1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集UR，集合 | 11Axx ， 1B ，1，则()( U AB ) A |1x x B |1x x C | 11xx D | 11xx 剟 2 （4 分）已知i是虚数单位，(12 )2zii，则| (z ) A1 B2 Ci D2i 3 （4
2、分）设曲线 1 2 x y x 在点(1, 2)处的切线与直线0axbyc垂直，则( a b ) A 1 3 B 1 3 C3 D3 4 （4 分）函数 2 2 ( )logf xxx，则满足 0 (1x ，4，且 0 ()f x为整数的实数 0 x的个数为( ) A3 B4 C17 D18 5 （4 分）设a，bR，则“ab”是“|a ab b”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 6 （4 分）已知x，y满足条件 2 0 2 0 24 0 xy y xy ，若zaxy的最大值为 0，则实数a的值为 ( ) A 1 2 B2 C 1 2 D2 7
3、（4 分）如图是某三棱锥的正视图和俯视图（单位：)cm，则该三棱锥侧视图面积是( )（单位： 2) cm 第 2 页（共 18 页） A2 B 3 2 C 3 2 D 3 3 8 8 （4 分）等差数列 n a满足： 1 0a ， 310 47aa记 12nnnn a aab ，当数列 n b的前n项 和 n S取最大值时，(n ) A17 B18 C19 D20 9 （4 分）已知A，B是椭圆 2 2 :1 3 y Cx短轴的两个端点，点O为坐标原点，点P是椭圆 C上不同于A，B的动点，若直线PA，PB分别与直线4x 交于点M，N，则OMN面 积的最小值为( ) A24 3 B12 3 C6
4、 5 D12 5 10 （4 分）如图，ABC中，2AB ，3AC ，BC边的垂直平分线分别与BC，AC交于 点D，E，若P是线段DE上的动点，则PA BC的值为( ) A与角A有关，且与点P的位置有关 B与角A有关，但与点P的位置无关 C与角A无关，但与点P的位置有关 D与角A无关，且与点P的位置无关 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 第 3 页（共 18 页） 11 （6 分）已知 55 (sin,cos) 66 P 是角的终边上一点，则cos ，角的最小正值 是 12 （6 分
5、）已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球，现从该 箱中有放回地依次取出 3 个小球则 3 个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量为取出 3 个球中红球的个数，则的方差( )D 13（6 分） 已知 2 1 (3)nx x 的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小 240， 则n ； 展开式中的系数最大的项是 14 （6 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为4a ，4b ，6c I是ABC内 切圆的圆心，若AIxAByAC，则x ；y 15 （4 分）已知 1 ( )(1) 1 x x a f xa a ，实数 1 x， 2 x满足 12 ()()1
6、f xf x，则 12 ()f xx的最 小值为 16 （4 分）已知两定点 1 (,0) 4 P ， 1 ( ,0) 4 Q位于动直线l的同侧，集合 |Ml点P，Q到直 线l的距离之和等于1，(Nx，)|(yx，)yl，lM则集合N中的所有点组成的图 形面积是 17 （4 分）已知矩形ABCD，4AB ，2BC ，E、F分别为边AB、CD的中点沿直 线DE将ADE翻折成PDE，在点P从A至F的运动过程中，CP的中点G的轨迹长度 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （1
7、4 分）设函数 2 ( )2sin cos() 3 f xxx （）若0, 2 x ，求( )f x的单调递增区间； （）在ABC中，1AB ，2AC ， 3 ( ) 2 f A ，且A为钝角，求sinC的值 19（15分） 如图， 在四棱柱ABCDA B C D 中， 底面ABCD为等腰梯形，1DAABBC， 第 4 页（共 18 页） 2DC 平面DCC D 平面ABCD，四边形DCC D 为菱形，60D DC （）求证：DABC ； （）求 DA 与平面BCC B 所成角的正弦值 20 （15 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， * 21() nn SanN （）求数列 n a的
8、通项公式； （）若 1 11 11 n nn c aa ， n T为数列 n c的前n项和求证： 1 2 3 n Tn 21 （15 分）设点A，B的坐标分别为( 4,4)，( 8,16)，直线AM和BM相交于点M，且 AM和BM的斜率之差是 1 （）求点M的轨迹C的方程； （）过轨迹C上的点 0 (Q x， 0) y， 0 4y ，作圆 22 :(2)4D xy的两条切线，分别交x 轴于点F，G当QFG的面积最小时，求 0 y的值 22 （15 分）已知函数( )(0)f xalnxbxc a有极小值 （）试判断a，b的符号，求( )f x的极小值点； （）设( )f x的极小值为m，求证：
9、 2 4 4 acb ma a 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集UR，集合 | 11Axx ， 1B ，1，则()( U AB ) A |1x x B |1x x C | 11xx D | 11xx 剟 【解答】解：UR， | 11Axx
10、， 1B ，1， |1 UB x x 且1x ， () |1 U ABx x 故选：A 2 （4 分）已知i是虚数单位，(12 )2zii，则| (z ) A1 B2 Ci D2i 【解答】解：由(12 )2zii，得 2 12 i z i ， 2|2|5 | |1 12|12 |5 ii z ii 故选：A 3 （4 分）设曲线 1 2 x y x 在点(1, 2)处的切线与直线0axbyc垂直，则( a b ) A 1 3 B 1 3 C3 D3 【解答】解：由 1 2 x y x ，得 22 (2)(1)3 (2)(2) xx y xx ， 1 |3 x y ， 曲线 1 2 x y x
11、 在点(1, 2)处的切线与直线0axbyc垂直， 3()1 a b ，即 1 3 a b 故选：B 4 （4 分）函数 2 2 ( )logf xxx，则满足 0 (1x ，4，且 0 ()f x为整数的实数 0 x的个数为( ) A3 B4 C17 D18 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：由于函数 2 2 ( )logf xxx的是连续函数，在区间(1，4上是单调增函数，故 函数的值域为(1，18， 即满足 0 (1x ，4，且 0 ()f x为整数的实数 0 x的个数为 17 个 故选：C 5 （4 分）设a，bR，则“ab”是“|a ab b”的( ) A充分不必要条件 B必要
12、不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：若ab， 0ab ，不等式|a ab b等价为a ab b，此时成立 0ab，不等式|a ab b等价为a ab b ，即 22 ab，此时成立 0ab，不等式|a ab b等价为a ab b ，即 22 ab ，此时成立，即充分性成立 若|a ab b， 当0a ，0b 时，|a ab b去掉绝对值得，()()0ab ab，因为0ab，所以 0ab，即ab 当0a ，0b 时，ab 当0a ，0b 时，|a ab b去掉绝对值得，()()0ab ab，因为0ab，所以 0ab，即ab即必要性成立， 综上“ab”是“|a ab b”的
13、充要条件， 故选：C 6 （4 分）已知x，y满足条件 2 0 2 0 24 0 xy y xy ，若zaxy的最大值为 0，则实数a的值为 ( ) A 1 2 B2 C 1 2 D2 【解答】解：由约束条件 2 0 2 0 24 0 xy y xy 作出可行域如图，(2,0)A，(1,2)B，(4,2)C 化目标函数zaxy为yaxz ， 第 7 页（共 18 页） 若zaxy过A时取得最大值为 0，则20a ，解得0a ， 此时，目标函数为zy， 平移直线yz， 当直线与直线BC重合时时，截距最大，不满足条件，舍去， 若zaxy过B时取得最大值为 0，则20a ，解得2a ， 此时，目标函
14、数为2zxy ， 即2yxz， 平移直线2yxz，当直线经过(1,2)B时，截距最大，此时z最大为 0，满足条件， 故2a 成立； 若zaxy过(4,2)C时取得最大值为 0，则420a ，解得得 1 2 a ， 此时，目标函数为 1 2 zxy ， 即 1 2 yxz， 平移直线 1 2 yxz，当直线经过(2,0)A时，截距最大，此时z最大为 1，不满足条件，舍 去； 故符合条件的只有2 故选：B 7 （4 分）如图是某三棱锥的正视图和俯视图（单位：)cm，则该三棱锥侧视图面积是( )（单位： 2) cm 第 8 页（共 18 页） A2 B 3 2 C 3 2 D 3 3 8 【解答】解
15、：根据几何体的正视图和俯视图，得到的几何体为三棱锥ABCD，所以侧视图 为ADE， 且侧视图的高为 3 2 ，侧视图的下底长为 3 2 如图所示： 故侧视图的面积为 1333 3 2228 S 故选：D 8 （4 分）等差数列 n a满足： 1 0a ， 310 47aa记 12nnnn a aab ，当数列 n b的前n项 和 n S取最大值时，(n ) A17 B18 C19 D20 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d，由 310 47aa，则 11 4(2 )7(9 )adad，则 1 55 3 ad ，则0d ， 所以 1 (358) (1) 3 n nd aand ， 第 9
16、页（共 18 页） 所以 19 0 3 d a ， 20 2 0 3 d a， 1819 aa， 1920 |aa， 则 12nnnn ba aa ，可知从 1 b到 19 b的值都大于零， 则 18181920 0ba a a， 19192021 0ba a a， 20202122 0ba a a， 当所以19n 时， n S取最大值时， 故选：C 9 （4 分）已知A，B是椭圆 2 2 :1 3 y Cx短轴的两个端点，点O为坐标原点，点P是椭圆 C上不同于A，B的动点，若直线PA，PB分别与直线4x 交于点M，N，则OMN面 积的最小值为( ) A24 3 B12 3 C6 5 D12
17、5 【解答】解：如图， 设(cos , 3sin)P，02剟，( 1,0)A ，(1,0)B， 直线 1 : cos13sin yx PA ， 1 : cos13sin yx PB 则 3 3sin ( 4,) cos1 M ， 5 3sin ( 4,) cos1 N OMN面积 13 3sin5 3sin 4 | 2cos1cos1 S cos4 4 3 | sin cos4 sin 的几何意义为定点( 4,0)与单位圆 22 1xy上的点连线斜率 的倒数值， 则 cos4 | sin 的最小值为15 OMN面积的最小值为12 5 故选：D 第 10 页（共 18 页） 10 （4 分）如图
18、，ABC中，2AB ，3AC ，BC边的垂直平分线分别与BC，AC交于 点D，E，若P是线段DE上的动点，则PA BC的值为( ) A与角A有关，且与点P的位置有关 B与角A有关，但与点P的位置无关 C与角A无关，但与点P的位置有关 D与角A无关，且与点P的位置无关 【解答】解：如图，连接AD，则： 22115 ()() ()() 222 PA BCPDDA BCAD BCACABACABACAB ， PA BC与角A无关，且与点P的位置无关 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分
19、. 11 （6 分）已知 55 (sin,cos) 66 P 是角的终边上一点，则cos 1 2 ，角的最小正值 第 11 页（共 18 页） 是 【解答】 解： 已知 55 (sin,cos) 66 P 是角的终边上一点， 51 sin0 62 ， 53 cos0 62 ， 故是第四象限， 则 51 cossin 62 ， 51 sincos 62 ， 角的最小正值是 5 3 ， 故答案为： 1 2 ； 5 3 12 （6 分）已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球，现从该 箱中有放回地依次取出 3 个小球则 3 个小球颜色互不相同的概率是 9 50 ；
20、若变量为 取出 3 个球中红球的个数，则的方差( )D 【解答】解：箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球， 现从该箱中有放回地依次取出 3 个小球 则 3 个小球颜色互不相同的概率是： 3 3 2359 10101050 PA 变量为取出 3 个球中红球的个数，则 1 (3, ) 5 B， 的方差 1112 ( )3(1) 5525 D 故答案为： 9 50 ， 12 25 13 （6 分）已知 2 1 (3)nx x 的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小 240，则n 4 ；展开式中的系数最大的项是 【解答】解： 2 1 (3)nx x 展开式中，
21、各二项式系数的和比各项系数的和小 240， 即2(3 1)240 nn ， 化简得 2 222400 nn ， 解得216 n 或215 n （不合题意，舍去） ； 所以4n ； 所以 24852 4 111 (3)814276943xxxx xxx ； 其展开式中的系数最大的项是 5 108x 第 12 页（共 18 页） 故答案为：4， 5 108x 14 （6 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为4a ，4b ，6c I是ABC内 切圆的圆心，若AIxAByAC，则x 2 7 ；y 【解答】解：AIxAByAC， AI ABxAB AByAC AB，AI ACxAB ACyAC A
22、C， 21xy且986xy， 23 , 77 xy 故答案为： 2 7 ， 3 7 15 （4 分）已知 1 ( )(1) 1 x x a f xa a ，实数 1 x， 2 x满足 12 ()()1f xf x，则 12 ()f xx的最 小值为 4 5 【解答】解：设 x ta，则 12 12 11 1 11 tt tt ，化简得 1 2121 2 3 23t tttt t，故 1 2 9t t ，当 且仅当“ 12 tt”时取等号， 1 2 12 1 21 2 1214 ()11 1155 t t f xx t tt t 故答案为： 4 5 16 （4 分）已知两定点 1 (,0) 4
23、P ， 1 ( ,0) 4 Q位于动直线l的同侧，集合 |Ml点P，Q到直 线l的距离之和等于1，(Nx，)|(yx，)yl，lM则集合N中的所有点组成的图 形面积是 4 【解答】解：点P，Q到直线l的距离之和为 1， P，Q的中点O到动直线l的距离为 1 2 ， 动直线l为圆 22 1 4 xy的切线， 集合N中的所有点组成的图形即为圆 22 1 4 xy的内部，即面积为 4 故答案为： 4 17 （4 分）已知矩形ABCD，4AB ，2BC ，E、F分别为边AB、CD的中点沿直 线DE将ADE翻折成PDE，在点P从A至F的运动过程中，CP的中点G的轨迹长度为 第 13 页（共 18 页）
24、2 2 【解答】解：如图所示， 连接AF，DE，AFDEO，连接PO，AP 则OPOAOF，90APF 连接AC，BD，ACDBM，取CF中点N，连接MG，GN 由三角形中位线定理可得：/ /MGAP，/ /NGPF 90MGN 沿直线DE将ADE翻折成PDE，在点P从A至F的运动过程中，CP的中点G的轨迹 是以MN为直径的半圆 22 222 2AF 2MN 以MN为直径的半圆的长度 122 2 222 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （14 分）设函数 2 ( )2s
25、in cos() 3 f xxx （）若0, 2 x ，求( )f x的单调递增区间； （）在ABC中，1AB ，2AC ， 3 ( ) 2 f A ，且A为钝角，求sinC的值 【解答】解：（） 第 14 页（共 18 页） 2 213sin23(1cos2 )3 ( )2sin cos()2sin(cossin )sin cos3sinsin(2) 3222232 xx f xxxxxxxxxx ， 当0, 2 x 时， 2 2, 333 x 当 2 2, 323 x ， 即 5 , 12 2 x 时，( )f x是增函数 （）在ABC中，由 3 ( ) 2 f A ，得 6 A 或 2
26、3 因为A为钝角，所以 2 3 A 由余弦定理得 22 1 2cos142 1 2()7 2 BCABACAB ACA 又由正弦定理 sinsin BCAB AC ， 得 2 1 sin sin21 3 sin 147 ABA C BC 19（15分） 如图， 在四棱柱ABCDA B C D 中， 底面ABCD为等腰梯形，1DAABBC， 2DC 平面DCC D 平面ABCD，四边形DCC D 为菱形，60D DC （）求证：DABC ； （）求 DA 与平面BCC B 所成角的正弦值 【解答】方法一、 解： （）证明：连接DB、 BA ，取DC中点H，连接D H、HB 等腰梯形ABCD中，1
27、DAABBC，2DC 60DCB，DBBC 又在菱形DCC D 中，60D DC，D HBC 又平面DCC D 平面ABCD，交线为DC，D H底面ABCD / / /D ADAHB ，DADAHB ， 第 15 页（共 18 页） 四边形HBDA 为平行四边形，/ /D HA B A B底面ABCD，A BBC， 又A B，DB相交，BC平面ADB， BC DA （）解：取D C 中点K，连接AH，HK， KA ，AH，DB相交于点O， 连接A O，显然平面/ /AHKA平面BCC B BC 平面ADB，平面BCC B 平面ADB， 平面AHKA 平面ADB，交线为A O， DA O为 DA
28、 与平面BCC B 所成角 tan1 BD DA B BA ， 1 tan 2 OB OA B BA ， 1 1 1 2 tan 1 3 1 1 2 DA O ， 10 sin 10 DA O DA 与平面BCC B 所成角的正弦值为 10 10 方法二、 解： （）证明：取DC中点O，连接 OD 四边形DCC D 为菱形，60D DC，ODCD 又平面DCC D 平面ABCD，交线为DC， OD 底面ABCD 以O为原点如图建立空间直角坐标系， 则(0D，1，0)，(0C，1，0)， 31 (,0) 22 A， 3 1 (,0) 22 B，(0,0, 3) D 3 13 3 (,0)(0,1
29、, 3)(, 3) 2222 DADAAADADD， 3 1 (,0) 22 BC ， 33 00 44 DA BC ，DABC （）(0,1, 3)CCDD，设平面BCC B 的法向量为( , , )mx y z， 则 30 31 0 22 m CCyz m BCxy ，取3y ，得( 3,3,3)m ， 6310 |cos,| 10615 m DA 第 16 页（共 18 页） DA 与平面BCC B 所成角的正弦值为 10 10 20 （15 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， * 21() nn SanN （）求数列 n a的通项公式； （）若 1 11 11 n nn c a
30、a ， n T为数列 n c的前n项和求证： 1 2 3 n Tn 【解答】解： （） * 21() nn SanN，令1n ，得 1 1 3 a ， 又 11 21(2) nn San ，两式相减，可得 1 20 nnn aaa ， 得 1 1 3 n n a a ， 1 ( ) 3 n n a ； （）证明： 第 17 页（共 18 页） 1 111 1 11331111 22() 11 313131313131 1( )1( ) 33 nn n nnnnnn nn c 又 11 313 nn ， 11 11 313 nn ， 1 11 2() 33 n nn c ， 22311 1111
31、11111 2()()()22 333333333 n nnn Tnnn 1 2 3 n Tn 21 （15 分）设点A，B的坐标分别为( 4,4)，( 8,16)，直线AM和BM相交于点M，且 AM和BM的斜率之差是 1 （）求点M的轨迹C的方程； （）过轨迹C上的点 0 (Q x， 0) y， 0 4y ，作圆 22 :(2)4D xy的两条切线，分别交x 轴于点F，G当QFG的面积最小时，求 0 y的值 【解答】解： （1）设( , )M x y，由题意得 416 1 48 yy xx 化简得点M的轨迹C的方程为： 2 4 (8,4)xy xx （）由点 0 (Q x， 00 )(4)y
32、y 所引的切线方程必存在斜率，设为k 则切线方程为 00 ()yyk xx，即 00 0kxyykx 其与x轴的交点为 00 (,0) kxy k ， 而圆心D到切线的距离 00 2 | 2| 2 1 ykx d k ， 整理得： 222 00000 (4)2(2)40xkxy kyy， 切线QF、QG的斜率分别为 1 k， 2 k，则 1 k， 2 k是方程的两根， 故， 而切线与x轴的交点为 00 (,0) kxy k ，故 100 1 (,0) k xy F k ， 200 2 (,0) k xy G k ， 又 0 (Q x， 00 )(4)yy ， 1 | | 2 QFGFGQ Sx
33、xy ， 22 2221002001212121 2 0000 22 121 21 21 2 ()()41111 | | | 222()2() QFG k xyk xykkkkkkk k Syyyy kkk kk kk k ， 第 18 页（共 18 页） 将(*)代入得 22 2222 00002 00000 0 22 000 244(2)4(4)(4) 1 2(4)4 QFG yxyyxyxyy Sy yyy ， 而点Q在 2 4 (8,4)xy xx 上，故 2 000 4(4)xy y， 222 0000 00 00000 2(4)4(4)8(4)161616 222(48) 4 (4
34、)1632 44444 QFG yyyy Syy yyyyy ， 当且仅当，即 0 8y 时等号成立 又 2 00 4xy， 0 4 2x ， 故当点Q坐标为( 4 2,8)时，()32 QFGmin S 22 （15 分）已知函数( )(0)f xalnxbxc a有极小值 （）试判断a，b的符号，求( )f x的极小值点； （）设( )f x的极小值为m，求证： 2 4 4 acb ma a 【解答】解： （）( ) aabx fxb xx ，0x 又函数( )(0)f xalnxbxc a有极小值点 0b，0a ，( )f x的极小值点为 a b （）由（）知，() a mf b ， 22 44 () 44 acbaacb mafa aba ， 22 2 1 ()() ()( ) 444 ababab alnacacalna ln bababa 令 a t b ， 2 1 ( ) 4 g tlnt t ，0t 则 2 33 1121 ( ) 22 t g t ttt 令( )0g t，得 2 2 t ，( )g t在 2 (0,) 2 单调递减，在 2 (,) 2 单调递增 221 ( )()()0 222 g tgln 0a ，( )0ag t， 2 4 4 acb ma a
