2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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2、2zxy的最大值是( ) A1 B0 C2 D3 3 （4 分）双曲线 22 1 24 xy 的焦点到其渐近线的距离是( ) A1 B2 C2 D3 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积是( )（单位： 3) cm A2 B6 C10 D12 5 （4 分）设a，b是实数，则“ 22 1ab”是“| 1ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分）在同一坐标系中，函数( )(0) a f xxx与 1 ( ) x g xa 的图象可能是( ) 第 2 页（共 20 页） A B C D 7 （4 分）已知

3、多项式 626 0126 (1)(1)(1)xaaxaxax，则 4 (a ) A15 B20 C15 D20 8 （4 分）斜三棱柱 111 ABCABC中，底面ABC是正三角形，侧面 11 ABB A是矩形，且 1 23AAAB，M是AB的中点，记直线 1 A M与直线BC所成的角为，直线 1 A M与平面 ABC所成的角为，二面角 1 AACB的平面角为，则( ) A， B， C， D， 9 （4 分）已知函数 322 22 1 (2)1,1 ( )3 (1) ,1 xttxtxx f x t xtx x ，则满足“对于任意给定的不等于 1 的实数 1 x，都有唯一的实数 221 ()

4、xxx，使得 12 ()()fxfx”的实数t的值( ) A不存在 B有且只有一个 C有且只有两个 D无数个 10 （4 分）已知数列 n a满足 1 01a， 1 4 () 2 n n n at atR a ，若对于任意 * nN，都有 1 03 nn aa ，则t的取值范围是( ) A( 1，3 B0，3 C(3,8) D(8,) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知复数 1 1zi ， 12 2z zi，则复数 2 z 12（6 分）设直线ykx与圆 22 :

5、(2)1Cxy相交于A，B两点，若|3AB ，则k ，当k变化时，弦AB中点轨迹的长度是第 3 页（共 20 页） 13 （6 分）设随机变量的分布列是 1 0 1 P a 1 3 b 若 1 3 E，则b ，D 14（6 分）在ABC中，4BC ，135B，点D在线段AC上，满足BDBC，且2BD ，则cos A ，AD 15 （6 分）已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的右焦点( ,0)F c关于直线 b yx a 的对称点在直线 2 a x c 上，则该双曲线的离心率为 16 （6 分）已知正三角形ABC的边长为 4，P是平面ABC内一点，

6、且满足 3 APB ，则 PB AC的最大值是，最小值是 17 （6 分）设实数a，b满足：13b a剟?，则 22 1ab ab 的取值范围为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明或演算步骤分解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 18已知函数 2 ( )sin(2)2 3sin 3 f xxx （）求 3 () 4 f的值；（）求( )f x的最小正周期和单调递增区间 19如图，三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，90CBD，E，F分别是BD， CD的中点，且ABBEAEBC （）证明：ACAD；（）求AF与平面ACE所

7、成角的余弦值第 4 页（共 20 页） 20设等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 3a ， 45 2(1)Sa，数列 n b的前n项和为 n T，满足 1 1b ， * 11( ) nn n bTTnN （）求数列 n a、 n b的通项公式；（）记 n n n a c T ， * nN，证明： 12 2 (21) 4 n cccnn 21已知抛物线 2 :2(0)C xpy p，直线yx截抛物线C所得弦长为2 （）求p的值；（）若直角三角形APB的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为 1，过点A、 B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q 若直线AB经过点(0,

8、3)，求点Q的纵坐标；求 PAB QAB S S 的最大值及此时点Q的坐标 22设函数( )2 (0) ax f xex a （）当2a ，求函数( )f x的单调区间；（）当 11 2 a 时，若对任意(x ，0，均有 2 ( )(1) 2 a f xx，求a的取值范围第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四

10、距越小，z越大，然后平移直线:02Lxy，当直线2zxy过点B时z最大，由 0 230 y xy 可得(3,0)B，z最大值为 3 故选：D 第 6 页（共 20 页） 3 （4 分）双曲线 22 1 24 xy 的焦点到其渐近线的距离是( ) A1 B2 C2 D3 【解答】解：双曲线 22 1 24 xy 中，焦点坐标为(6，0)，渐近线方程为：2yx ，双曲线 22 1 24 xy 的焦点到渐近线的距离： 26 2 12 d 故选：C 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积是( )（单位： 3) cm 第 7 页（共 20 页） A2 B6 C

11、10 D12 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体的底面为直角梯形，高为 2 四棱锥体故 11 (12)222 32 V 故选：A 5 （4 分）设a，b是实数，则“ 22 1ab”是“| 1ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：设a，b是实数，则“ 22 1ab”推不出“| 1ab” ，例如 22 0.70.60.851，但0.70.61.31， “| 1ab” “ 22 1ab” ，第 8 页（共 20 页） “ 22 1ab”是“| 1ab”的必要不充分条件故选：B 6 （4 分）在同一

12、坐标系中，函数( )(0) a f xxx与 1 ( ) x g xa 的图象可能是( ) A B C D 【解答】解：01a或1a ，当0x 时，幂函数( )(0) a f xxx为增函数，排除B， A中，(0)1ga，函数( )g x为增函数，此时当01x时， a xx，满足条件 C中，(0)1ga，函数( )g x为增函数，此时当01x时， a xx，此时不满足条件 D中，(0)1ga，函数( )g x为减函数，此时当01x时， a xx，不满足条件故选：A 7 （4 分）已知多项式 626 0126 (1)(1)(1)xaaxaxax，则 4 (a ) A15 B20 C15 D20

13、【解答】解：多项式 66 1 (1)xx 23456 1 6(1) 15(1)20(1)15(1)6(1)(1)xxxxxx 26 0126 (1)(1)(1)aaxaxax，则 4 15a 故选：C 8 （4 分）斜三棱柱 111 ABCABC中，底面ABC是正三角形，侧面 11 ABB A是矩形，且第 9 页（共 20 页） 1 23AAAB，M是AB的中点，记直线 1 A M与直线BC所成的角为，直线 1 A M与平面 ABC所成的角为，二面角 1 AACB的平面角为，则( ) A， B， C， D，【解答】解：由最小角定理可得，设2AB ，则 1 3AA ，侧面 11 ABB

14、A是矩形，M 是AB的中点， 1 2AM，设侧棱与底面所成的角为，斜三棱柱的高为 1 sin3sinhAA， 3sin sin 2 ，取 11 A B的中点N，并连接MN， 1 C N，可得平面 1 C CMN 底面ABC，过点 1 C作 1 C OCM于点O，OGAG于点G，连接 1 C G，则 1 C GO ，可得 3 cos 2 OG， 22222 11 339 33 444 C GOGC Ocossinsin， 11 1 3sin sinsin 22 COCO CG ，又，均为锐角，所以故选：B 第 10 页（共 20 页） 9 （4 分）已知函数 322 22 1 (2)

15、1,1 ( )3 (1) ,1 xttxtxx f x t xtx x ，则满足“对于任意给定的不等于 1 的实数 1 x，都有唯一的实数 221 ()xxx，使得 12 ()()fxfx”的实数t的值( ) A不存在 B有且只有一个 C有且只有两个 D无数个【解答】解： 22 2 2(2),1 ( ) 2(1),1 xttxt x fx t xtx ，当1x 时， 22 ( )2(2)f xxttxt ，对称轴为 22 17 2()1 24 xttt ，则( )fx单调递减，f（1） 2 1 2(2)ttt ，当1x时， 2 ( )21f xt xt 单调递增，f（1） 2 21t

16、t ，而 2222 115 21 12(2)4244()0 44 tttttttt ，所以不能保证“对于任意给定的不等于 1 的实数 1 x，都有唯一的实数 221 ()xxx，使得 12 ()()fxfx” ，故这样的t不存在，故选：A 10 （4 分）已知数列 n a满足 1 01a， 1 4 () 2 n n n at atR a ，若对于任意 * nN，都有 1 03 nn aa ，则t的取值范围是( ) A( 1，3 B0，3 C(3,8) D(8,) 【解答】解：由题意易知， 1 2 1 4 0 2 at a a 成立，故4t；又 2 1 2 0 2 nn nn n aa

17、t aa a ，故只要 2 20 nn aat 在(0,3)上有解，则1t ；又 1 4 3 2 n n n at a a 恒成立，即60 n at ，即6 n ta，则3t；综上所述，实数t的取值范围为( 1，3 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知复数 1 1zi ， 12 2z zi，则复数 2 z 31 22 i 第 11 页（共 20 页）【解答】解： 1 1zi ， 12 2z zi， 2 1 22(2)(1)31 1(1)(1)22 ii

18、ii zi ziii 故答案为： 31 22 i 12 （6 分）设直线ykx与圆 22 :(2)1Cxy相交于A，B两点，若|3AB ，则k 15 15 ，当k变化时，弦AB中点轨迹的长度是【解答】解：直线ykx与圆 22 :(2)1Cxy相交于A，B两点， 2 2 |2 | |32 1() 1 k AB k ，得 15 15 k ，设AB的中点为( , )M x y， 22 (2)1 ykx xy 得 22 (1)430kxx， 12 2 4 1 xx k ， AB的中点M坐标为 2 2 (1 k ， 2 2 ) 1 k k ，由 2 16 12(1) 0k，即 2 1 3 k ，所

19、以 2 23 12 x k ，设( , )M x y，由 y k x ，代入 22 2 22 1 1 x yk x ，化简得： 22 20xyx，即 22 (1)1xy，弦AB的中点为 3 2 x，2的一段弧长，长度为 2 3 ，故答案为： 15 15 ； 2 3 13 （6 分）设随机变量的分布列是第 12 页（共 20 页） 1 0 1 P a 1 3 b 若 1 3 E，则b 1 2 ，D 【解答】解：由题设知： 1 1 3 11 ( 1)01 33 ab ab ，解得 1 6 a ， 1 2 b ， 222 1111115 ( 1)(0)(1) 3633329 D 故答案为

20、： 1 2 ， 5 9 14（6 分）在ABC中，4BC ，135B，点D在线段AC上，满足BDBC，且2BD ，则cos A 3 10 10 ，AD 【解答】解：如图所示， ABC中，4BC ，135B，BDBC，且2BD ，则 22 4 162 5CDBDBC；所以 25 sin 52 5 C ， 42 5 cos 52 5 C ； 2522 53 10 coscos(135)cos135 cossin135 sin() 252510 ACCC ； 22 3 1010 sin1cos1() 1010 AA， sinsin135 BCAC A ， 4 102 102 AC ，4

21、 5AC ， 4 52 52 5ADACCD 故答案为： 3 10 10 ，2 5 第 13 页（共 20 页） 15 （6 分）已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的右焦点( ,0)F c关于直线 b yx a 的对称点在直线 2 a x c 上，则该双曲线的离心率为 3 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为直线 b yx a ，设( ,0)F c关于直线0bxay的对称点为( , )A m n，0m ，双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的右焦点( ,0)F c关于直线 b yx a 的对称点在直线 2 a x c 上，则 22 mn

22、c，且 na mcb ，解得： 2422222 ()aac abab m cc ， 2ab n c ，右焦点( ,0)F c关于直线 b yx a 的对称点在直线直线 2 a x c ，可得 222 baa cc ，化简可得： 22 3ca，即有 2 3e ，解得3e 故答案为：3 16 （6 分）已知正三角形ABC的边长为 4，P是平面ABC内一点，且满足 3 APB ，则 PB AC的最大值是 16 3 8 3 ，最小值是【解答】解：如图，作ABC的外接圆，取优弧ACB，再作此圆弧关于直线AB对称的优弧，即点P的轨迹由这两段优弧组成，过点B作直线AC的垂线，垂足为

23、B，过点P作直线AC的垂线，垂足为P，设两圆的圆心分别为 1 O， 2 O，过 1 O， 2 O分别作AC的平行线，与对应的优弧的交点分别为 1 P， 2 P，第 14 页（共 20 页）为使PB AC最大，则点P应处于 2 P的位置，注意到 2 O AAC，且由正弦定理可得两圆的半径均为 24 3 sin 3 ，所以此时PB AC的值为 416 3 4 (2)8 33 ；同理，为使PB AC最小，则点P应处于 1 P的位置，则此时PB AC的值为 416 3 4 33 ；故答案为： 16 3 8 3 ， 16 3 3 17 （6 分）设实数a，b满足：13b a剟?，则 22

24、1ab ab 的取值范围为 1，4 3 1) 3 【解答】解：由13b剟，13a剟，可得13ab剟，由13b剟，13a剟，b a，可得 31 1 3a 剟，1 b a ，即有 3 1 3 b a 剟，则 22 11 211 ababa b abbaabb a ，当且仅当1ab取得最小值 1；又 1ab t bat 在 3 3 ，1递减，可得第 15 页（共 20 页） 134 3 3 33 t t ，当且仅当3a ，1b 取得等号， 11 3ab ，当3ab时取得等号，由于的等号不同时成立，可得 14 31 33 ab baab ，综上可得， 22 1ab ab 的取值范围是

25、1， 4 31) 3 故答案为：1， 4 31) 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明或演算步骤分解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 18已知函数 2 ( )sin(2)2 3sin 3 f xxx （）求 3 () 4 f的值；（）求( )f x的最小正周期和单调递增区间【解答】解：（1）由函数 2 ( )sin(2)2 3sin 3 f xxx ，则 22 3331 ()sin()2 3sincos2 3sin3 4234342 f ；（） 1cos213 ()sin2coscos2sin23sin2cos23si

26、n(2)3 332223 x fxxxxxx ，所以( )f x的最小正周期为 2 T ，由222 232 kxk 剟得， 5 1212 kx k 剟，所以函数( )f x的递增区间是 5 ,() 1212 kkkZ 19如图，三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，90CBD，E，F分别是BD， CD的中点，且ABBEAEBC （）证明：ACAD；（）求AF与平面ACE所成角的余弦值第 16 页（共 20 页）【解答】解：（1）因为平面ABD 平面BCD，且BCBD，所以BC 平面ABD，所以BCAD，又由于EAEBED，所以ADBC，所以AD 平面ABC，所以ADAC

27、（2）取BE中点G，连接GF与CE相交于H，由于平面ABD 平面BCD，且AGBD，所以AG 平面BCD，所以AGCE，又GFCE，所以CE 平面AFG，所以平面ACE 平面AFG，所以AF在平面ACE上的射影在直线AH上，则FAH即为AF与平面ACE所成角设1BC ，ABBEAEBC 3 2 AG ， 3 2 DG ，5DC ， 2 2 GF ， 325 442 AF ， 2 4 HFGH， 22 14 4 AHAGGH，由余弦定理可得： 222 4 70 cos 235 AHAFHF FAH AH AF 所以AF与平面ACF所成角的余弦值为 4 70 35 第 17 页（共

28、 20 页） 20设等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 3a ， 45 2(1)Sa，数列 n b的前n项和为 n T，满足 1 1b ， * 11( ) nn n bTTnN （）求数列 n a、 n b的通项公式；（）记 n n n a c T ， * nN，证明： 12 2 (21) 4 n cccnn 【解答】解：（）设首项为 1 a，公差为d，则 1 11 3 462(41) ad adad ，解得 1 1a ，2d ，故21 n an ，由 11nnn bT T ，得 1 11 1 nn TT ， 1 1T ，所以 1 n n T ，即 1 n T n ，所以

29、1 1 (2) (1) nnn bTTn n n ，故 1,1 1 ,2 (1) n n b n n n （）证明：由（1）知(21 ) n cn n，用数学归纳法证明： 12 2 (21) 4 n cccnn，当1n 时，左边1，右边 3 2 4 ，不等式成立，假设nk时成立，即 12 2 (21) 4 k ccckk，即当1nk时， 21 221 (21)(1)(21) (21)4 (1)() 442 kk cccckkkkkkkk 2222 23123122 (21)424 ()(243)(1)(23) 422441644 kkkkkkkkkkkk 即当1nk时，不等式也成立第

30、18 页（共 20 页）由，可知，不等式 12 2 (1) 2 n cccn n对任意 * nN都成立 21已知抛物线 2 :2(0)C xpy p，直线yx截抛物线C所得弦长为2 （）求p的值；（）若直角三角形APB的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为 1，过点A、 B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q 若直线AB经过点(0,3)，求点Q的纵坐标；求 PAB QAB S S 的最大值及此时点Q的坐标【解答】解：（） 2 2 yx xpy ，解得两交点为(0,0)，(2 ,2 )pp 所以 22 (20)(20)2pp， 1 2 p （）设点 2 11 ( ,)A

31、 x x， 2 22 (,)B x x，( , )Q m n切线 2 11 :2QA yx xx， 2 22 :2QB yx xx，由题设知 2 11 2nxmx， 2 22 2nx mx，即 1 x， 2 x是方程 2 20xmxn的两根，于是 12 2xxm， 12 x xn 故直线:20ABmxyn又因为直线AB经过点(0,3)，所以3n ，即点Q的纵坐标为3 由题设知 2 APB ，即0220PA PBmn 则 22 |21|46| |2|4 PAB QAB Smnn Smnnn ，第 19 页（共 20 页）若460n ，令23(0)tnt ， 2 881 25 6252

32、6 PAB QAB St Stt t t ，若460n ，令230tn， 2 88 2 25 625 6 PAB QAB St Stt t t ，当且仅当5t ，1n 时，等号成立，此时点Q的坐标为 3 (,1) 2 22设函数( )2 (0) ax f xex a （）当2a ，求函数( )f x的单调区间；（）当 11 2 a 时，若对任意(x ，0，均有 2 ( )(1) 2 a f xx，求a的取值范围【解答】解：（1）当2a 时，函数 2 ( )2 x f xex ， 2 ( )22 x fxe，由于(0)0 f ，且函数( )fx单调递增，所以当0x 时，( )0fx

33、，当0x 时，( )0fx，故函数的单调递减区间是(,0)，递增区间是(0,) （2）由（1）可知，2a ，函数( )f x在0x 是减函数，所以 11 2 2 a因为 22 ( )(1)(2)1 222 ax aaa f xxexx，令 2 ( )(2) 22 ax aa g xexx，则 22 2 ( )(2) 22 ax aa g xxaxe，由 22 2 20 22 aa xax，解得 2 0 15a x a ，故( )g x在 0 (,)x单调递增，在 0 (x，0)单调递减，所以 2 0 2 15 00 215 ( )()() axa max a g xg xx ee aa ，下面证明当 11 2 2 a时， 2 2 15 15 1 a a e a ，即 2 2 51 15 a a e a ，令 2 3 5(1, ) 2 ta，即证 1 2 1 5 t t e t ， 2 11 5 t t e e t ，令 2 1 ( ) 5 t t h te t ， 2 22 4 ( )0 5(5) t tt h tte tt ，( )h t在区间 3 (1,) 2 单调递减，则 1 ( )(1)h th e 第 20 页（共 20 页）综上所述当 11 2 2 a时，对任意(x ，0，均有 2 ( )(1) 2 a f xx

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