2019-2020学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(文科).docx

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1、 第 1 页(共 17 页) 2019-2020 学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(文科)学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 Ax|(x+1) (x2)0,Bx|1x3,则 AB( ) A (1,3) B (2,3) C (1,2) D2,3) 2 (5 分)已知复数 z 满足(1i)zi(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A 1

2、2 B1 2 C 1 2i D1 2i 3 (5 分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、900、1200 人,现用分层 抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从高三年级抽取的 学生人数为( ) A15 B20 C25 D30 4 (5 分)过点(1,3)且平行于直线 x2y+30 的直线方程为( ) Ax2y+70 B2x+y10 Cx2y50 D2x+y50 5 (5 分)我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题: “今有雉兔同笼,上有三十 五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”据此绘制如图所示的程序框图,其中鸡 x 只, 兔 y 只,则输出 x

3、,y 的分别是( ) A12,23 B23,12 C13,22 D22,13 第 2 页(共 17 页) 6 (5 分)已知 f(x)sinx,在区间, 3 ,-任取一个实数 x0,则使得 f(x0) 1 2的概率 为( ) A1 4 B3 4 C1 2 D7 8 7 (5 分)如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图,则下列陈述中不正确的是( ) A2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B与 2017 年同期相比,各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D2018 年第一季度 G

4、DP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 8(5分) 已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 满足f (x+2) f (x) , 且 ( 3 2 ,0)时, f (x) log2(3x+1) ,则 f(2019)( ) A4 B2 C2 Dlog25 9 (5 分)已知命题 p:xR,使 sinx= 5 2 ;命题 q:xR,都有 x2+x+10,给出下列结 论: 命题“pq”是真命题; 命题“p(q) ”是假命题; 命题“ (p)q”是真命题; 命题“ (p)(q) ”是假命题 其中正确的是( ) A B C D 第 3 页(共 17 页) 10 (5 分)已知等差数列an

5、的前 n 项和为 Sn,若 = 2 + 199 ,且 A、B、C 三点 共线(该直线不过原点 O) ,则 S200( ) A100 B101 C200 D201 11 (5 分)若向量 = ( 2 ,3), = ( 2 ,2 2),函数() = ,则 f(x)的 图象的一条对称轴方程是( ) A = 3 B = 6 C = 3 D = 2 12 (5 分)对于函数 f(x)ax3+bx2+cx+d(a0) ,定义:设 f(x)是 f(x)的导数,f (x)是函数 f(x)的导数,若方程 f(x)有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y f(x)的“拐点” 经过探究发现:任何一个三

6、次函数都有“拐点”且“拐点”就是对 称中心 设函数 g (x) = 1 3 3 1 2 2 + 3 5 12, 则 g ( 1 2020) +g ( 2 2020) +g ( 2019 2020) 的值为 ( ) A2017 B2018 C2019 D2020 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 2 + 2 0 2 + 4 0 1 0 ,则目标函数 z3x+2y 的最大值 为 14 (5 分) 函数 yloga(x+3) 1 (a1, a0) 的图象恒过定点 A, 若点 A

7、 在直线 mx+ny+1 0 上,其中 m0,n0,则 1 + 2 的最小值为 15 (5 分) 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒,在如图所示的鳖儒 ABCD 中, AB平面 BCD, 且 ABBDCD1, 则此鳖儒的外接球的表面积为 16 (5 分)如图,已知双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)上有一点 A,它关于原点的对称 点为 B,点 F 为是双曲线的右焦点,且满足 AFBF,设ABF, 12, 6,则该双 曲线离心率 e 的取值范围为 第 4 页(共 17 页) 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过

8、程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)已知等比数列an是递减数列,a1a4= 1 32 ,2+ 3= 3 8 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn(n+1)log2an,求数列* 1 +的前 n 项和 Tn 18 (12 分)已知ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若(2ac)cosBbcosC 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 = 2, + = 23,求ABC 的面积 S 19 (12 分)如图四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,且 PAAB 2,E 为 PD 中点 (1)求证:PB平面

9、EAC; (2)求三棱锥 CABE 的体积 20 (12 分)近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方 APP 中设置了用户评价反馈 系统,以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价,现从评价系统中选出 300 条较为详细 的评价信息进行统计,车辆状况和优惠活动评价的 22 列联表如下: 第 5 页(共 17 页) 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动

10、好评与车辆状况好评之间 有关系? (2)为了回馈用户,公司通过 APP 向用户随机派送骑行券,用户可以将骑行券用于骑 行付费,也可以通过 APP 转赠给好友某用户共获得了 5 张骑行券,其中只有 2 张是一元 券现该用户从这张骑行券中随机选取 2 张转赠给好友,求选取的 2 张中至少有 1 张是一 元券的概率 附:下面的临界值表仅供参考: P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式:2= ()2 (+)(+)(+)(+),其中 na+b+c

11、+d) 21 (12 分)已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点为 F,上顶点为 M,直线 FM 的斜 率为 2 2 ,且原点到直线 FM 的距离为 6 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若不经过点 F 的直线 l:ykx+m(k0,m0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,且与 圆 x2+y21 相切试探究ABF 的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明 理由 22 (12 分)设函数 f(x)a(x+lnx) (a 为常数) (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程: (2)若函数 g(x)f(x)+ 在(0,1)内存在唯一极值点 xx0,求实

12、数 a 的取值 范围,并判断 xx0是 f(x)在(0,1)内的极大值点还是极小值点 第 6 页(共 17 页) 2019-2020 学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(文科)学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 Ax|(x+1) (x2)0,Bx|1x3,则 AB( ) A (1,3) B (2,3) C

13、(1,2) D2,3) 【解答】解:Ax|x1 或 x2,Bx|1x3, AB2,3) 故选:D 2 (5 分)已知复数 z 满足(1i)zi(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A 1 2 B1 2 C 1 2i D1 2i 【解答】解:由(1i)zi,得 z= 1 = (1+) (1)(1+) = 1 2 + 1 2 , z 的虚部为1 2 故选:B 3 (5 分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、900、1200 人,现用分层 抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从高三年级抽取的 学生人数为( ) A15 B20 C25 D30

14、【解答】解:三个年级的学生人数比例为 3:3:4, 按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人 数为50 4 3+3+4 = 20人, 故选:B 4 (5 分)过点(1,3)且平行于直线 x2y+30 的直线方程为( ) Ax2y+70 B2x+y10 Cx2y50 D2x+y50 【解答】解:由题意可设所求的直线方程为 x2y+c0 过点(1,3) 代入可得16+c0 则 c7 x2y+70 第 7 页(共 17 页) 故选:A 5 (5 分)我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题: “今有雉兔同笼,上有三十 五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”据此绘制如图所示的程序框图,其中鸡 x 只, 兔

15、y 只,则输出 x,y 的分别是( ) A12,23 B23,12 C13,22 D22,13 【解答】解:模拟程序的运行过程知, 该程序运行后是解方程组 = 35 94 = 2 + 4, 解得 = 23 = 12; 所以鸡 23 只,兔 12 只 故选:B 6 (5 分)已知 f(x)sinx,在区间, 3 ,-任取一个实数 x0,则使得 f(x0) 1 2的概率 为( ) A1 4 B3 4 C1 2 D7 8 【解答】解:在区间, 3 ,-任取一个实数 x0,使得(0) 1 2,即 sinx0 1 2, 解得 6 x0 5 6 第 8 页(共 17 页) 在区间, 3 ,-任取一个实数

16、x0,使得(0) 1 2概率= 5 6 6 ( 3) = 1 2 故选:C 7 (5 分)如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图,则下列陈述中不正确的是( ) A2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B与 2017 年同期相比,各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 【解答】解:由 2017 年第一季度五省 GDP 情况图,知: 在 A 中,2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是

17、浙江省,故 A 正确 在 B 中,与去年同期相比,2018 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长,故 B 正 确; 在 C 中,去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元,故 C 正确; 在D中, 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南, 共 2 个,故 D 错误; 故选:D 8(5分) 已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 满足f (x+2) f (x) , 且 ( 3 2 ,0)时, f (x) log2(3x+1) ,则 f(2019)( ) A4 B2 C2 Dlog25 【解答】解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,满足

18、 f(x+2)f(x) , f(x+4)f(x+2)f(x) , 第 9 页(共 17 页) ( 3 2 ,0)时,f(x)log2(3x+1) , f(2019)f(2019)f(1)log242 故选:C 9 (5 分)已知命题 p:xR,使 sinx= 5 2 ;命题 q:xR,都有 x2+x+10,给出下列结 论: 命题“pq”是真命题; 命题“p(q) ”是假命题; 命题“ (p)q”是真命题; 命题“ (p)(q) ”是假命题 其中正确的是( ) A B C D 【解答】解:|sinx|1,:xR,使 sinx= 5 2 错误,即命题 p 是假命题, 判别式1430,xR,都有 x

19、2+x+10 恒成立,即命题 q 是真命题, 则命题“pq”是假命题;故错误, 命题“p(q) ”是假命题;故正确, 命题“ (p)q”是真命题;故正确, 命题“ (p)(q) ”是真命题故错误, 故选:B 10 (5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 = 2 + 199 ,且 A、B、C 三点 共线(该直线不过原点 O) ,则 S200( ) A100 B101 C200 D201 【解答】解:由题意,A、B、C 三点共线,故 a2+a1991 S200= 200(1+200) 2 =100 (a2+a199)100 故选:A 11 (5 分)若向量 = ( 2 ,3), =

20、( 2 ,2 2),函数() = ,则 f(x)的 图象的一条对称轴方程是( ) A = 3 B = 6 C = 3 D = 2 第 10 页(共 17 页) 【解答】 解:() () = =sin 2cos 2 +3cos2 2 = 1 2sinx+ 3 2 cosx 3 2 =sin (x+ 3) 3 2 ; 令 x+ 3 =k+ 2xk+ 6,kZ, 当 k0 时x= 6; f(x)的图象的一条对称轴方程是 x= 6 故选:B 12 (5 分)对于函数 f(x)ax3+bx2+cx+d(a0) ,定义:设 f(x)是 f(x)的导数,f (x)是函数 f(x)的导数,若方程 f(x)有实

21、数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y f(x)的“拐点” 经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对 称中心 设函数 g (x) = 1 3 3 1 2 2 + 3 5 12, 则 g ( 1 2020) +g ( 2 2020) +g ( 2019 2020) 的值为 ( ) A2017 B2018 C2019 D2020 【解答】解:与题意可得,g(x)x2x+3,g (x)2x1, 令 g (x)2x10 可得,而 g(1 2)1, 故函数 g(x)关于(1 2 ,1)对称,即 g(1x)+g(x)2, 则 g( 1 2020)+g( 2 2020)+g(

22、2019 2020)2 2019 2 =2019 故选:C 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13(5分) 设变量x, y满足约束条件 2 + 2 0 2 + 4 0 1 0 , 则目标函数z3x+2y的最大值为 8 【解答】解:由 z3x+2y 得 y= 3 2x+ 2, 作出变量 x,y 满足约束条件 2 + 2 0 2 + 4 0 1 0 ,对应的平面区域如图(阴影部分) :由 = 1 2 + 4 = 0解得 A(1, 5 2) , 平移直线 y= 3 2x+ 2由图象可知当直线 y= 3 2x+ 2经过点 A

23、 时,直线 y= 3 2x+ 2的截距 最大, 第 11 页(共 17 页) 此时 z 也最大,将 A(1,5 2)代入目标函数 z3x+2y, 得 z8 故答案为:8 14 (5 分) 函数 yloga(x+3) 1 (a1, a0) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1 0 上,其中 m0,n0,则 1 + 2 的最小值为 8 【解答】解:x2 时,yloga111, 函数 yloga(x+3)1(a0,a1)的图象恒过定点(2,1)即 A(2,1) , 点 A 在直线 mx+ny+10 上, 2mn+10,即 2m+n1, m0,n0, 1 + 2 =( 1 + 2 )

24、 (2m+n)2+ + 4 +24+2 4 =8, 当且仅当 m= 1 4,n= 1 2时取等号 故答案为:8 15 (5 分) 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒,在如图所示的鳖儒 ABCD 中, AB平面 BCD, 且 ABBDCD1, 则此鳖儒的外接球的表面积为 3 【解答】解:由题意知,BDCD,将该三棱锥放在长方体中,由题意知长方体的长宽高 第 12 页(共 17 页) 都是 1,既是棱长为 1 的正方体,则外接球的直径等于正方体的对角线,设外接球的半径 为 R,则 2R= 3, 所以外接球的表面积 S4R23, 故答案为:3 16 (5 分)如图,已知双曲线 2 2

25、2 2 =1(a0,b0)上有一点 A,它关于原点的对称 点为 B,点 F 为是双曲线的右焦点,且满足 AFBF,设ABF, 12, 6,则该双 曲线离心率 e 的取值范围为 2,3 +1 【解答】解:如图所示, 设双曲线的左焦点为 F,连接 AF,BF 则四边形 AFBF为矩形 因此|AB|FF|2c |AF|AF|2a |AF|2csin,|BF|2ccos 2ccos2csin2a e= 1 = 1 2(+ 4) , 12, 6, + 4 3, 5 12, e2,3 +1 故答案为:2,3 +1 第 13 页(共 17 页) 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共

26、 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)已知等比数列an是递减数列,a1a4= 1 32 ,2+ 3= 3 8 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn(n+1)log2an,求数列* 1 +的前 n 项和 Tn 【解答】解: (1)等比数列an是递减数列,设公比为 q, a1a4= 1 32,2 + 3= 3 8,可得 a2a3= 1 32, 解得 a2= 1 4,a3= 1 8,满足 a2a3, 解得 a1q= 1 2,则 an( 1 2) n; (2)bn(n+1)log2an(n+1) (n)n(n+1) ,

27、 1 = 1 (:1) = 1 1 :1, 可得前 n 项和 Tn1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 =1 1 +1 = +1 18 (12 分)已知ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若(2ac)cosBbcosC 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 = 2, + = 23,求ABC 的面积 S 【解答】解: (1)(2ac)cosBbcosC0, (2sinAsinC)cosBsinBcosC0, 2sinAcosBsin(B+C)0, A+B+C, sin(B+C)sin(A)sinA, 2sinAcosBsinA0, sinA0, 第 14 页

28、(共 17 页) cosB= 1 2, B(0,) , B= 3; (2)B= 3, = 2, + = 23, 由余弦定理 b2a2+c22accosB,可得 4a2+c2ac(a+c)23ac123ac,可得 ac= 8 3, ABC 的面积 S= 1 2acsinB= 1 2 8 3 3 2 = 23 3 19 (12 分)如图四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,且 PAAB 2,E 为 PD 中点 (1)求证:PB平面 EAC; (2)求三棱锥 CABE 的体积 【解答】解: (1)求证:连结 AC、BD,交于点 O,连结 OE, 底面 ABCD 是正方

29、形,O 是 BD 中点, E 为 PD 中点,OEPB, PB平面 EAC,OE平面 EAC,PB平面 EAC (2)解:四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA平面 ABCD,且 PAAB2,E 为 PD 中点 E 到平面 ABC 的距离 d= 1 2 =1, 三棱锥 CABE 的体积为: VCABEVEABC= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 第 15 页(共 17 页) 20 (12 分)近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方 APP 中设置了用户评价反馈 系统,以了解用

30、户对车辆状况和优惠活动的评价,现从评价系统中选出 300 条较为详细 的评价信息进行统计,车辆状况和优惠活动评价的 22 列联表如下: 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 有关系? (2)为了回馈用户,公司通过 APP 向用户随机派送骑行券,用户可以将骑行券用于骑 行付费,也可以通过 APP 转赠给好友某用户共获得了 5 张骑行券,其中只有 2 张是一元 券现该用户从这张骑行券中随机选取 2 张转赠给

31、好友,求选取的 2 张中至少有 1 张是一 元券的概率 附:下面的临界值表仅供参考: P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式:2= ()2 (+)(+)(+)(+),其中 na+b+c+d) 【解答】 解:(1) 由列联表中数据, 计算 K2= 300(150406050)2 21090200100 = 50 7 7.14310.828, 所以不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 第 16 页

32、(共 17 页) 有关系; (2)设这 5 张骑行券分别为 a、b、c、D、E,其中 D、E 是一元券; 现从中随机选取 2 张,基本事件为:ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种不同取法, 选取的 2 张中至少有 1 张是一元券的事件为 aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE 共 7 种, 故所求的概率为 P= 7 10 21 (12 分)已知椭圆: 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点为 F,上顶点为 M,直线 FM 的斜 率为 2 2 ,且原点到直线 FM 的距离为 6 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若不经过点 F 的直线 l:ykx+

33、m(k0,m0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,且与 圆 x2+y21 相切试探究ABF 的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明 理由 【解答】解: (1)可设 F(c,0) ,M(0,b) ,可得 = 2 2 , 直线 FM 的方程为 bx+cybc, 即有 2:2 = 6 3 ,解得 b1,c= 2,a= 3, 则椭圆方程为 2 3 +y21; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x10,x20) , 连接 OA,OQ,在OAQ 中, |AQ|2x12+y121x12+1 12 3 1= 2 3x1 2, 即|AQ|= 6 3 x1,同理可得|BQ|= 6 3 x2

34、, |AB|AQ|+|BQ|= 6 3 (x1+x2) , |AB|+|AF|+|BF|= 6 3 (x1+x2)+3 6 3 x1+3 6 3 x223, ABF 的周长是定值 23 第 17 页(共 17 页) 22 (12 分)设函数 f(x)a(x+lnx) (a 为常数) (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程: (2)若函数 g(x)f(x)+ 在(0,1)内存在唯一极值点 xx0,求实数 a 的取值 范围,并判断 xx0是 f(x)在(0,1)内的极大值点还是极小值点 【解答】解: (1)a1 时,f(x)x+lnx f(x)1+ 1 ,f(1)0 f(1)1 曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程:y(1)0,即 y+10 (2)函数 g(x)f(x)+ =a(x+lnx)+ g(x)a(1+ 1 )+ (1) 2 =(x1) ; 2 函数 g(x)在(0,1)内存在唯一极值点 xx0, exax0,在(0,1)内有唯一解 化为:a= =h(x) , h(x)= (1) 2 0, 可得函数 h(x)在(0,1)内单调递减 ah(1)e 可得:存在 x0(0,1) ,使得 x(0,x0)时,g(x)0;x(x0,1)时,g(x) 0 x0是 f(x)在(0,1)内的是极小值点

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