1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|（x+1） （x2）0，Bx|1x3，则 AB（ ） A （1，3） B （2，3） C （1，2） D2，3） 2 （5 分）已知复数 z 满足（1i）zi（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A 1
2、2 B1 2 C 1 2i D1 2i 3 （5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、900、1200 人，现用分层 抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本， 则应从高三年级抽取的 学生人数为（ ） A15 B20 C25 D30 4 （5 分）过点（1，3）且平行于直线 x2y+30 的直线方程为（ ） Ax2y+70 B2x+y10 Cx2y50 D2x+y50 5 （5 分）我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题： “今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡 x 只， 兔 y 只，则输出 x
3、，y 的分别是（ ） A12，23 B23，12 C13，22 D22，13 第 2 页（共 17 页） 6 （5 分）已知 f（x）sinx，在区间, 3 ，-任取一个实数 x0，则使得 f（x0） 1 2的概率 为（ ） A1 4 B3 4 C1 2 D7 8 7 （5 分）如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ） A2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D2018 年第一季度 G
4、DP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 8（5分） 已知函数f （x） 是定义在R上的奇函数， 满足f （x+2） f （x） ， 且 ( 3 2 ，0)时， f （x） log2（3x+1） ，则 f（2019）（ ） A4 B2 C2 Dlog25 9 （5 分）已知命题 p：xR，使 sinx= 5 2 ；命题 q：xR，都有 x2+x+10，给出下列结 论： 命题“pq”是真命题； 命题“p（q） ”是假命题； 命题“ （p）q”是真命题； 命题“ （p）（q） ”是假命题 其中正确的是（ ） A B C D 第 3 页（共 17 页） 10 （5 分）已知等差数列an
5、的前 n 项和为 Sn，若 = 2 + 199 ，且 A、B、C 三点 共线（该直线不过原点 O） ，则 S200（ ） A100 B101 C200 D201 11 （5 分）若向量 = ( 2 ，3)， = ( 2 ，2 2)，函数() = ，则 f（x）的 图象的一条对称轴方程是（ ） A = 3 B = 6 C = 3 D = 2 12 （5 分）对于函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） ，定义：设 f（x）是 f（x）的导数，f （x）是函数 f（x）的导数，若方程 f（x）有实数解 x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数 y f（x）的“拐点” 经过探究发现：任何一个三
6、次函数都有“拐点”且“拐点”就是对 称中心 设函数 g （x） = 1 3 3 1 2 2 + 3 5 12， 则 g （ 1 2020） +g （ 2 2020） +g （ 2019 2020） 的值为 （ ） A2017 B2018 C2019 D2020 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 2 + 2 0 2 + 4 0 1 0 ，则目标函数 z3x+2y 的最大值 为 14 （5 分） 函数 yloga（x+3） 1 （a1， a0） 的图象恒过定点 A， 若点 A
7、 在直线 mx+ny+1 0 上，其中 m0，n0，则 1 + 2 的最小值为 15 （5 分） 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 ABCD 中， AB平面 BCD， 且 ABBDCD1， 则此鳖儒的外接球的表面积为 16 （5 分）如图，已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）上有一点 A，它关于原点的对称 点为 B，点 F 为是双曲线的右焦点，且满足 AFBF，设ABF， 12， 6，则该双 曲线离心率 e 的取值范围为 第 4 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过
8、程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知等比数列an是递减数列，a1a4= 1 32 ，2+ 3= 3 8 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（n+1）log2an，求数列* 1 +的前 n 项和 Tn 18 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若（2ac）cosBbcosC 0 （1）求角 B 的大小； （2）若 = 2， + = 23，求ABC 的面积 S 19 （12 分）如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，且 PAAB 2，E 为 PD 中点 （1）求证：PB平面
9、EAC； （2）求三棱锥 CABE 的体积 20 （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 APP 中设置了用户评价反馈 系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出 300 条较为详细 的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 22 列联表如下： 第 5 页（共 17 页） 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动
10、好评与车辆状况好评之间 有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过 APP 向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑 行付费，也可以通过 APP 转赠给好友某用户共获得了 5 张骑行券，其中只有 2 张是一元 券现该用户从这张骑行券中随机选取 2 张转赠给好友，求选取的 2 张中至少有 1 张是一 元券的概率 附：下面的临界值表仅供参考： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c
11、+d） 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点为 F，上顶点为 M，直线 FM 的斜 率为 2 2 ，且原点到直线 FM 的距离为 6 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若不经过点 F 的直线 l：ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，且与 圆 x2+y21 相切试探究ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明 理由 22 （12 分）设函数 f（x）a（x+lnx） （a 为常数） （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程： （2）若函数 g（x）f（x）+ 在（0，1）内存在唯一极值点 xx0，求实
12、数 a 的取值 范围，并判断 xx0是 f（x）在（0，1）内的极大值点还是极小值点 第 6 页（共 17 页） 2019-2020 学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|（x+1） （x2）0，Bx|1x3，则 AB（ ） A （1，3） B （2，3） C
13、（1，2） D2，3） 【解答】解：Ax|x1 或 x2，Bx|1x3， AB2，3） 故选：D 2 （5 分）已知复数 z 满足（1i）zi（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A 1 2 B1 2 C 1 2i D1 2i 【解答】解：由（1i）zi，得 z= 1 = (1+) (1)(1+) = 1 2 + 1 2 ， z 的虚部为1 2 故选：B 3 （5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、900、1200 人，现用分层 抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本， 则应从高三年级抽取的 学生人数为（ ） A15 B20 C25 D30
14、【解答】解：三个年级的学生人数比例为 3：3：4， 按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人 数为50 4 3+3+4 = 20人， 故选：B 4 （5 分）过点（1，3）且平行于直线 x2y+30 的直线方程为（ ） Ax2y+70 B2x+y10 Cx2y50 D2x+y50 【解答】解：由题意可设所求的直线方程为 x2y+c0 过点（1，3） 代入可得16+c0 则 c7 x2y+70 第 7 页（共 17 页） 故选：A 5 （5 分）我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题： “今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡 x 只， 兔
15、y 只，则输出 x，y 的分别是（ ） A12，23 B23，12 C13，22 D22，13 【解答】解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后是解方程组 = 35 94 = 2 + 4， 解得 = 23 = 12； 所以鸡 23 只，兔 12 只 故选：B 6 （5 分）已知 f（x）sinx，在区间, 3 ，-任取一个实数 x0，则使得 f（x0） 1 2的概率 为（ ） A1 4 B3 4 C1 2 D7 8 【解答】解：在区间, 3 ，-任取一个实数 x0，使得(0) 1 2，即 sinx0 1 2， 解得 6 x0 5 6 第 8 页（共 17 页） 在区间, 3 ，-任取一个实数
16、x0，使得(0) 1 2概率= 5 6 6 ( 3) = 1 2 故选：C 7 （5 分）如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ） A2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 【解答】解：由 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，知： 在 A 中，2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是
17、浙江省，故 A 正确 在 B 中，与去年同期相比，2018 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长，故 B 正 确； 在 C 中，去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元，故 C 正确； 在D中， 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南， 共 2 个，故 D 错误； 故选：D 8（5分） 已知函数f （x） 是定义在R上的奇函数， 满足f （x+2） f （x） ， 且 ( 3 2 ，0)时， f （x） log2（3x+1） ，则 f（2019）（ ） A4 B2 C2 Dlog25 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足
18、 f（x+2）f（x） ， f（x+4）f（x+2）f（x） ， 第 9 页（共 17 页） ( 3 2 ，0)时，f（x）log2（3x+1） ， f（2019）f（2019）f（1）log242 故选：C 9 （5 分）已知命题 p：xR，使 sinx= 5 2 ；命题 q：xR，都有 x2+x+10，给出下列结 论： 命题“pq”是真命题； 命题“p（q） ”是假命题； 命题“ （p）q”是真命题； 命题“ （p）（q） ”是假命题 其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：|sinx|1，：xR，使 sinx= 5 2 错误，即命题 p 是假命题， 判别式1430，xR，都有 x
19、2+x+10 恒成立，即命题 q 是真命题， 则命题“pq”是假命题；故错误， 命题“p（q） ”是假命题；故正确， 命题“ （p）q”是真命题；故正确， 命题“ （p）（q） ”是真命题故错误， 故选：B 10 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 = 2 + 199 ，且 A、B、C 三点 共线（该直线不过原点 O） ，则 S200（ ） A100 B101 C200 D201 【解答】解：由题意，A、B、C 三点共线，故 a2+a1991 S200= 200(1+200) 2 =100 （a2+a199）100 故选：A 11 （5 分）若向量 = ( 2 ，3)， =
20、( 2 ，2 2)，函数() = ，则 f（x）的 图象的一条对称轴方程是（ ） A = 3 B = 6 C = 3 D = 2 第 10 页（共 17 页） 【解答】 解：（） () = =sin 2cos 2 +3cos2 2 = 1 2sinx+ 3 2 cosx 3 2 =sin （x+ 3） 3 2 ； 令 x+ 3 =k+ 2xk+ 6，kZ， 当 k0 时x= 6； f（x）的图象的一条对称轴方程是 x= 6 故选：B 12 （5 分）对于函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） ，定义：设 f（x）是 f（x）的导数，f （x）是函数 f（x）的导数，若方程 f（x）有实
21、数解 x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数 y f（x）的“拐点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对 称中心 设函数 g （x） = 1 3 3 1 2 2 + 3 5 12， 则 g （ 1 2020） +g （ 2 2020） +g （ 2019 2020） 的值为 （ ） A2017 B2018 C2019 D2020 【解答】解：与题意可得，g（x）x2x+3，g （x）2x1， 令 g （x）2x10 可得，而 g（1 2）1， 故函数 g（x）关于（1 2 ，1）对称，即 g（1x）+g（x）2， 则 g（ 1 2020）+g（ 2 2020）+g（
22、2019 2020）2 2019 2 =2019 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5分） 设变量x， y满足约束条件 2 + 2 0 2 + 4 0 1 0 ， 则目标函数z3x+2y的最大值为 8 【解答】解：由 z3x+2y 得 y= 3 2x+ 2， 作出变量 x，y 满足约束条件 2 + 2 0 2 + 4 0 1 0 ，对应的平面区域如图（阴影部分） ：由 = 1 2 + 4 = 0解得 A（1， 5 2） ， 平移直线 y= 3 2x+ 2由图象可知当直线 y= 3 2x+ 2经过点 A
23、 时，直线 y= 3 2x+ 2的截距 最大， 第 11 页（共 17 页） 此时 z 也最大，将 A（1，5 2）代入目标函数 z3x+2y， 得 z8 故答案为：8 14 （5 分） 函数 yloga（x+3） 1 （a1， a0） 的图象恒过定点 A， 若点 A 在直线 mx+ny+1 0 上，其中 m0，n0，则 1 + 2 的最小值为 8 【解答】解：x2 时，yloga111， 函数 yloga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点（2，1）即 A（2，1） ， 点 A 在直线 mx+ny+10 上， 2mn+10，即 2m+n1， m0，n0， 1 + 2 =（ 1 + 2 ）
24、 （2m+n）2+ + 4 +24+2 4 =8， 当且仅当 m= 1 4，n= 1 2时取等号 故答案为：8 15 （5 分） 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 ABCD 中， AB平面 BCD， 且 ABBDCD1， 则此鳖儒的外接球的表面积为 3 【解答】解：由题意知，BDCD，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高 第 12 页（共 17 页） 都是 1，既是棱长为 1 的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径 为 R，则 2R= 3， 所以外接球的表面积 S4R23， 故答案为：3 16 （5 分）如图，已知双曲线 2 2
25、2 2 =1（a0，b0）上有一点 A，它关于原点的对称 点为 B，点 F 为是双曲线的右焦点，且满足 AFBF，设ABF， 12， 6，则该双 曲线离心率 e 的取值范围为 2，3 +1 【解答】解：如图所示， 设双曲线的左焦点为 F，连接 AF，BF 则四边形 AFBF为矩形 因此|AB|FF|2c |AF|AF|2a |AF|2csin，|BF|2ccos 2ccos2csin2a e= 1 = 1 2(+ 4) ， 12， 6， + 4 3， 5 12， e2，3 +1 故答案为：2，3 +1 第 13 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共
26、 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知等比数列an是递减数列，a1a4= 1 32 ，2+ 3= 3 8 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（n+1）log2an，求数列* 1 +的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）等比数列an是递减数列，设公比为 q， a1a4= 1 32，2 + 3= 3 8，可得 a2a3= 1 32， 解得 a2= 1 4，a3= 1 8，满足 a2a3， 解得 a1q= 1 2，则 an（ 1 2） n； （2）bn（n+1）log2an（n+1） （n）n（n+1） ，
27、 1 = 1 (:1) = 1 1 :1， 可得前 n 项和 Tn1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 =1 1 +1 = +1 18 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若（2ac）cosBbcosC 0 （1）求角 B 的大小； （2）若 = 2， + = 23，求ABC 的面积 S 【解答】解： （1）（2ac）cosBbcosC0， （2sinAsinC）cosBsinBcosC0， 2sinAcosBsin（B+C）0， A+B+C， sin（B+C）sin（A）sinA， 2sinAcosBsinA0， sinA0， 第 14 页
28、（共 17 页） cosB= 1 2， B（0，） ， B= 3； （2）B= 3， = 2， + = 23， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 4a2+c2ac（a+c）23ac123ac，可得 ac= 8 3， ABC 的面积 S= 1 2acsinB= 1 2 8 3 3 2 = 23 3 19 （12 分）如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，且 PAAB 2，E 为 PD 中点 （1）求证：PB平面 EAC； （2）求三棱锥 CABE 的体积 【解答】解： （1）求证：连结 AC、BD，交于点 O，连结 OE， 底面 ABCD 是正方
29、形，O 是 BD 中点， E 为 PD 中点，OEPB， PB平面 EAC，OE平面 EAC，PB平面 EAC （2）解：四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA平面 ABCD，且 PAAB2，E 为 PD 中点 E 到平面 ABC 的距离 d= 1 2 =1， 三棱锥 CABE 的体积为： VCABEVEABC= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 第 15 页（共 17 页） 20 （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 APP 中设置了用户评价反馈 系统，以了解用
30、户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出 300 条较为详细 的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 22 列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过 APP 向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑 行付费，也可以通过 APP 转赠给好友某用户共获得了 5 张骑行券，其中只有 2 张是一元 券现该用户从这张骑行券中随机选取 2 张转赠给
31、好友，求选取的 2 张中至少有 1 张是一 元券的概率 附：下面的临界值表仅供参考： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d） 【解答】 解：（1） 由列联表中数据， 计算 K2= 300(150406050)2 21090200100 = 50 7 7.14310.828， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 第 16 页
32、（共 17 页） 有关系； （2）设这 5 张骑行券分别为 a、b、c、D、E，其中 D、E 是一元券； 现从中随机选取 2 张，基本事件为：ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种不同取法， 选取的 2 张中至少有 1 张是一元券的事件为 aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE 共 7 种， 故所求的概率为 P= 7 10 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的右焦点为 F，上顶点为 M，直线 FM 的斜 率为 2 2 ，且原点到直线 FM 的距离为 6 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若不经过点 F 的直线 l：ykx+
33、m（k0，m0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，且与 圆 x2+y21 相切试探究ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明 理由 【解答】解： （1）可设 F（c，0） ，M（0，b） ，可得 = 2 2 ， 直线 FM 的方程为 bx+cybc， 即有 2:2 = 6 3 ，解得 b1，c= 2，a= 3， 则椭圆方程为 2 3 +y21； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x10，x20） ， 连接 OA，OQ，在OAQ 中， |AQ|2x12+y121x12+1 12 3 1= 2 3x1 2， 即|AQ|= 6 3 x1，同理可得|BQ|= 6 3 x2
34、， |AB|AQ|+|BQ|= 6 3 （x1+x2） ， |AB|+|AF|+|BF|= 6 3 （x1+x2）+3 6 3 x1+3 6 3 x223， ABF 的周长是定值 23 第 17 页（共 17 页） 22 （12 分）设函数 f（x）a（x+lnx） （a 为常数） （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程： （2）若函数 g（x）f（x）+ 在（0，1）内存在唯一极值点 xx0，求实数 a 的取值 范围，并判断 xx0是 f（x）在（0，1）内的极大值点还是极小值点 【解答】解： （1）a1 时，f（x）x+lnx f（x）1+ 1 ，f（1）0 f（1）1 曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程：y（1）0，即 y+10 （2）函数 g（x）f（x）+ =a（x+lnx）+ g（x）a（1+ 1 ）+ (1) 2 =（x1） ; 2 函数 g（x）在（0，1）内存在唯一极值点 xx0， exax0，在（0，1）内有唯一解 化为：a= =h（x） ， h（x）= (1) 2 0， 可得函数 h（x）在（0，1）内单调递减 ah（1）e 可得：存在 x0（0，1） ，使得 x（0，x0）时，g（x）0；x（x0，1）时，g（x） 0 x0是 f（x）在（0，1）内的是极小值点
