1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（文科）学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数 z12i，则 z2（ ） A34i B54i C3+4i D5+4i 2 （5 分）设集合 Ax|x1，Bx|2x4，则 AB（ ） Ax|1x4 Bx|2x1 Cx|2x4 Dx|x2 3（5分） 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近
2、线方程是2xy0， 则该双曲线的离心率是 （ ） A6 B5 C2 D3 4 （5 分）已知实数 x、y 满足不等式组 0 2 + 2 0 3 + 3 0 ，则目标函数 zx+y 的取值范围是 （ ） A0，4 B1，3 C2，3 D1，4 5 （5 分）图（1）是某品牌汽车 2019 年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所 属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是（ ） A该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多 B该品牌汽车 2019 年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份 C2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的汽车销量比 8
3、 月份多 D该品牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 6 （5 分）已知() = 1 2 2，则满足 f（x+1）1 的 x 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 20 页） A(， 3 4 B(1， 3 4 C 3 4 ，+ ) D(1， 5 4 7 （5 分）如图为函数 f（x）sin（x+）的部分图象，将其向左平移1 4个单位长度后与函 数 g（x）的图象重合，则 g（x）可以表示为（ ） Asin2x Bsin2x Csinx Dsinx 8 （5 分）笛卡尔心形线的极坐标方程为 a（1sin） ，如图，笛卡尔心形线在半径为 2 的圆内为了测算该心形线围成的
4、区域面积，某同学利用计算机随机模拟法向该圆内随 机投掷了 1000 个点，其中落入心形线内的点有 375 个，则该心形线围成的区域面积约为 （ ） A3 2 B3 8 C2 D 9 （5 分）若 cos2sin1，则 tan（ ） A4 3 B3 4 C0 或4 3 D0 或3 4 10 （5 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ACB90，AA1AC CB，则直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值是（ ） 第 3 页（共 20 页） A1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 11 （5 分）F1、F2为椭圆 E： 2 4 + 2 2 =1 的左、右焦点，A
5、 为短轴的一个端点，连接 AF2 并延长交椭圆于 B 点，则ABF1的面积为（ ） A8 3 B16 3 C3 D8 12 （5 分）已知直线 l 与曲线 f（x）ex和 g（x）lnx 分别相切于点 A（x1，y1） 、B（x2， y2） 有以下命题：AOB90（O 为原点） ；x1+y20；x1（2，2） ，则正 确命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知| |2，| |3， 与 夹角的余弦值为1 3，则| | 14 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）+2f（
6、x）3x，则 f（1） 15 （5 分）已知两圆 C1、C2和 x 轴正半轴，y 轴正半轴及直线 x+y2 都相切，则两圆圆心 的距离|C1C2| 16 （5 分）在ABC 中，BAC120，D、E 为边 BC 上的点，且 BDCD，BAE CAE，若 AD3， = 2，则 BC 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第（第（22） ， （） ， （23）题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题
7、：（一）必考题： 共共 60 分分. 17已知an是公差不为 0 的等差数列，且前 3 项和为 9bn是等比数列，且 b1a2，b2 a5，b3a11 第 4 页（共 20 页） （1）求 an； （2）求bn的前 n 项和 Tn 18 河北省高考综合改革从 2018 年秋季入学的高一年级学生开始实施， 新高考将实行 “3+1+2” 模式，其中 3 表示语文、数学、外语三科必选，1 表示从物理、历史两科中选择一科，2 表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科某校 2018 级入学的高一学生选科情况 如表： 选科 组合 物化 生 物化政 物化 地 物生 政 物生 地 物政 地 史政 地 史政
8、化 史生 政 史地 化 史地 生 史化 生 合计 男 130 45 55 30 25 15 30 10 40 10 15 20 425 女 100 45 50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475 合计 230 90 105 65 60 50 70 30 95 25 40 40 900 （1） 完成下面的 22 列联表， 并判断是否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下， 认为 “选 择物理与学生的性别有关”？ （2） 学校按性别用分层抽样的方式， 从选择 “史地化” 组合的同学中抽取了 5 名同学 现 要从这 5 名同学中随机抽取 3 名同学参加某项活动，则抽取的 3
9、 名同学中，恰有 1 名男 生的概率 选择物理 不选择物理 合计 男 425 女 475 合计 900 附表及公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 19如图，AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，D、E 分别是 PB、PC 的中点 （1）求证：DE平面 PAC； （2）若 ABPC2，AC1，求点 E 到平面 ACD 的距离 第 5 页（共 20 页） 20已知抛物线 E：y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点 （
10、1）若 AB 的中点纵坐标为 2，求直线 l 的方程； （2）设直线 l 与 E 的准线相交于 C，P（1，2） ，求证：直线 PA、PC、PB 的斜率成等差 数列 21设函数 f（x）= 2 4 x+sinx，g（x）f（x） （1）讨论 g（x）在0，2上的单调性； （2）证明：f（x）在 R 上仅有三个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第（请考生在第（22） ， （） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中
11、，圆 C： （x1）2+y21，直线 l：y2以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； （2）设 A、B 分别为圆 C 和直线 l 上的点，且满足 AOAB，设AOB，求 tan 的 最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a、b、c、d 是正实数，且 2a+b3，c+d1 （1）证明：2 + 1 3； （2）当 为何值时，2 + 取得最大值？ 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（文科）学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试
12、题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）复数 z12i，则 z2（ ） A34i B54i C3+4i D5+4i 【解答】解：z12i， z2（12i）214i+（2i）234i 故选：A 2 （5 分）设集合 Ax|x1，Bx|2x4，则 AB（ ） Ax|1x4 Bx|2x1 Cx|2x4 Dx|x2 【解答】解：集合 Ax|x1， Bx|2x4， ABx|x2 故选：D 3（5分） 已知焦点在x轴上的
13、双曲线的渐近线方程是2xy0， 则该双曲线的离心率是 （ ） A6 B5 C2 D3 【解答】解：双曲线的焦点在 x 轴上， 设双曲线的方程为 2 2 2 2 =1（a0，b0） 可得双曲线的渐近线方程是 y x 结合题意双曲线的渐近线方程是 y2x，得 =2 b2a，可得 c= 2+ 2= 5a 因此，此双曲线的离心率 e= = 5 故选：B 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）已知实数 x、y 满足不等式组 0 2 + 2 0 3 + 3 0 ，则目标函数 zx+y 的取值范围是 （ ） A0，4 B1，3 C2，3 D1，4 【解答】解：实数 x、y 满足不等式组 0 2 + 2
14、0 3 + 3 0 的可行域如图： 目标函数 zx+y 经过 A 时取得最大值，经过 B 时，取得最小值， 由2 + 2 = 0 3 + 3 = 0，解得 B（1，0） ， 由 = 0 3 + 3 = 0解得 A（0，3） ， 所以目标函数 zx+y 的最大值为 3，最小值为 1， 所以目标函数 zx+y 的取值范围1，3 故选：B 5 （5 分）图（1）是某品牌汽车 2019 年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所 第 8 页（共 20 页） 属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是（ ） A该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多 B该品牌汽车 2019
15、年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份 C2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的汽车销量比 8 月份多 D该品牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 【解答】解：由图（1）可知该品牌汽车 2019 年全年销量中，1 月份月销量最多，所以 A 正确； 该品牌汽车 2019 年上半年的销售淡季是 5 月份，下半年的销售淡季是 10 月份，所以 B 正确； 该品牌汽车 2019 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，所以 D 正确； 由图（2）可知 2019 年该品牌汽车所属公司 7 月份的该品牌汽车销量占所属汽车公司当 月总销量比
16、8月份多， 不一定2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多， 所以 C 不正确， 故选：C 6 （5 分）已知() = 1 2 2，则满足 f（x+1）1 的 x 的取值范围是（ ） A(， 3 4 B(1， 3 4 C 3 4 ，+ ) D(1， 5 4 【解答】解：() = 1 2 2，f（x+1）= 1 2 ( + 1) 2 + 1 由 f（x+1）1，得 log 1 2 （x+1）2 + 1 1， 得 log 1 2 （x+1）12 + 1 0， 第 9 页（共 20 页） log 1 2 （x+1）log 1 2 1 2 2 + 1 0， 也就是 log 1 2 2（x
17、+1）2 + 1 0 令 g（x）log 1 2 2（x+1）2 + 1 ylog 1 2 2（x+1）与 y= 2 + 1均为（1，+）上的减函数， g（x）log 1 2 2（x+1）2 + 1是（1，+）上的减函数 而 g（ 3 4）= 1 2 2(1 3 4) 21 3 4 =0 满足 f（x+1）1 的 x 的取值范围是（1， 3 4 故选：B 7 （5 分）如图为函数 f（x）sin（x+）的部分图象，将其向左平移1 4个单位长度后与函 数 g（x）的图象重合，则 g（x）可以表示为（ ） Asin2x Bsin2x Csinx Dsinx 【解答】解：函数的周期 T2（5 4 1
18、 4）2，即 2 = 2，则 ， 由五点对应法得1 4+，得 = 3 4 ， 即 f（x）sin（x+ 3 4 ） ，将其向左平移1 4个单位长度后与函数 g（x）的图象重合， 则 g（x）sin（x+ 1 4）+ 3 4 sin（x+）sinx， 故选：D 8 （5 分）笛卡尔心形线的极坐标方程为 a（1sin） ，如图，笛卡尔心形线在半径为 2 的圆内为了测算该心形线围成的区域面积，某同学利用计算机随机模拟法向该圆内随 机投掷了 1000 个点，其中落入心形线内的点有 375 个，则该心形线围成的区域面积约为 （ ） 第 10 页（共 20 页） A3 2 B3 8 C2 D 【解答】解：
19、半径为 2 的圆的面积 S圆224，设心形线部分的面积为 S阴， 向该圆内随机投掷了 1000 个点，其中落入心形线内的点有 375 个， 阴 4 = 375 1000， 解得 S阴= 3 2 ； 心形线围成的区域面积约为3 2 故选：A 9 （5 分）若 cos2sin1，则 tan（ ） A4 3 B3 4 C0 或4 3 D0 或3 4 【解答】解：cos2sin1，且 sin2+cos21， 5sin2+4sin0， = 0或 4 5， = 1或 3 5， 则 tan0 或4 3， 故选：C 10 （5 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ACB90，AA1AC
20、 CB，则直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值是（ ） 第 11 页（共 20 页） A1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 【解答】解：AA1底面 ABC，平面 A1B1C1平面 ABB1A1， 取 A1B1 的中点 D1，连接 C1D1，BD1， 由A1B1C1为等腰直角三角形，可得 C1D1A1B1， C1D1平面 ABB1A1，则C1BD1为直线 BC1与平面 ABB1A1所成角 设 BCCC1a，则1= 2， 11= 2 2 ， sinC1BD1= 2 2 2 = 1 2 直线 BC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值是1 2 故选：A 第 12 页（共 20 页）
21、11 （5 分）F1、F2为椭圆 E： 2 4 + 2 2 =1 的左、右焦点，A 为短轴的一个端点，连接 AF2 并延长交椭圆于 B 点，则ABF1的面积为（ ） A8 3 B16 3 C3 D8 【解答】解：F1、F2为椭圆 E： 2 4 + 2 2 =1 的左、右焦点，A 为短轴的一个端点，连接 AF2， 可得 AF2的方程： 2 + 2 = 1，即 x+y= 2， 联立 2 4 + 2 2 = 1 + = 2 ，消去 x，可得 3y222y20，可得 yB= 2 32 = 2 3 则ABF1的面积为：1 2 22 (2 + 2 3 ) = 8 3 故选：A 12 （5 分）已知直线 l
22、 与曲线 f（x）ex和 g（x）lnx 分别相切于点 A（x1，y1） 、B（x2， y2） 有以下命题：AOB90（O 为原点） ；x1+y20；x1（2，2） ，则正 确命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据题意可得 f（x）ex，所以直线 l 的方程为 y1= 1（xx1） ， 即 y= 1x+（1x1）1， 同理直线 l 的方程也可表示为 y= 1 2x+lnx21，所以 1 = 1 2， 1（1x1）lnx21， 对于，有 x1ln 1 2 = lnx2y2，则 x1+y20，故正确； 对于 = （x1， y1） （x2， y2） x1x2+y1y2x11+
23、1 （x1） x1（1 1） ， 若 A、O、B 三点共线，则 1(1 1) = 0 2 1 = 0 解得1 = 1 2= ，此时 1 = 1 2不成立， 若 x10，由1= 1 2，可得 x21，此时等式 1（1x1）lnx21 不成立； 若 x10，则x10x1，则1 10，此时 0 若 x10，则x10x1，则1 10，此时 0 所以AOB90，故正确； 对于，由 x1ln 1 2 = lnx2，代入等式1（1x1）lnx21， 第 13 页（共 20 页） 可得1（1x1）x11，即1（x11）x110， 构造函数 g（x）（x1）exx1，则 g（x）xex1， 当 x2 时，g（x
24、）0，此时函数 g（x）单调递减，且 g（x）g（2）1 3 2 0， 当 x2 时，g（x）0，此时函数 g（x）单调递增，且 g（x）g（2）e230， 所以，函数 g（x）在区间（，2和2，+）上都不存在零点，则 x1（2，2） ， 故正确， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知| |2，| |3， 与 夹角的余弦值为1 3，则| | 3 【解答】解：| | = 2，| | = 3， ， = 1 3， ( )2= 2 2 + 2 = 4 2 2 3 1 3 + 9 = 9， | | = 3 故答
25、案为：3 14 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）+2f（x）3x，则 f（1） 3 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x）+2f（x）3x， 令 x1 可得：f（1）+2f（1）3， 令 x1 可得：f（1）+2f（1）3， 联立，解可得：f（1）3； 故答案为：3 15 （5 分）已知两圆 C1、C2和 x 轴正半轴，y 轴正半轴及直线 x+y2 都相切，则两圆圆心 的距离|C1C2| 4 【解答】解：已知两圆 C1、C2和 x 轴正半轴，y 轴正半轴及直线 x+y2 都相切， 所以两圆圆心都在直线 yx 上； 设 C1（a，a） ，则圆的方程为： （xa）2+（ya）
26、2a2； 设 C2（b，b） ，则圆的方程为： （xb）2+（yb）2b2； 第 14 页（共 20 页） 两圆均与直线 x+y20 相切； |+2| 2 = （a2）22a22； a22，b2+2； 两圆圆心的距离|C1C2|= ( )2+ ( )2=4； 故答案为：4 16 （5 分）在ABC 中，BAC120，D、E 为边 BC 上的点，且 BDCD，BAE CAE，若 AD3， = 2，则 BC 215 【解答】解：设 ABc，ACb，如下图所示： 由 BDCD，则 D 为 BC 的中点， = 1 2 ( + )，即得2 = + ， 所以4 2 = ( + )2= | 2 + | 2
27、+ 2| | 120， 整理得，b2+c2bc36，即（b+c）23bc36， = = 1 2 = 60 在ACE 中，由正弦定理 60 = ，得 = 60 ， 在 AbE 中，由 正弦定 理 60 = = (180) = ，得 = 60 ， = ，设 = = ， 由 BCAB+AC，可得（b+c）tb+c，可知 0t1， 在ACE 中，由余弦定理得 CE2AC2+AE22ACAEcos60 即22= 2+ 2 2 即(2 1)2+ 2 2 = 0 第 15 页（共 20 页） ，同理可得，(2 1)2+ 2 2 = 0 所以 b 和 c 为关于 x 的方程(2 1)2+ 2 2 = 0的两根
28、， 由韦达定理 b+c= 2 21，bc= 2 21 = 2( + )， 代入式得 36b2+c2bc（b+c）23bc= 1 2 22 3，整理得 b2c26bc720， bc0，解得 bc12， 由余弦定理，BC2AC2+AB22ACABcos120b2+c2+bc（b2+c2bc）+2bc36+2 1260 因此，BC= 215 故答案为：215 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第（第（22） ， （） ， （23
29、）题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分. 17已知an是公差不为 0 的等差数列，且前 3 项和为 9bn是等比数列，且 b1a2，b2 a5，b3a11 （1）求 an； （2）求bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）an是公差 d 不为 0 的等差数列，且前 3 项和为 9即有 3a1+3d9， 即 a1+d3， bn是公比为 q 的等比数列，且 b1a2，b2a5，b3a11 即有 a52a2a11，即（a1+4d）2（a1+d） （a1+10d） ，化为 a12d， 解得 d1，a12，可得 ann+1， （
30、2）由（1）可得 q= 2 1 = 5 2 =2，b13， 则前 n 项和 Tn= 3(12) 12 =3（2n1） 第 16 页（共 20 页） 18 河北省高考综合改革从 2018 年秋季入学的高一年级学生开始实施， 新高考将实行 “3+1+2” 模式，其中 3 表示语文、数学、外语三科必选，1 表示从物理、历史两科中选择一科，2 表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科某校 2018 级入学的高一学生选科情况 如表： 选科 组合 物化 生 物化政 物化 地 物生 政 物生 地 物政 地 史政 地 史政 化 史生 政 史地 化 史地 生 史化 生 合计 男 130 45 55 30 25
31、 15 30 10 40 10 15 20 425 女 100 45 50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475 合计 230 90 105 65 60 50 70 30 95 25 40 40 900 （1） 完成下面的 22 列联表， 并判断是否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下， 认为 “选 择物理与学生的性别有关”？ （2） 学校按性别用分层抽样的方式， 从选择 “史地化” 组合的同学中抽取了 5 名同学 现 要从这 5 名同学中随机抽取 3 名同学参加某项活动，则抽取的 3 名同学中，恰有 1 名男 生的概率 选择物理 不选择物理 合计 男 425 女 4
32、75 合计 900 附表及公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 【解答】解： （1）根据题意填写 22 列联表如下， 选择物理 不选择物理 合计 男 300 125 425 女 300 175 475 合计 600 300 900 根据表中数据，计算 K2= 900(300175300125)2 600300425475 5.5736.635， 第 17 页（共 20 页） 所以不能在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关” ； （2）用分
33、层抽样法从选择“史地化”组合中抽取了 5 名同学，则男生 2 人，记为 A、B， 女生 3 人，记为 c、d、e， 从这 5 名同学中随机抽取 3 人，基本事件为：ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、 Bce、Bde、cde 共 10 种， 则抽取的 3 人中恰有 1 名男生的基本事件是：Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde 共 6 种， 故所求的概率值为 P= 6 10 = 3 5 19如图，AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，D、E 分别是 PB、PC 的中点 （1）求证：DE平面 PAC； （2）若 ABPC2，AC1，求点 E 到平面
34、 ACD 的距离 【解答】解： （1）证明：AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面， ACBC，PCBC， ACPCC，BC平面 PAC， D、E 分别是 PB、PC 的中点，BCDE， DE平面 PAC （2）解：ABPC2，AC1， ACBC，ACPC，BCPCC，AC平面 PBC， CD= 1 2 = 1 2(4 1) + 4 = 7 2 ， 设点 E 到平面 ACD 的距离为 d， VEACDVDACE，1 3 = 1 3 ， 第 18 页（共 20 页） 1 3 1 2 1 7 2 d= 1 3 1 1 4 1， 解得点 E 到平面 ACD 的距离 d4 20已知抛
35、物线 E：y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点 （1）若 AB 的中点纵坐标为 2，求直线 l 的方程； （2）设直线 l 与 E 的准线相交于 C，P（1，2） ，求证：直线 PA、PC、PB 的斜率成等差 数列 【解答】解： （1）由抛物线方程可得焦点 F 坐标为： （1，0） ，准线方程为 x1， 由题意知直线 AB 的斜率不为 0，设方程为：yk（x1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线与抛物线联立 = ( 1) 2= 4 ，整理：k2x2（4+2k2）x+k20，x1+x2= 4+22 2 ， y1+y2k（x1+x22）=
36、4 ， 由题意 AB 的中点的纵坐标为 2，则 22= 4 ，解得 k1， 所以直线 l 的方程为：yx1，即 xy10 （2）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由题意知直线 AB 的斜率不为 0，设直线 l 的方 程为：xmy+1，令 x1，则 y= 2 ，即 C（1， 2 ） ， 联立直线与抛物线的方程： 2 = 4 = + 1， 整理： y 24my40， y1+y24m， y1y24， kPA+kPB= 12 11 + 22 21 = (12)(21)+(22)(11) (11)(21) = (12)2+(22)1 12 = 2 2(1+2) 12 1 2 = 2 +2
37、= 2(+1) ， 而 2kPC2 2 2 11 = 2(+1) ，所以 kPA+kPB2kPC， 即直线 PA、PC、PB 的斜率成等差数列 21设函数 f（x）= 2 4 x+sinx，g（x）f（x） 第 19 页（共 20 页） （1）讨论 g（x）在0，2上的单调性； （2）证明：f（x）在 R 上仅有三个零点 【解答】解： （1）g（x）f（x）= 1 2 1 + ，g（x）= 1 2 ，x0，2， 当 x0， 6， 5 6 ，2，g（x）0，g（x）递增； 当 x 6 ， 5 6 ，g（x）0，g（x）递减； （2）对于 f（x） ，显然 f（0）0，故 x0 是一个零点， 根据
38、（1）f（x）单调性，f（x）的极大值 f（ 6）= 1 2 6 1 + 3 2 0， 极小值 f（5 6 ）() = 2 20， 又 f（2）0， 故在 6 ， 5 6 ，5 6 ，2，分别存在两个零点 m，n，使得 f（m）f（n）0 x 0，m） m （m，n） n （n，2 f（x） + 0 0 + f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 又 f（0）0，所以 f（m）0，f（n）f（）= 2 4 0，又 f（2）220， 所以 f（x）在（0，） ， （，2）各有一个零点，在 x0 出有一个零点，共三个零点， 当 x（，0）时，f（x）0，f（x）递减，所以 f（x）f（0）0，
39、没有零点； 当 x（2，+）时，f（x）22+sinx2210，也没有零点； 综上，f（x）在 R 上仅有三个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第（请考生在第（22） ， （） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分的第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C： （x1）2+y21，直线 l：y2以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； （2）设 A、B 分别为圆 C 和直线 l 上的点，
40、且满足 AOAB，设AOB，求 tan 的 最小值 【解答】解： （1）圆 C： （x1）2+y21，整理得：x22x+y20，转换为极坐标方程为 2cos 第 20 页（共 20 页） 直线 l：y2转换为极坐标方程为 sin2 （2）设 A、B 分别为圆 C 和直线 l 上的点，且满足 AOAB，所以设 A（A，） ，B（B， +） （ 2 2） ， 所以 A2cos，Bsin（+）2，BcosA， 从而得到：2cossin（+）2cos，即 cossincos+cos2sincos， 由于 2 2， 所以 cos0， 所以 tan = 1 2 = 2+2 2 =tan2tan+1= ( 1 2) 2 + 3 4， 当 = 1 2时，tan 的最小值为 3 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a、b、c、d 是正实数，且 2a+b3，c+d1 （1）证明：2 + 1 3； （2）当 为何值时，2 + 取得最大值？ 【解答】解： （1）证明：a、b 是正实数，且 2a+b3， 2 + 1 = 1 3（2a+b） （ 2 + 1 ）= 1 3（5+ 2 + 2 ） 1 3（5+2 2 2 ）3，当且仅当 ab 1，取得等号； （2）a、b、c、d 是正实数，且 2a+b3，c+d1， 可得（2a+b） （c+d）
