1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x2+4x3x，By|y 1 8，则（RA）B（ ） A （ 1 8，0） B C （ 1 8，0 D 1 4， 1 8） 2 （5 分）设 z= 1+4 2 +i，则 =（ ） A2 5 + 14 5 B 2
2、5 + 14 5 C2 5 14 5 D 2 5 14 5 3 （5 分）曲线 y（x33x） lnx 在点（1，0）处的切线方程为（ ） A2x+y20 Bx+2y10 Cx+y10 D4x+y40 4 （5 分）2019 年 10 月 18 日27 日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表 团共获得 133 金 64 银 42 铜，共 239 枚奖牌为了调查各国参赛人员对主办方的满意程 度，研究人员随机抽取了 500 名参赛运动员进行调查，所得数据如表所示： 对主办方是否满意 男性运动员/名 女性运动员/名 满意 200 220 不满意 50 30 现有如下说法： 在参与调查的 5
3、00 名运动员中任取 1 人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率 为1 2； 在犯错误的概率不超过 1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性 别有关” ； 没有 99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关” 则正确命题的个数为（ ） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)， P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 第 2 页（共 20 页） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）记双曲线 C： 2 16 2 =1（m0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 2， 点M在双曲
4、线C上， 点N满足1 = 1 21 ， 若|MF1|10， O为坐标原点， 则|ON| （ ） A8 B9 C8 或 2 D9 或 1 6 （5 分）已知向量 =（x，3） ， =（x+3，2） ，若 =| |2，则与 2 的夹角为 （ ） A30 B60 C45 D135 7 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 258，则 n 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 8 （5 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1095，a817，则（ ） Aan5n23 BSn2n2 21 2 Can4n15 DSn= 3211 2 9 （5 分）已知抛物线 C：x24y 的
5、准线为 l，记 l 与 y 轴交于点 M，过点 M 作直线 l与 C 相切，切点为 N，则以 MN 为直径的圆的方程为（ ） A （x+1）2+y24 或（x1）2+y24 B （x+1）2+y216 或 x（x1）2+y216 C （x+1）2+y22 或（x1）2+y22 第 3 页（共 20 页） D （x+1）2+y28 或（x1）2+y28 10 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于原点对称，且 f（5 8 +x）f（1 8 x） ， 当 0x 3 8时，f（x）256 x1，则 f（2020）（ ） A3 B3 C1 D1 11 （5 分）已知函数 f（x）sin
6、（x+） （0）的图象关于 y 轴对称，且 f（1+x）+（1 x）0，则 的值可能为（ ） A5 2 B2 C3 2 D3 12 （5 分）体积为 216 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是线段 D1C1的中点，点 N 在 线段 B1C1上，MNBD，则正方体 ABCDA1B1C1D1被平面 AMN 所截得的截面面积为 （ ） A2717 2 B2117 2 C1517 2 D1317 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 记等差数列an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn， 若 =
7、3;8 4:7， 则 12 12 = 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 3 4 0， 2 + 0， + 3 0， 则 zx+y 的最大值为 15 （5 分） “方锥” ，在九章算术卷商功中解释为正四棱锥现有“方锥”SABCD， 其中 AB4，SA 与平面 ABCD 所成角的正切值为32 4 ，则此“方锥”的外接球表面积 为 16 （5 分）若（e2x 3+e32x） （4x212x+11）（e3x+e3x） （9x2+2）0，则实数 x 的取值 范围为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知ABC
8、中，角 A，BC 所对的边分别为 a，b，c，且 2:2;2 =6bcosA 2ccos A （1）求 tanA 的值； （2）若 a4，求ABC 周长的最大值 18 （12 分）四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SCCD2，SA23，AC 与 BD 交于 E， M，N 分别为 SD，SA 的中点，SCMN 第 4 页（共 20 页） （1）求证：平面 SAC平面 SBD； （2）求直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小 19 （12 分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将 A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示 （1）求图中 a 的值；
9、（2）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数； （结果用小数表示， 小数点后保留两位有效数字） （3） 以频率估计概率， 现从所有投资者中随机抽取 4 人， 记年龄在20， 40） 的人数为 X， 求 X 的分布列以及数学期望 E（X） 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 2 2 ，且过点（1， 2 2 ） ，直 线 1 与椭圆 C 交于 M，N 两点，以线 段 MN 为直径作圆圆心为 P，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程： （2）若直线 1 不与 x 轴重直，且|MN|2，求|OP|的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x
10、）（x2）ex+2e，其中 e2.71828 （1）求函数 yf（x）6 的零点个数； （2）若 x（0，+） ，记函数 g（x）f（x） ，且 g（x1）+g（x2）0，求证：x1+x2 2 请从下面所给的第请从下面所给的第 22.23 两题中选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分两题中选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 2 + 2， = 2， （ 为参 第 5 页（共 20 页） 数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
11、方程为 ( 3) = 1 （1）求曲线 C 的极坐标方程以及直线 l 的直角坐标方程； （2） 若直线： = 3 3 与直线 l 交于 M， 与曲线 C 交于 O， N， 若(4， 5 12)， 求AMN 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+3|+|2x5| （1）求不等式 f（x）3x 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）m 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省汕尾市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解
12、析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Ax|4x2+4x3x，By|y 1 8，则（RA）B（ ） A （ 1 8，0） B C （ 1 8，0 D 1 4， 1 8） 【解答】解：集合 Ax|4x2+4x3xx|4x2+x0， RAx|4x2+x0 1 4，0，By|y 1 8， 则（RA）B（ 1 8，0， 故选：C 2 （5 分）设 z= 1+4 2 +i，则 =（ ） A2 5 + 14
13、 5 B 2 5 + 14 5 C2 5 14 5 D 2 5 14 5 【解答】解： = 1+4 2 + = (1+4)(2+) (2)(2+) + = 2+9 5 + = 2+14 5 ， = 2 5 14 5 ， 故选：D 3 （5 分）曲线 y（x33x） lnx 在点（1，0）处的切线方程为（ ） A2x+y20 Bx+2y10 Cx+y10 D4x+y40 【解答】解：依题意，= (32 3) + 1 (3 3)， 故切线斜率 k2， 故所求切线方程为 y2（x1） ， 即 2x+y20， 故选：A 4 （5 分）2019 年 10 月 18 日27 日，第七届世界军人运动会在湖北
14、武汉举办，中国代表 团共获得 133 金 64 银 42 铜，共 239 枚奖牌为了调查各国参赛人员对主办方的满意程 度，研究人员随机抽取了 500 名参赛运动员进行调查，所得数据如表所示： 对主办方是否满意 男性运动员/名 女性运动员/名 第 7 页（共 20 页） 满意 200 220 不满意 50 30 现有如下说法： 在参与调查的 500 名运动员中任取 1 人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率 为1 2； 在犯错误的概率不超过 1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性 别有关” ； 没有 99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关” 则正确命题的
15、个数为（ ） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)， P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 A1 B2 C3 D4 【解答】解：在参与调查的 500 名运动员中任取 1 人，抽到对主办方表示满意的男性运 动员的概率为200 500 = 2 5 1 2，即错误； 2= 500(2003022050)2 42080250250 5.956.635，所以错误，正确 所以正确的只有， 故选：A 5 （5 分）记双曲线 C： 2 16 2 =1（m0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 2， 点M在双曲线C上，
16、点N满足1 = 1 21 ， 若|MF1|10， O为坐标原点， 则|ON| （ ） A8 B9 C8 或 2 D9 或 1 【解答】解：如图，a4，离心率为 e= =2，c8 |MF1|10a+c，M 在左支， |MF2|MF1|2a8， 第 8 页（共 20 页） |MF2|18 点 N 满足1 = 1 21 ，N 为 MF1的中点， 则|ON|= 1 2|MF2|9 故选：B 6 （5 分）已知向量 =（x，3） ， =（x+3，2） ，若 =| |2，则与 2 的夹角为 （ ） A30 B60 C45 D135 【解答】解： = | |2， x（x+3）+6x2+9，解得 x1， =
17、(1，3)， = (4，2)，2 = (2，4)， ，2 = (2) | |2|= 2+12 2510 = 2 2 ，且0 ，2 180， 与2 的夹角为 45 故选：C 7 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 258，则 n 的值为（ ） 第 9 页（共 20 页） A3 B4 C5 D6 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，i0 执行循环体，i1，S2 满足判断框内的条件 1n，执行循环体，i2，S10 满足判断框内的条件 2n，执行循环体，i3，S34 满足判断框内的条件 3n，执行循环体，i4，S98 满足判断框内的条件 4n，执行循环体，i5，S258 由题意
18、，此时不满足判断框内的条件 5n，可得 n 的值为 4 故选：B 8 （5 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1095，a817，则（ ） Aan5n23 BSn2n2 21 2 Can4n15 DSn= 3211 2 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，S1095，a817， 10a1+45d95，a1+7d17， 联立解得：a14，d3， an4+3（n1）3n7，Sn4n+ (1) 2 3= 3211 2 故选：D 9 （5 分）已知抛物线 C：x24y 的准线为 l，记 l 与 y 轴交于点 M，过点 M 作直线 l与 C 相切，切点为 N，则以 MN 为直径的圆的方
19、程为（ ） 第 10 页（共 20 页） A （x+1）2+y24 或（x1）2+y24 B （x+1）2+y216 或 x（x1）2+y216 C （x+1）2+y22 或（x1）2+y22 D （x+1）2+y28 或（x1）2+y28 【解答】解：依题意，M（0，1） ，设切线 l：ykx1， 联立 2 = 4 = 1，故 x 24kx+40，16k2160，解得 k1，故 x2， 则 N（2，1）或 N（2，1） ， 故以 MN 为直径的圆的方程为（x+1）2+y2或（x1）2+y22， 故选：C 10 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于原点对称，且 f（5 8 +
20、x）f（1 8 x） ， 当 0x 3 8时，f（x）256 x1，则 f（2020）（ ） A3 B3 C1 D1 【解答】解：根据题意，f（x）满足 f（5 8 +x）f（1 8 x） ，则有 f（x）f（3 4 +x） ， 又由函数 f（x）的图象关于原点对称，即 f（x）为奇函数，则有 f（x）f（x） ， 则有 f（3 4 +x）f（x） ， 变形可得 f（3 2 +x）f（x） ，故 f（x）是周期为3 2的周期函数， 则 f（2020）f（ 1 2 + 3 2 1347）f（ 1 2）f（ 1 2） ， 又由 f（1 2）f（ 5 8 1 8）f 1 8 （ 1 8）f（ 1 4
21、）= 256 1 413； 则 f（2020）3； 故选：A 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0）的图象关于 y 轴对称，且 f（1+x）+（1 x）0，则 的值可能为（ ） A5 2 B2 C3 2 D3 【解答】解：由于函数 f（x）sin（x+） （0）的图象关于 y 轴对称， 所以 k+ 2（kZ） ， 且 f（1+x）+（1x）0， 第 11 页（共 20 页） 所以当 x1 时，函数的图象关于（1，0）对称 所以直接排除 CD 选项， 当 2 时，f（1）sin（2+k+ 2）10，故选项 B 错误 当 = 5 2 时，f（1）sin（5 2 + + 2）0，
22、故选：A 12 （5 分）体积为 216 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是线段 D1C1的中点，点 N 在 线段 B1C1上，MNBD，则正方体 ABCDA1B1C1D1被平面 AMN 所截得的截面面积为 （ ） A2717 2 B2117 2 C1517 2 D1317 2 【解答】解：依题意得，N 是 B1C1的中点，AB3216， 则 AB6， 延长 A1D1直线 MN 于 P，延长 A1B1交直线 MN 于 Q， 连接 AP 交 DD1于 E，连接 AQ 交 BB1于 F， 作出截面 AFNME 如下图所示， 则 SAFNMESAEF+SMNFE，AEF 中， = =
23、213， = 62， 故AEF 的面积 = 1 2 1 2 62 34 = 617， 四边形 MNFE 的面积 = 1 2(32+ 62) 34 2 = 917 2 ， 故所求截面面积为2117 2 ， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 记等差数列an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn， 若 = 3;8 4:7， 则 12 12 = 61 99 【解答】解： = 3;8 4:7， 第 12 页（共 20 页） 则12 12 = 212 212 = 1:23 1:23 = 23 23 = 3
24、23;8 423:7 = 61 99 故答案为：61 99 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 3 4 0， 2 + 0， + 3 0， 则 zx+y 的最大值为 9 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 观察可知，当直线 zx+y 过点 A 时，z 有最大值， 联立2 + = 0 + 3 = 0，解得 = 3 = 6 ， 故 z 的最大值为 9 故答案为：9 15 （5 分） “方锥” ，在九章算术卷商功中解释为正四棱锥现有“方锥”SABCD， 其中 AB4，SA 与平面 ABCD 所成角的正切值为32 4 ，则此“方锥”的外接球表面积为 289 9 【解答】解：
25、如图所示：由正四棱锥可得，SO面 ABCD，则 O为正方形的中心，AB 4， 底面外接圆的半径 rOA= 2 2 AB22，则SAO为 SA 与平面 ABCD 所成角， 所以 tanSAO= 32 4 = ， SO= 32 4 22 =3，即正四棱锥的高 h3， 设外接球的球心为 O，球的半径为 R，则 O 在直线 SO上，连接 OA， 可得，R2（Rh）2+r2，整理得：2R38+9，4R2= 172 9 ，所以外接球的表面积 S 4R2= 289 9 ， 第 13 页（共 20 页） 故答案为：289 9 16 （5 分）若（e2x 3+e32x） （4x212x+11）（e3x+e3x）
26、 （9x2+2）0，则实数 x 的取值 范围为 3，3 5 【解答】解：由（e2x 3+e32x） （4x212x+11）（e3x+e3x） （9x2+2）0，得（e2x3+e3 2x） （4x212x+11）（e3x+e3x） （9x2+2） ， 即（e2x 3+e32x）（2x3）2+2（e3x+e3x）（3x）2+2， 设 f（x）（ex+e x） （x2+2） ， 则不等式等价为 f（2x3）f（3x） ， 则 f（x）f（x） ，即函数 f（x）是偶函数， 当 x0 时，f（x）为增函数， 则 f（2x3）f（3x） ，等价为 f（|2x3|）f（|3x|） ， 即|2x3|3x|，
27、 平方得 4x212x+99x2， 得 5x2+1290， （x+3） （5x3）0， 得3x 3 5， 即实数 x 的取值范围是3，3 5， 故答案为：3，3 5 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知ABC 中，角 A，BC 所对的边分别为 a，b，c，且 2:2;2 =6bcosA 2ccos A （1）求 tanA 的值； 第 14 页（共 20 页） （2）若 a4，求ABC 周长的最大值 【解答】解： 2:2;2 =6bcosA2ccos A 由余弦定理可得，2acosC+2ccosA6bco
28、sA， 即 sinAcosC+sinCcosA3sinBcosA， 所以 sin（A+C）sinB3sinBcosA， 所以 cosA= 1 3，sinA= 22 3 ， tanA22， （2）由（1）及余弦定理可得，1 3 = 2:2;16 2 ， 整理可得，b2+c216= 2 3bc， ( + )2 16 = 8 3 8 3 (+ 2 )2， 解可得，b+c 43， 又因为 b+ca4， 故周长 8a+b+c 4 + 43 18 （12 分）四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SCCD2，SA23，AC 与 BD 交于 E， M，N 分别为 SD，SA 的中点，SCMN （1）求证：平面
29、 SAC平面 SBD； （2）求直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小 【解答】解： （1）证明：四棱锥 SABCD 的底面为正方形， ACBD， M，N 分别为 SD，SA 的中点，MNAD， SCMN，SCAD， SCCD2，SA23，AC24+48， SC2+AC2SA2，SCAC， ACADA，SC平面 ABCD，SCBD， SCACC，BD平面 SAC， 第 15 页（共 20 页） BD平面 SBD，平面 SAC平面 SBD （2）解：以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，2，0） ，D（2，0，0） ，S（0，0
30、，2） ，C（0，0，0） ，A（2，2，0） ，M（1，0， 1） ，N（1，1，1） ， =（2，2，0） ， =（1，0，1） ， =（1，1，1） ， 设平面 CMN 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = + = 0 = + + = 0 ，取 x1，得 =（1，0，1） ， 设直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小为 ， 则 sin= | | | | | = 2 82 = 1 2，30， 直线 BD 与平面 CMN 所成角的大小为 30 19 （12 分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将 A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示 （
31、1）求图中 a 的值； （2）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数； （结果用小数表示， 小数点后保留两位有效数字） （3） 以频率估计概率， 现从所有投资者中随机抽取 4 人， 记年龄在20， 40） 的人数为 X， 求 X 的分布列以及数学期望 E（X） 第 16 页（共 20 页） 【解答】解： （1）依题意，0.07+0.18+10a+0.25+0.21， 解得 a0.03 （2）平均数为 250.07+350.18+450.3+550.25+650.248.30 中位数为40 + 0.50.25 0.03 48.33 （3）依题意，XB（4，1 4） ， 故( = 0
32、) = (3 4) 4 = 81 256， ( = 1) = 4 1(1 4)( 3 4) 3 = 27 64， ( = 2) = 4 2(1 4) 2(3 4) 2 = 27 128， ( = 3) = 4 3(1 4) 3(3 4) = 3 64， ( = 4) = (1 4) 4 = 1 256 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故() = 4 1 4 =1 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 2 2 ，且过点（1， 2 2 ） ，直 线 1 与椭圆 C 交于 M，N 两
33、点，以线 段 MN 为直径作圆圆心为 P，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程： （2）若直线 1 不与 x 轴重直，且|MN|2，求|OP|的最大值 【解答】解： （1）由题意可知， = = 2 2 1 2 + 1 22 = 1 2= 2+ 2 ，解得 = 2，bc1， 所以椭圆方程 2 2 + 2= 1； （2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 ykx+m，设 M（x1， y1） ，N（x2，y2） ，P（x0，y0） ， 第 17 页（共 20 页） 联立方程组 = + 2 2 + 2= 1，消去 y，整理得（2k 2+1）x2+4kmx+2m220，
34、（4km）2 4（2k2+1） （2m22）8（1+2k2m2）0， x1+x2= 4 1+22， x1x2= 222 1+22 ， y1+y2k （x1+x2） +2m= 2 1+22， 则( 2 1+22 ， 1+22)， 由|MN|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 221+21+222 1+22 =2， 整理得2= 1+22 2(1+2)， 所以8（2k2+1t2）82k2+1 1+22 2(1+2)0 恒成立，所以 k0， 因此， |2= 0 2 + 0 2 = 422 (1+22)2 + 2 (1+22)2 = (1+42) (1+22)2 1+22 2(1+2) = (1+4
35、2) 2(1+2)(1+22)， 令 1+4k2t1，则2= 1 4 ， 所以|2= 2(1+1 4 )(1+21 4 ) = 4 2+4+3 = 4 +3 +4 4 23 +4 = 4 4+23 = (3 1)2， 当且仅当 t= 3时，取等号， 所以| 3 1， 所以|OP|的最大值3 1 21 （12 分）已知函数 f（x）（x2）ex+2e，其中 e2.71828 （1）求函数 yf（x）6 的零点个数； （2）若 x（0，+） ，记函数 g（x）f（x） ，且 g（x1）+g（x2）0，求证：x1+x2 2 【解答】解： （1）令 f（x）60，即 f（x）6，依题意，f（x）（x1
36、）ex， 故函数 f（x）在（，1）单调递减，在（1，+）单调递增， 当 x1 时，函数 f（x）取得极小值 e，且当 x（，1）时， （x2）ex0， 故 f（x）2e，而当 x时，f（x）2e，x+时，f（x）+， 在同一坐标系中分别作出函数 yf（x）与直线 y6 的图象如下图所示， 第 18 页（共 20 页） 由图象可知，函数 yf（x）与直线 y6 的图象仅有一个交点，即函数 yf（x）6 的 零点个数为 1； （2）证明：依题意，() = ( 2)+ 2 ，则() = (1)2(+1) 2 0， 注意到 g（1）0，g（x1）+g（x2）02g（1） ，不妨设 0x11x2， 求
37、证 x1+x22，只需证 x22x1，只需证 g（x2）g（2x1） ，即g（x1）g（2x1） ， 令() = ( 2) ，即证4em（x1）m（2x1） ，即证 m（x1）+m（2x1） 4e， 令 （x）m（x）+m（2x） ，0x1，而 （1）4e，故只需证 （x）（1） ， 又() = () (2 ) = 2;( 1)2 22(+1) 2 3 (2)2， 下面证 （x）0，即证 22(:1) 2 3; (2;)2 0，由熟知的不等式 ex1+x 可知， e2x 2（ex1）2x2， 当 0x1 时，即 22 2 1， 22(:1) 2 3; (2;)2 + 1 3; (2;)2 =
38、3;32:1 (;2)2 ， 易知当 0x1 时，x22x10，故 x33x2+x+1（x1） （x22x1）0， 22(:1) 2 3; (2;)2 0，即 （x）0，函数 （x）单调递增，故 （x） （1） ，从而 x1+x22 得证 请从下面所给的第请从下面所给的第 22.23 两题中选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分两题中选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分选修选修 4-4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 2 + 2， = 2， （ 为参 数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
39、直线 l 的极坐标方程为 第 19 页（共 20 页） ( 3) = 1 （1）求曲线 C 的极坐标方程以及直线 l 的直角坐标方程； （2） 若直线： = 3 3 与直线 l 交于 M， 与曲线 C 交于 O， N， 若(4， 5 12)， 求AMN 的面积 【解答】解： （1）依题意，曲线 C： （x2）2+y24，即 x2+y24x0， 故 24cos0，即 4cos； 直线：( 1 2 + 3 2 ) = 1，则 + 3 = 2， 故直线： + 3 2 = 0； （2）依题意，直线 l的极坐标方程为 = 6，设(， 6)，(， 6)， 则( 6 3) = 1，解得 = 23 3 ， 又
40、= 4 6 = 23，故| = | | = 43 3 ， 则点 A 到直线 l 的距离 = 4 (5 12 6) = 4 2 2 = 22， 故AMN 的面积为1 2 43 3 22 = 46 3 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+3|+|2x5| （1）求不等式 f（x）3x 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）m 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）当 x3 时，不等式 f（x）3x 化为x32x+53x， 解得 1 3，所以 x3； 当3 5 2时，不等式 f（x）3x 化为 x+3+52x3x， 解得 x2，所以3x2； 当 5 2时，不等式 f（x）3x 化为 x+3+2x53x， 解得20，无解； 所以不等式 f（x）3x 的解集为（，2） （2）依题意，f（x）|x+3|+|2x5| = | + 3| + | 5 2 | + | 5 2 | 第 20 页（共 20 页） | + 3| + | 5 2 | | + 3 ( 5 2)| = 11 2 ， 当且仅当 = 5 2时取等号； 所以不等式 f（x）m 在 R 上恒成立，实数 m 的取值范围是(， 11 2
