 22 ab C 2 4ab D | 1 | a b b 【解答】解：非零实数a，b满足 222 | | 12| |
18、11ababbb ，A一定成立； 1 | | 1122 ab abb ，B一定成立； 又 2 1 2| |bb ，故 2 4| |4abb，C一定成立； 令5a ，3b ，即可推得D不一定成立 故选：D 10 （5 分）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的 第 11 页（共 19 页） 较大底面圆重合已知圆台的较小底面圆的半径为 1，圆锥与圆台的高分别为51和 3， 则此组合体的外接球的表面积是( ) A16 B20 C24 D28 【解答】解：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为 1 O， 则： 222 1 1OOR， 而 1 52OOR， 故
19、22 1( 52)RR ，5R ， 2 420SR， 故选：B 11 （5 分）已知AB是圆 22 :1O xy的任意一条直径，点P在直线20(0)xyaa上 运动，若PA PB的最小值为 4，则实数a的值为( ) A2 B4 C5 D6 【解答】解：AB是圆 22 :1O xy的任意一条直径； 2 2 () ()()|1PA PBPOOAPOOBPOPO OAOBOA OBPO； 由题得|OP的最小值为5， 即点O到直线的距离为5， | 55 5 a a (5a 舍） 即5a 故选：C 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为(,0)Fc，过点F
20、且斜率为 1 第 12 页（共 19 页） 的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点(2 ,0)Pc，则双 曲线C的离心率为( ) A 5 2 B2 C3 D2 【解答】解：设线段AB的中点坐标为 0 (x， 0) y， 则有 0 0 0 0 1 1 2 y xc y xc ，可得 0 2 c x ， 0 3 2 yc， 由点差法可得 00 22 10 xy ab ， 即 22 13 ab 2ca ，2e 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线(sin ) x yxx e在
21、点(0,0)处的切线方程为 2yx 【解答】解：由(sin ) x yxx e，得(1 cos )(sin )(1cossin ) xxx yx exx exxx e， 0 |2 x y ， 曲线(sin ) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为2yx 故答案为：2yx 14 （5 分）函数( )sin(2)2cos() 2 f xxx 的最大值为 3 2 【解答】解： 22 133 ( )22cos12(cos) 222 f xcos xxx ， 当且仅当 1 cos 2 x 时等号成立 故答案为： 3 2 15 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和 n S满足 1 2 nn Sa
22、 ，则 1 a 2 【解答】解：根据题意，等比数列 n a的前n项和 n S满足 1 2 nn Sa ， 第 13 页（共 19 页） 则有 1 2 nn Sa ， 两式相减可得： 11nnnn SSaa ， 即 1nnn aaa ，变形可得 1 2 nn aa ， 即等比数列 n a的公比为 2； 在 1 2 nn Sa 中，令1n 可得： 12 2aa， 即 11 22aa，解可得 1 2a ； 故答案为：2 16 （5 分）已知函数 2, ( ) 1 ( ) , 2 x xx a f x xa ，若( )f x的值域为(0,)，则实数a的取值范围是 (，42，0) 【解答】解：由题可知意
23、 0 不在( )f x的值域中，所以0a ， 当0x 时， 2 yx与2 x y 的图象恰有两个交点( 4,16)和( 2,4)， 且当4x 或20x 时，2 x y 图象位于 2 yx的图象上方， 当42x 时，2 x y 图象位于 2 yx的图象下方， 要使( )f x的值域为(0,)，只需在分段处xa， 2 yx的图象不高于2 x y 的图象， 即4a 或20a 故答案为 |4a a或20a 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 第 14 页（共 19 页） 每个试
24、题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）记 n S为数列 n a的前n项和，已知 3 6a ， 2 n Snn，R （1）求的值及 n a的通项公式； （2）设 1 n n b Sn ，求数列 n b的前n项和 【解答】解： （1）当2n时， 2 1 (1)1 n Snn ， 2 n Snn， 两式相减可得 1 (21)1 nnn aSSn ， 故 3 516a ，可得1，即2 n an， 又 11 2aS， 故2 n an，*nN； （2）由题知 2 111
25、1 11 () 2(2)22 n n b Snnnn nnn ， 数列 n b的前n项和为 11111111 (1) 2324112nnnn 2 11111 323 (1)() 22122 232 n nnnn 18 （12 分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指 导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向 当地农户推行某类景观树苗种植 工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗， 为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各 50 株，试验 发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比
26、为1:3 （1）完成22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？ A B 合计 成活株数 未成活株数 合计 50 50 100 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 ()P Kk 0.05 0.010 0.005 0.001 第 15 页（共 19 页） 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）已知树苗A经引种成活后再经过 1 年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株 售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：)cm影响，扶贫工作小组对一批已出售的 景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表： 直
27、径x 10 15 20 25 30 单株售价y 4 8 10 16 27 根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说 明 （一般认为，| | 0.75r 为高度线性相关） 参 考 公 式 及 数 据 ： 相 关 系 数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 5 2 1 ()250 i i xx ， 5 2 1 ()320 i i yy 【解答】解： （1）由题意填写列联表如下； A B 合计 成活株数 45 35 80 未成活株数 5 15 20 合计 50 50 100 由表中数据，计算 2 2 10
28、0 (45 155 35) 6.256.635 80 20 50 50 K ， 所以没有99%的把握认为二者有差异； （2）由题意计算 1 (1015202530)20 5 x ， 1 (48101627)13 5 y ； 所以相关系数为 ( 10)( 9)( 5)( 5)0( 3)5 3 10 1427 0.950.75 25032020 2 r ； 所以可以用线性回归模型拟合 19（12 分） 如图， 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G，H分别是棱 1 CC， 1 DD， 11 BC， 11 AD的中点，直线AF与DH交于点P，直线BE与CG交于点S （1）
29、求证：直线/ /PS平面ABCD； 第 16 页（共 19 页） （2）求四棱锥BPDCS的体积 【解答】解： （1）证明：/ /HGAB，HG面ABEF，/ /HG面ABEF， 又面HGSP面ABEFPS，/ /HGPS， / /PSAB，又PS 面ABCD， / /PS面ABCD （2）解：Rt BCERt 1 CC G， 1 EBCGCC ， 又 1 90GCCGCB ，90EBCBCG， BECG，又CD 面 11 BCC B，CDBE， CGCDC，BE面PDC， 在Rt BSC中， 4 5 BS ， 2 5 SC ， 四棱锥BPDCS的体积： 112416 (2) 331555 P
30、 B DCSPDCS VSBS 20 （12 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C，点(0,3)P，直线:1l ykx与椭圆C交于不同的两 点M，N （1）当 1 2 k 时，求PMN的面积； （2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值 【解答】解： （1）由题意直线l交y轴于(0, 1)A，所以| 4PA 联立直线与椭圆的方程： 22 1 1 2 1 43 yx xy ，整理得： 2 20xx，解得：1 M x ，2 N x， 所以 11 | |4 | 12| 6 22 MN SPAxx ； 第 17 页（共 19 页） （2）设中点 0 (M x， 0)
31、 y，则由题意可得 0 (2Qx， 0 23)y ，分别代入椭圆方程可得， 22 00 22 00 1 43 (2)(23) 1 43 xy xy ， 两式相减得： 0 129 3 3 y ， 即 0 3 2 y ， 0 1x ， 所以 0 0 15 2 y k x 即k的值为： 5 2 21 （12 分）已知函数 1 ( )1 x f xealnx ，aR （1）若1x 是( )f x的极值点，求a的值及( )f x的单调区间； （2）若对任意1x，)，不等式( ) 0f x 成立，求a的取值范围 【解答】解： （1） 1 ( )1 x f xealnx 的导数为 1 ( ) x a fxe
32、 x ，可得f（1）10a ， 即1a ， 则 1 1 ( ) x fxe x ， 显然( )fx在(0,)上单调递增，又f（1）0， 所以当01x时，( )0fx，当1x 时，( )0fx， 故( )f x在(0,1)上递减，在(1,)上递增； （2） 1 ( ) x a fxe x ， 当0a时，( )0fx，( )f x在1，)上单增，则( )f xf（1）0，满足题意； 当0a 时， 1 2 ( )0 x a fxe x ，( )fx在1，)上单调递增，( )fxf（1）1a ， 若1a，则( ) 0fx，( )f x在1，)上单增，则( )f xf（1）0，满足题意； 若1a ，则f
33、（1）0， 1 ()10 a fae ，故必存在 0 1x 使得 0 ()0fx， 从而( )f x在1， 0 x上单减，在 0 (x，)上单增，则 0 ()f xf（1）0，与题意矛盾； 综上所述，1a 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 第 18 页（共 19 页） 坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 8 cos6sin110i （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l的参数方程为 1cos sin xt yt ，(t为参数，0)，点(1,0)P，直线l交曲 线C于A，B两点，求
34、|PAPB的取值范围 【解答】解： （1）曲线C的极坐标方程为 2 8 cos6sin110i转换为直角坐标 方程为 22 (4)(3)36xy （2）将线l的参数方程为 1cos sin xt yt ，(t为参数，0)，与圆C方程联立得： 2 6(sincos )180tt， 所以 12 6(sincos)tt， 1 2 18t t ， 所以 12 | | 6 sin23PAPBtt， 又0， 所以sin2 1 ，1， 故 12 | | 6 sin236 2,12PAPBtt 其中， 4 取到最大值 12， 3 4 时取到最小值6 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知不等式
35、|2| 1xxm对任意xR成立，记实数m的最小值为 0 m （1）求 0 m； （2）已知实数a，b，c满足： 0 2abcm， 222 3 16 abc，求c的最大值 【解答】解： （1）由绝对值不等式知，|2|(2)()| |2|xxmxxmm， 当xm时等号成立， 由题知|2| 1m，即13m剟， 0 1m； 第 19 页（共 19 页） （2） 222 12 3 16 abc abc ， 由柯西不等式得 222 ()(1 1) ()abab， 故 22 3 2() (12 ) 16 cc， 即(41)(125) 0cc， 即 15 412 c剟， 又 222 3 0 16 abc， 所以 33 44 c剟， 综上，c的最大值为 5 12
