1、第第7章章 行列式与矩阵行列式与矩阵7.1 n阶行列式阶行列式7.2 行列式的性质行列式的性质7.3 行列式的展开行列式的展开7.4 克莱姆法则克莱姆法则7.5 矩阵的概念和运算矩阵的概念和运算7.6 逆矩阵逆矩阵7.7 矩阵的秩与初等变换矩阵的秩与初等变换7.8 初等变换的几个应用初等变换的几个应用7.1n阶行列式阶行列式 7.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 求解二元线性方程组解：解：根据消元法，我们有(1)3+(2)2得 ，即(1)2(2)5得 ，即 上述求解过程是我们在中学数学课程中已经学习过的，我们还可以归纳出对于一般二元线性方程组的求解过程。)2(1332)1(
2、4252121xxxx38191x.21x57192x.32x 用消元法解二元线性方程组 消去未知数，得 当 时，求得方程组(1)的解为 二阶行列式 数 称为行列式的元素。元素的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。并且:22211211aaaa)2,1;2,1(jiaij22211211aaaa2112221122211211aaaaaaaa 利用二阶行列式的概念,有 若记 那末(2)式可写成 同样我们可以定义三阶行列式 设有9个数排成3行3列的数表 上述计算方法称为对角线法则上述计算方法称为对角线法则.例例1解二元线性方程组 解解因为)2(
3、273)1(1522121xxxx0115147352D 所以，.例例2计算三阶行列式 解：解：按对角线法则，有 310772511D13423122D，31311DDx11122DDx，例例3计算三阶三角形行列式 解：解：按对角线法则，有 例例4设 ，其转置行列式为 求证求证 。证：按对角线法则，有证：按对角线法则，有333231222111000aaaaaaD.332211aaaD333231232221131211aaaaaaaaaD 332313322212312111aaaaaaaaaDTTDD DaaaaaaaaaaaaaaaaaaDT32231133211231221331231
4、2322113332211 7.1.2 逆序数逆序数 考虑由前n个自然数组成的数字不重复的排 列 中，若有较大的数排在较小的数的前面，则称它们构成一个逆序逆序，并称逆序的总数为排列 的逆序数，逆序数，记作 .njjj21njjj21)(21njjjN0)21(N1)12(N容易知道，由1，2这两个数字组成的逆序数为 由1，2，3这三个数字组成的全排列有123，231，312，132，213，321它们的逆序数分别为,.0)321(N2)132(N2)213(N1)312(N1)231(N3)123(N一般地，逆序数为奇数的排列叫做奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。偶排列。下面来看一下
5、逆序数与三阶行列式的关系。由定义知容易看出：每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列,右端的任一项除正负号外可以写成 .各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：132，213，321。经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。因此各项所带的正负号可以表示为(-1)t，其中t为列标排列的逆序数。321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa321ppp)(321pppNt 总之，三阶行列式可以写成其中t为排列的逆序数，表示对1、2、3三个数的所有排列取和。7.1
6、.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnppptaaa2211)1(),(21npppNt),2,1,(njiaijnD其中数称为行列式D的元素元素。有时也用 表示n阶行列式。nnppptaaa2211)1(!n注意：注意：在 中连加号后面共有 项，每一项后面共有行列式D的n个元素相乘，这n个元素在行列式D中每行有且只有一个，同时每列有且只有一个.按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的。当n=1时，一阶行列式 ，注意不要与绝对值记号相混淆。例例5 证明下三角形行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD
7、22112122211100011a22anna证证D中可能不为0的项有n个元素相乘，这n个元素在行列式D中每行有且只有一个，同时每列有且只有一个。故第一行只能取第一个元素 ；则第二行的第一个元素不能再取，只能取第二个元素 ;；依次类推第n行只能取元素 .所以nnnntnnnnaaaaaaaaaaaaD2211221121222111)1(000nnaaaD0000002211nnaaaD2211例例6 计算对角行列式D的值：解解对角行列式D是下三角形行列式的特殊情形，所以返回返回7.2行列式的性质行列式的性质 1.对换对换 为了研究n阶行列式的性质，先介绍对换以及它与排列的奇偶性的关系。在排
8、列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换。定理定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。证明从略。2)213(N3)123(N2)4132(N.1)4231(N例如,；而，。2.行列式的性质行列式的性质记行列式DT 称为行列式 D 的转置行列式。性质性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。证证 把这两行互换，有，故。例例1 计算：1000000100100100D解解.11000010000100001100
9、000010010010031rrD100300200001000aaDa例例2 已知，求的值。aaaaaaaDcccc630002000000001)1(300002000000010030020000100023241解解 所以.61,16aa 性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数K,等于用数K乘此行列式。推论推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：则D等于下列两个行列式之和：14443424
10、1343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD4443434241343333323124232322211413131211123232323aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD例例3 已知，求的值。4443434241343333323124232322211413131211123232323aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD444342413433323124232221141312113333aaaaaaaaaaaaaaaa444343413433333124232321141313112222aaaaaaaaaaaaaaaa解解=
11、+.3013性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。例例4 计算：0321402143014321D解解.24488403630022000140008300862043210321402143014321141312,rrrrrrD例例5 计算：解解:例例6 计算 解解:返回返回7.3行列式的展开行列式的展开23aija在n阶行列式中，把元素 所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 的余子式余子式，记作 Mij 。记 称为代数余子式代数余子式例如 四阶行列式中元素 的余子式和代数余子式分别为ija例例1 已知49
12、65387202341011D，计算23A的值。46537211123M.60465372111)1(233223MA解解 可以得到三阶行列式 的值与这些代数余子式之间有以下的关系:333231232221131211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213312312322113332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa)()()(312232211333213123123223332211aaaaaaaaaaaaaaa.131312121111AaAaAa类似的关系:3333323231312323222221
13、21333231232221131211AaAaAaAaAaAaaaaaaaaaaD.333323231313323222221212313121211111AaAaAaAaAaAaAaAaAa总之，三阶行列式的值等于任意一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211.2211ininiiiiAaAaAa定理定理3 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即),2,1(ninnnnnnaaaaaaaaaD212222111211.2211njnjjjjjAaAaAa),2,1(nj或 例例2 已知五阶行列式D中第二行
14、的元素分别为4、5、3、2、9，它们的余子式的值分别为5、6、7、8、0，试计算五阶行列式D的值。解解:由定理3，五阶行列式D按第二行展开，它的值为25252424232322222121AaAaAaAaAaD.50982)7(365)5(4 例例3 计算行列式0965387200340011D解解（先按第4列展开）443424140)3(000965387200340011AAAAD343A9650340113965034011)1(343（再按三阶行列式的第3列展开）.1897273411)1(27933333A例例4计算n（n2）阶行列式0001000000001000aaDaa解解 按
15、第一行展开，得100000000000010000001000naaaaDaaa 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到 11 12222111nnnnnnnD aaaaaa 推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即或 证明从略。返回返回7.4克莱姆法则克莱姆法则02112221122211211aaaaaaaaD22221211212111bxaxabxaxa在第一节中，我们知道 当系数行列式时，二元线性方程组 的解为333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa033323
16、1232221131211aaaaaaaaaD而对于三元线性方程组，当系数行列式时，我们记,3332323222131211aabaabaabD,3333123221131112abaabaabaD,3323122221112113baabaabaaD 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,11DDx,22DDx.33DDx则不难得到三元线性方程组的解为一般地，含有n个未知数 的n个线性方程的方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 与二、三元线性方程组相类似，
17、它的解可用n阶行列式表示，即有克拉默法则克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即那么，方程组（1）有唯一解（1）,其中 例例1解线性方程组72302032321321321xxxxxxxxx解解:因为0284007703217704003212131213213213123rrrrrrD564003202172174003202171203202132121rrrrrrD,2840077032177040032127310130132131232rrrrrrD,07130210213D,2285611DDx,1282822DDx.028033DDx所以 即原方程的解为：.012
18、321xxx例例2 解线性方程组解解:于是得克拉默法则有重大的理论价值，撇开求解公式，克拉默法则可叙述为下面的重要定理。定理定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 则（1）一定有解，且解是唯一的。定理4的逆否定理为：定理定理4如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。,0D返回返回7.5 矩阵的概念和运算矩阵的概念和运算7.5.1 矩阵的概念矩阵的概念1.矩阵的定义矩阵的定义元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中除特别说明外，都指实矩阵。2.一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵（1）行矩阵：只有一行的矩阵12 nAaaa。（2）列矩阵：只有一列的矩阵1
19、2mbbBb。0 00 0 0 0 nkkkEk 11121222 0 0 0 nnnnaaaaaa11212212 0 0 0 nnnnaaaaaa （8）数量矩阵：矩阵（9）三角矩阵：主对角线下方元素全为零的矩阵称为上三角矩阵；主对角线上方元素全为零的矩阵称为下三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。()ijAa()ijBb(1,2,;1,2,)ijijab im jnABAB7.5.2矩阵的运算矩阵的运算1.矩阵的相等矩阵的相等定义定义2 两个矩阵的行数列数均相等时，称它们是同型矩阵。如果矩阵与是同型矩阵，并且它们对应的元素都相等，即，那么就称矩阵与相等，记为。2.矩阵的加法矩阵
20、的加法定义定义3 设mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA )(212222111211mnmmnnnmijbbbbbbbbbbB )(212222111211，是两个nm矩阵，则mnmnmmmmnnnnnmijijnmijbabababababababababacC )()(221122222221211112121111称为矩阵A与B的和，记为BAC。说明：（1）矩阵的加法就是矩阵对应元素相加，当然，相加的矩阵必须是同型的；（2）根据负矩阵的定义，我们定义矩阵的减法如下：)(BABAABBA)()(CBACBA容易验证矩阵的加法满足以下规律：（1）交换律：（2）结合律：15252012
21、121yyxx15,2,3,12121yyxx 1 1 31 2 3 5 6 7B 1 0 5 2 2 8 1 13 15C解之得。进而，。3.数与矩阵的相乘数与矩阵的相乘 mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA )(212222111211定义定义4 设，为任意实数，则nmijnmijacC)()(mnmmnnaaaaaaaaa 212222111211AAAA BA,nm,称为数与矩阵的乘积，记为，且规定数乘矩阵满足以下规律（设为矩阵，为实数）：。)1()()(AA)2(AAA)()3(BABA)(；。1 3 0 1A1 2 3 4 BBA23 例例2 设，求。3 9 0 33A 8
22、6 4 22B BA23 5 15 4 5解 因为，所以。4.矩阵的乘法矩阵的乘法定义定义5 设msmmsssmijaaaaaaaaaaA )(212222111211snssnnnsijbbbbbbbbbbB )(212222111211，nmijcC)(那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 矩阵，其中并把此乘积记作C=AB。说明说明：（1）只有当第一个矩阵A（左矩阵）的列数等于第二个矩阵B（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘，并且AB的行数等于左矩阵A的行数，列数等于右矩阵B的列数；对应的元素乘积之和。2 0 1 2 1 3 0 1A 4 1 0 1 1 3 2 0 1 1 3 4B例例3
23、求矩阵，的乘积AB。2 4 1 2 A 2 4 3 6 B例例4 设，求AB,BA。5.矩阵的转置矩阵的转置(1)定义定义定义定义6 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作。例如 矩阵 1 2 03 1 1A的转置矩阵为 1 32 10 1TA矩阵的转置也是一种运算，满足下述规律(假设运算都是可行的)：例例5 已知 求 解法1 解法2 (2)对称矩阵对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足，即 那么A称为对称矩阵。对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。4 1 1 1 2 1 2 1 3 52 5 7例如，等都是对称矩阵。ATAA()()TTTTTTTAAAAA
24、AAATAA例例6试证：对于任意方阵，都有证明 因为 所以是对称矩阵。返回返回7.6 逆矩阵逆矩阵 7.6.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义定义定义1 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使 则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为1 AB。7.6.2 逆矩阵的性质逆矩阵的性质性质性质1 矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。证明 设B、C都是A的逆矩阵，则有所以A的逆矩阵是唯一的。性质性质2 若A可逆，则亦可逆，且 11AAA AE1A11()AA证明 因为，由矩阵可逆的定义可知，可逆，且。11111111()()()()()AAAAAAEA AAAA111()AA证明 因为，所以
25、可逆，且。,A BAB111()ABB A性质性质4 若为同阶矩阵且均可逆，则可逆，且。可将性质4推广至有限个矩阵相乘的情形:设12,nA AA均为同阶矩阵且可逆，则 11111221()nnA AAAA A性质性质5 设 A,B为同阶方阵，则ABA B。7.6.3 矩阵可逆的判定及求法矩阵可逆的判定及求法 0A 定理定理1 若矩阵A 可逆，则。定义定义2 对于n阶方阵111212122212 nnnnnnaaaaaaAaaa 称n阶方阵112111222212 nnnnnnAAAAAAAAAA 为矩阵A的伴随矩阵，记为*A ijAAija其中的元素为行列式中元素的代数余子式。由矩阵乘法可得:
26、*AAA E*A AA E例例1 设 1 2 53 0 4 2 1 6A,求*A。解 因为所以*4 17 826 4 193 5 6A。0A A1*1AAA 定理理2 若，则矩阵可逆，且。证明 因为*AAA AA E又因为0A，所以有*11()()AAAAEAA*11()()A AA AEAA，从而矩阵A可逆，且1*1AAA。0A A0A AA0A 说明：当时，矩阵称为奇异矩阵；当，矩阵称为非奇异矩阵。综合定理1及定理2：矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是.1 2 32 2 13 4 3A例例2 求的逆矩阵。20A 1A解 因为，所以存在。计算得*2 6 43 6 5 2 2 2A 所以1 1 3
27、 235 3 22 1 1 1A。返回返回7.7 矩阵的秩与初等变换矩阵的秩与初等变换 7.7.1矩阵的秩矩阵的秩1.矩阵的矩阵的k阶子式阶子式m nkk(,)km knk定义定义1 在矩阵中，任意取行列行与列交叉处的元素按原来的相对位置所构成的行列式，称为矩阵的阶子式。，位于这些ArA()r A2.矩阵的秩的定义矩阵的秩的定义定义定义2 矩阵的不为零的最高阶子式的阶数称为矩阵的秩，记为。由矩阵秩的定义易知下面的结论()r Arr1r 定理定理的充要条件是A有一个阶子式不为零，阶子式全为零。而所有的7.7.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换的定义与相关定理矩阵的初等变换的定义与
28、相关定理定义定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。下面是关于矩阵初等变换的几个结论：AB0A 0B 定理定理 设方阵经过一系列初等行（列）变换成为方阵，则的充要条件是。说明：矩阵无论进行哪一种初等变换，进行多少次变换，都不会改变矩阵的奇异性。0A 0B 推论推论设矩阵A经过一系列初等变换成为矩阵B，则的充要条件是。定理定理 矩阵的初等行（或列）变换不改变矩阵的秩。m nAm n 定理定理 任何非零矩阵都可以经过初等行变换化成矩阵 以下形式的 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
29、0 0 0 0 称此矩阵为阶梯矩阵。其中符号表示第一个非零元素，符号表示零或非零元素。阶梯矩阵矩阵的特点：矩阵的零行在矩阵的最下方；各行第一个非零元素之前的零元素个数随行的序数的增加而增加。定理定理 阶梯矩阵的秩等于其非零行的行数。说明：我们知道对于阶数较低的矩阵利用矩阵秩的定义可以求其秩，但是对于阶数较高的矩阵用矩阵秩的定义去求其秩就比较麻烦，定理15告诉我们一个求矩阵秩更为常用的方法：将矩阵A经过初等行变换变成阶梯矩阵B，此时有秩A=秩B。例例2 求矩阵1 3 1 22 1 2 33 2 1 11 4 3 5A的秩。解 对矩阵A实施行初等变换使其化为阶梯矩阵如下：2131411 3 1 2
30、2 1 2 3(2),(3),(1)3 2 1 11 4 3 5rr rr rrA 32421 3 1 20 7 4 7(1),(1)0 7 4 70 7 4 7rr rr 1 3 1 20 7 4 70 0 0 00 0 0 0由定理3知()2r A。定理定理 方阵A可逆的充分必要条件是A经过一系列初等变换可化为单位矩阵。2.初等矩阵初等矩阵定义定义将单位为矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种初等行变换有三种类型的初等矩阵。返回返回7.8 初等变换的几个应用初等变换的几个应用 7.8.1 解线性方程组解线性方程组1.线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式设线性方程组的一
31、般形式为11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb()12,mb bb()当不全为0时，称为非齐次线性方程组；当12,mb bb全为0时，即 11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax()称为齐次线性方程组。令111212122212 nnmmmnaaaaaaAaaa 12nxxXx12mbbbb，称矩阵A，X，B分别为方程组的系数矩阵，未知量矩阵，常数矩阵。于是方程组()()和 用矩阵形式表示为,0AXbAX。另外称有系数和常数项组成的矩阵
32、11121121222212 nnmmmnmaaabaaabaaab 例例1 写出线性方程组1231231312345152 0534xxxxxxxxxxx的增广矩阵和矩阵形式。解 增广矩阵 A 4 5 1 11 5 1 2 1 0 1 0 5 1 3 4方程组的矩阵形式为123 4 5 111 5 12 1 0 10 5 1 34xxx 。2.高斯消元法解线性方程组高斯消元法解线性方程组例例2 解线性方程组 12341234123412342 53233 2 42+347 13 +24 4xxxxxxxxxxxxxxxx 。解 将第1、4个方程对调位置1234123412341234 24
33、43 2 42+34713 2+532 3xxxxxxxxxxxxxxxx 将第1个方程乘以适当的数加到第2、3、4个方程上1234234234234 24 4 5144 8 74 5 5 5 4 5xxxxxxxxxxxxx 将第2、4个方程对调位置1234234234234 24 4 54 5 74 5 5 51448xxxxxxxxxxxxx 将第2个方程乘以适当的数加到第3、4个方程上12342343434 24 4 54 5 3923 30 3924 33xxxxxxxxxxx 将第3个方程乘以（-1）加到第4个方程上1234234344 24 4 54 5 3923 30 3xxx
34、xxxxxxx 于是原线性方程组的解为 将上述解题过程用增广矩阵的形式表示如下：14 2 5 3 2 33 1 2 1 42 3 4 7 13 1 2 4 1 4rr A213141 1 2 4 1 43 1 2 1 43,2,(2)2 3 4 7 13 2 5 3 2 3rr rr rr 241 2 4 1 40 5 14 4 80 7 4 5 50 1 5 4 5rr 32421 2 4 1 40 1 5 4 5(7),(5)0 7 4 5 50 5 14 4 8rr rr 431 2 4 1 40 1 5 4 5(1)0 0 39 23 300 0 39 24 33rr 1 2 4 1
35、40 1 5 4 50 0 39 23 300 0 0 1 3用高斯消元法解线性方程组的一半步骤：将方程组表示成矩阵形式AXb将其增广矩阵用行初等变换化为阶梯矩阵；逐次回代，求出解。；7.8.2 求逆矩阵求逆矩阵例例5 用初等变换求矩阵1 1 13 0 31 2 0A的逆矩阵。解|A E|A E=21311 1 1 1 0 0 (3),3 0 3 0 1 01 2 0 0 0 1rr rr 211 1 1 1 0 0 30 3 0 3 1 00 1 1 1 0 1r 321 1 1 1 0 0 1(1)0 1 0 1 030 1 1 1 0 1rr 131 1 1 1 0 0 1(1)0 1 0 1 0310 0 1 2 13rr 1211 1 0 1 1 310 1 0 1 0310 0 1 2 13rr 21 0 0 2 1 310 1 0 1 0310 0 1 2 13 12 2 1 31 1 031 2 13A。7.8.3 求解矩阵方程求解矩阵方程 含未知矩阵的方程称为矩阵方程。例如AX=B，其中X为未知矩阵。例例6 解矩阵方程 1 21 02 50 1X 解 211 2 1 0(2)|2 5 0 1rrA B 121 2 1 0(2)0 1 2 1rr 1 0 5 20 1 2 1 5 22 1X。
