2019-2020学年浙江省温州市新力量联盟高三(上)期末数学试卷.docx

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1、 第 1 页(共 20 页) 2019-2020 学年浙江省温州市新力量联盟高三(上)期末数学试学年浙江省温州市新力量联盟高三(上)期末数学试 卷卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一有一-项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (4 分)若 | 22Mxx 剟, 2 |log (1)Nx yx,则(MN ) A | 20xx B | 10xx C | 20xx D |12xx 2 (4 分)已知双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6

2、 ,则双曲线的离心率为( ) A 2 3 3 B 2 6 3 C3 D2 3 (4 分)设x、y满足约束条件 36 0 2 0 0,0 xy xy xy 厖 ,若目标函数(0,0)zaxby ab的最大 值为 12,则 23 ab 的最小值为( ) A 8 3 B 25 6 C 11 3 D4 4 (4 分)如图,网格纸上小正方形的边长 1,粗线描绘的是某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为( ) A14 3 B5 C16 3 D17 3 5 (4 分)函数 32 (1)yxlnxx 的图象大致为( ) 第 2 页(共 20 页) A B C D 6 (4 分)已知0a 且1a ,则“l

3、og ()1 a ab”是“(1)0ab “成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 (4 分)若用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位 数,则这样的六位数共有( )个 A120 B132 C144 D156 8 (4 分)随机变量X的分布列如下: X 1 2 3 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则()D X的最大值为( ) A 2 9 B 5 9 C 3 4 D 2 3 9 (4 分)正四面体ABCD中,CD在平面内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD 旋转的过程中,直线BE与平面所成角的

4、余弦值不可能是( ) A 1 6 B 3 6 C 1 3 D1 10 (4 分)已知数列 n a满足: 1 aa, 1 58 (*) 1 n n n a anN a ,若对任意的正整数n,都 第 3 页(共 20 页) 有3 n a ,则实数a的取值范围( ) A(0,3) B(3,) C3,4) D4,) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分 11 (6 分)已知复数 1 () ai zaR i 的实部为3,则a | z 12 (6 分)设函数 2 ,0 ( ) 1 ,0 4 x ex

5、f x xxx 则 (0)f f ;若方程( )f xb有且仅有 3 个不同的实数根,则实数b的取值范围是 13 (6 分) 6 (2)(1)xx展开式中, 3 x项的系数为 ;所有项系数的和为 14 (6 分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知2 3b ,3c , 3AC,则cosC , ABC S 15 (4 分)直线 1 与抛物线 2 4yx交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB的斜 率之积为1,以线段AB的中点为圆心,2为半径的圆与直线 1 交于P,Q两点,则 22 |OPOQ的最小值为 16(4 分) 在ABC中,1ACBC,3AB , 且C E x C A

6、,CFyCB, 其中x,(0,1)y, 且41xy,若M,N分别为线段EF,AB中点,当线段MN取最小值时xy 17 (4 分) 已知函数( )| 2f xx xax, 若存在(2a,3, 使得关于x的函数( )yf xtf (a)有三个不同的零点,则实数t的取值范围是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 (14 分)已知函数 2 ( )3cossincos(0)f xxxx的周期为 (1)当0, 2 x 时,求函数( )f x的值域; (2) 已知ABC的内角A,B

7、,C对应的边分别为a,b,c, 若( )3 2 A f, 且4a ,5bc, 求ABC的面积 19(15 分) 如图, 在四棱锥PABCD中,/ /ABCD,1AB ,3CD ,2AP ,2 3DP , 60PAD,AB 平面PAD,点M在棱PC上 ()求证:平面PAB 平面PCD; 第 4 页(共 20 页) ()若直线/ /PA平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值 20 (15 分)已知数列 n a是等差数列, n S为其前n项和,且 52 3aa, 72 147Sa ()求数列 n a的通项公式; () 设数列 nn ab是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, 求数列(

8、) nnn b ab的前n项和 n T 21 (15 分)已知抛物线 2 1: Cxpy过点(2,1),椭圆 2 C的两个焦点分别为 1 F, 2 F,其中 2 F 与抛物线 1 C的焦点重合,过 1 F与长轴垂直的直线交椭圆 2 C于A,B两点且| 3AB (1)求 1 C与 2 C的方程; (2)若曲线 3 C是以原点为圆心,以 1 |OF为半径的圆,动直线 1 与圆 3 C相切,且与椭圆 2 C 交于M,N两点,OMN的面积为S,求S的取值范围 22 (15 分)已知函数 2 1 ( )(1) () 2 f xlnxaxax aR (1)当1a时,函数( )f x在区间1, e上的最小值

9、为5,求a的值; (2)设 32 11 ( )( )(1) 22 g xxf xaxaxx,且( )g x有两个极值点 1 x, 2 x ( ) i求实数a的取值范围: ( )ii证明: 2 1 2 x xe 第 5 页(共 20 页) 2019-2020 学年浙江省温州市新力量联盟高三(上)期末数学试学年浙江省温州市新力量联盟高三(上)期末数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一有一-项是符合题目要求的项是符合题目

10、要求的. 1 (4 分)若 | 22Mxx 剟, 2 |log (1)Nx yx,则(MN ) A | 20xx B | 10xx C | 20xx D |12xx 【解答】解:由N中 2 log (1)yx,得到10x , 解得:1x ,即 |1Nx x, | 22Mxx 剟, |12MNxx , 故选:D 2 (4 分)已知双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6 ,则双曲线的离心率为( ) A 2 3 3 B 2 6 3 C3 D2 【解答】解:双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6 , 则 3 tan 63 , 所以该条渐近线方程为 3 3

11、 yx; 所以 23 3a , 解得6a ; 所以 22 622 2cab, 所以双曲线的离心率为 2 22 3 36 c e a 故选:A 3 (4 分)设x、y满足约束条件 36 0 2 0 0,0 xy xy xy 厖 ,若目标函数(0,0)zaxby ab的最大 第 6 页(共 20 页) 值为 12,则 23 ab 的最小值为( ) A 8 3 B 25 6 C 11 3 D4 【解答】解:不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线(0,0)axbyz ab 过直线20xy与直线360xy的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)zaxby ab取得最大 12, 即4612ab,

12、即236ab,而 232323 () 6 ab abab 131325 ()2 666 ab ba ,当且仅当 6 5 ab,取最小值 25 6 故选:B 4 (4 分)如图,网格纸上小正方形的边长 1,粗线描绘的是某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为( ) A14 3 B5 C16 3 D17 3 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为下面是一个圆台,上面是一 个半球体 第 7 页(共 20 页) 所以: 32222 2116 1(2211 )2 333 V 故选:C 5 (4 分)函数 32 (1)yxlnxx 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解:由题

13、意, 32 ()()(1)( )fxxlnxxf x ,函数是奇函数, f(1)0,f(2)8( 52)0ln, 故选:C 6 (4 分)已知0a 且1a ,则“log ()1 a ab”是“(1)0ab “成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解: 01 log ()1 0 a a ab aba ,或 1a aba 化为:10ab ,10ab “log ()1 a ab”是“(1)0ab “成立的必要不充分条件 故选:B 7 (4 分)若用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位 数,则这样的六位数

14、共有( )个 A120 B132 C144 D156 【解答】解:根据题意, 第 8 页(共 20 页) 先将 3 个偶数排除一排,有 3 3 A种情况,排好后 4 个空, 再把 3 个奇数插入到 4 个空位中,则有 33 34 144A A 种情况, 其中 0 在首位的有 23 23 12A A 种情况, 则有14412132种符合题意的情况,即奇数数字互不相邻的六位数有 132 个; 故选:B 8 (4 分)随机变量X的分布列如下: X 1 2 3 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则()D X的最大值为( ) A 2 9 B 5 9 C 3 4 D 2 3 【解答】解:由题意可得

15、:2bac,又1abc,(0 a,b,1)c , 联立解得 1 3 b , 2 3 ca, 28 ()2332 33 E Xabccaa, 2 422 ()49698 33 E Xabcaaa, 2222 228122 ()()()8(2 )4() 33333 D XE XEXaaa , 当 1 3 abc时取等号 因此()D X的最大值为 2 3 故选:D 9 (4 分)正四面体ABCD中,CD在平面内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD 旋转的过程中,直线BE与平面所成角的余弦值不可能是( ) A 1 6 B 3 6 C 1 3 D1 【解答】解:平面绕着CD旋转,其垂线也绕着CD旋转

16、,如右图, 第 9 页(共 20 页) 取AD中点F,连结EF,则/ /EFCD, 等价于平面绕着EF旋转, 设正四面体ABCD中棱长为 2, 在BEF中,3BEBF,1EF , 3 1 33 cos 623 1 BEF , 如右图,将问题抽象为几何模型, 平面的垂线可视为圆锥的底面半径EP, 绕着圆锥的轴EF旋转, 则 22 BEFMEB 剟, 3 sin1 6 MEB剟, 在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面所成角的余弦值不可能是 1 6 故选:A 10 (4 分)已知数列 n a满足: 1 aa, 1 58 (*) 1 n n n a anN a ,若对任意的正整数n,都 有3

17、n a ,则实数a的取值范围( ) A(0,3) B(3,) C3,4) D4,) 【解答】解: 1 585(1)33 5(3) 111 nn nn nnn aa aa aaa , 又 3 5 1 y x 在区间(3,)上单调递增, 11 3 nn aaaa , 第 10 页(共 20 页) 实数a的取值范围(3,), 故选:B 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分 11 (6 分)已知复数 1 () ai zaR i 的实部为3,则a 3 | z 【解答】解: 2 1(1)()aiaii

18、 zai ii 的实部为3, 3a, 则 22 | |3|( 3)( 1)2zi 故答案为:3;2 12 (6 分)设函数 2 ,0 ( ) 1 ,0 4 x ex f x xxx 则 (0)f f 1 4 ;若方程( )f xb有且仅有 3 个不同的实数根,则实数b的取值范围是 【解答】解:函数 2 ,0 ( ) 1 ,0 4 x ex f x xxx 则 0 (0)()f ff ef(1) 1 4 0x时,( ) 1f x ,0x , 2 1 ( ) 4 f xxx ,对称轴为: 1 2 x ,开口向下, 函数的最大值为: 11111 ( ) 24242 f ,0x 时, 1 (0) 4

19、f, 方程( )f xb有且仅有 3 个不同的实数根,则实数b的取值范围是: 1 ( 4 , 1 ) 2 故答案为: 1 4 ; 1 ( 4 , 1 ) 2 第 11 页(共 20 页) 13 (6 分) 6 (2)(1)xx展开式中, 3 x项的系数为 55 ;所有项系数的和为 【解答】解: 623 (2)(1)(2)(1 61520)xxxxxx, 展开式中 3 x项的系数为1522055; 所有项系数的和为 6 (12) (1 1)192 故答案为:55,192 14 (6 分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知2 3b ,3c , 3AC,则cosC 3 3 , AB

20、C S 【解答】解:由于3AC, 则:3ABCAC, 解得:2BC 由于:2 3b ,3c , 利用正弦定理: sinsin bc BC , 则: sin2sin bc CC , 整理得: 2 33 2sincossinCCC , 解得: 3 cos 3 C , 222 cos 2 abc C ab , 解得:1a , 第 12 页(共 20 页) 所以: 6 sin 3 C , 则: 116 sin1 2 32 223 ABC Sa bC 15 (4 分)直线 1 与抛物线 2 4yx交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB的斜 率之积为1,以线段AB的中点为圆心,2为半径的圆与直线 1

21、 交于P,Q两点,则 22 |OPOQ的最小值为 36 【解答】解:由题意可得直的斜率不为 0,设直线方程为:xmyb,0b , 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 联立与抛物线的方程: 2 4yx xmyb ,整理得: 2 440ymyb, 12 4yym, 12 4y yb , 2 212 12 () 16 y y x xb, 2 1212 ()242xxm yybmb, 因为直线OA,OB的斜率之积为1,所以OA与OB垂直,即0OA OB , 所以: 2 40bb,解得4b , 所以 12 4yym, 2 12 48xxm, 12 16y y , 所以AB的中点坐标为

22、: 2 (24m ,2 )m, 所以以PQ为直径的圆为: 222 (24)(2 )2xmym, 将直线4xmy代入圆的方程: 22242 (1)4 (1)4420mym mymm, 设 3 (P x, 3) y, 4 (Q x, 4) y, 所以可得 34 4yym, 42 34 2 442 1 mm y y m , 则 2222222222 33443344 |(4)(4)OPOQxyxymyymyy 22222 343434 ()8 ()32myym yyyy 222 3434 (1)()8 ()32myym yy 22 343434 (1)()28 ()32myyy ym yy 42 2

23、22 2 884 (1)163232 1 mm mmm m 第 13 页(共 20 页) 42 84036 36mm, 当且仅当0m 时,则 22 |OPOQ最小为 36, 故答案为:36 16(4 分) 在ABC中,1ACBC,3AB , 且C E x C A ,CFyCB, 其中x,(0,1)y, 且41xy, 若M,N分别为线段EF,AB中点, 当线段MN取最小值时xy 4 7 【解答】解:连接CM、CN,如图所示; 等 腰 三 角 形ABC中 ,1A CB C,3AB , 由 余 弦 定 理 得 , 222 1 1 31 cos120 222 CACBAB CACB CA CB , |

24、 |cos1201CA CBCACB ; 又CM是CEF的中线, 11 ()() 22 CMCECFxCAyCB 同理,可得 1 () 2 CNCACB, 由此可得 11 (1)(1) 22 MNCNCMx CAy CB, 2 22 111 (1)(1)(1)( 1)(1) 424 MNxxyy ; 又41xy,14xy , 代入上式得 2 222 12131 4(1)(1) 4424 MNyyyyyy; 又x,(0,1)y, 当 3 1 2 21 7 2 4 y 时, 2 MN取得最小值,即线段MN取最小值,此时 3 14 7 xy ; 4 7 xy 故答案为: 4 7 第 14 页(共 2

25、0 页) 17 (4 分) 已知函数( )| 2f xx xax, 若存在(2a,3, 使得关于x的函数( )yf xtf (a)有三个不同的零点,则实数t的取值范围是 25 (1,) 24 【解答】解: 2 2 (2) , ( )| 2 (2) , xax x a f xx xax xax xa , 若2a,则 22 22 aa a , ( )f x在a,)为增函数,在 2 (, 2 a 上为增函数,在 2 (, ) 2 a a 为减函数 ( )yf xtf(a) 有三个不同的零点, ( )yf x与直线ytf(a)有三个不同的交点, 故 2 2 2(2) 2( )() 22 aa atf

26、a 在(2,3有解, 整理得 2 (2) 22 4 a aat ,即 2 (2)14 1(4) 88 a ta aa 23a , 1425 (4) 824 a a , 25 1 24 t t的取值范围是 25 (1,) 24 故答案为: 25 (1,) 24 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 (14 分)已知函数 2 ( )3cossincos(0)f xxxx的周期为 (1)当0, 2 x 时,求函数( )f x的值域; (2) 已知ABC的内角A,B,C对应的边

27、分别为a,b,c, 若( )3 2 A f, 且4a ,5bc, 求ABC的面积 【解答】解: (1) 313 ( )(1cos2)sin2sin(2) 2232 f xxxx ,( )f x的周期 为,且0, 第 15 页(共 20 页) 2 2 ,解得1, 3 ( )sin(2) 32 f xx 又0 2 x 剟,得 4 2 333 x 剟, 3 sin(2) 1 23 x 剟, 33 0 sin(2)1 322 x 剟, 即函数( )f x在0, 2 上的值域为 3 0,1 2 (2)()3 2 A f, 3 sin() 32 A ,由(0, )A,知 4 333 A , 解得: 2 3

28、3 A ,所以 3 A 由余弦定理知: 222 2cosabcbcA,即 22 16bcbc, 2 16()3bcbc 因为5bc,所以3bc , 13 sin3 24 ABC SbcA 19(15 分) 如图, 在四棱锥PABCD中,/ /ABCD,1AB ,3CD ,2AP ,2 3DP , 60PAD,AB 平面PAD,点M在棱PC上 ()求证:平面PAB 平面PCD; ()若直线/ /PA平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值 【解答】证明: ()AB 平面PAD,ABDP, 2 3DP ,2AP ,60PAD, 由 sinsin PDPA PADPDA ,可得 1 si

29、n 2 PDA,30PDA, 90APD,DPAP, ABAPA,DP平面PAB, DP平面PCD,平面PAB 平面PCD 解: ()以A为原点,在平面APD中过A作AD的垂线为x轴,AD为y轴,AB为z轴, 建立空间直角坐标系, 则(0A,0,0),(0C,4,3),(0D,4,0),( 3P,1,0),(0B,0,1), 第 16 页(共 20 页) 连结AC,与BD交于点N,连结MN, / /PA平面MBD,MN为平面PAC与平面MBD的交线, / /PAMN, MCNC MPNA , 在四边形ABCD中,/ /ABCD,ABNCDN, 3 NCCD NAAB ,3 MC MP , 1

30、4 PMPC, 3 3 ( 4 M, 7 4 , 3) 4 , ( 3BP ,1,1),(0BD ,4,1), 3 3 ( 4 BM , 7 4 , 1) 4 , 设平面MBD的法向量(nx,y,) z, 则 40 3 371 0 444 n BDyz n BMxyz ,取1y ,得 3 ( 3 n ,1,4), 设直线BP与平面MBD所成角为, 则 |42 195 sin 65| |52 5 3 BP n BPn 直线BP与平面MBD所成角的正弦值为 2 195 65 20 (15 分)已知数列 n a是等差数列, n S为其前n项和,且 52 3aa, 72 147Sa ()求数列 n a

31、的通项公式; () 设数列 nn ab是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, 求数列() nnn b ab的前n项和 n T 【解答】解: ()数列 n a是公差为d的等差数列,且 52 3aa, 72 147Sa, 可得 11 43()adad, 11 72114()7adad, 解得 1 1a ,2d , 第 17 页(共 20 页) 则21 n an; ()数列 nn ab是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 可得 1 2n nn ab ,可得 1 2(21) n n bn , 则 11 ()4(21) 2 nn nnn b abn , 设 01 1 23 2(21) 2n n Kn

32、 , 2 21 22 2(21) 2n n Kn, 相减可得 21 12(222)(21) 2 nn n Kn 1 2(12) 12(21) 2 12 n n n , 化简可得3(23) 2n n Kn , 则前n项和 14 3(23) 2 14 n n n Tn 410 (23) 2 3 n n n 21 (15 分)已知抛物线 2 1: Cxpy过点(2,1),椭圆 2 C的两个焦点分别为 1 F, 2 F,其中 2 F 与抛物线 1 C的焦点重合,过 1 F与长轴垂直的直线交椭圆 2 C于A,B两点且| 3AB (1)求 1 C与 2 C的方程; (2)若曲线 3 C是以原点为圆心,以

33、1 |OF为半径的圆,动直线 1 与圆 3 C相切,且与椭圆 2 C 交于M,N两点,OMN的面积为S,求S的取值范围 【解答】解: (1)由已知设抛物线 1 C的方程为 2 xpy,0p , 则4p , 则 1 C的方程为 2 4xy, 则 2(0,1) F,不妨设椭圆 2 C的方程为 22 22 1 yx ab ,0ab, 由 22 22 1 1 yx ab y ,可得 2 b x a , 第 18 页(共 20 页) 2 2 |3 b AB a ,由 22 1ab, 解得2a ,3b , 故椭圆 2 C的方程为 22 1 43 yx , 易知 1 | 1OF , 3 C的标准方程为 22

34、 1xy (2)直线l与 3 C相切,可得圆心到直线l的距离为 1, 1| | 1 22 MN SMN , 当直线l的斜率不存在时,其方程为1x ,易知两种情况所得的三角形的面积相等, 由 22 1 43 1 yx x ,可得 2 6 3 y , 不妨设 2 6 (1,) 3 M, 2 6 (1,) 3 N,则 4 6 | 3 MN 此时 2 6 3 S ; 当直线l的斜率存在时,不妨设直线方程为ykxm, 则 2 | 1 1 m k 即 22 1mk, 由 22 1 43 yx ykxm ,可得 22 (3 24)63120kxkmxm, 由 2222222 364(34)(312)48(4

35、3)48(23)0k mkmkmk恒成立, 设 3 (M x, 3) y, 4 (N x, 4) y, 34 2 6 34 km xx k , 2 34 2 312 34 m x x k , 222 22222 3434 2222 48(23)|116312123 1()41()41 222343423434 kMNkmmk Skxxx xkk kkkk , 令 2 34(4)kt t,则 2 4 3 t k , 第 19 页(共 20 页) 2 2 2 2 3212 311 ( )2 33 tt S ttt , 令 1 n t ,则(0n, 1 4 , 易知 2 2ynn在区间(0, 1 4

36、 上单调递减,故 32 6 23 S , 综上OMN的面积S的取值范围为 3 2 , 2 6 3 22 (15 分)已知函数 2 1 ( )(1) () 2 f xlnxaxax aR (1)当1a时,函数( )f x在区间1, e上的最小值为5,求a的值; (2)设 32 11 ( )( )(1) 22 g xxf xaxaxx,且( )g x有两个极值点 1 x, 2 x ( ) i求实数a的取值范围: ( )ii证明: 2 1 2 x xe 【解答】解: (1) 1(1)(1) ( )(1) xax fxaxa xx , ( )yf x在1, e上是单调递增的, ( )(1)15 2 m

37、in a f xf ,8a (2) 322 111 ( )( )( )(1)(1) 222 ig xxf xaxaxxxlnxaxx ( )(1)g xlnxax 方程(1)0lnxax有两个不同实根 1 x, 2 x,得1 lnx a x 令( ) lnx h x x , 2 1 ( ) lnx h x x ( )yh x在(0, ) e上单调递增,在( ,)e 上单调递减 1 ,xeyh x e 时取得最大值为又h(1)0,当01x,( )0h x ,当1x 时, ( )0h x 11 01,11aa ee 即 ( )ii由( ) i 可知, 11 22 (1) (1) lnxax lnx

38、ax , 两式相加,得 1212 ()(1)()ln x xaxx(1) 第 20 页(共 20 页) 两式相减,得 2 21 1 (1)() x lnaxx x (2) (1) (2) ,得 1212 2 21 1 ()ln x xxx x xx ln x ,不妨设 21 xx, 要证: 2 1 2 x xe,只需证 212 12 211 ()2 xxx ln x xln xxx 即证 2 2211 2 121 1 2(1) 2() 1 x xxxx ln x xxx x , 令 2 1 ,1 x tt x , 则只需证 2(1) ,1 1 t lntt t 令 2(1)4 ( )2,1 11 t F tlntlntt tt 2 22 14(1) ( )0 ( _1)(1) t F t ttt t ( )(1yF t,),F(1)0,( )F tF(1)0,本 2(1) 1 t lnt t , 2 1 2 x xe

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