1、第第6章章 空间解析几何与多元函数微积分空间解析几何与多元函数微积分以前我们讨论的函数只依赖于一个自变量，但在自然科学和工程技术上常常会遇到依赖于两个或更多个自变量的函数，这种函数称为多元函数本章先介绍空间解析几何的初步知识，然后在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念、多元函数的微积分法及其应用学习本章时，在方法上要注意二维向量与三维向量及一元函数与二元函数之间的异同点，以便更好地掌握多元函数微积分法的基本概念和方法 6.1 空间解析几何初步6.2 多元函数6.3 偏导数与全微分6.4 多元函数的极值和最值6.5 二重积分6.6 二重积分的计算与应用6.1 空间解析几何初步空间解析几何初步
2、6.1.1 空间直角坐标系1.空间直角坐标系的概念2.空间点的直角坐标xyzM0 xA0yB0zCxyz6.1.2 向量及其运算1.向量的概念在研究力学、物理学及其他一些实际问题时,我们经常遇到这样一类量,它既有大小又有方向,我们把这一类量叫做向量向量,如力、速度、位移等.向量的表示：向量的表示：ABa,b,ccba,向量的模：向量的模：AB单位向量：单位向量：模等于模等于1的向量。的向量。零向量：零向量：模为模为0的向量。的向量。向量平行：向量平行：ab向径：向径：aOMxyzrOM如图，称 为向径，通常记作r.记a（x,y,z）.向量，向径，坐标之间有一一对应的关系。a2.向量的线性运算（
3、1）向量的加法：c=a+b加法运算定律：加法运算定律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).(2)向量的减法：a-b=a+(-b)ABCa+bababbabab（3）向量的数乘：a实数向量数乘运算定律：数乘运算定律：结合律：()a=(a)=(a);分配律：(a+b)=a+b,(+)a=a+a定理定理1 1：设向量a0，则向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数,使b=a.(4)坐标基本向量及向量关于基本向量的分解坐标基本向量及向量关于基本向量的分解坐标基本向量：i=(1,0,0);j=(0,1,0);k=(0,0,1)a=(x,y,z)=xi+yj+zkxyzOM
4、aijkxiyjzk向量的坐标运算：aba+b),(111zyx),(222zyx),(212121zzyyxx例1：设a=(0,-1,2),b=(-1,3,4),求a+b,2a-b.解：a+b=(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6);2a-b=(20,2(-1),22)-(-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0).例2：已知两点A(0,1,-4),B(2,3,0),试用坐标表示向量AB解：)4,2,2()4,1,0()0,3,2(OAOBAB3.向量的数量积向量的夹角:(a,b)或(b,a)向量垂直：ab定义定义1 设a,b是两个向量，它们的模及夹角
5、的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为ab，即 ababcos(a,b).坐标基本向量的数量积坐标基本向量的数量积：ii=jj=kk=1;ij=ji=ik=ki=jk=kj=0.数量积的性质：数量积的性质：aa=;a0=0,其中0是零向量;ab=ba;(a)b=a(b)=(ab),其中是任意实数;(a+b)c=ac+bc2a2a向量的数量积不满足结合律例3 已知(a,b)=,a=3,b=4,求向量c=3a+2b的模。32解：,|b|,|a|,ba,4332734443123922232cos|c|.|ba|c|7323把代入,即得所以,2222241294122323|b|ba,|b|a|
6、a|bbaababacc|c|cos9向量数量积的坐标运算：向量数量积的坐标运算：k,ji,a11111zyxzyx1kji,b22222zyxzyx2)(kji111zyx)(kji222zyx212121zzyyxxab.,001102113321MMM21MM32MM.例例4 已知三点求向量与的夹角.,01121MM10132,MM 2110101110011122222232213221|MMMMMMMMcos.3解：解：所以4.向量的向量积ba)sin(ba,bababa定义定义2 a,b两个向量的向量积是一个向量,记作,它的模为,它的方向与a,b所在的平面垂直,成右手系.且使a,b
7、,abba向量的向量积的运算性质：aa=0;a0=0;ab ba;(a)b=a(b)=(ab),(a+b)c=c=ac+bc,(a+b)c=c=ac+bc.坐标基本向量的向量积：ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j,向量的向量积不满足交换律，结合律向量积的坐标运算：k,ji,a11111zyxzyx1kji,b22222zyxzyx2kjikjiba221122112211222111yxyxxzxzzyzyzyxzyx)-,-,-(12211211221yxyxxzxzzyzy2222211,b,abajikjikjiba662211221222212222110
8、66,ba例例5 5 已知,求。.解：123200301,CBAabc|,|21BCABSABC,222101ACABBCABkjikji242222101.624221|21222BCABSABC例例6 6 已知三点,求解：解：由向量积的定义及几何意义知.的面积.5.向量的关系与判断（1）向量垂直及其判定定理定理2 两个非零向量a,b垂直 ab=0.k,ji,a11111zyxzyx1kji,b22222zyxzyx2212121zzyyxx定理定理2 设a,b垂直=0.（2）向量平行及其判定定理定理3 ab存在实数,使a b.定理定理4 4 ab ab=0.23121,b,ax21321
9、x2132例例7 已知两向量解解(1)由定理2知,当ab时,ab=(2)因为,由定理3知,无论x取何值,a与b都不平行.求x的值,若(1)ab;(2)ab.=0，即x=-8；6.1.3 空间平面及其方程1.平面的点法式方程),(0000zyxM),(CBAn),(zyxM0000zzCyyBxxA021,A131,n 00231zyx.053zyx例例8 求过点且以向量解：解：根据平面点法式方程,得所求平面为即 为法向量的平面方程.123200301,CBA,222101ACABBCABABAC242,nBCAB0320412zyx.04242zyx例例9 求过三点解：解：由于且垂直于和所确定
10、的平面,因此可取平面的法向量为所求平面方程为即的平面方程.2.平面的一般式方程0000zzCyyBxxA000CzByAxD令0000DCzByAx213,M0 ByAx213,M03BAAB3.03 yx例例10 求过z轴和点解解 由于平面通过z轴,因此,C=0,D=0,故可设所求方程为将点代入方程,得即所以所求方程为的平面方程.cRbQaP,0000000DCzByAx000DCcDBbDAa.,cDCbDBaDA1czbyax例例11 求过点解解 设平面方程为,将三点坐标代入方程得解之得代入方程,整理得所求平面方程为.的平面方程.6.1.4 空间直线及其方程1.空间直线的一般式方程211
11、01111DzCyBxA202222DzCyBxAll0022221111DzCyBxADzCyBxA过一条直线的平面有无数个,但只要在其中任取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组就表示空间直线l.2.空间直线的点向式方程与参数方程),(000zyxM0)(pnm,s),(zyxMpzznyymxx000点向式方程参数方程ptzzntyymtxx000例例12 求过点(1,3,-2)且垂直于平面 的直线方程.331321zyx0132zyx解解 由于所求直线与已知平面垂直,故平面的法向量与直线的 方向向量平行,所以所求直线的方向向量可取为,故所求的 直线方程为345121,BA264,s
12、AB216241zyx例例13 求过两点解解 由于直线过A,B两点,可取方向向量故所求的直线方程为 的直线方程.6.1.5 线、面的位置关系1.两平面的位置关系（1）平面间平行、垂直的判定及夹角计算 21,0022221111DzCyBxADzCyBxA22221111,CBACBAnn设两平面的方程为则它们的法向量分别为121n.212121212CCBBAA0nnn平面(若某个分母为0,则对应分子也为0,重合作为平行的特例)121n.00212121212CCBBAAnnn平面12121221212122222221212121212121,CBACBACCBBAANNcoscosnnnn
13、若,既不平行又不垂直,记(,)为,所成两面角的平面角(平面夹角),因为()所以.90,12,（2）点到平面的距离公式0DCzByAx:000zyxP,Q222000CBADCzByAxd1035623zyx2,056623zyx1511,PP2 372162356561213222d例例14 求两平行平面:解解 两平行平面的距离就是其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.取,点到平面的距离为.间的距离.2.两直线的位置关系两直线的位置关系(1)直线间平行、垂直的判定及夹角计算.21ll,111111pzznyymxx222222pzznyymxx22221111pnmpnm,s,s设直线的方程
14、为,方向向量为.1l2l0ss21212121ppnnmm直线.(若某个分母为0,则对应分子也为0,重合作为平行的特例)1l2l021ss0212121ppnnmm直线.21ll,21ll,21ll,21ll,2121s,s,cosllcos若既不平行又不垂直,记()为所成的角,简称夹角，（）90,则(2)点到直线的距离.pzznyymxxl000:000zyxP,PlQPQd Pl已知直线和直线外一点，过 作 的垂直平面,垂足为,称为到直线 的距离.Q000zyxP,pzznyymxxl000:11121zyxl:l112,s lQs02zyx0211121zyxzyx21210zyxQ21
15、210,2202102100222 PQd例例15：求原点到直线解解 直线的方向向量为,过原点作 的垂直平面垂足为,则就是的法向量,所以的方程为 解方程组得 所以点是 原点到直线的距离的距离.3.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系0DCzByAx:pzznyymxxl000:设有平面,直线 lsn.00CpBnAmns lsn.spCnBmA0n(若某个分母为0,则对应分子也为0,直线在平面上作为平行的特例)l20222222,sin;,2pnmCBACpBnAmcosnsns记,交角为则.012zyyxl:01zyx:l22122101210021101,kjikjis1,1,1N93
16、93221111212111222222arcsinsin,例例16求直线与平面之间的夹角解解 直线的方向向量平面的法向量所以由公式可得11.1返回返回6.2 多元函数多元函数6.2.1 多元函数概述多元函数概述0PxyO),(000yxPxOy若点是面上的一个点，我们把点集)()(|),(2020yyxxyx),(000yxP),(0PU叫做点的 邻域邻域，记为),(000yxP),(000yxP),(0PUo对于点的 邻域，当不包括点时，也称它为空心邻域空心邻域，记作 由xOy平面上的一条或几条曲线所围成的一部分平面或整个平面，称为xOy平面上的一个平面区域平面区域围成平面区域的曲线称为区
17、域边界区域边界.不包含边界的区域称为开区域开区域，包含全部边界的区域称为闭区域闭区域.包含部分边界的区域称为半开半闭半开半闭区域区域.若能找到适当长为半径的圆，使区域内的所有点都在该圆内，这样的区域称为有界区域有界区域.否则称为无界区域无界区域.x2yO1 有界，开区间xyO无界，开区间1.多元函数的定义S)0,0(,21haahs例例 三角形面积与其底长a，高h有下列依赖关系：VTkP 0,0VTTVT例例2一定质量的理想气体的压强P与体积V和绝对温度T之间满足下列确定性关系：其中k为常数，T，V为取值于集合的实数对.,x y z,x yDfz,x yD(,)zf x y定义定义3 设有三个
18、变量，如果对于变量，在它们内的每一对确定的值，按照某一对应法则，变量z都有唯一确定的值与之对应，则称为在上的二元函数二元函数，记作的变化范围二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数 2.二元函数的定义域实际问题：根据自变量所表示的实际意义确定函数的定义域；数学式函数：能使该数学式子有意义的那些自变量取值的全体 229zxy(0,1)f(1,1)f 例例3 求函数的定义域，并计算和 xyO3解解:函数的定义域为22(,)|9Dx yxy22(0,1)9012 2f22(1,1)9(1)17f 例例 求函数2222arcsin12xyzxy的定义域解解 函数的定义域为22(,)12Dx yxy
19、3.二元函数的几何意义例例5 作二元函数221zxy的图形1zOxy11221zxy 例例6 作二元函数22zxy的图形 yxzO22zxy6.2.2 二元函数的极限二元函数的极限(,)zf x y000(,)P xy(,)P x y000(,)P xy(,)f x yAA(,)zf x y),(),(00yxyx定义定义4 设函数在点的某一空心邻域内有定义，以任意方式趋近于点时，对应的函数值都趋近于一个确定的，那么称这个常数为函数当时的极限，记为如果在此邻域内的动点常数00(,)(,)lim(,)x yxyf x yAAyxfyyxx),(lim00AyxfPP),(lim0或，或xyyxy
20、x22)2,1(),(lim2222001lim()sinxyxyxy)(lim)(lim)2,1(),(22)2,1(),(xyyxyxyx252121limlimlimlim22)2,1(),()2,1(),(2)2,1(),(2)2,1(),(yxyxyxyxyxyx22rxy0,0 xy0r 2222001lim()sinxyxyxy01lim sin0rrr例例7 求下列极限 （2）解解 （1）原式=（2）令，则当时，故（1）222222 (0),(,)0,(0).xyxyxyf x yxy(,)(0 0)P x yO，(,)P x yykx(0,0)2(,)(,)(0)1kf x
21、yf x kxxk220 x11i l),(lim00kkkkmyxfyyxxk),(lim00yxfyyxx例例8 讨论二元函数当时，极限是否存在.沿直线趋于点时，此时所以可见其极限值是随直线斜率的不同而不同，因此不存在 解解 当6.2.3 二元函数的连续性二元函数的连续性(,)zf x y000(,)P xy(,)P x y000(,)P xy(,)zf x y(,)f x y000(,)P xy00(,)f xy0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy(,)f x y000(,)P xy定义定义5 设函数在点的某一邻域内有定义，趋近于点时，函数的极限等于在点处的函数值，即，则
22、称在点在点处连续处连续如果当邻域内的任意一点函数函数间断点：(,)zf x y000(,)P xy(,)zf x y如果函数在点处不连续，的间断点间断点 则称该点为函数(,)zf x y000(,)P xy（1）函数在点处无定义(,)P x y000(,)P xy(,)zf x y（2）当点趋于点时，函数的极限不存在(,)zf x y00(,)xy（3）函数在点处极限值不等于函数在该点的函数值22xzxy1ln22yxz例例 讨论下列函数的间断点(或间断线)：；（2）（1）220 xy22xzxyyxyx 解解（1）当时，函数无定义，和 所以直该函数有间断线0122 yx1ln22yxz012
23、2 yx（2）当时，函数无定义，所以圆周是该函数的间断线定义定义6 6 由变量,x y的基本初等函数及常数经过有限次的四则运算或复合而构成的，且用一个数学式子表示的二元函数称为二元初等函数二元初等函数(,)f x yD(,)f x yD性质性质(最值性质)如果函数在有界闭区域连续，则在上一定存在最大值和最小值 上(,)f x yD性质性质(介值性质)如果函数在有界闭区域上连续，(,)f x yDMm则在上一定可取得介于函数最大值与最小值之间的任何值 返回返回6.3 偏导数与全微分偏导数与全微分6.3.1 偏导数的概念及求法偏导数的概念及求法1偏导数的定义偏导数的定义(,)zf x y00(,)
24、xyy0yx0 xx0000(,)(,)f xx yf xy定义定义7 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而 在处有增量时，相应的函数有增量如果极限00000(,)(,)limxf xx yf xyx 存在，(,)zf x y00(,)xyx则称此极限值为函数在点处对对的的偏导数偏导数.记为00(,)xyzx00(,)xyfx),(00yxfx00(,)xzxy，或 00(,)xyzx00000(,)(,)limxf xx yf xyx 即),(yxfz),(00yxy类似地，函数在点处对对的偏导数的偏导数，定义为00(,)xyzy00000(,)(,)limyf xyyf xyy.2二
25、元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义yxzxT0MOyT0y0 x00(,0)xy00(,)xfxyxTM0 x对轴的斜率 表示00(,)yfxy表示 yTM0y对轴的斜率 偏导数的求法偏导数的求法xzyxx 要求，把看成常数，函数看成是以一元函数，然后对 求导数。为自变量的25222zx yyxxzyz2,1zx2,1zy例例1 设，求，及解解 552 2242zx yxyx2424252102zxyyx yyy5(2,1)4 2 1210zx 24(2,1)10 212 142zy ，)ln(22yxzyzx例例2 下列函数的偏导数 (2)(1)解解 (1)22222212()z
26、xxyxxyxxy22222212()zyxyyxyyxy(2)1,lnyyzzyxxxxyPVRTR1PVTVTP 例例3 已知理想气体的状态方程（是常数），证明：VRTP 2PRTVV PRTV VRTPRPVT TVPR证明证明，21PVTRTR VRTVTPVP RVP xyyx注意注意偏导数的记号是一个整体记号，不能理解为“分子”与“分母”之商。(,)zf u v,u v,u v,x y(,)ux y(,)vx yDyxyx),(),(,),(,)zfx yx y,x y(,)zf u v(,),(,)ux yvx y,u v,x y定义定义8 设是变量的函数，其定义域为，而又是变量
27、的函数，即，且，于是也是的函数，我们称它是由与复合而成的多元多元复合函数复合函数为中间变量中间变量，是自变量自变量(,),(,)ux yvx y(,)x y(,)zf u v(,)u v(,),(,)zfx yx y(,)x yzzuzvxuxvxzzuzvyuyvy定理定理5 设函数在点处偏导数存在，函数在对应点处可偏导，则复合函数在点处偏导数存在，且，yxyxz3222)34(xz2234yxuyxv32 vuz 1vuvuzuuvzvlnxxu82xv例例4 设，求解解 设，则于是，所以2ln81uuxuvxvvzxuuzxzvv)34ln()34(2)34()32(8223222132
28、22yxyxyxyxxyxyx22(,e)xyzf xyxzyz例例5 设，求，22,exyuxyv(,)zf u v2,2uuxyxy e,exyxyvvyxxy解解 设，则于是，所以2exyzzuzvzzxyxuxvxuv2exyzzuzvzzyxyuyvyuv,e,cos2tzuv uvtddzt例例6 设，求全导数 解解 ddde2(sin2)e(cos22sin2)dddttzzuzvvuttttutvt 22(1,1)zfxyxzyz例例7 设，求，221,1uxvy(,)zf u v解解 设，则2dd1zzuzxxuxux2dd1zzvzyyvyvy)(22yxfzf0yzxxz
29、y例例 设，是可偏导函数，求证：22yxu)(ufz 证明证明 设，则，dd2ddzzuzxxuxudd2ddzzuzyyuyu因此 dd220ddzzzzyxyxxyxyuu 222,zyxezyxfuyxzsin2yuxu,例例设函数，而，求.解解 xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin2222222221sin2222sin2422yxxeyxyx .yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yyxyeyxyxcossin24sin2422 隐函数的偏导数隐函数的偏导数(,)0F x y z(,)zf x y三元方程可以确定一个二元隐函数 且,yxzzFFz
30、zxFyF sin0 xxyye(,)sinxF x yxyyesinxxFyyecosxyFxye例例10 求由方程所确定的隐函数的导数，则，解解 设代入公式ddxyFyxF，得dsinedcosexxyyyxxy 3ezzxy(,)zf x yxy例例11 求由方程所确定的隐函数关于，的偏导数(,)F x y z 3ezzxy解解 设，则32,3,e1zxyzFyFxyF 32,3,e1zxyzFyFxyF 所以323,e1e1yxzzzzFFzyzxyxFyF 函数的偏导数与函数的连续性的关系函数的偏导数与函数的连续性的关系 例 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf(0,0
31、)(0,0)在点处的极限不存在，故在点处不连续但是20000(0,0)(0,0)0(0,0)limlimxxxxfxfxfxx 0，20000(0,0)(0,0)0(0,0)limlimyyyfyfyfyyy 0.二元函数连续与偏导数存在，这两个条件之间是没有必然联系的.5高阶偏导数高阶偏导数二阶偏导数二阶偏导数 22()(,)(,)xxxxzzfx yzx yxxx2()(,)(,)xyxyzzfx yzx yyxx y 2()(,)(,)yxyxzzfx yzx yxyy x 22()(,)(,)yyyyzzfx yzx yyyy，导数的偏导数称为原来函数的n阶偏导数阶偏导数二阶或二阶以上
32、的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数例例12 设2332xyyxz，求它的所有二阶偏导数解解 因为2223yxxzxyyyz432，所以xyxxxzxxz6)23()(2222yyxyxzyyxz4)23()(222yxyyxyzxxyz4)43()(22xyxyyyyzyyz46)43()(222(,)zf x yD22,zzx yy x 定理定理6 6 如果函数在区域混合偏导数都连续，则在该区域上必有上一阶偏导和二阶22zzx yy x (,)esin()xyf x yxy(,0),(,0)22xxxyffecos()xyxfyxy2esin()xyxxfyxyeesin()e(1)sin(
33、)xyxyxyxyfxyxyxyxy(,0)1,(,0)022xxxyff 例例13 设，求解解 ，所以，6.3.2 全微分全微分1二元函数的全增量二元函数的全增量(,)zf x y00(,)xy,x y00(,)xyxyz定义定义7 设二元函数在点当自变量在点处分别在该邻域内有增量，时，相应的函数的增量为 的某邻域内有定义0000(,)(,)zf xx yyf xy(,)zf x y00(,)xy称其为二元函数在点处的全增量全增量 2全微分的概念全微分的概念0 x0y00Sx yxyS0000()()Sxxyyx y00yxxyx y 例例14 设矩形金属薄片原长为，宽为，则面积设薄片受热膨
34、胀，长增加宽增加，其面积相应增加那么令22()()xy 0 x y 当时，是的高阶无穷小。()SA xB yo 0 xy0 x0yxy0yx(,)zf x y00(,)xy(,)zf x y00(,)xy0000(,)(,)zf xx yyf xy 定义定义10 设二元函数在点的某邻域内在点的全增量，有定义，如果可以表示为()zA xB yo ,A Bxy22)()(yx()o0(,)zf x y00(,)xy其中与，无关，是当时，比则称二元函数在点点处处可微可微 更高阶的无穷小，yBxA(,)zf x y00(,)xydz并称为函数在点处的全微分全微分，记作，记作 即dzA xB y 3.可
35、微与可导的关系(,)zf x y00(,)xy()zA xB yo (,)f x y0000(,),(,)xyAfxyBfxy定理定理7（可微的第一必要条件可微的第一必要条件）若函数在点处可微，即，则在该点的两个偏导数存在，并且全微分计算：全微分计算：dddzzzxyxy(,)zf x y(,)x y定理定理8（可微的第二必要条件）（可微的第二必要条件）若二元函数在点处可微，则在该点一定连续。(,)zf x y(,)x y(,),(,)xyfx yfx y(,)x y(,)zf x y定理定理9（可微的充分条件）（可微的充分条件）若二元函数在点处的两个偏导数存在且在点处连续，则函数在该点一定可
36、微 zxy(2,3)0.1,0.2xy 例例15 15 求函数求函数在点处，关于的全增量与全微分解解()()zxxyyxy y xx yx y ，dddddzzzxyy xx yy xx yxy 2,3,0.1,0.2xyxy ,dzz将代入的表达式，得0.72,d0.7zz 22yxzdz22zxxxy22zyyxyxzyz(0,0)dddzzzxyxy2222ddxyxyxyxy(,)(0,0)x y 例例16 求函数的全微分解解 因为，不难验证，除点外都存在且连续，所以 返回返回6.4 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值6.4.1 多元函数的极值多元函数的极值(,)zf x y00
37、(,)xy(,)x y00(,)(,)f x yf xy00(,)(,)f x yf xy(,)f x y00(,)xy00(,)f xy00(,)xy定义定义11 设函数在点如果对于该邻域内的任一点都有(或)，则称函数在点处有极大值极大值(或极小值极小值)，点f(x,y)的极大值点极大值点(或极小值点极小值点)(统称为极值点极值点)的某邻域内有定义，称为函数函数的极大值与极小值统称为极值极值(,)zf x y00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy定理定理10(极值存在的必要条件极值存在的必要条件)设函数在点处的两个偏导数都存在，且在该点处取得极值，则必有，(,)0 xfx
38、y(,)0yfx y(,)x y(,)f x y使与同时成立的点称为函数的驻点驻点 极值点一定是驻点但是，驻点却未必是极值点(,)zf x y00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy00(,)xxAfxy00(,)xyBfxy00(,)yyCfxyACB 2定理定理11(极值存在的充分条件极值存在的充分条件)设函数在点的某个邻域内有连续的一阶及二阶偏导数，且是函数的驻点，即若记，,则000(,)xy(1)当时，点是极值点，且0A00(,)xy00(,)f xy 当时，是极大值点，为极大值；0A00(,)xy00(,)f xy 当时，是极小值点，为极小值；000(
39、,)xy(2)当时，不是极值点000(,)f xy(3)当时，可能是极值，也可能不是极值 极值求法(1)求方程组(,)0(,)0 xyfx yfx y的一切实数解，得所有驻点(,),(,),(,)xxxyyyfx yfx yfx y,A B C(2)求出二阶偏导数分别求出二阶偏导数的值，并对每一驻点，00(,)xy000(,)f xy0(3)对每一驻点，判断的符号，当定理的结论判定是否为极值，是极大值还是极小值时，要用其他方法来求极值时，可按上述当例例1求函数xyxyxyxf933,2233的极值.解解 963,2xxyxfxyyyxfy63,2,.解方程组063,0963,22yyyxfxx
40、yxfyx求得驻点为(1,0)，(1,2),(-3,0),(-3,2),66,0,66,yyxfCyxfBxyxfAyyxyxx0722ACB012 A在点(1,0)处，且故函数在(1,0)处有极小值-5；在(-3,2)处有极大值31.在点(1,2)及在点(-3,0)处，都大于0，所以它们都不是极值点；0722ACB012 A在点(-3,2)处，,且,6.4.2 多元函数的最大值与最小值多元函数的最大值与最小值求函数最大值和最小值的一般方法：先求出函数在有界闭区域内的所有驻点处的函数值及函数在该区域边界上的最大值和最小值，然后比较这些函数值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值例例2
41、要做一个容积为83m的长方体箱子，问箱子各边长为多大时，所用材料最省？,x yxy8解解 设箱子的长、宽分别为，则高为箱子所用材料的表面积为)88(288(2xyxyxyyxyxxyS0,0|),(yxyxS(,)S x y当面积最小时，所用材料最省为此求函数的驻点，0)8(20)8(222yxySxyxS,得唯一驻点（2，2）6.4.3 条件极值条件极值 除了对自变量限制在其定义域内并没有其它的限制条件的极值问题，称为无条件极值无条件极值 对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值条件极值(,)uf x y(,)0 x y求函数在约束条件下的极值点 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法(,)uf x
42、y(,)0 x y求函数在约束条件下的极值点(1)构造辅助函数：(,)(,)(,)F x yf x yx y(,)F x y,x y(2)求对的偏导数，由极值存在的必要条件，建立以下方程组(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0,(,)(,)0.xxxyyyF x yfx yx yF x yfx yx yF x yx y,x y(,)x y(3)解上面方程组求得，则就是可能的极值点 例例3 设周长为m6求矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？的矩形，绕它的一边旋转构成圆柱体，,x yy解解 设矩形的边长分别为，且绕边长为得到的圆柱体的体积为 的边旋转，2Vx y(0,0)xy，其中矩形边长
43、,x y满足约束条件 622yx构造辅助函数)3(),(2yxyxyxF求(,)F x y的偏导数，030022yxxxy得2xy 代入第三个方程，得 1,2yx即当矩形边长1,2yx 圆柱体的体积最大，)(43maxmV 返回返回6.5 二重积分二重积分6.5.1 二重积分的概念 1两个实例两个实例(1)平面薄片的质量 xOyDxOyD(,)x yDM已知一平面薄片，在占有区域，其质量分布的面密为函数，试求薄片的质量 平面上度函数为上的连续Dn 分割:将区域任意分割成个小块 12,ni(1,2,)inii用既表示第个小块，也表示第个小块的面积idi 求和:记为的直径 idi当很小时，可以认为
44、在上质量分布是均匀的，并用任意点(,)iii(,)ii iimi处的密度作为的面密度，记为第个小块的质量，则(,)iiiim 因此薄片的质量可以表示为1(,)niiiim 取极限:若记12max,nddd，则定义为所求平面薄片的质量01lim(,)niiiif（2）曲顶柱体的体积xOyDDz(,)zf x y(,)zf x yD(,)0f x y 若有一个柱体，它的底是平面上的闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线，且轴的柱面，它的顶是曲面设为上的连续函数，且下面我们来求其体积母线平行于xzODiy(,)zf x y(,)ii 称这个柱体为曲顶柱体.Dn 分割：将区域任意分割成个小块 12,nn
45、(1,2,)iVin这样就将曲顶柱体相应地分割成个小曲顶柱体，它们的体积记为idiidi(,)ii(,)iifi(,)iiifi 求和：记为的直径则当很小时，在中任取一点，以为高而底为顶柱体的体积为，可以将其看作是以为底的小曲顶柱体体积的近似值因此曲顶柱体的平体积的近似值可以取为 1(,)niiiiVf12max,nddd01lim(,)niiiif 取极限：若记，则定义为所求曲顶柱体的体积.2二重积分的概念二重积分的概念(,)zf x yDDni(1,2,)inii(,)iii1(,)niiiifdii12max d,d,dn定义定义12 设是定义在有界闭区域上的有界函数任意分割成个小块，也
46、表示第 个小块的面积任取一点作和式记为的直径，若将区域D(,)ii(,)zf x y(,)zf x yD且此极限值不依赖于区域的分法，也不依赖于的取法，而仅与区域D及函数有关，则称此极限为函数在区域上的二重积分二重积分.01lim(,)niiiif存在，区域小块内点(,)dDf x y01(,)dlim(,)niiiiDf x yf(,)f x yD(,)df x ydxy记作，即其中称为被积函数被积函数，称为积分区域积分区域，称为被积表达式被积表达式，称为面积元素面积元素，和称为积分变量积分变量(,)f x yD),(yxfD若函数在有界闭区域上的二重积分存在，在区域上可积可积则称6.5.2
47、二重积分的几何意义D(,)0f x y(,)dDf x yD(,)zf x y（1）若在区域上，则二重积分表示以区域为底，以曲面曲顶柱体的体积 为曲顶的D(,)0f x y xOy(,)dDf x y（2）若在区域上，则上述曲顶柱体在面的下方二重积分的值是负的，它的绝对值为该曲顶柱体的体积D(,)1f x y DdD特别地，若在区域上，且的面积为则6.5.3 二重积分的基本性质DDDdyxgndyxfmdyxngyxmf),(),(),(),(nm,性质性质1 1（线性性质）（线性性质）（均为常数）D1D2D12(,)d(,)d(,)dDDDf x yf x yf x y性质性质2（区域可加性
48、）（区域可加性）如果区域被连续曲线分割为与两部分，则D(,)(,)f x yg x y(,)d(,)dDDf x yg x y性质性质3（单调性）（单调性）如果在区域上有，则Mm(,)f x yD(,)dDmf x yM性质性质4（二重积分介值定理）二重积分介值定理）设和分别为函数在有界闭区域上的最大值和最小值，则(,)f x yDDD(,)(,)d(,)Df x yf 性质性质5（二重积分中值定理）二重积分中值定理）设在有界闭区域上连续，是区域的面积，则在上至少存在一点，使得返回返回6.6 二重积分的计算与应用二重积分的计算与应用6.6.1 二重积分的计算二重积分的计算1在直角坐标系下计算二
49、重积分在直角坐标系下计算二重积分D),()(|),(21bxaxyxyxD)(1x)(2x,a bDx(1)若区域可以表示为：其中，在则称为型区域型区域.上连续，yxOab2()yx1()yxD zyOab(,)zf x yxx1()x2()x21 ()()(,)d d(,)ddbxaxDf x yx yf x yyx(,)d dDf x yx y21 ()()d(,)dbxaxxf x yy常记为D),()(|),(21dycyxyyxD)(1y)(2y,c dDy(2)若区域可以表示为：其中、在上连续，则称为型区域型区域.xycOd2()xy1()xyD21()()(,)d d(,)d d
50、dycyDf x yx yf x yxy 或记为21 ()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx22d d1Dxx yy(,)12,01Dx yxy例例1 计算，其中 D221(,)1f x yxy2 2 12211022 1 0317d dddarctan11312Dxx yxyyyxxy解解 积分区域是矩形，且被积函数，故有积分，作平行于d dDxy x yD,1,0yx xy例例 计算，其中由围成解解 画出区域D的图形，xyO1x 0y yx1D yy0yxy D0,10|),(xyxyxd dDxy x y 1 13 0 0 011ddd28xxxy yxx
