1、第第3章章 集合的基本概念和运算集合的基本概念和运算教学要求教学要求1.掌握子集、空集、全集、包含等基本概念；掌握子集、空集、全集、包含等基本概念；2.掌握集合的表示法；掌握集合的表示法；3.掌握集合的运算；掌握集合的运算；4.掌握集合的计数；掌握集合的计数；3.1 集合的基本概念集合的基本概念集合的概念是数学中的基本概念，故无法集合的概念是数学中的基本概念，故无法对集合下一个确切的定义，正象在几何中无对集合下一个确切的定义，正象在几何中无法定义点、直线一样。因此，我们只能对它法定义点、直线一样。因此，我们只能对它进行描述。进行描述。一、集合的概念一、集合的概念1.集合是人们直观上或思想上能够
2、明确区分的一些确定的、集合是人们直观上或思想上能够明确区分的一些确定的、彼此不同的事物或属性所构成的整体。每一个对象都能彼此不同的事物或属性所构成的整体。每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如合，例如“个子高的同学个子高的同学”“”“很小的数很小的数”都不能构成集都不能构成集合。合。2.组成集合的事物被称为集合的元素，同一集合中的元素组成集合的事物被称为集合的元素，同一集合中的元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。3.集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成集合中任意两
3、个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于等同于1，2。互异性使集合中的元素没有重复，两个相。互异性使集合中的元素没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。元素。4.集合中的元素没有次序关系。集合中的元素没有次序关系。a,b,cc,b,a是同一个集合是同一个集合5.集合通常用大写英文字母来标记，集合中的元素用小写集合通常用大写英文字母来标记，集合中的元素用小写字母表示字母表示二、集合的表示方法二、集合的表示方法1.列举法列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来素
4、一一列举出来写在花括号内写在花括号内这种表示集合的这种表示集合的方法叫做列举法。方法叫做列举法。1，2，3，2.描述法描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字共属性用文字符号或式子等描述出来符号或式子等描述出来写在花括写在花括号内号内 如：如：A=x|0 x 63xZxxB=1.子集、全集与空集子集、全集与空集子集描述了一个集合与另一个集合之间的子集描述了一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。关系，其定义如下。定义：定义：设设A和和B是任意两个集合，如果集合是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合的每个元素，都是集合B中的一个元素
5、，则中的一个元素，则称称A是是B的子集，或称的子集，或称A被包含于被包含于B中，或者说中，或者说B包含包含A，并记为，并记为A B。三、集合间的关系三、集合间的关系本定义也可表成：本定义也可表成：A B(x)(x Ax B)这表明，要证明这表明，要证明A B，只需对任意元素，只需对任意元素x，有，有下式：下式：x Ax B 成立即可。成立即可。此外，若集合此外，若集合B不包含集合不包含集合A，记为，记为A B。/定义：定义：设设A和和B是两个集合，若是两个集合，若A B且且A B，则称则称A是是B的真子集，记为的真子集，记为A B，也称，也称B真真包含包含A。该定义也可表为：。该定义也可表为：
6、A B(A B A B)定义：定义：设设A和和B是两个集合，若是两个集合，若A B且且B A，则称则称A和和B相等，记为相等，记为A=B该定义也可表为：该定义也可表为：A=B(A B B A)由以上定义可知，两个集合相等的充分必要由以上定义可知，两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素条件是它们具有相同的元素定义：定义：没有任何元素的集合，称为空集，记为没有任何元素的集合，称为空集，记为，它可形式地表为：它可形式地表为：=x|P(x)P(x)其中其中P(x)为任何谓词公式。为任何谓词公式。由定义可知，对任何集合由定义可知，对任何集合A，有，有A。这是因为。这是因为任意元素任意元素x，公式
7、，公式xx A总是为真总是为真注注:空集包含于任何集合，但不能说空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任空集属于任何集合何集合”,空集也被认为是有限集合空集也被认为是有限集合 注意，注意，与与 是不同的，空集是不同的，空集是唯一的 是以是以为元素的集合，而为元素的集合，而没有任何元素没有任何元素能用能用构成集合的无限序列：构成集合的无限序列：(1)，该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。集合。(2)，该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合的集合定义：定义：如果一个集合包含了所要讨论的每一如果一个集合
8、包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为个集合，则称该集合为全集，记为U或或E。它可。它可形式地表为：形式地表为：E=x|P(x)P(x)其中其中P(x)为任何谓为任何谓词公式。词公式。显然，全集显然，全集E即是第二章中的全总论域。于是，即是第二章中的全总论域。于是，每个元素每个元素x都属于全集都属于全集E，由定义易知，对任意集，由定义易知，对任意集合合A，都有，都有A E。全集是个相对性概念，在实际。全集是个相对性概念，在实际应用中，常常根据具体问题作出选择。应用中，常常根据具体问题作出选择。2集合的幂集集合的幂集一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，一个集合的幂集是指该集合所有
9、子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。即是由这些子集所组成的集合族。定义：定义：设设A为一集合，为一集合，A的幂集是一集合族，记的幂集是一集合族，记为为P(A)，P(A)=B|B A 由定义可知，由定义可知，P(A)，A P(A)。注意：注意：n元集合有元集合有2n个子集。若个子集。若A是是n元集，则元集，则P(A)有有2n个元素个元素3集合的基数集合的基数表示集合中元素多少或度量集合大小的数，表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合称作集合的基数或势。一个集合A的基数，的基数，记为记为|A|。如果一个集合恰有如果一个集合恰有m个不同的元素，且个不同的元素，且m是
10、某个非负整数，称该集合是有限的或有穷是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。的，否则称这个集合为无限的或无穷的。本书中常见的无穷集合有：本书中常见的无穷集合有：N=0,1,2,3,，即自然数集合。，即自然数集合。Z=,-2,-1,0,1,2,3,，即整数集合。，即整数集合。Z+=1,2,3,，即正整数集合。，即正整数集合。Q=有理数集合。有理数集合。R=实数集合。实数集合。C=复数集合。复数集合。3.2 集合运算及其性质集合运算及其性质集合运算是指用已知的集合去生成新的集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集集合。假设所有集合都是全集E的子
11、集，即的子集，即这些集合是利用子集公理得到的。常见的这些集合是利用子集公理得到的。常见的集合运算有：并、交和差运算、绝对补集集合运算有：并、交和差运算、绝对补集、对称差、对称差1并、交和差运算并、交和差运算定义定义:设设A和和B是任意两个集合，是任意两个集合，A和和B的并是集合，记为的并是集合，记为AB，AB=x|x A x B A和和B的交是集合，记为的交是集合，记为AB，AB=x|x A x B A和和B的差，或的差，或B关于关于A的相对补是集合，记为的相对补是集合，记为 A-B，A-B=x|x A x B 若若A和和B是集合，且是集合，且AB=，则称，则称A和和B是不相交的。是不相交的。
12、2.绝对补集、对称差绝对补集、对称差集合集合A的的绝对补集是集合（即相对于全集的补绝对补集是集合（即相对于全集的补集）集），记为，记为 A A=E-A=x|x E x A =x|x A例如例如:全集全集U=1，2，3，4，5,若若A=1，2，5 那么全集有而那么全集有而A中没有的中没有的3，4就是就是A的补集。的补集。A=3，4。任给集合任给集合A和和B，A和和B的对称差是集合的对称差是集合，记为记为 A B，A B=(A-B)(B-A)=x|(x A x B)(x B x A)例如：例如：A=a,b,c,B=b,d,则则A B=a,c,d 对称差运算的另一种定义是：对称差运算的另一种定义是：
13、A B=（AB）-(AB)3文氏图文氏图文氏文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集图形来形象展示集合的一种方法。全集E用一个用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的圆面或一矩形的内部表示，其他集合用矩形内的圆面或一封闭曲线圈成的面积来表示封闭曲线圈成的面积来表示（1）等幂律等幂律AA=A AA=A（2）结合律结合律 (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)（3）交换律交换律 AB=BA AB=BA（4）分配律分配律 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)（5）同一）同一律律 A=A AE=A4.主要算律主
14、要算律（6）零律零律AE=E A=（7）排中律）排中律 AA=E A A=（8）吸收律吸收律 A(AB)=A A(AB)=A（9）德德摩根律摩根律 (AB)=A B (AB)=A B（10）双重否定）双重否定律律 (A)=A（11）排中律）排中律 AA=E，（12）矛盾律）矛盾律 AA=。推论推论：A B=A B A B=B A A A=问题：如何用集合的概念来描述一些现实问题？问题：如何用集合的概念来描述一些现实问题？例例1 1：设某计算机允许多道工作（设在此处道数：设某计算机允许多道工作（设在此处道数为为2 2），其内存分配如下：系统区，第一道作业），其内存分配如下：系统区，第一道作业区和
15、公共区，第二道作业区和公共区。试用集合区和公共区，第二道作业区和公共区。试用集合表示出：第一道作业的内存区域；第二道作表示出：第一道作业的内存区域；第二道作业的内存区域；第一道作业不能访问的内存区业的内存区域；第一道作业不能访问的内存区域；第二道作业不能访问的内存区域；域；第二道作业不能访问的内存区域；第一道作业的内存区域；第一道作业的内存区域；第二道作业的内存区域；第二道作业的内存区域；第一道作业不能访问的内存第一道作业不能访问的内存区域；区域；第二道作业不能访问的内存第二道作业不能访问的内存区域；区域；整个内存组成全集整个内存组成全集E E，系统区为集合系统区为集合S S，第一道第一道作业
16、的专用区为集合作业的专用区为集合A A；第二道作业的专用区第二道作业的专用区为集合为集合B B；第一、第二道作业的公共区为集合第一、第二道作业的公共区为集合C C；CBUBSCAUU)(ASCBUU)(AC例例2 2：某图书馆有藏书：某图书馆有藏书100100万册，有一读者前万册，有一读者前往查阅。他希望了解所有往查阅。他希望了解所有1919世纪的以描写农世纪的以描写农民生活为题材的长篇小说以及民生活为题材的长篇小说以及19791979年出版的年出版的我国的不是描写文化大革命的长篇小说之书我国的不是描写文化大革命的长篇小说之书名。请将此读者所要了解之书名用集合描述。名。请将此读者所要了解之书名
17、用集合描述。令：全集令：全集E E为所有该图书馆藏书的书名集，为所有该图书馆藏书的书名集，F F为所有十九世纪的书所组成的书名集为所有十九世纪的书所组成的书名集H H为所有描写农民生活题材的书所组成的书名集为所有描写农民生活题材的书所组成的书名集R R为所有长篇小说所组成的书名集为所有长篇小说所组成的书名集S S为所有为所有19791979年出版的书所组成的书名集年出版的书所组成的书名集C C为所有中国的书所组成的书名集为所有中国的书所组成的书名集K K为所有描写文化大革命的书所组成的书名集为所有描写文化大革命的书所组成的书名集读者所要了解之书名用集合描述如下：读者所要了解之书名用集合描述如下
18、：(RGFH)(SCK)3.3 集合中元素的计数集合中元素的计数1.基数：表示集合中所含元素多少的量基数：表示集合中所含元素多少的量 记作：或记作：或 card A=n nA 2.有穷集和无穷集有穷集和无穷集定义：设定义：设A为集合，若存在自然数为集合，若存在自然数n（0也是也是自然数）。使得自然数）。使得card A=n，则称，则称A为有穷集，为有穷集，否则称否则称A为有无穷集为有无穷集3.包含排斥原理包含排斥原理（1 1）两个集合的基数关系两个集合的基数关系 设设A A1 1，A A2 2为有限集合，其元素个数分别记为为有限集合，其元素个数分别记为|A A1 1|，|A|A2 2|，根据集
19、合运算的定义，显然以下各式成立根据集合运算的定义，显然以下各式成立|A A1 1AA2 2|A|A1 1|+|A|+|A2 2|A|A1 1AA2 2|min(|A|min(|A1 1|，|A|A2 2|)|)|A|A1 1-A-A2 2|A|A1 1|-|A|-|A2 2|，|A|A1 1AA2 2|A|A1 1|+|A|+|A2 2|-2|A|-2|A1 1AA2 2|（2 2）两个集合的包含排斥原理：）两个集合的包含排斥原理：|A A1 1AA2 2|(|A(|A1 1|+|A|+|A2 2|)-|A|)-|A1 1AA2 2|A A1 1AA2 2|S|-(|A|S|-(|A1 1|+
20、|A|+|A2 2|)+|A|)+|A1 1AA2 2|A A1 1A A2 2=(A(A1 1AA2 2)=S-(A)=S-(A1 1AA2 2)例题例题1 1 假设在假设在1010名青年中有名青年中有5 5名是工人，名是工人，7 7名是学名是学生，其中兼具有工人与学生双重身份的青年有生，其中兼具有工人与学生双重身份的青年有3 3名，问既不是工人又不是学生的青年有几名名，问既不是工人又不是学生的青年有几名?解解:设工人的集合为设工人的集合为W W，学生的集合为学生的集合为S S，则根则根据题设有：据题设有：|W|W|5 5，|S|S|7 7，|WS|WS|3 3。则则|WWS|S|10-(|
21、W|+|S|-|WS|)10-(|W|+|S|-|WS|)10-10-(5+7-3)(5+7-3)1 1 所以既不是工人又不是学生的青年有一名。或所以既不是工人又不是学生的青年有一名。或者是工人或者是学生的青年有九名。者是工人或者是学生的青年有九名。|W WS|S|(|W|+|S|)-|WS|(|W|+|S|)-|WS|5+7-3 5+7-3 9 9（3 3）三个集合的包含排斥原理三个集合的包含排斥原理 对于任意三个集合对于任意三个集合A1A1，A2A2和和A3A3，我们可以推广我们可以推广上述定理的结果为：上述定理的结果为：|A A1 1AA2 2AA3 3|A|A1 1|+|A|+|A2
22、2|+|A|+|A3 3|-|A|-|A1 1AA2 2|-|-|A|A1 1AA3 3|-|A|-|A2 2AA3 3|-|A|-|A1 1AA2 2AA3 3|A A1 1AA2 2AA3 3|S|-|S|-（|A|A1 1|+|A|+|A2 2|+|A|+|A3 3|）+（|A|A1 1AA2 2|+|A|+|A1 1AA3 3|+|A|+|A2 2AA3 3|）-|A-|A1 1AA2 2AA3 3|例题例题2 2 在某工厂装配三十辆汽车，可供选择在某工厂装配三十辆汽车，可供选择的设备是收音机，空气调节器和对讲机。已的设备是收音机，空气调节器和对讲机。已知其中知其中1515辆汽车有收音
23、机，辆汽车有收音机，8 8辆有空气调节器，辆有空气调节器，6 6辆有对讲机，而且其中辆有对讲机，而且其中3 3辆汽车这三样设备辆汽车这三样设备都有。我们希望知道至少有多少辆汽车没有都有。我们希望知道至少有多少辆汽车没有提供任何设备。提供任何设备。解解 设设A A1 1，A A2 2，A A3 3分别表示配有收音机、空气调分别表示配有收音机、空气调节器和对讲机的汽车集合。因此节器和对讲机的汽车集合。因此|A A1 1|1515，|A|A2 2|8 8，|A|A3 3|6 6 并且并且|A A1 1AA2 2AA3 3|3 3故故|A A1 1A A2 2A A3 3|15+8+6-|A15+8+
24、6-|A1 1AA2 2|-|A|-|A1 1AA3 3|-|-|A|A2 2AA3 3|+3|+3 32-|A1A2|-|A1A3|-|A2A3|32-|A1A2|-|A1A3|-|A2A3|因为因为|A1A2|A1A2A3|A1A2|A1A2A3|A1A3|A1A2A3|A1A3|A1A2A3|A2A3|A1A2A3|A2A3|A1A2A3|我们得到我们得到|A1A1A2A2A3|32-3-3-3A3|32-3-3-32323即至多有即至多有2323辆汽车有一个或几个供选择的设备，辆汽车有一个或几个供选择的设备，因此，至少有因此，至少有7 7辆汽车不提供任何可选择的设备。辆汽车不提供任何可选择的设备。小小 结结1.集合表达式集合表达式2.集合间的关系集合间的关系3.集合的计数集合的计数题例分析：题例分析：P7173 例例3.13例例3.15作业：作业：P74 3.11（1）P74 3.14（1）、（）、（2）P75 3.18
