1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （A 卷）卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UR，集合 2 |log1Axx， 2 |0Bx xx，则(AB ) A |12xx B |2x x C |12xx D |14xx 2 （5 分）已知复数z满足 2 1 i z i ，则(z ) A 13 2 i B
2、13 2 i C 3 2 i D 3 2 i 3 （5 分）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应 和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结 合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测结合右图，下列说法错误的是( ) A5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4 （5 分） 4 1 (1
3、)(12 )x x 展开式中 2 x的系数为( ) A10 B24 C32 D56 5（5 分） 已知函数( ) x f xaexb， 若函数( )f x在(0，(0)f处的切线方程为23yx， 则ab的值为( ) A1 B2 C3 D4 6 （5 分）函数 2 sin ( ) 1 xx f x x 在，的图象大致为( ) 第 2 页（共 20 页） A B C D 7 （5 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ADBC，2AD ，3BC ，E是PD的中点， F在PC上且 1 3 PFPC，G在PB上且 2 3 PGPB，则( ) A3AGEF，且AG与EF平行 B3AGEF，且AG与EF相
4、交 C2AGEF，且AG与EF异面 D2AGEF，且AG与EF平行 8 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 2a ， 7 28S ，则数列 1 1 nn a a 的前 2020 项和为( ) A 2020 2021 B 2018 2020 C 2018 2019 D 2021 2020 9 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数如果它是奇数则对它乘 3 再加 1，如 果它是偶数则对它除以 2，如此循环，最终都能够得到 1右图为研究角谷定理的一个程 序框图若输入n的值为 10则输出i的值为( ) 第 3 页（共 20 页） A5 B6 C7 D8 10 （5 分）
5、 设抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为F， 准线为l 过抛物线上一点A作l的垂线， 垂足为B 设 7 ( 0 ,) 2 p C，AF与BC相交于点E 若| 2|C FA F， 且A C E的面积为3 2， 则p的值( ) A2 B2 C6 D2 2 11 （5 分）现有一副斜边长相等的直角三角板若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板 沿斜边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，已知 6 DAB ， 4 BAC ，三棱锥的外接 球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为( ) A 3 3 B 3 6 C 3 24 D 3 48 12 （5 分）设函数( )sin()f xx，其中0，, 4 3 ，
6、已知( )f x在0，2 上有 且仅有 4 个零点，则下列的值中满足条件的是( ) A 13 6 B 11 6 C 7 4 D 3 4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若| 3a ，| 2b ，|2 |37ab，则a与b的夹角为 14 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若数列 1 2 n Sa也为等比数列，则 4 3 S S 15 （5 分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g，次品重110g，现有 5 袋产品 （每袋装有 10 个产品） ，已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品
7、） 如果将 5 袋产 品以1 5编号，第i袋取出i个产品(1i ，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以 称出物体重量的工具） 称出其重量y， 若次品所在的袋子编号是 2， 此时的重量y g； 若次品所在的袋子的编号是n，此时的重量y g 16 （5 分）已知点P是双曲线 2 2 1 3 y x 右支上一动点， 1 F， 2 F是双曲线的左、右焦点， 第 4 页（共 20 页） 动点Q满足下列条件： 12 2 12 ()0 | PFPF QF PFPF ， 12 12 ()0 | PFPF QP PFPF ，则点Q的 轨迹方程为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且s i n2s i n () 0cB bA B （1）求角B的大小； （2）设4a ，6c ，求sinC的值 18 （12 分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水 质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三
9、种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验， 试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0.8，鱼苗乙、丙的自然 成活率均为 0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立 （1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和 数学期望； （2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提 高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使 不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利 10 元，不成 活则亏损 2 元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于 37.6 万元，问需至少购买
10、多少尾乙 种鱼苗？ 19 （12 分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为 2 的正方形，点P是圆弧CD上的一动点 （不与C，D重合） ，点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧 （1）证明：平面PAD 平面PBC； （2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点E，F分别是PQB和POA的重心，当三棱 锥PABC体积最大时，回答下列问题 ( ) i证明：/ /EF平面PAQ； ( )ii求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值 第 5 页（共 20 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P是椭圆上一 动点（
11、与左、右顶点不重合） ，已知 12 PFF的内切圆半径的最大值为 3 3 ，椭圆的离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过 2 F的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C于另一点(Q Q不与 A，B重合） 设ABQ的外心为G，求证 2 | | AB GF 为定值 21 （12 分）已知函数( )2(12 ) a f xxa lnx x （1）讨论( )f x的单调性； （2）如果方程( )f xm有两个不相等的解 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 ()0 2 xx f （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选
12、一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 2 1 2( 2 xs s ys 为参数） ， 以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为cos2 sin90 （1）求C和l的直角坐标方程； （2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |1|24|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若函数(
13、 )yf x的图象最低点为( , )m n，正数a，b满足6manb，求 23 ab 的取值 第 6 页（共 20 页） 范围 第 7 页（共 20 页） 2019-2020 学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UR，集合 2 |log1Axx， 2 |0Bx xx，
14、则(AB ) A |12xx B |2x x C |12xx D |14xx 【解答】 解： 由题意得 2 |log1 |02Axxxx， 2 |0 |0Bx xxx x或1x ， |12ABxx 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足 2 1 i z i ，则(z ) A 13 2 i B 13 2 i C 3 2 i D 3 2 i 【解答】解： 2(2)(1)13 1(1)(1)22 iii zi iii ， 故选：B 3 （5 分）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应
15、和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结 合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测结合右图，下列说法错误的是( ) A5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故D项表达错误 故选：D 4 （5 分） 4 1 (1)(12 )x x 展开式中 2 x的系数为( ) A10
16、 B24 C32 D56 【解答】 解： 4 1 (1)(12 )x x 的展开式中 2 x系数， 只要求出 4 (12 ) x的展开式中含 2 x的项及 3 x 的系数， 4 (12 ) x的展开式的通项 14 2 rrr r Tx 令3r 可得 333 4 4 232Txx ； 令2r 可得 2222 34 224Txx 故 2 x的系数为243256， 故选：D 5（5 分） 已知函数( ) x f xaexb， 若函数( )f x在(0，(0)f处的切线方程为23yx， 则ab的值为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：( ) x f xaexb的导数为( )1 x f xae，
17、所以(0)12fa ，解得1a ， (0)13fabb ，所以2b ，所以2ab ， 故选：B 6 （5 分）函数 2 sin ( ) 1 xx f x x 在，的图象大致为( ) A B C D 【解答】解： 2 sin ( ) 1 xx f x x 是奇函数，排除A； 2 sin ( )0 1 f ，排除B，C 故选：D 第 9 页（共 20 页） 7 （5 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ADBC，2AD ，3BC ，E是PD的中点， F在PC上且 1 3 PFPC，G在PB上且 2 3 PGPB，则( ) A3AGEF，且AG与EF平行 B3AGEF，且AG与EF相交 C2AGE
18、F，且AG与EF异面 D2AGEF，且AG与EF平行 【解答】解：取CF的中点H，连接DH，GH， 在PBC中， 2 3 PGPH PBPC ，所以/ /GHBC，且 2 2 3 GHBC， 又因为/ /ADBC且2AD ，所以/ /GHAD，且GHAD， 所以四边形ADHG为平行四边形，所以/ /AGDH，且AGDH 在PDH中，E、F分别为PD和PH的中点，所以/ /EFDH，且 1 2 EFDH， 所以/ /EFAG，且 1 2 EFAG，即2AGEF 故选：D 8 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 2a ， 7 28S ，则数列 1 1 nn a a 的前 20
19、20 项和为( ) A 2020 2021 B 2018 2020 C 2018 2019 D 2021 2020 【解答】解：由题意，设等差数列 n a的公差为d，则 1 1 2 76 728 2 ad ad ，解得 1 1 1 a d 数列 n a的通项公式为1(1) 1 n ann ，*nN 第 10 页（共 20 页） 1 11 (1) nn a an n 设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T， 则 12231 111 n nn T a aa aa a 111 1 22 3(1)n n 11111 1 2231nn 1 1 1n 1 n n 2020 2020 2021
20、T 故选：A 9 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数如果它是奇数则对它乘 3 再加 1，如 果它是偶数则对它除以 2，如此循环，最终都能够得到 1右图为研究角谷定理的一个程 序框图若输入n的值为 10则输出i的值为( ) A5 B6 C7 D8 【解答】解：模拟程序的运行，可得 0i ，10n 不满足条件1n ，满足条件n是偶数，5n ，1i 不满足条件1n ，不满足条件n是偶数，16n ，2i 不满足条件1n ，不满足条件n是偶数，8n ，3i 第 11 页（共 20 页） 不满足条件1n ，不满足条件n是偶数，4n ，4i 不满足条件1n ，不满足条件n是偶数，2n ，5i
21、不满足条件1n ，不满足条件n是偶数，1n ，6i 此时，满足条件1n ，退出循环，输出i的值为 6 故选：B 10 （5 分） 设抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为F， 准线为l 过抛物线上一点A作l的垂线， 垂足为B 设 7 ( 0 ,) 2 p C，AF与BC相交于点E 若| 2|C FA F， 且A C E的面积为3 2， 则p的值( ) A2 B2 C6 D2 2 【解答】解析：根据已知(0,) 2 p F，: 2 p l y ，由| 2|CFAF，得 3 | 2 p AF ， 不妨设点( , )A x y 在第一象限，则 3 22 pp y ，即yp，所以2xp， 易知ABEF
22、CE， |1 |2 ABAE CFEF ，所以| 2|EFAE， 所以ACF 的面积是AEC 面积的 3 倍，即9 2 ACF S， 所以 1 329 2 2 Spp，解得6p ， 故选：C 11 （5 分）现有一副斜边长相等的直角三角板若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板 沿斜边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，已知 6 DAB ， 4 BAC ，三棱锥的外接 球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为( ) A 3 3 B 3 6 C 3 24 D 3 48 【解答】解：根据已知得三棱锥ABCD的外接球的半径1r ， 90ADBACB ，AB为 外 接 球 直 径 ， 则2AB ， 且3A
23、D ，1BD ， 第 12 页（共 20 页） 2ACBC 当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥ABCD的体积最大， 此时平面ABC 平面ABD，且点C到平面ABD的距离1d ， 1113 3 1 1 3326 A BCDCABDABD VVSd 故选：B 12 （5 分）设函数( )sin()f xx，其中0，, 4 3 ，已知( )f x在0，2 上有 且仅有 4 个零点，则下列的值中满足条件的是( ) A 13 6 B 11 6 C 7 4 D 3 4 【解答】解：设tx，则2t 剟，所以sinyt在，2上有 4 个零点， 可知425，所以 5 2 222 ， 又, 4 3 ，所以 5
24、34 2 222 ，即15 7 83 ，满足的只有A， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若| 3a ，| 2b ，|2 |37ab，则a与b的夹角为 3 【解答】解：设a与b的夹角为，则0，| 3a ，| 2b ，|2 |37ab， 22 4494 3 cos4 437aa bb，求得 1 cos 2 ， 3 ， 故答案为： 3 14 （5 分） 记 n S为等比数列 n a的前n项和， 若数列 1 2 n Sa也为等比数列， 则 4 3 S S 15 14 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的
25、公比为q， 对 于 等 比 数 列 1 2 n Sa， 其 前 三 项 为 ： 1 a， 21 aa， 321 aaa， 则 有 第 13 页（共 20 页） 2 132121 ()()()aaaaaa， 变形可得： 22 (1)(1)qqq， 解可得： 1 2 q 或 0（舍)，则 1 2 q ， 则 4 1 4 4 33 13 (1) 1151 (1)114 1 aq Sqq aqSq q ； 故答案为： 15 14 15 （5 分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g，次品重110g，现有 5 袋产品 （每袋装有 10 个产品） ，已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）
26、 如果将 5 袋产 品以1 5编号，第i袋取出i个产品(1i ，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以 称出物体重量的工具）称出其重量y，若次品所在的袋子编号是 2，此时的重量y 1520 g；若次品所在的袋子的编号是n，此时的重量y g 【解答】解：第 1 袋取 1 个，第 2 袋取 2 个，第 3 袋取 3 个，第 4 袋取 4 个，第 5 袋取 5 个，共取 15 个 若次品是第2袋， 则15个产品中正品13个， 次品2个， 此时的重量100 13 11021520y ； 若次品是第(1n n，2，3，4，5)袋，则 15 个产品中次品n个，正品15n个， 此时的重量100 (1
27、5)110150010ynnn，1n，2，3，4，5 故答案为：1520；150010n，1n，2，3，4，5 16 （5 分）已知点P是双曲线 2 2 1 3 y x 右支上一动点， 1 F， 2 F是双曲线的左、右焦点， 动点Q满足下列条件： 12 2 12 ()0 | PFPF QF PFPF ， 12 12 ()0 | PFPF QP PFPF ，则点Q的 轨迹方程为 22 1 1() 2 xyx 【解答】解：设动点Q的坐标为( , )x y，延长 2 F Q交 1 PF于点A，由条件知点Q在 12 F PF 的角平分线上， 结合条件知 2 QFPQ， 所以在 2 PF A中， 2 A
28、FPQ 又PQ平分 2 APF， 所以 2 PF A为等腰三角形，即 2 | |PFPA， 2 | |AQQF因为点P为双曲线上的点，所 以 12 | 2PFPF， 即 12 | 2PAAFPF， 所以 1 | 2AF 又在 12 F AF中，Q为 2 AF的 第 14 页（共 20 页） 中点，O为 12 F F的中点，所以 1 1 | 1 2 OQAF，所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径为 1 的圆，所以点Q的轨迹方程为 22 1 1() 2 xyx 故答案为： 22 1 1() 2 xyx 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、
29、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且s i n2s i n () 0cB bA B （1）求角B的大小； （2）设4a ，6c ，求sinC的值 【解答】解：sin2sin()0cBbAB， 由正弦定理可得，sinsin2sinsin()0CBBAB， 化简可得，2sinsincossinsin0CBBBC， sinsin0BC
30、 ， 1 cos 2 B， (0, )B， 1 3 B， （2）由余弦定理可得， 222 1 cos 22 acb B ac ， 2 16361 24 62 b ， 2 7b， 由正弦定理可得， sin3 21 sin 14 cB C b 18 （12 分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水 质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验， 试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0.8，鱼苗乙、丙的自然 第 15 页（共 20 页） 成活率均为 0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立 （1）试验时从甲
31、、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和 数学期望； （2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提 高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使 不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利 10 元，不成 活则亏损 2 元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于 37.6 万元，问需至少购买多少尾乙 种鱼苗？ 【解答】解： （1）随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3， 则(0)0.2 0.1 0.10.002P X ， (1)0.8 0.1 0.20.2 0.9 0.10
32、.2 0.1 0.90.044P X ， (2)0.8 0.9 0.10.8 0.1 0.90.2 0.9 0.90.306P X ， (3)0.8 0.9 0.90.648P X 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.002 0.044 0.306 0.648 ()0 0.0021 0.0442 0.3063 0.6482.6E X （2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为 0.9， 依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.1 0.50.95， 一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4元 设购买n尾乙种鱼苗，( )F n为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润， 则( )9
33、.4376000F nn，解得40000n 所以需至少购买 40000 尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于 37.6 万元 19 （12 分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为 2 的正方形，点P是圆弧CD上的一动点 （不与C，D重合） ，点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧 （1）证明：平面PAD 平面PBC； （2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点E，F分别是PQB和POA的重心，当三棱 锥PABC体积最大时，回答下列问题 ( ) i证明：/ /EF平面PAQ； 第 16 页（共 20 页） ( )ii求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值 【解答】解： （1）证明：因
34、为ABCD是轴截面，所以AD 平面PCD，所以ADPC， 又点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合） ，且CD为直径，所以PCPD， 又ADPDD，PD平面PAD，AD 平面PAD，所以PC 平面PAD， PC 平面PBC，故平面PAD 平面PBC； （2）当三棱锥PABC体积最大时，点P为圆弧CD的中点，所以点O为圆弧AB的中点， 所以四边形AQBO为正方形，且OPABO， ( ) i证明：连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，则 / /MNAQ， 因为E，F分别为三角形的重心，所以/ /EFMN， 所以/ /EFAQ，又AQ 平面PAQ，EF 平面PAQ，所以
35、/ /EF平面PAQ； ( )ii以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则(0P，0，2)，( 2A，0，0)，(0B，2，0)，( 2,0, 2)PA，(2, 2,0)AB ， 设平面PAB的法向量( , , )nx y z， 则 220 220 n PAxz n ABxy ，可取( 2, 2,1)n ， 又平面PCD的法向量(0,0,1)m ， 所以 15 cos, 55 m n， 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为 2 5 5 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左
36、、右焦点分别为 1 F， 2 F，P是椭圆上一 动点（与左、右顶点不重合） ，已知 12 PFF的内切圆半径的最大值为 3 3 ，椭圆的离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过 2 F的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C于另一点(Q Q不与 A，B重合） 设ABQ的外心为G，求证 2 | | AB GF 为定值 【解答】解： （1）由题意知： 1 2 c a ，2ac，又 222 bac，3bc 设 12 PFF的内切圆半径为r， 则 1 2 1212 11 (|)(22 )() 22 PF F SPFPFFFrac rac r， 故当 12 PFF面积最大时，r最
37、大，即P点位于椭圆短轴顶点时 3 3 r ， 所以 3 () 3 acbc，把2 ,3ac b代入，解得：2,3ab， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy （2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为 0，设直线AB为1xmy， 代入椭圆方程得 22 (34)690mymy 第 18 页（共 20 页） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 所以AB的中点坐标为 22 43 (,) 34 34 m mm ， 所以 22 22 12 22 12 112(1) |1|1 3434 mm ABmyym
38、mm 因为G是ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段AQ的垂直平分线的交点， AB的垂直平分线方程为 22 34 () 3434 m ym x mm ， 令0y ，得 2 1 34 x m ，即 2 1 (,0) 34 G m ，所以 2 2 22 133 | |1| 3434 m GF mm ， 所以 2 2 2 2 2 12(1) |12 34 4 33|3 34 m AB m mGF m ，所以 2 | | AB GF 是定值，为 4 21 （12 分）已知函数( )2(12 ) a f xxa lnx x （1）讨论( )f x的单调性； （2）如果方程( )f xm有两个不
39、相等的解 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 ()0 2 xx f 【解答】解： （1） 2 222 122(12 )()(21) ( )2(0) aaxa xaxax fxx xxxx ， 当0a时，(0,)x，( )0fx，( )f x单调递增； 当0a 时，(0, )xa，( )0fx，( )f x单调递减； ( ,)xa，( )0fx，( )f x单调递增， 综上，当0a时，( )f x在(0,)单调递增； 当0a 时，( )f x在(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增 （2）由（1）知，当0a时，( )f x在(0,)单调递增，( )f xm至多一个根，不符合题意
40、； 当0a 时，( )f x在(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增，则f（a）0 不妨设 12 0xax， 要证 12 ()0 2 xx f ，即证 12 2 xx a ，即证 21 2xx，即证 21 2xax 因为( )f x在( ,)a 单调递增，即证 21 ()(2)f xfax， 因为 21 ()()f xf x，所以即证 11 ()(2)f xfax，即证()()f axf ax， 令 第 19 页（共 20 页） ( )()()2()(12 ) ()2()(12 ) () aa g xf axf axaxa ln axaxa ln ax axax 4(12 ) ()(12
41、 ) () aa xa ln axa ln ax axax 22 1212 ( )4 ()() aaaa g x axaxaxax 22222 222222 2 (12 )2 ()4() 4 () ()() () aaa axxxaa axaxaxaxax 当(0, )xa，时，( )0g x，( )g x单调递减，又(0)(0)(0)0gf af a， 所以(0, )xa，时，( )(0)0g xg，即()()f axf ax， 即( )(2)f xfax， 又 1 (0, )xa，所以 11 ()(2)f xfax，所以 12 ()0 2 xx f （二）选考题：共（二）选考题：共 10
42、分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 2 1 2( 2 xs s ys 为参数） ， 以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为cos2 sin90 （1）求C和l的直角坐标方程； （2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值 【解答】解： （1）直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 1 2( 2 xs s ys 为参数） ，消取
43、参数 可知：C的直角坐标方程为： 2 4yx 将cosx，siny代入l的极坐标方程cos2 sin90，可得l的直角坐标方 程为：290xy （2）设点 2 ( 2 s P，2 ) s， 则点P到直线l的距离 2 2 1 |2 29|(2 2)5| 22 145 s ss d ， 当2 2s 时，距离最小，最小值为 5 5 5 d 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 第 20 页（共 20 页） 23已知函数( ) |1|24|f xxx （1）求不等式( ) 6f x 的解集； （2）若函数( )yf x的图象最低点为( , )m n，正数a，b满足6manb，求 23 ab 的取值 范围 【解答】解： （1） 33,2 ( ) |1|24|5, 12 33,1 xx f xxxxx xx ， 由( ) 6f x ，得 2 33 6 x x 或 12 5 6 x x 或 1 33 6 x x ， 2x ，3或( 1,2)x 或1x 综上， 1x ，3 （2） 33,2 ( )5, 12 33,1 xx f xxx xx ， 当2x 时，( )3 min f x，最低点为(2,3)， 即236ab，1 32 ab 232323
