1、 第 1 页（共 22 页） 2019-2020 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若全集UR，集合 2 |16AxZ x， |1 0Bx x ，则()( U AB ) A |14xx B |14xx C1，2，3 D2，3 2 （5 分）复数z满足 1 1 i i z ，则| (z ) A2i B2 Ci D1 3 （5 分）已知向量
2、(3, 4)OA，(6, 3)OB ，(2 ,1)OCm m若/ /ABOC，则实数m 的值为( ) A 1 5 B 3 5 C3 D 1 7 4 （5 分）函数 3 | ( ) ln x f x x 的部分图象是( ) A B C D 5 （5 分） “1a ”是“ 0 xR， 0 sin10ax ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）若 3 3 log (2)1 logabab ，则2ab的最小值为( ) A6 B 8 3 C3 D16 3 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）已知圆 22 :10210C xyy与双曲线 2
3、2 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是( ) A2 B 5 3 C 5 2 D5 8 （5 分）已知正三棱锥SABC的侧棱长为4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是( ) A16 B20 C32 D64 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知a，b，c，d均为实数，
4、则下列命题正确的是( ) A若ab，cd，则acbd B若0ab ，0bcad，则0 cd ab C若ab，cd，则adbc D若ab，0cd，则 ab dc 10 （5 分）已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正 确的是( ) A若/ /mn，m，则n B若/ /m，n，则/ /mn C若m，m，则/ / D若m，/ /mn，/ /n，则/ / 11 （5 分）如图，在四边形ABCD中，/ /ABCD，ABAD，22ABADDC，E为BC 边上一点，且3BCEC，F为AE的中点，则( ) A 1 2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 21 33 BFA
5、BAD D 12 63 CFABAD 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x 时，( )(1) x f xe x，则下列命 题正确的是( ) 第 3 页（共 22 页） A当0x 时，( )(1) x f xex B函数( )f x有 3 个零点 C( )0f x 的解集为(，1)(0，1) D 1 x， 2 xR，都有 12 |()()| 2f xf x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 coscossinABC abc ， 222
6、6 5 bcabc，则tanB 14 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个节气晷(gu)长损益相同 （晷是按照日影测定时刻的仪器， 晷长即为所测量影子的长度） ， 夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十 二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为 84 尺，夏 至、处暑、霜降三个节气晷长之和为 16.5 尺，则夏至的晷长为 尺 15 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为(4,0)F，过F作直线l交抛物线于M，N 两点，则p ， |4 9| NF MF 的最小值为 16
7、 （5 分）设函数( )f x在定义域(0,)上是单调函数，(0,)x ， ( ) x f f xexe， 若不等式( )( )f xfxax对(0,)x恒成立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在函数 1 ( )sin(2)(0 2 f xx ，|) 2 的图象向右平移 12 个单位长度 得到( )g x的图象，( )g x图象关于原点对称； 向量( 3sinmx，cos2) x， 1 ( cos 2 nx， 1 ) 4 ，0，( )f x
8、m n；函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx 这三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并解答 已知 ，函数( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）若 2 0, 22 sin 且，求( )f的值； （2）求函数( )f x在0，2 上的单调递减区间 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第 4 页（共 22 页） 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 25 12aa， 4 16S （1）求 n a的通项公式； （2） 数列 n b满足 1 , 41 nn n bT S 为数列 n b的前n项和， 是否存在正整数m，(1)km
9、k， 使得 2 3 km TT？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAC为等腰直角三角形，90APC，ABC 为正三角形，D为AC的中点，2AC （1）证明：PBAC； （2）若三棱锥PABC的体积为 3 3 ，求二面角APCB的余弦值 20 （12 分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，90A ，BC长 2 千米，现对 这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45的线段DE和DF，与AB和AC 围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE，试求花 卉种植面积( )S的取值范围 21 （12 分）
10、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率e满足 2 23 220ee，右顶点为 A，上顶点为B，点(0, 2)C，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P， Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为2 第 5 页（共 22 页） （1）求椭圆E的方程； （2）证明： BOMBCN SS 为定值 22 （12 分）已知函数( ) x f xeax （1）当0a 时，设函数( )f x的最小值为g（a） ，证明：g（a）1； （2）若函数 2 1 ( )( ) 2 h xf xx有两个极值点 1 x， 212 ()xxx，证明：
11、12 ()()2h xh x 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若全集UR，集合 2 |16AxZ x， |1 0Bx x ，则()( U AB ) A |14xx B |14xx C1，2，3 D2，3 【解答】解：| 44 3AxZx ，2，1，0
12、，1，2，3， |1Bx x， |1 UB x x，()2 U AB ，3 故选：D 2 （5 分）复数z满足 1 1 i i z ，则| (z ) A2i B2 Ci D1 【解答】解：依题意，因为复数z满足11 i i z ， 所以 2 1(1) 12 ii zi i ， 所以| 1z ， 故选：D 3 （5 分）已知向量(3, 4)OA，(6, 3)OB ，(2 ,1)OCm m若/ /ABOC，则实数m 的值为( ) A 1 5 B 3 5 C3 D 1 7 【解答】解：由题意可得(3,1)ABOBOA，若/ /ABOC， 则这两个向量的坐标对应成比例，即 21 31 mm ， 解得3
13、m ， 故选：C 4 （5 分）函数 3 | ( ) ln x f x x 的部分图象是( ) 第 7 页（共 22 页） A B C D 【解答】解：根据题意， 3 | ( ) ln x f x x ，其定义域为 |0x x ， 又由 3 () ()( ) () lnx fxf x x ，即函数( )f x为奇函数，排除B， 当01x时，|0ln xlnx， 3 0x ，则有( )0f x ，排除C， 当1x 时，|0ln xlnx， 3 0x ，则有( )0f x ，排除D， 故选：A 5 （5 分） “1a ”是“ 0 xR， 0 sin10ax ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充
14、分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：必要性：设( )sin1f xax，当0a 时，( )1f xa，1a，10a ， 即1a ； 当0a 时，( )1f xa，1a，10a ，即1a 故1a 或1a ； 充分性：取 0 2 x ，当1a 时， 0 sin10ax 成立 “1a ”是“ 0 xR， 0 sin10ax ”的充分不必要条件 故选：A 6 （5 分）若 3 3 log (2)1 logabab ，则2ab的最小值为( ) A6 B 8 3 C3 D16 3 【解答】解： 3 3 log (2)1 logabab ， 33 log (2)1logabab ， 第
15、8 页（共 22 页） 23abab，a，0b 化为： 21 3 ba 则 1211221 2(2 )()(5)(522)3 333 abab abab bababa ，当且仅当1ab时取 等号 故选：C 7 （5 分）已知圆 22 :10210C xyy与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是( ) A2 B 5 3 C 5 2 D5 【解答】解：双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为0bxay， 圆 22 :10210C xyy化为标准方程是： 22 (5)4xy， 则圆心(0,5)C到直线0bxay的距离为dr； 即 22 |
16、05 |5 2 aa c ba ， 解得 5 2 c a ， 即双曲线的离心率是 5 2 e 故选：C 8 （5 分）已知正三棱锥SABC的侧棱长为4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是( ) A16 B20 C32 D64 【解答】 解： 如图所示： 由正棱锥得， 顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心 O ， 接圆的半径r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO 所在的直线上，设为O，连接OA 得， ： 6 sin 3 r ，2 3r ， 即2 3O A ， 所以三棱锥的高 2222 (4 3)(2 3)6hSAOA， 由勾股定理得， 222 ()RrRh，解得：4R ，
17、 所以外接球的表面积 2 464SR 故选：D 第 9 页（共 22 页） 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( ) A若ab，cd，则acbd B若0ab ，0bcad，则0 cd ab C若ab，cd，则adbc D若ab，0cd，则 ab dc 【解答】解：若0ab，0
18、cd，则acbd，所以A不正确； 若0ab ，0bcad，可得 1 ()0bcad ab ，即00 cdd abb ，所以B正确； 若ab，cd，则acbd，即adbc，所以C正确； 若ab，0cd，则 ab dc 不正确，反例1a ，1b ，2c ，3d ， 显然 1 3 a d ， 1 2 b c ，所以D不正确 故选：BC 10 （5 分）已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正 确的是( ) A若/ /mn，m，则n B若/ /m，n，则/ /mn C若m，m，则/ / D若m，/ /mn，/ /n，则/ / 【解答】解：A由/ /mn，m，则n，正确； B由/
19、 /m，n，则m与n的位置关系不确定； C由m，m，则/ /正确 D由m，/ /mn，/ /n，则，因此不正确 故选：AC 11 （5 分）如图，在四边形ABCD中，/ /ABCD，ABAD，22ABADDC，E为BC 第 10 页（共 22 页） 边上一点，且3BCEC，F为AE的中点，则( ) A 1 2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 21 33 BFABAD D 12 63 CFABAD 【解答】解：由22ABADDC知： BCBAADDC， 1 2 BCABADAB 1 2 ABAD ， 故A选项正确 又 11 () 22 AFAEABBE， 11211 22323
20、AFABBCABBC 11 33 ABAD， 故B选项正确 11 33 BFBAAFABABAD ， 21 33 BFABAD ， 故C正确 CFCDDAAF 111 233 ABADABAD 12 63 ABAD ， D不正确 故选：ABC 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x 时，( )(1) x f xe x，则下列命 第 11 页（共 22 页） 题正确的是( ) A当0x 时，( )(1) x f xex B函数( )f x有 3 个零点 C( )0f x 的解集为(，1)(0，1) D 1 x， 2 xR，都有 12 |()()| 2f xf x 【 解
21、 答 】 解： 函 数( )f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ，当0x 时 ，( )(1) x f xex， 设0x 时，0x ，()(1) x fxex ，( )()(1) x f xfxex ， 0x 时，(0)0f因此函数( )f x有三个零点：0，1 当0x 时，( )(1) x f xe x，( ) )(2) x f xe x ，可得2x 时，函数( )f x取得极小值， 2 1 ( 2)f e 可得其图象： ( )0f x 时的解集为：(，1)(0，1) 1 x， 2 xR，都有 12 |()()|(0 )(0 )| 2f xf xff 因此BCD都正确 故选：BCD 三、
22、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 coscossinABC abc ， 222 6 5 bcabc，则tanB 4 【解答】解：由 222 6 5 bcabc 第 12 页（共 22 页） 得 222 6 3 5 cos 225 bc bca A bcbc ， 则 4 sin 5 A ， 若 coscossinABC abc ， 则 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC ， 即 31 1 4tanB ， 得 11 tan4B ，得tan4B ，
23、 故答案为：4 14 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个节气晷(gu)长损益相同 （晷是按照日影测定时刻的仪器， 晷长即为所测量影子的长度） ， 夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十 二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为 84 尺，夏 至、处暑、霜降三个节气晷长之和为 16.5 尺，则夏至的晷长为 1.5 尺 【解答】解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、 大雪是连续的十二个节气， 其晷长依次成等差数列 n a， 经记录测算，这十二节气的所有
24、晷长之和为 84 尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为 16.5 尺， 121 1591 12 11 1284 2 31216.5 Sad aaaad ， 解得1d ， 1 1.5a 夏至的晷长为 1.5 尺 故答案为：1.5 15 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为(4,0)F，过F作直线l交抛物线于M，N 两点，则p 8 ， |4 9| NF MF 的最小值为 【解答】解：抛物线 2 2ypx的焦点F，因为(4,0)F， 第 13 页（共 22 页） 2 4816 2 p pyx； 当直线l的斜率不存在时，直线l为4x ， 由 2 4 16 x yx ，可得(4,8)M
25、，(4, 8)N， | | 8MFNF， |4847 9|9818 NF MF ； 当直线l的斜率存在时， 设过点F作直线l的方程为(4)yk x， 不妨设 1 (M x， 1 y)，N 2 (x， 2 y)， 由 2 16 (4) yx yk x ，消y可得 222 (168)160k xkxk， 12 2 16 8xx k ， 12 16x x ， 11 |4 2 p MFxx， 22 |4 2 p NFxx， 2 12 121212 2 16 16 811111 16 444()164 164(8)16 xx k NFMFxxx xxx k |411|441 4()1 21 9|94|9
26、|93 NFNFNF MFNFNF （当且仅当| 6NF 时等 号成立） 故答案为：8， 1 3 16 （5 分）设函数( )f x在定义域(0,)上是单调函数，(0,)x ， ( ) x f f xexe， 若不等式( )( )f xfxax对(0,)x恒成立，则实数a的取值范围是 |21a ae 【解答】解：令( ) x tf xex， 所以( ) x f xext， 因为( )f x在定义域(0,)上是单调函数，(0,)x ， ( ) x f f xexe， 故t为常数且( ) t f tee， 所以，1t ，( )1 x f xex，( )1 x f xe 第 14 页（共 22 页）
27、 因为( )( )f xfxax对(0,)x恒成立， 所以2(1) x eax对(0,)x恒成立， 即 2 1 x e a x 对(0,)x恒成立， 令 2 ( ) x e g x x ，0x ， 则 2 (1) ( ) x ex g x x ， 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递增，当01x时，( )0g x，( )g x单调递减， 故当1x 时，函数取得最小值g（1）2e， 故1 2ae 即21ae 故答案为： |21a ae 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17
28、 （10 分）在函数 1 ( )sin(2)(0 2 f xx ，|) 2 的图象向右平移 12 个单位长度 得到( )g x的图象，( )g x图象关于原点对称； 向量( 3sinmx，cos2) x， 1 ( cos 2 nx， 1 ) 4 ，0，( )f xm n；函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx 这三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，并解答 已知 选条件 ，函数( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）若 2 0, 22 sin 且，求( )f的值； （2）求函数( )f x在0，2 上的单调递减区间 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答
29、计分 【解答】解：方案一：选条件 由题意可知， 2 2 T ， 1， 1 ( )sin(2) 2 f xx， 1 ( )sin(2) 26 g xx 又函数( )g x图象关于原点对称， , 6 kkZ ， 第 15 页（共 22 页） | 2 ， 6 ， 1 ( )sin(2) 26 f xx （1） 2 0,sin 22 ， 4 ， 123 ( )( )sin 4234 ff （2）由 3 222, 262 kxkkZ 剟 解得 2 , 63 kxkkZ 剟 令 2 0, 63 kx 得剟 令 75 1, 63 kx得剟， 函数( )f x在0，2 上的单调递减区间为 275 , 6 36
30、3 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 25 12aa， 4 16S （1）求 n a的通项公式； （2） 数列 n b满足 1 , 41 nn n bT S 为数列 n b的前n项和， 是否存在正整数m，(1)kmk， 使得 2 3 km TT？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 251 41 122512 16238 aaad Sad 得， 解得 1 1 2 a d * 12(1)21, n annnN （2） 2 (1) 2 2 n n n Snn ， 2 1111 () 412 2121 n b
31、 nnn 12 11111111 (1)()()() 233523212121 nn Tbbb nnnn 第 16 页（共 22 页） 11 (1) 22121 n nn 若 2 3 km TT，则 2 2 3 21(21) km km 整理得 2 2 3 412 m k mm ， 又 2 2 3 1 412 1 m m km mm m 整理得 2 2 21 0 412 1 mm mm m 解得 6 11 2 m ， 又 * mN 2m，12k 存在2m ，12k 满足题意 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAC为等腰直角三角形，90APC，ABC 为正三角形，D为AC的中点，2A
32、C （1）证明：PBAC； （2）若三棱锥PABC的体积为 3 3 ，求二面角APCB的余弦值 【解答】 （1）证明：PAC为等腰直角三角形，D为AC的中点，PDAC 又ABC为正三角形，D为AC中点，BDAC 又PDBDD，PD，BD平面PBD，AC平面PBD 又PB 平面PBD，PBAC 第 17 页（共 22 页） （2）解：设三棱锥PABC的高为h，sin603BDBC ， 1133 3233 P ABC VACBDhh ， 1h 又 1 1 2 PDAC，PD平面ABC， 如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则 (1,0,0), (0, 3,0), ( 1,0,0),
33、(0,0,1)ABCP(0, 3,0),(1,0,1),(1, 3,0)DBCPCB， 设(nx，y，) z为平面PBC的一个法向量，则 0 0 30 0 xz CP n xy CB n 即 令 3 1, 3 1 y x z 得， 3 (1, 1) 3 n ， 又DB是平面PAC的一个法向量， 7 cos, 7| DB n DB n DB n ， 二面角APCB的余弦值为 7 7 20 （12 分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，90A ，BC长 2 千米，现对 这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45的线段DE和DF，与AB和AC 第 18 页（共 22 页） 围成四边
34、形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE，试求花 卉种植面积( )S的取值范围 【解答】解：在BDE中， 3 4 BED ， 由正弦定理得 1 3 sin sin() 4 BE ， sin 3 sin() 4 BE ， 在DCF中， 3 , 4 FDCDFC ， 由顶线定理得 1 3 sin sin() 4 CF ， 3 sin() 4 sin CF ， 11 sinsin 2424 BDEDCF SSBEBDCFCD 2 () 4 BFCF 3 sin() 2sin 4 () 3 4sin sin() 4 33 sincoscossin 2sin 44 () 33 4s
35、in sincoscossin 44 22sincossin () 4cossin2sin 2 22sin1sin2 42sin(cossin) 第 19 页（共 22 页） 2 2sin2cos22 42sincos2sin 1 sin2cos22 2 sin2cos21 11 (1) 2sin2cos21 11 2 2 2sin(2)2 4 ， 11 ( )() 2 2 2sin(2)2 4 ABCBDEDCF SSSS ， AEDF为四边形区域， (,) 4 2 ， 3 2(,) 444 ， 2 sin(2)(,1 42 ， 12 ( ) 1 42 S， 花卉种植面积( )S取值范围是
36、12 ( ,1 42 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率e满足 2 23 220ee，右顶点为 A，上顶点为B，点(0, 2)C，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P， Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为2 （1）求椭圆E的方程； （2）证明： BOMBCN SS 为定值 第 20 页（共 22 页） 【解答】解： （1）由 2 23 220ee 解得 2 2 2 ee或舍去，2ab， 又 0( 2) 2 0 AC k a ，2a ， 1b ， 椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y （2）由
37、题知，直线l的斜率比存在，设直线l的方程为2ykx， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y 由 2 2 2 1 2 ykx x y 得 22 1212 22 86 (21)860, 2121 k kxkxxxx x kk ， 22 ( 8 )4 6 (21)kk 2 16240k， 2 3 2 k ， 直线BP的方程为 1 1 1 1 y yx x ， 令0y 解得 1 1 1 x x y 1 1 (,0) 1 x M y ， 同理可得 2 2 (,0) 1 x N y ， 1212 2 4 ()4 21 yyk xx k ， 2 12121 212 (2)(2)2 ()4y
38、ykxkxk x xk xx 第 21 页（共 22 页） 2 2 42 21 k k ， 12 12 3 | 4 11 BOMBCN xx SS yy 1212 121212 33 | 4 (1)(1)4 1() x xx x yyyyy y 2 2 22 6 3 21 4424 |1| 2121 k k kk 1 2 ， BOMBON SS 为定值 22 （12 分）已知函数( ) x f xeax （1）当0a 时，设函数( )f x的最小值为g（a） ，证明：g（a）1； （2）若函数 2 1 ( )( ) 2 h xf xx有两个极值点 1 x， 212 ()xxx，证明： 12 (
39、)()2h xh x 【解答】证明： （1）( )(0) x fxea a， 令( )0fx，解得xlna， 当xlna时，( )0fx， 当xlna时，( )0fx， ( )() min f xf lnaaalna， g（a）(0)aalna a， 令( )(0)g xxxlnx x，( )g xlnx ， 令( )0g x，解得1x ， 当(0,1)x时，( )0g x， 当(1,)x时，( )0g x， ( )maxg xg（1）1， ( ) 1g x， 当0a 时，g（a）1； （2） 2 1 ( ) 2 x h xeaxx，( ) x h xeax， 令( ) x xeax，( )1
40、 x xe， 第 22 页（共 22 页） 令( )0x，解得0x ， 当0x 时，( )0x， 当0x 时，( )0x， ( )(0)1 min xa ， 又函数( )h x有两个极值点， 10a ， 1a，且 12 0xx， 当 1 (,)xx 时，( )h x单调递增， 当 1 (xx，0)时，( )h x单调递减， 当(,0)x 时， 1 ( )()h xh x 又 2 (,0)x ， 21 ()()hxh x， 22 2 12222 ( )()()() xx h xh xhxh xeex ， 令 2 ( )(0) xx m xeex x ， 1 ( )2 x x m xex e 令( )( )n xm x， 1 ( )2 0 x x n xe e ， ( )n x在0，)上单调递增， ( )( )(0)0m xn xn， ( )m x在0，)上单调递增， ( )(0)2m xm， 2 0x ， 22 2 22 ()2 xx m xeex 即 22 ()()2hxh x， 12 ()()2h xh x
