1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 2 |56 0Ax xx ， |210Bxx ，则(AB ) A(，23，) B 1 ( ,3) 2 C 1 ( ,3 2 D( 1 2 ， 23，) 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足1 32 z i i i ，则|3|
2、 (z ) A29 B3 3 C26 D5 3 （5 分）计算sin133 cos197cos47 cos73的结果为( ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 4 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( ) A B 第 2 页（共 19 页） C D 5 （5 分）若 6 log 3a ， 10 log 5b ， 14 log 7c ，则( ) Aabc Bbca Cacb Dcba 6 （5 分）已知x，y满足不等式组 24 0 2 0 3 0 xy xy y ，则|1|zx
3、y的最小值为( ) A2 B 2 2 C2 D1 7 （5 分）电路从A到B上共连接着 6 个灯泡（如图） ，每个灯泡断路的概率为 1 3 ，整个电 路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是( ) A 10 27 B 448 729 C 100 243 D 40 81 8 （5 分）有 5 名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同 学不能相邻，则不同的站法有( ) A8 种 B16 种 C32 种 D48 种 9 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxA，0，0) 2 的最小正周期是，若 ( )1f，则 3 ()( 2 f ) 第 3 页（共
4、19 页） A2 B 1 2 C1 D1 10 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的 四棱锥现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 1 2A AAB，当阳马 11 BA ACC体积最大 时，则堑堵 111 ABCABC的外接球的体积为( ) A2 2 B 8 2 3 C14 2 3 D4 2 11 （5 分）已知数列 n a是各项均为正数的等比数列， n S为数列 n a的前n项和，若 223 3SaS，则 42 3aa的最小值为( ) A9 B12 C16 D18 12 （
5、5 分）若关于x的方程0 x xx xe m exe 有三个不相等的实数解 1 x， 2 x， 3 x，且 123 0xxx，其中mR，2.718e 为自然对数的底数，则 123 2312 (1) (1)(1) xxx xxx eee 的值 为( ) Ae B1m C1m D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置分，请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13（5分） 等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 4 a，10a
6、是方程 2 810xx 的两根， 则 13 S 14 （5 分）已知向量a与b的夹角是 5 6 ，且| | |aa b，则向量a与ab的夹角是 15 （ 5分 ） 已 知 29211 01211 (1)(2)(1)(1)(1)xxaa xa xax， 则 12311 aaaa 的值为 16（5 分） 已知函数( )2 xx xx ee f x ee ， 若有f（a）(2)4f a， 则a的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 4 页（共 19 页） 17 （
7、12 分）设 n S为数列 n a的前n项和，已知 2 3a ， 1 21 nn aa （1）证明1 n a 为等比数列 （2）判断n， n a， n S是否成等差数列？并说明理由 18 （12 分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c （1）若cos:cos:cos2:2:7ABC ，求sinB； （2）若sin:cos:tan2:2:7ABA ，试判断ABC的形状 19（12分） 如图， 在三棱台ABCDEF中， 二面角BADC是直二面角，ABAC，3AB ， 1 1 2 ADDFFCAC （1）求证：AB 平面ACFD； （2）求二面角FBED的平面角的余弦值 20 （
8、12 分）已知函数 2 ( )() x f xeexax aR （1）若( )f x在(0,1)上单调，求a的取值范围 （2）若( )yf xexlnx的图象恒在x轴上方，求a的取值范围 21 （12 分）某种零件的质量指标值为整数，指标值为 8 时称为合格品，指标值为 7 或者 9 时称为准合格品，指标值为 6 或 10 时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了 了解机器性能， 随机抽取了该机器制造的 100 个零件， 不同的质量指标值对应的零件个数如 表所示； 质量指标值 6 7 8 9 10 零件个数 6 18 60 12 4 使用该机器制造的一个零件成本为 5 元，合格品可以以
9、每个X元的价格出售给批发商，准 合格品与废品无法岀售 （1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数； （2） 若该单位接到一张订单， 需要该零件 2100 个， 为使此次交易获利达到 1400 元， 估计x 的最小值； 第 5 页（共 19 页） （3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费 2 元可以被加工一次，加工结果会等可能 出现以下三种情况：质量指标值增加 1，质量指标值不变，质量指标值减少 1已知 每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下， 估计x的最小值（精确到0.01) 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
10、一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线 22 1: 1Cxy经过伸缩变换 2xx yy 后得到曲线 2 C，以 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标， 曲线 3 C的极坐标方程为2sin （1）求出曲线 2 C， 3 C的参数方程； （2）若P，Q分别是曲线 2 C， 3 C上的动点，求|PQ的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知3abc，且a、b、c都是正数 （1）求证； 2
11、22 3abc； （2）求证： 1113 2abbcca 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 2 |56 0Ax xx ， |210Bxx ，则(AB ) A(，23，) B 1 ( ,3) 2 C 1 ( ,3 2 D( 1 2
12、 ， 23，) 【解答】解：集合 2 |56 0 |2Ax xxx x厔或3x， 1 |210 | 2 Bxxx x ， 则 1 |2 2 ABxx 或 1 3(2x，23，) 故选：D 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足1 32 z i i i ，则|3| (z ) A29 B3 3 C26 D5 【解答】解：由1 32 z i i i ，得(1)(32 )5z iiii， 2 5(5)() 15 iii zi ii ， 则325zi， |3| |25 |29zi 故选：A 3 （5 分）计算sin133 cos197cos47 cos73的结果为( ) A 1 2 B 1 2 C
13、3 2 D 3 2 【解答】解： 1 sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17sin(1747)sin(30) 2 ， 故选：B 4 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在 第 7 页（共 19 页） 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( ) A B C D 【解答】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理 可得它们平行于面对角线， 连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平 面MNQ； 对于B，AB为上底面的对
14、角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平 行，且与直线NQ 垂直，可得AB垂直于平面MNQ； 第 8 页（共 19 页） 对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行， 此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ； 对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为 60， 则AB不垂直于平面MNQ 故选：D 5 （5 分）若 6 log 3a ， 10 log 5b ， 14 log 7c ，则( ) Aabc Bbca Cacb Dcba 【解答】解：令 2 ( )1log 21 2 xx
15、xlg f xlog lgx 在2x 时单调递增， 61014 log 3log 5log7， 则abc， 故选：D 6 （5 分）已知x，y满足不等式组 24 0 2 0 3 0 xy xy y ，则|1|zxy的最小值为( ) A2 B 2 2 C2 D1 【解答】 解： 由x，y满足不等式组 24 0 2 0 3 0 xy xy y ， 作出可行域如图， 由可行域可知(5,3)A， (2,0)B， 1uxy的最大值为：7，最小值为：1， 则|1|zxy的最小值为：1 故选：D 第 9 页（共 19 页） 7 （5 分）电路从A到B上共连接着 6 个灯泡（如图） ，每个灯泡断路的概率为 1
16、 3 ，整个电 路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是( ) A 10 27 B 448 729 C 100 243 D 40 81 【解答】解：电路从A到B上共连接着 6 个灯泡（如图） ，每个灯泡断路的概率为 1 3 ， 整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路， 则从A到B连通的概率是： 112222448 (1) 1(1)(1) 333333729 P 故选：B 8 （5 分）有 5 名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同 学不能相邻，则不同的站法有( ) A8 种 B16 种 C32 种 D48 种 【解答】解：根据题意，假设有 1、2、3、4
17、、5，共 5 个位置，分 3 步进行分析： ，甲必须站在正中间，将甲安排在 3 号位置， ，在 1、2、4、5 中一个位置任选 1 个，安排乙，有 4 种情况， 由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有 2 种安排方法， ，将剩下的 2 名同学全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 2 2 2A 种安排方法， 则有1 42216种安排方法； 第 10 页（共 19 页） 故选：B 9 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxA，0，0) 2 的最小正周期是，若 ( )1f，则 3 ()( 2 f ) A2 B 1 2 C1 D1 【解答】解：因为函数( )sin()f xAx的周期为 2 T
18、，2， ( )sin(2)f xAx， 又( )sin(2)1fA， 33 ()sin2() 22 fA sin(23)A sin(2)A 1 故选：D 10 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的 四棱锥现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 1 2A AAB，当阳马 11 BA ACC体积最大 时，则堑堵 111 ABCABC的外接球的体积为( ) A2 2 B 8 2 3 C14 2 3 D4 2 【解答】解：设ACx，BCy，由题意得0x ，0y ， 22 4xy， 当
19、阳马 11 BA ACC体积最大， 12 2 33 Vxyxy取最大值， 第 11 页（共 19 页） 22 2 2 xy xy ，当且仅当2xy时，取等号， 当阳马 11 BA ACC体积最大时，2ACBC， 以CA、CB、 1 CC为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵 111 ABCABC的外接 球， 堑堵 111 ABCABC的外接球的半径 224 2 2 R ， 堑堵 111 ABCABC的外接球的体积 3 48 2 ( 2) 33 V 故选：B 11 （5 分）已知数列 n a是各项均为正数的等比数列， n S为数列 n a的前n项和，若 223 3SaS，则 42 3aa的
20、最小值为( ) A9 B12 C16 D18 【解答】 解： 根据题意， 等比数列 n a中， 若 223 3SaS， 则 322 3SSa， 即 32 3aa， 变形可得： 2( 1)3a q ，即 2 3 1 a q ，必有1q ， 又由 2 222 42222 33912 33(3)(3)3(1)6 111 q aaa qaa qqq qqq ， 又由1q ，则 1212 3(1)6 23(1)618 11 qq qq ，当且仅当3q 时等号成立； 则 42 3aa的最小值为 18； 故选：D 12 （5 分）若关于x的方程0 x xx xe m exe 有三个不相等的实数解 1 x，
21、2 x， 3 x，且 123 0xxx，其中mR，2.718e 为自然对数的底数，则 123 2312 (1) (1)(1) xxx xxx eee 的值 为( ) Ae B1m C1m D1 【解答】解：由方程0 x xx xe m exe 1 0 1 x x x m x e e ， 令 x x t e ，则有 1 0 1 tm t 2 (1)10tmtm ， 令函数( ) x x g x e ， 1 ( ) x x g x e ， 第 12 页（共 19 页） ( )g x在(,1)递增，在(1,)递减， 其图象如下， 要使关于x的方程0 x xx xe m exe 有 3 个不相等的实数
22、解 1 x， 2 x， 3 x，且 123 0xxx 结合图象可得关于t的方程 2 (1)10tmtm 一定有两个实根 1 t， 2 t， 12 (0)tt 且 1 1 1 x x t e ， 2 32 2 3 xx xx t ee 123 22312 12 (1) (1)(1)(1)(1) xxx xxx tt eee 121 212 (1)(1)()1(1)(1)11ttt tttmm 123 22312 12 (1) (1)(1)(1)(1)1 xxx xxx tt eee 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案
23、填在答题卡对应题号的位置分，请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，若 4 a， 10 a是方程 2 810xx 的两根，则 13 S 52 【解答】解： 4 a， 10 a是方程 2 810xx 的两根， 410 8aa， 4107 28aaa 137 1352Sa， 故答案为：52 14（5 分） 已知向量a与b的夹角是 5 6 ， 且| |a a b， 则向量a与ab的夹角是 120 【解答】解：向量a与b的夹角是 5 6 ，且| |aab， 第 13 页（共
24、 19 页） 222 2aaa bb， 2 20a bb， 即 2 5 2| cos|0 6 abb ， 化简得|3|ba， 22 2 2 3 | ()1 2 cos |2| aa a abaa b aaaaab ， 向量a与ab的夹角是120 故答案为：120 15 （ 5分 ） 已 知 29211 01211 (1)(2)(1)(1)(1)xxaa xa xax， 则 12311 aaaa 的值为 2 【解答】解：已知 29211 01211 (1)(2)(1)(1)(1)xxaa xa xax， 令1x ，可得 0 2a ， 再令2x ，可得 1211 02aaa ，求得 1211 2a
25、aa， 故答案为：2 16 （5 分）已知函数( )2 xx xx ee f x ee ，若有f（a）(2)4f a，则a的取值范围是 (1,) 【解答】解：令函数( ) xx xx ee g x ee ，满足()( )gxg x ，为奇函数， 故f（a）(2)4f a，可化为：g（a）(2)0g a， 即g（a）(2)(2)g aga ， 又由 2 22 ( )11 1 xxx xxxxx eee g x eeeee 为增函数， 故2aa 解得：(1,)a 故答案为：(1,) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
26、分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）设 n S为数列 n a的前n项和，已知 2 3a ， 1 21 nn aa （1）证明1 n a 为等比数列 （2）判断n， n a， n S是否成等差数列？并说明理由 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）证明： 2 3a ， 1 21 nn aa ，可得 1 1a ， 即有 1 12(1) nn aa ， 则1 n a 为首项为 1，公比为 2 的等比数列； （2）由（1）可得12n n a ，即有21 n n a ， 1 2(12 ) 22 12 n n n Snn ， 由 1 2222(21)0 nn nn n
27、Sann ， 可得n， n a， n S成等差数列 18 （12 分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c （1）若cos:cos:cos2:2:7ABC ，求sinB； （2）若sin:cos:tan2:2:7ABA ，试判断ABC的形状 【解答】解： （1）由题意可得，设coscos2ABx，cos7Cx，且 2 CAB ， 22 coscos(2 )cos2sincosCAAAA， 可得 22 1447xxx，解得 1 8 x ， 可得 1 coscos 4 AB， 可得 2 15 sin1 4 Bcos B， （2）由题意可得，设sincos2ABx，tan7Ax，且
28、A，B均小于 2 ， 由sintancosAAA，可得 2 271 4xxx， 解得 3 5 14 x ， 可得 3 5 sincos 7 AB， 2 cossin 7 AB， 可得coscoscossinsin0CABAB， 可得C为直角，ABC为直角三角形 19（12分） 如图， 在三棱台ABCDEF中， 二面角BADC是直二面角，ABAC，3AB ， 1 1 2 ADDFFCAC （1）求证：AB 平面ACFD； （2）求二面角FBED的平面角的余弦值 第 15 页（共 19 页） 【解答】证明： （1）连接CD，在等腰梯形ACFD中，过D作DGAC交AC于点G， 因为 1 1 2 AD
29、DFFCAC，所以 1 2 AG ， 3 2 DG ， 3 2 CG ， 所以3CD ，所以 222 ADCDAC，即CDAD， （2 分） 又二面角BADC是直二面角，CD 平面ACFD， 所以CD 平面ABED， （4 分） 又AB平面ABED，所以ABCD， 又因为ABAC，ACCDC，AC、CD 平面ACFD， 所以AB 平面ACFD （6 分） 解： （2）如图，在平面ACFD内， 过点A作AHAC，由（1）可知ABAH， 以A为原点，AB，AC，AH的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系Axyz 则(3B，0，0)， 13 (0,) 22 D， 33 (0,) 22
30、 F，(0C，2，0)， （7 分） 所以( 3BC ，2，0)， 13 (0,) 22 CF ， 设( , , )nx y z是平面FBE的一个法向量， 则 320 30 n BCxy n CFyz ， 取2x ，得(2n ，3，3)， （9 分） 由（1）可知CD 平面BED， 所以(0CD ， 3 2 ， 3) 2 是平面BED的一个法向量， （10 分） 第 16 页（共 19 页） 所以 33 cos, 4| |4 3 n CD n CD nCD ， （11 分） 又二面角FBED的平面角为锐角， 所以二面角FBED的平面角的余弦值为 3 4 （12 分） 20 （12 分）已知函数
31、 2 ( )() x f xeexax aR （1）若( )f x在(0,1)上单调，求a的取值范围 （2）若( )yf xexlnx的图象恒在x轴上方，求a的取值范围 【解答】解： （1）( )2 x f xeexa， 由( )f x在(0,1)上单调，知( )2 x f xeexa在(0,1)上大于等于 0 或小于等于 0 恒成立， 令( )2 x g xeexa，则( )2 x g xee，令( )0g x，解得(2 )xlne， 当01(2 )xlne 时，( )0g x，( )g x在(0,1)上单调递减， 由题意得，g（1）0或(0) 0g，解得1a或a e， 实数a的取值范围为(
32、，1e，)； （2） 2x yeexaxexlnx的图象恒在x轴上方，即当(0,)x时，0y 恒成立， 亦即 x e aexelnx x 在(0,)上恒成立， 令( ) x e h xexelnx x ，则 2 22 (1)()(1) ( ) xx exexexexex h x xx ， 令( )0h x，解得01x；令( )0h x，解得1x ， 函数( )h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， ( )h x在1x 处取得最大值，最大值为h（1）0， 实数a的取值范围为(0,) 21 （12 分）某种零件的质量指标值为整数，指标值为 8 时称为合格品，指标值为 7 或者 9 第
33、 17 页（共 19 页） 时称为准合格品，指标值为 6 或 10 时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了 了解机器性能， 随机抽取了该机器制造的 100 个零件， 不同的质量指标值对应的零件个数如 表所示； 质量指标值 6 7 8 9 10 零件个数 6 18 60 12 4 使用该机器制造的一个零件成本为 5 元，合格品可以以每个X元的价格出售给批发商，准 合格品与废品无法岀售 （1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数； （2） 若该单位接到一张订单， 需要该零件 2100 个， 为使此次交易获利达到 1400 元， 估计x 的最小值； （3）该单位引进了一台加工设备，每个零
34、件花费 2 元可以被加工一次，加工结果会等可能 出现以下三种情况：质量指标值增加 1，质量指标值不变，质量指标值减少 1已知 每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下， 估计x的最小值（精确到0.01) 【解答】解： （1）设机器制造零件的质量指标的平均数为m， 由题意得： 1 (667 188609 12104)7.9 100 m 机器制造零件的质量指标值的平均数为 7.9 个 （2）一个零件成本为 5 元，以每个X元的价格出售，得到： 60 2100(21005) 1400 100 x ， 解得9x， x的最小值为 9 （2）依题意得准合格品加工后有
35、1 3 能合格，用于销售， 设为满足订单需制作y个零件， 则 6018121 ()2100 1001003 y ， 解得3000y ， 故要使获利达到 1400， 第 18 页（共 19 页） 需要 3 210052 1400 10 xyy， 解得 26 8.67 3 x x的最小值为 8.67 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线 22 1: 1Cxy经过伸缩变换 2
36、xx yy 后得到曲线 2 C，以 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标， 曲线 3 C的极坐标方程为2sin （1）求出曲线 2 C， 3 C的参数方程； （2）若P，Q分别是曲线 2 C， 3 C上的动点，求|PQ的最大值 【解答】解： （1）曲线 22 1: 1Cxy经过伸缩变换 2xx yy 后得到曲线 2 C， 曲线 2 C的方程为 2 2 1 4 x y 曲线 2 C的参数方程为 2cos sin x y ，(为参数） 曲线 3 C的极坐标方程为2sin 即 2 2 sin， 曲线 3 C的直角坐标方程为 22 2xyy，即 22 (1)1xy， 曲线 3 C的参数方程为
37、 cos 1sin x y ，(为参数） （2）设(2cos ,sin )P，则P到曲线 3 C的圆心(0, 1)的距离： 222 116 4(sin1)3(sin) 33 dcos sin 1 ，1，当 1 sin 3 时， 4 3 3 max d 4 34 33 |1 33 maxmax PQdr 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知3abc，且a、b、c都是正数 （1）求证； 222 3abc； 第 19 页（共 19 页） （2）求证： 1113 2abbcca 【解答】证明： （1）3abc，且a、b、c都是正数， 2 ()9abc， 222 2229abcabacbc， 又 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2acac， 222 2() 2()abcabbcac， 222222 2() 9abcabc，当且仅当1abc时取等号， 222 3abc （2）3abc，且a、b、c都是正数， 111 abbcca 1111 ()() 6 abbcac abbcac 1 (111) 6 ababbcbcacac bcacabaccbbc 113 (12 112 112 1)9 662 ，当且仅当1abc时取等号， 1113 2abbcca
