1、电动力学第13讲第二章第二章 静电场（静电场（5 5）2.5 格林函数法格林函数法教师姓名：教师姓名：宗福建宗福建单位：单位：山东大学物理学院山东大学物理学院20152015年年1010月月2727日日山东大学物理学院 宗福建2上一讲复习 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录）。球坐标用（R，）表示，R为半径，为极角，为方位角。山东大学物理学院 宗福建3上一讲复习拉氏方程在球坐标系中的通解为式中anm,bnm,cnm和
2、dnm为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。Pmn(cos)为缔和勒让德(Legendre)函数。1.1,(,)()(cos)cos()(cos)sinnmnmnmnnn mnmnmnmnnn mbRa RPmRdc RPmR 山东大学物理学院 宗福建4上一讲复习若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位角，这情形下通解为 Pn（cos）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。1()(cos),nnnnnnba RPR山东大学物理学院 宗福建5上一讲复习Pn（cos）为勒让德函数0011222233332()1(cos()1()(cos()cos()11()(31)(cos()(
3、3cos()1)2211()(53)(cos()(5cos()3cos()221()(1)2!lllllP xPxP xxPxxP xxPxxP xxxPxxxdP xxl dx山东大学物理学院 宗福建6上一讲习题解答：补充题：用分离变量法求解接地金补充题：用分离变量法求解接地金属球外一个点电荷的势，和电像属球外一个点电荷的势，和电像法相比较，并证明其两个解是完法相比较，并证明其两个解是完全相同的。全相同的。山东大学物理学院 宗福建7上一讲习题解答：由Q和镜像电荷Q 激发的总电场能够满足在导体面上=0 的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点的距离，r
4、为由Q到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，为OP与OQ的夹角。02222014142cos2cosQQrrQQRaRaRbRb020R QQaRba r rP山东大学物理学院 宗福建8上一讲习题解答：如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷的距离为r，到球心的距离为R，极角为。022202cos()()00R RRraRRaQza rP山东大学物理学院 宗福建9上一讲习题解答：由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解为：10010022()(cos()40(cos()4112cos()nnnn
5、nnRnnnnbQa RPrRbQPrRraRRarP山东大学物理学院 宗福建10上一讲习题解答：在金属球壳表面：010010002200(cos()40(cos()04112cos()nnnnR RnnnnbQPrRbQPrRraRR arP山东大学物理学院 宗福建11上一讲习题解答：考虑到：2202200200001(cos()112 cos()112cos()111()2cos()1()(cos()nnnnnnz PzzzraRR aaRRaaRPaarP山东大学物理学院 宗福建12上一讲习题解答：则：0010000210102101100001()(cos()(cos()0441(co
6、s()44R RnnnnnnnnnnnnnnnRbQPPaaRRQbaRQQPraR rP山东大学物理学院 宗福建13上一讲习题解答：则：220210110002000000220022001(cos()12 cos()1(cos()44/1()(cos()44/11441()2()cos()nnnnnnnnnnnz PzzRQQPraRQRaRQPrRaRQRaQrRRRaRaRrP山东大学物理学院 宗福建14上一讲习题解答：则：0220022000220022000200/11441()2()cos()/144()2()cos()1()4QRaQrRRRaRaRQRaQrRRRRaaQQr
7、rR QRQbaar rP山东大学物理学院 宗福建15本讲主要内容 1、格林公式和边值问题的解2、点电荷密度的函数表示3、格林函数无界空间的格林函数上半空间的格林函数球外空间的格林函数4、例题山东大学物理学院 宗福建162.5 格林（GREEN）函数法 由2.2 唯一性定理，设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定（1）电势|s 或 （2）电势的法向导数 /n|s，则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的或/n值。山东大学物理学院 宗福建172.5 格林（GREEN）函数法 对第1
8、类边值问题，给定电势|s ，求V内的势：设区域V内有两个函数（x x）和（x x），有格林公式，式中 n为界面S上的外向法线。22()()VSdVdSnn 山东大学物理学院 宗福建182.5 格林（GREEN）函数法 格林公式的证明如下：222222()()()()()VSdVdSnn ggggg山东大学物理学院 宗福建192.5 格林（GREEN）函数法 格林公式对任意函数（x x）和（x x）都适用。取（x x）满足泊松方程，（x x）为格林函数，得2020(,)1(,)()(,)|0sG x xGG x xxxx x山东大学物理学院 宗福建202.5 格林（GREEN）函数法 得2200
9、(,)()()(,)()(,)()(,)()1(,)()()()()(,)()(,)VSVSGGdVGGdSnnxGxxdVGGdSnnx xxxx xxx xxx xx xxxx xxx x山东大学物理学院 宗福建212.5 格林（GREEN）函数法 得00()(,)()()(,)()(,)1()(,)()()(,)VSVSGxdVGGdSnnGxdVGdSn对第 类边值问题，xx xxx xxx xxx xxx x山东大学物理学院 宗福建222.5 格林（GREEN）函数法 只要知道格林函数G(x,x)，以及在边界上给定的|S值，就可以算出区域内的(x)，因而第1类边值问题完全解决。01(
10、)(,)()()(,)VSGxdVGdSn 对第 类边值问题，xx xxx x山东大学物理学院 宗福建232.5 格林（GREEN）函数法 对第2类边值问题，给定电势/n|s ，求V内的势：设区域V内有两个函数（x x）和（x x），有格林公式，式中 n为界面S上的外向法线。22()()VSdVdSnn 山东大学物理学院 宗福建242.5 格林（GREEN）函数法 格林公式对任意函数（x x）和（x x）都适用。取（x x）满足泊松方程，（x x）为无界空间单位点电荷的格林函数，得20200(,)1(,)()1(,)SG x xGGdSn x xxxx x山东大学物理学院 宗福建252.5 格
11、林（GREEN）函数法 满足上式最简单的边界条件为：其中S是界面的总面积。01(,)|xSGnS x x山东大学物理学院 宗福建262.5 格林（GREEN）函数法 其中S是电势在界面上的平均值。00()(,)()()(,)()(,)2()(,)()(,)()VSSVSGxdVGGdSnnGxdVGdSn 对第 类边值问题，xx xxx xxx xxx xx xx山东大学物理学院 宗福建272.5 格林（GREEN）函数法 只要知道格林函数G(x,x)，以及在边界上给定的|S值，或者/n|s，就可以算出区域内的(x)，因而边值问题完全解决。001()(,)()()(,)2()(,)()(,)(
12、)VSSVSGxdVGdSnGxdVGdSn 对第 类边值问题，对第 类边值问题，xx xxx xxx xx xx山东大学物理学院 宗福建282.5 格林（GREEN）函数法 2 2、点电荷密度的、点电荷密度的函数表示函数表示 点电荷是电荷分布的极限情况，它可以看作一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。若电荷分布于小体积V内，当体积 V0 时，体积内的电荷密度 ，而保持总电荷不变，所谓点电荷就是这种电荷分布。()0,0()1(0)VxdVxVxx山东大学物理学院 宗福建292.5 格林（GREEN）函数法 2 2、点电荷密度的、点电荷密度的函数表示函数表示 处于 x x 点上的单位点电荷
13、的密度用函数(x xx x)表示()0,()1()()(0)(0)()()()VVVxxdVxVf xdVfxVf xdVf xxVx-xx-xxx-x山东大学物理学院 宗福建302.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 一个处于 x x 点上的单位点电荷所激发的电势(x x)满足泊松方程 设有包含 xx 点的某空间区域V，在V的边界S上由边界条件 解称为泊松方程在区域V的第一类边值问题的格林函数。201()()()|0S xxxx山东大学物理学院 宗福建312.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 一个处于 xx点上的单位点电荷所激发的电势（x x）满
14、足泊松方程 设有包含 xx点的某空间区域V，在V的边界S上满足另一边界条件 解称为泊松方程在区域V的第二类边值问题的格林函数。2001()()()1|SnS xxxx山东大学物理学院 宗福建322.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 格林函数一般用G（x x，x x）表示，其中 x x 代表源点，即点电荷所在点，x x 代表场点。格林函数所满足的微分方程 201()()G x,xxx山东大学物理学院 宗福建332.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 （1）无界空间的格林函数。在 xx 点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为式中r为源点 x x 到
15、场点x x的距离。因此，无界空间的格林函数为 22200222011()44()()()11(,)4()()()rxxyyzzGxxyyzz xx x山东大学物理学院 宗福建342.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 （1）无界空间的格林函数。选电荷所在点 xx为坐标原点，即 x x=0。在求坐标中，G（x x，0）=1/40r，由直接计算得，G为无界空间的格林函数。2220014()111(,0)()4rGr xxx山东大学物理学院 宗福建352.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 （2）上半空间的格林函数 一导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷Q
16、所在点的坐标为（x，y，z），场点坐标为（x，y，z），则r为由 x x 点到x x点的距离，r 为由镜象点（x，y，z）到场点的距离。上半空间格林函数为2222220111(,)4()()()()()()Gxxyyzzxxyyzz x x山东大学物理学院 宗福建362.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 2222220111(,)4()()()()()()Gxxyyzzxxyyzz x x山东大学物理学院 宗福建372.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 （3）球外空间的格林函数。以球心O为坐标原点。设电荷所在点 P 的坐标为（x，y，z），场点P
17、的坐标为（x，y，z）。令 则a对应于R，b对应于R02/R，镜象电荷所在点的坐标为(b/a)x x=(R02/R2）x x。222222,RxyzRxyz山东大学物理学院 宗福建382.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 （3）球外空间的格林函数。22222420002cos,12cosrRRRRRrR RRR RRRRxxxx山东大学物理学院 宗福建392.5 格林（GREEN）函数法 3 3、格林函数、格林函数 式中为x x与xx的夹角。若P点的球坐标为（R,），P 点的球坐标为（R,），有球外空间格林函数:220200111(,)42cos2cosGRRRRRRR
18、RRR x x山东大学物理学院 宗福建402.5 格林（GREEN）函数法 4 4、例例 在无穷大导体表面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆心电势为V0，导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。解解 以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。x x点的直角坐标为（R cos,R sin,z），x x 点的直角坐标为（R cos,R sin,z），上半空间格林函数适用柱坐标表出为 山东大学物理学院 宗福建412.5 格林（GREEN）函数法 山东大学物理学院 宗福建422.5 格林（GREEN）函数法 上半空间格林函数适用柱坐标表出为 222202222
19、11(,)422cos()122cos()GRzRzzzRRRzRzzzRR x x山东大学物理学院 宗福建432.5 格林（GREEN）函数法 因为在上半空间 =0，因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。上半空间的电势为积分面S是 z=0的无穷大平面。法线沿 z 方向。先计算格林函数的法向导数。0()()(,)SG xdSn xxx03/22220122cos()zGGznzRzRRR山东大学物理学院 宗福建442.5 格林（GREEN）函数法 由于S上只有圆内部分电势不为零，因此式中的积分只需对 r a 积分。0203/2002223/222022 3/22200()22cos()12cos()12()aaGx dSnVzR dRdRzRRRV zRRRR dRdRzRz山东大学物理学院 宗福建452.5 格林（GREEN）函数法 当 R 2+z 2 a 2 时，可以把被积分函数展开，得 022 3/2022220222222222022 3/222222()2()32cos()122cos()15.8()3151.2()48()aV zR dRRzRRRdRzRRRRzV azaR aRzRzRzx谢谢！2015.10.27
