1、2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 第一章第一章 概述概述1.1 工程问题和数值方法工程问题和数值方法在科学领域内，对于许多力学和物理在科学领域内，对于许多力学和物理问题，人们已经得到了它们的基本方程和问题，人们已经得到了它们的基本方程和定解条件，但能用解析法求出精确解的只定解条件，但能用解析法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，且几何形状相是少数方程性质比较简单，且几何形状相当规则的问题。当规则的问题。对于大多数问题，由于对于大多数问题，由于方程
2、的某些特征的非线性性质，或由于求方程的某些特征的非线性性质，或由于求解域的几何形状比较复杂，则不能得到解解域的几何形状比较复杂，则不能得到解析解。这类问题的解决途径有两种。析解。这类问题的解决途径有两种。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.01）引入简化假设，将方程和几何边界简化）引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，但这种方法只是在有限的为能够处理的情况，但这种方法只是在有限的情况下是可行的。情况下是可行的。2）数值解法。随着电子计算机的飞速发展）数值解法。随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，这种方法已经成为求解科学技术和广泛
3、应用，这种方法已经成为求解科学技术问题的主要工具。问题的主要工具。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 工程问题一般是物理情况的数学模型。工程问题一般是物理情况的数学模型。数学模型：带有相关边界条件和初值条件的微分方程组。数学模型：带有相关边界条件和初值条件的微分方程组。微分方程组：在工程问题中，代表了质量、力、或能量的平衡。微分方程组：在工程问题中，代表了质量、力、或能量的平衡。系统的解析解：由两部分组成：一般部分和特殊部分。系统的解析解：由两部分组成：一般部分和特殊部分。影响系统行为的参数：影响系统行为的参数：表征工程系统的物理属性。如
4、弹性模量、导热系数、粘度、表征工程系统的物理属性。如弹性模量、导热系数、粘度、电阻等，属于表示给定系统自然行为信息的参数。电阻等，属于表示给定系统自然行为信息的参数。产生扰动的参数。如外力、力矩、介质的温度差、流体的压产生扰动的参数。如外力、力矩、介质的温度差、流体的压力差、电流的电压等。力差、电流的电压等。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星
5、期二Introduction to ANSYS-Release 7.0数值解的第一步是离散化，即将系统或研究对象分为一些子区域数值解的第一步是离散化，即将系统或研究对象分为一些子区域和节点。和节点。数值解仅在称为节点的离散点上近似于解析解。数值解仅在称为节点的离散点上近似于解析解。数值解分为：有限差分法和有限元法。数值解分为：有限差分法和有限元法。有限元法：使用公式方法而不是微分方法来建立系统的代数方程有限元法：使用公式方法而不是微分方法来建立系统的代数方程组。组。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 1.2 有限单元法及相关弹性力学知识有
6、限单元法及相关弹性力学知识 2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0变形体及受力情况描述：变形体及受力情况描述：基本变量：基本变量：u （位移）位移）（应变）（应变）（应力）（应力）（如果考虑三个方向（如果考虑三个方向（x，y，z）的情况，则有对应的向量、张量描的情况，则有对应的向量、张量描述述uij，ij，ij）基本方程：基本方程：（1）力的平衡方面）力的平衡方面 （2）几何方面几何方面 （3）材料方面材料方面即：即：三大类变量三大类变量 三大类方程三大类方程 求解方法：求解方法：（1）经典解析法）经典解析法 （2）半解析法）半解析法 （3）
7、传统数值求解）传统数值求解 （4）现代数值求解（计算机软硬件，规范化，标准化，规模化）现代数值求解（计算机软硬件，规范化，标准化，规模化，计算机化），计算机化）2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 有限单元法的出现，是数值分析方有限单元法的出现，是数值分析方法研究领域内重大突破性进展。法研究领域内重大突破性进展。1.有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想：是将连
8、：是将连续的求解域离散为一组有限个且按一定续的求解域离散为一组有限个且按一定方式联结在一起的单元的组合体。由于方式联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。以模型化几何形状复杂的求解域。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 2.有限单元法的特点：有限单元法的特点：利用在每一个单元利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数，
9、从而使一个连续的无限自由求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。度问题变成离散的有限自由度问题。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 1943年年Courant第一次应用了有限单元法。第一次应用了有限单元法。到了到了1990年以后，随着电子数值计算机的广泛应用年以后，随着电子数值计算机的广泛应用和发展，有限元法的发展速度显著加快。和发展，有限元法的发展速度显著加快。1971年首次发布了年首次发布了ANSYS。ANSYS是一个通用的有限元计算机程序。可进行是一个通用的有限元计算机程序。可进行静态、动态、热传导、
10、流体流动、电磁学分析。静态、动态、热传导、流体流动、电磁学分析。ANSYS是一个强大的工程工具，能够用来解决各种各是一个强大的工程工具，能够用来解决各种各样的问题。样的问题。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 有限元法的基本步骤如下：有限元法的基本步骤如下：一、预处理阶段一、预处理阶段 1.将待求解的问题分解成节点和单元。将待求解的问题分解成节点和单元。2.假设代表单元解的近似连续函数。假设代表单元解的近似连续函数。3.对单元建立方程。对单元建立方程。4.将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。
11、5.应用边界条件，初值条件和负荷。应用边界条件，初值条件和负荷。二、解决阶段二、解决阶段 求解线性或非线性的微分方程组，以得到节点的值。求解线性或非线性的微分方程组，以得到节点的值。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0三、后处理阶段三、后处理阶段 以多种方式给出计算结果，并得到其他重要的信息。以多种方式给出计算结果，并得到其他重要的信息。用公式描述有限元问题的方法用公式描述有限元问题的方法：（1）直接公式法）直接公式法 （2）最小总势能公式法）最小总势能公式法 （3）加权余数法）加权余数法2023年2月7日星期二Introduction t
12、o ANSYS-Release 7.0一、变形体的描述与变量定义一、变形体的描述与变量定义1.变形体：物体之内任意两点间可发生相对移动。变形体：物体之内任意两点间可发生相对移动。有限元方法所处理的对象：任意变形体有限元方法所处理的对象：任意变形体2.基本变量的定义：可以用以下各类变量作为任意变形基本变量的定义：可以用以下各类变量作为任意变形体的描述。体的描述。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.02023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：因此，在材
13、料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移位移 应变应变 应力应力2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程。几何方程和材料物理方程。3.研究的基本技巧研究的基本技巧 采用微小体积元采用微小体积元dxdydz的分析方法（以针对任意的分析方法（以针对任意变形体）。变形体）。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0二、弹性体的基本假设二、弹性体的
14、基本假设 为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽象化，在为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。弹性力学中，特提出以下几个基本假定。五个基本假定五个基本假定（1）连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述。）连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述。（2）均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同的特性。）均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同的特性。（3）各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有）各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性。相同特性。（4）完全弹性假定：物体完全服从虎克定律，物体的变形与外）完全
15、弹性假定：物体完全服从虎克定律，物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后物体可恢复原状。力作用的关系是线性的，外力去除后物体可恢复原状。（5）小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。在建立方）小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。在建立方程时，可以忽略高阶小量（二阶以上）。程时，可以忽略高阶小量（二阶以上）。以上基本假定将作为问题简化的出发点。以上基本假定将作为问题简化的出发点。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0三、求和约定及哑指标三、求和约定及哑指标设有求和表达式 sa1x1+a2x2+.+anxn利用求和记号 可将上式写成
16、 将上式写成更紧凑的形式 niiixas1nixasii,.,2,12023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0这里略去了求和记号这里略去了求和记号 ，并规定：若某个指标在某一项中重复，并规定：若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取出现，而且仅重复一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和。这就是爱因斯坦提出的求和约定。值范围求和。这就是爱因斯坦提出的求和约定。例：当例：当 i=1,2,.,n时，时，aii表示表示在三维空间中，通常取在三维空间中，通常取n3。因此当未标出求和指标的取值范围因此当未标
17、出求和指标的取值范围时，就意味着求和指标的取值范围为时，就意味着求和指标的取值范围为1到到3。表示求和的重复指标称为哑指标。哑指标采用什么字母来表示对表示求和的重复指标称为哑指标。哑指标采用什么字母来表示对结果没有影响。结果没有影响。例：例：aixiamxm 如果在某一项中，重复指标出现两次以上，则该指标便失去了求如果在某一项中，重复指标出现两次以上，则该指标便失去了求和的意义，不再是哑指标了。和的意义，不再是哑指标了。例：例：nnniiiaaaa.22111)(3131mmmiiixaxa313131ijjjiijijjiijjjiijxxxaxxxaxxxa2023年2月7日星期二Intr
18、oduction to ANSYS-Release 7.0设有方程组设有方程组按照求和约定可写成按照求和约定可写成或或 yiaimxm （i1，2，3）上式中上式中i不是哑指标。凡不属于哑不是哑指标。凡不属于哑指标的指标均称为自由指标。指标的指标均称为自由指标。333232131332322212123132121111xaxaxayxaxaxayxaxaxaymmmmmmxayxayxay3322112023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 三大类方程：三大类方程：力的平衡方程力的平衡方程 几何变形方程几何变形方程 材料的物理方程材料的物理方
19、程 边界条件：边界条件：位移方面位移方面 外力方面外力方面 2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0ODyxXYdxxxxdxxxyxyyyxdyyyxyxdyyyyxxy2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0取一个微小的正平行六面体取一个微小的正平行六面体PACB，为了计算简便，它在为了计算简便，它在z方向的方向的尺寸取为一个单位长度。其中尺寸取为一个单位长度。其中X和和Y为体积力。为体积力。应力分量是位置坐标应力分量是位置坐标x和和y的函数，因此，作用于左右两对面或上的函数，因此，作用于左
20、右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。下两对面的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例：作用于例：作用于PB面的平均正应力为面的平均正应力为 ，则作用于右面，则作用于右面AC的平均的平均正应力，由于坐标的改变，可用泰勒级数表示为正应力，由于坐标的改变，可用泰勒级数表示为在略去二阶及更高阶的微量以后化简为在略去二阶及更高阶的微量以后化简为以以x为投影轴，列出力的平衡方程为投影轴，列出力的平衡方程x.!2122dxxdxxxxxdxxxx0 xF2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.01)(11)(dxdyydydydxxy
21、xyxxxx011Xdxdydxyx2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0约简后，两边除以约简后，两边除以dxdy得：得：同样，由同样，由 ，可得类似的方程。，可得类似的方程。平衡方程：平衡方程：0yF00YxyXyxxyyyxx0Xyxyxx2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0写成指标形式：写成指标形式：其中其中 中的下标（中的下标（，j）表示物理量表示物理量 对对j方向求偏导数。方向求偏导数。通过对中心点通过对中心点D求力矩，由力矩的平衡方程求力矩，由力矩的平衡方程 ,得：得：,0ij
22、 jiX(,1,2)i j ij,jij0DM1122xyxyxydxdxdx dydyx 11022yxyxyxdydydy dxdxy 2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0将上式两边除以将上式两边除以dxdy，合并同类项得到：合并同类项得到：令令dx和和dy趋于零，则趋于零，则A、B、C三点都趋于三点都趋于P点，而各面上的平均点，而各面上的平均剪应力都趋于在剪应力都趋于在P点的剪应力，从而有在点的剪应力，从而有在P点的关系式：点的关系式：上式证明了剪应力互等定理。上式证明了剪应力互等定理。1122xyyxxyyxdxdyxyxyyx20
23、23年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0oxypAB/B/A/puuudxxuudyyvvvdyyvvdxx2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0经过弹性体内的任意一点经过弹性体内的任意一点P，沿沿x轴和轴和y轴的方向取两个微小长度轴的方向取两个微小长度的线段的线段PA=dx，PB=dy，假定弹性体受力以后，假定弹性体受力以后，P,A,B三点分别三点分别移动到移动到P/,A/,B/。设设P点在点在x方向的位移分量是方向的位移分量是u，则则A点在点在x方向的位移分量由于方向的位移分量由于x坐标的改变
24、，可用泰勒级数表示为：坐标的改变，可用泰勒级数表示为：在略去二阶及更高阶的微量以后简化为在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 可见线段可见线段PA的正应变是的正应变是21,2!uuudxdxxxuudux。()xuudxuuxdxx。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0同样可见，线段同样可见，线段PB的正应变是的正应变是 现在来求出线段现在来求出线段PA与与PB之间的直角的改变之间的直角的改变,也就是剪应变也就是剪应变 ，用位移分量来表示。由图可见，这个剪应变是由两部分组成的：一部用位移分量来表示。由图可见，这个剪应变是由两部分组成的：一部分
25、是由分是由 y 方向的位移方向的位移 引起的，即引起的，即 x 方向的线段方向的线段PA的转角的转角 ；另一部；另一部分是由分是由 x 方向的位移方向的位移 引起的，即引起的，即 y方向的线段方向的线段PB转角转角 。设设P 点在点在 y 方向的位移分量是方向的位移分量是 ，则，则A点在点在 y方向的位移分量将是方向的位移分量将是 。因此，线段。因此，线段PA的转角是的转角是yvy。yvuvvvdxx()vvdxvvxdxx。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0同样可得线段同样可得线段PB的转角是的转角是剪应变剪应变 为：为：几何方程在平面
26、问题中的简化形式为：几何方程在平面问题中的简化形式为：uy。vuxy 。,xyuxvyvuxy,。2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0,1()2iji jj iuu写成指标形式：写成指标形式：注意：注意：（1）ui，j中的下标表示中的下标表示ui对对j方向求偏导数。方向求偏导数。（2）12ijij()ij2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0由广义虎克定律，有二维平面应力情况下的物理方程：由广义虎克定律，有二维平面应力情况下的物理方程：其中其中E为弹性模量，为弹性模量，G为剪切模量，为剪切
27、模量，为泊松比。三个常数之间为泊松比。三个常数之间的关系为：的关系为：1()1()1xxyyyxxyxyEEG2(1)EG2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0写成指标形式：写成指标形式：其中其中D为弹性系数矩阵。为弹性系数矩阵。1.2.6 边界条件边界条件 一、一、位移边界条件位移边界条件 在边界上，有在边界上，有其中其中 和和 表示边界上的位移分量，而表示边界上的位移分量，而 和和 在边界上是坐标在边界上是坐标的已知函数。这就是平面问题的位移边界条件。的已知函数。这就是平面问题的位移边界条件。二、二、力边界条件力边界条件 在力的边界上取微
28、体在力的边界上取微体dxdy（平面问题）。平面问题）。1ijijklijD,ssuu vvsusvuv2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0usdxdypspxpypnxyxyxyyx2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0由微体由微体x方向的平衡有：方向的平衡有：注意注意ds为边界斜边的长度，边界外法线为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦为：的方向余弦为：m=dx/ds则上式简化为则上式简化为 将微体的三个平衡方程（将微体的三个平衡方程（x方向，方向，y方向和力矩）汇总，在方向和力矩）汇
29、总，在sp上上有有1110 xxyxdydxPds /ldy dsxxyxlmPxxyxyyxyxyyxlmPmlP2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0其中其中sp为给定的力边界，由于为给定的力边界，由于 ，则重写上式，在，则重写上式，在sp上上有：有：综上所述，将边界条件写成指标形式，在综上所述，将边界条件写成指标形式，在sp上有：上有：位移位移 在在su上上 力力 在在sp上上xyyxxxyxyxyylmPmlPiiuuij jilP2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0一、直接公式法
30、一、直接公式法例例1.杆的一端固定，杆的一端固定，另一端承受负荷。另一端承受负荷。w1w2LP 负荷为P的变横截面杆2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0预处理阶段预处理阶段 （1）将问题域离散成有限的单元（如五节点四单元）。）将问题域离散成有限的单元（如五节点四单元）。每个单元的横截面面积，由定义单元的节点处横截面面积每个单元的横截面面积，由定义单元的节点处横截面面积的平均面积表示。的平均面积表示。12345单元1单元2单元3单元4u1u2u3u4u5l1l2l3l4A1l1A2A3A4PPPLk1k2k3k4123452023年2月7日星
31、期二Introduction to ANSYS-Release 7.0（2）假设近似单元行为的近似解）假设近似单元行为的近似解近似单元解的平均应力：近似单元解的平均应力：平均应变：平均应变：虎克定律：虎克定律：合并方程：合并方程：AFEAEF2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0每个单元的弹性行为可以由相应的线性弹簧模型描述每个单元的弹性行为可以由相应的线性弹簧模型描述：合并方程与线性弹簧方程合并方程与线性弹簧方程Fkx相比，其等价刚度为：相比，其等价刚度为：等价刚度：等价刚度：AEkeq)(2)()(1111iiiiiiavgiiequuE
32、AAuuEAuukf21EAAkiieq2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 节点力的平衡方程：节点力的平衡方程：0)(0)()(0)()(0)()(0)(4544543433432322321211211PuukuukuukuukuukuukuukuukRR1)(121uuk)(232uuk)(121uuk)(343uuk)(232uuk)(454uuk)(343uuk)(454uukP123452023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0PuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkR0000
33、00000000000000005432144443333222211111以上形式为：以上形式为：FuKR即表示即表示 反作用力矩阵反作用力矩阵=刚度矩阵刚度矩阵位移矩阵位移矩阵-负荷矩阵负荷矩阵2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0Puuuuukkkkkkkkkkkkkk00000000000000000154321444433332222112023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0每个单元有两个节点，而且每个节点相应一个位移量。对于每个单每个单元有两个节点，而且每个节点相应一个位移量。对
34、于每个单元的两个节点建立方程，有：元的两个节点建立方程，有：)(1iieqiuukf)(11iieqiuukf)(11iieqiuukf)(1iieqiuukfiu1iuiu1iuy2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 静力平衡条件要求静力平衡条件要求 和和 的和为零。为了确保推导的一致性的和为零。为了确保推导的一致性，在，在y的正方向给出的正方向给出 和和 。可以写出节点。可以写出节点i和和i+1处的力。处的力。写成矩阵形式：写成矩阵形式：if1ifif1if)()(111iieqiiieqiuukfuukf11iieqeqeqeqiiu
35、ukkkkff2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0单元单元1的刚度矩阵如下：的刚度矩阵如下：它在总体刚度矩阵中的位置如下：它在总体刚度矩阵中的位置如下：1111)1(kkkkK 543211111)1(000000000000000000000uuuuukkkkKG2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0类似的对于节点类似的对于节点2、3、4，都可以求得单元刚度矩阵。，都可以求得单元刚度矩阵。最终的总体刚度矩阵可以由组合或相加每个单元在总体刚度矩阵最终的总体刚度矩阵可以由组合或相加每个单元在
36、总体刚度矩阵中的位置得到。中的位置得到。)4()3()2()1()(GGGGGKKKKK 4444333322221111)(000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkKG2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0求解阶段求解阶段已知已知:上底宽上底宽w1=2 in,下底宽下底宽w2=1 in,厚厚t=0.125 in,L=10in,力力P=1000 lbf,E=10.4106 lbf/in2解解:y方向横截面面积的变化方向横截面面积的变化:每个节点上的面积为：每个节点上的面积为：A1=.25in2 A2=.21875in2 A3=
37、.1875in2A4=.15625in2 A5=.125in2单元刚度系数单元刚度系数(lb/in):K1=975e3 K2=845e3 K3=715e3K4=585e3ytyLwwwyA0125.025.0)()(121lEAAkiieq2)(12023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0有限元计算式有限元计算式:位移量的解位移量的解:35432131000005855850005851300715000715156084500084518209750000110uuuuuinuinuinuinuu005317.003608.002210.001
38、026.0543212023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0后处理阶段后处理阶段 每个单元的平均应力每个单元的平均应力1=4268lb/in2 2=4925lb/in23=5816lb/in24=7109lb/in2 忽略杆重时的反作用力忽略杆重时的反作用力R1=P=1000lbiiuuEE12023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0例例2.以两部分组成的轴以两部分组成的轴讨论扭转问题讨论扭转问题.剪切弹性剪切弹性模量模量GAB=3.9106 lb/in2GBC=4.0106 lb/in2分为四节
39、点分为四节点(A,B,C,D)三单三单元元(AD,DB,BC).解解:轴的扭角轴的扭角:2.5ft1ft2ftADBC1.5in1inT200lb.ftT1T2JGTlJGTl2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0根据扭矩的平衡条件根据扭矩的平衡条件:二节点矩阵为二节点矩阵为:)()(122211JGTJGT21211111TTJG2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为:单元极惯性矩单元极惯性矩:总刚度矩阵总刚度矩阵:1111JGKe4434421098.0214
40、97.021inrJinrJJ44000000GKK(1)K(2)K(3)2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0由由K=T，在在A和和C点应用固定边界条件，并应用外扭矩，有点应用固定边界条件，并应用外扭矩，有：00)12200(0100016369177892161525001615252261356461000014321inlb2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0求解以上方程组得到：求解以上方程组得到：A和和C处的反作用力矩阵为处的反作用力矩阵为:R=K-T:rad0027.0030.
41、0043212023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0inlbRRRR.449001951432100122000002742.003020.001636716367001636717789216152500161525226135646100064610646104321inlbradradRRRR2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0二、最小总势能公式二、最小总势能公式在变形期间在变形期间,外力所做的功以弹性能的方式存储在物外力所做的功以弹性能的方式存储在物体中体中,即为变形能即为变形能.当
42、实体受拉力当实体受拉力F,拉伸量为拉伸量为dy时时,物体内存储的能量为物体内存储的能量为:其中其中:yykydykyFddyy2100 xyzdzdxyydyykAEF2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0dVdydxdzyykdy212121写成应变和应力的形式写成应变和应力的形式:对轴向载荷下的单元实对轴向载荷下的单元实体变形能为体变形能为:由由n个单元和个单元和m个节点个节点组成的总势能组成的总势能为总应变能为总应变能和外力所做功的差和外力所做功的差:vvedVEdVd222 iimieneuF112023年2月7日星期二Introdu
43、ction to ANSYS-Release 7.0 最小总势能原理简单地表明对于一个稳定的系统最小总势能原理简单地表明对于一个稳定的系统,平衡位平衡位置会出现位移以使系统的总势能最小置会出现位移以使系统的总势能最小.单元应变能积分单元应变能积分:对对ui和和ui+1求最小化应变能求最小化应变能:m,.,3,2,1i011，iimiieneiiuFuuu 2122102)(222iiavgiilavgveuuEAduuAEdVE)()(111iiavgieiiavgieuuEAuuuEAu2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 矩阵表达形式矩
44、阵表达形式:节点节点i和和i+1处外力所处外力所做的功做的功:211111211111uukkkkuuuukkkkuuiieqeqeqeqieie1111)()(iiiiiiiiFuFuFuFu2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 应用最小总势能公式法对例应用最小总势能公式法对例2.1推出的计算公式和推出的计算公式和直接公式法完全相同直接公式法完全相同:Puuuuukkkkkkkkkkkkkk00000000000000000154321444433332222112023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Rele
45、ase 7.0 例例2的精确解的精确解112112001210lnln)()()()(0)(0)()(wyLwwwwwEtPLyutyLwwwEPdyyEAPdyduyEAPdydudyduyEAPdyduyAEPyAPyyu2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0三、加权余量法三、加权余量法 建立在为控制微分方程假设一个合理的解的基础上。假设的建立在为控制微分方程假设一个合理的解的基础上。假设的解必须满足给定问题的初始和边界条件。解必须满足给定问题的初始和边界条件。对于例对于例2.1来说，控制微分方程和边界条件如下：来说，控制微分方程和边界条
46、件如下：假设一个近似的解，必须满足边界条件。假设一个近似的解，必须满足边界条件。0)(PdyduEyA0)0(u33221)(ycycycyu2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 余量函数余量函数对于对于 承受的边界条件为承受的边界条件为u(0)=0。假设满足边界条件的近似解为：假设满足边界条件的近似解为：0)(PdyduEyA将其代入0)(PdyduEyA得余量函数代入例2.1中的值简化为:6232110154.96320125.25./ycyccyER23123()u yc yc yc y2211123()23wwR ywy t E c
47、c yc yPL2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 配置法配置法在指定位置时（与未知系数一样多的点上），余量函数在指定位置时（与未知系数一样多的点上），余量函数R(y)为零为零。如例如例2.1选择点：选择点：y=L/3,y=2L/3,y=L使其在这些点上使其在这些点上 R(y)=0，应用上页的余量函数应用上页的余量函数R(y)得到三个未知系数的线性方程得到三个未知系数的线性方程:位移的近似函数为位移的近似函数为:63216321632110232.7693002010924.576340034010539.4613100320cccccc
48、ccc36215610153848.11065.21100076.423)(yyyyu2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0 子区域法子区域法在子区域法中在子区域法中,，要使得误差函数在一些选定的子间距之间，要使得误差函数在一些选定的子间距之间为零。选择的子间距的个数必须等于未知系数的个数。对为零。选择的子间距的个数必须等于未知系数的个数。对于假定的解于假定的解 有三个未知数有三个未知数,所以所以选三个子间距选三个子间距,分别为分别为:33221)(ycycycyuLLLLLRdyRdyRdy32323300002023年2月7日星期二Int
49、roduction to ANSYS-Release 7.0积分后产生三个线性方程积分后产生三个线性方程,求解线性方程得到系数求解线性方程得到系数c1,c2,c3。所以，得到的位移的近似函数为所以，得到的位移的近似函数为:迦辽金法迦辽金法迦辽金迦辽金(Galerkin)法法,要求对于权函数要求对于权函数wi误差是正交的误差是正交的,根据公式根据公式:在例在例2.1中假设的近似解有三个未知数中假设的近似解有三个未知数,需要产生三个方程需要产生三个方程,所以所以权函数选为权函数选为:392661061092.80910075.61035088.391)(yyyyubaiRdVW0Ni,.,2,13
50、3221ywywyw2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0这一选择产生如下方程组这一选择产生如下方程组:得到的位移近似函数为得到的位移近似函数为:010154.9632125.25.010154.9632125.25.010154.9632125.25.06332130633212063321dyycyccyydyycyccyydyycyccyyLLL3626610935.010006.410642.400)(yyyyu2023年2月7日星期二Introduction to ANSYS-Release 7.0最小二乘法最小二乘法要求假设解关于
