1、第五章第五章 习题解答习题解答 试用反证法证明绝热线与等温线不能相交于二点试用反证法证明绝热线与等温线不能相交于二点(注意注意:不一不一定是理想气体定是理想气体)分析分析:题中已明确指出这是对于任何物质而言的，所以不能应用理题中已明确指出这是对于任何物质而言的，所以不能应用理想气体等温线和绝热线来证明它们不能相交于两点。由于热想气体等温线和绝热线来证明它们不能相交于两点。由于热力学第一定律和热力学第二定律具有普适性和可靠性，只要力学第一定律和热力学第二定律具有普适性和可靠性，只要假定在任意一个状态图上的绝热线与等温线相交于两点，然假定在任意一个状态图上的绝热线与等温线相交于两点，然后证明这样必
2、然违背热一律或热二律，那么这一命题必然是后证明这样必然违背热一律或热二律，那么这一命题必然是错误的。错误的。证明：假设绝热线与等温线相交于两点证明：假设绝热线与等温线相交于两点A和和B，从而围城一个闭合，从而围城一个闭合 区域，分两种情况讨论。区域，分两种情况讨论。PV等温线等温线 绝热线绝热线 ABDC 绝热线绝热线在等温线的下面。假设此循环是顺时针的，则此过程在等温线的下面。假设此循环是顺时针的，则此过程对外做功，而在整个循环中只从单一热源吸热对外做功，而在整个循环中只从单一热源吸热并全部用来对外做功，而不产生其它影响，这并全部用来对外做功，而不产生其它影响，这违反了热二律的开尔文表述，因
3、此，这种情况违反了热二律的开尔文表述，因此，这种情况下，等温线不能和绝热线相交于两点下，等温线不能和绝热线相交于两点PV等温线等温线 绝热线绝热线 ABDC 绝热线绝热线在等温线的上面。同样可以假设此循环是顺时针的，在等温线的上面。同样可以假设此循环是顺时针的，但是它在但是它在B-C-A等温过程中放热，不吸热，它无法和热力学第等温过程中放热，不吸热，它无法和热力学第二定律相联系，但是这样违背热力学第一定律。因为这是一个二定律相联系，但是这样违背热力学第一定律。因为这是一个顺时针循环，它是对外做功的。注意到在顺时针循环，它是对外做功的。注意到在A-D-B过程中是绝热过程中是绝热的，在的，在B-C
4、-A过程中是放热的，所以在整个循环中即放热又对过程中是放热的，所以在整个循环中即放热又对外做功，这样就违背了热一律。外做功，这样就违背了热一律。如此题设得证。如此题设得证。Pa/PL/V12342040等温线等温线 绝热线绝热线 如图所示，图中如图所示，图中1-3为等温线，为等温线，1-4为绝热线，为绝热线，1-2和和4-3均为等均为等压线，压线，2-3为等体线。为等体线。1molH2(理想气体理想气体)在在1点的状态参量为点的状态参量为V1=0.02m3，T1=300K；在；在3点的状态参量为点的状态参量为V3=0.04m3，T3=300K。试分别用如下三条路径计算试分别用如下三条路径计算S
5、3-S1：1-2-3;1-3;1-4-3.分析：因为能够用实线表示的状态变化图分析：因为能够用实线表示的状态变化图线一般都可以认为是可逆变化过程，所以线一般都可以认为是可逆变化过程，所以可用可用 来计算熵变。来计算熵变。TQSdd解：解：1-2为等压过程为等压过程：K6001122 TVVT2-3为等体过程，且为等体过程，且H2为双原子分子，故：为双原子分子，故：RCRCmVmP25,27,所以所以1-2-3过程的熵变为：过程的熵变为：2lndddd300600,600300,322113RTTCTTCTQTQSSmVmP Pa/PL/V12342040等温线等温线 绝热线绝热线 1-3为等温
6、过程，其熵变为：为等温过程，其熵变为：2lnlnd233113RVVRTQSS 1-4-3过程由过程由1-4的绝热过程和的绝热过程和4-3的等压过的等压过程组成，有：程组成，有：144111 VTVT3434VVTT 联立上式，代入联立上式，代入T1=300K，T3=300K，可得：，可得：K3002724 T则则1-4-3过程的熵变为：过程的熵变为：2ln2ln27d27d0)()(7272300300234431413RRTTRTQSSSSSS 可见：熵确为态函数，其变化仅由始末态决定，而与路径无关。可见：熵确为态函数，其变化仅由始末态决定，而与路径无关。如图所示，一长为如图所示，一长为0
7、.8m的圆柱形容器被的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端距左端0.3m处。活塞左边充有处。活塞左边充有1mol压强为压强为5105Pa的氦气，右边充有压强为的氦气，右边充有压强为1105Pa的的氖气，它们都是理想气体。将气缸浸入氖气，它们都是理想气体。将气缸浸入1L水中，水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于开始时整个物体系的温度均匀地处于25。气。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于新的平缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于新的平衡位置，试问这时衡位置，试问这时 水温升高多少？水温升高多少？活塞
8、将静止在距气缸左边活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？多大距离位置？物体系的总熵增加多少？物体系的总熵增加多少？HeNe分析：分析：开始时活塞是固定的，放松以后活塞振动起来，说明开始时开始时活塞是固定的，放松以后活塞振动起来，说明开始时活塞两边压强不等，物质的量也不等。考虑到气缸内的氦气活塞两边压强不等，物质的量也不等。考虑到气缸内的氦气和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体系（气缸以及内部的气体和外面的水）的温度均匀地处于系（气缸以及内部的气体和外面的水）的温度均匀地处于25，它不可能和外界交换热量。所以一开始气缸以及内部，它
9、不可能和外界交换热量。所以一开始气缸以及内部气体的内能就不变，温度不变，以后温度应该仍然不变，谁气体的内能就不变，温度不变，以后温度应该仍然不变，谁的温度也不变。的温度也不变。解：解：水温保持水温保持25不变。不变。设初态氦气、氖气的状态参量为设初态氦气、氖气的状态参量为（S表示截面积）表示截面积）：SVP3.0;Pa105;mol1He5HeHe SVP5.0;Pa101;Ne5NeNe 末态氦气、氖气的状态参量为末态氦气、氖气的状态参量为(l表示静止时活塞距气缸左边的距离表示静止时活塞距气缸左边的距离)：lSVP HeHeHe;mol1 SlVPP)8.0(;NeHeNeNeNe 由于物质
10、的量和温度都不变，所以有：由于物质的量和温度都不变，所以有：lSPVP HeHeHeSlPSlPVP)8.0()8.0(HeNeNeNe molm;6.031Ne l 整个气体的熵变等于氦气和氖气熵变之和。整个气体的熵变等于氦气和氖气熵变之和。1312.05.0Ne6.03.0HeNeHeJK22.352ln2lndd RRVVVVSSSSSSS 水的比热容比是水的比热容比是4.18KJKg-1K-1。1Kg0的水与一个的水与一个373K的大热源相接触，当水的温度到达的大热源相接触，当水的温度到达373K时，水的熵改变多少？时，水的熵改变多少？如果先将水与一个如果先将水与一个323K的大热源接
11、触，然后再让它与一个的大热源接触，然后再让它与一个373K的大热源接触，求系统的熵变。的大热源接触，求系统的熵变。说明怎样才可使水从说明怎样才可使水从273K变到变到373K而整个系统的熵不变。而整个系统的熵不变。分析：分析：由于前两问都是在温差不满足由于前两问都是在温差不满足T/T1的条件下的热传递，的条件下的热传递，因而是不可逆的。应该设想水所经历的是另一个其始、末态因而是不可逆的。应该设想水所经历的是另一个其始、末态都和他的初、末态相同的可逆过程。例如，水在等压条件下都和他的初、末态相同的可逆过程。例如，水在等压条件下依次和一系列的温度从依次和一系列的温度从T1逐步上升到逐步上升到T2的
12、热源相接触，相邻的热源相接触，相邻两热源之间的温差满足两热源之间的温差满足T/T1的条件。只有水达到新的平的条件。只有水达到新的平衡态后，才脱开原来的热源，再和下一个温度的热源相接触，衡态后，才脱开原来的热源，再和下一个温度的热源相接触，使达到下一热源的温度使达到下一热源的温度如此使得水的温度也逐步从从如此使得水的温度也逐步从从T1上上升到升到T2。这样就可以认为水在任何时刻的温度几乎都是处处。这样就可以认为水在任何时刻的温度几乎都是处处相等的相等的,它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两个可逆和不可逆过程的始末两态相同个可逆和不可逆过程的
13、始末两态相同,因而熵变相同。因而熵变相同。解：解：设水的初温设水的初温T1,终温终温T3,水的定压比热容水的定压比热容cP，则有，则有:TTmcSSTTmcQPPddddd 1313JK1030.1ln TTmcSP 整个系统的总熵变应为水的两次熵变和热源的两次熵变之和。整个系统的总熵变应为水的两次熵变和热源的两次熵变之和。设水的初温设水的初温T1，323K热源的温度为热源的温度为T2，373K热源的温度为热源的温度为T3。由。由于于323K和和373K热源处于恒温下，它们放出的热量分别为：热源处于恒温下，它们放出的热量分别为：)(,)(233122TTmcQTTmcQPP 两个热源的熵变分别
14、为：两个热源的熵变分别为：33re322re2,TQSTQS 水在两次传热过程中的熵变分别为：水在两次传热过程中的熵变分别为：23OH312OH2ln,ln22TTmcSTTmcSPP 整个系统的总熵变为：整个系统的总熵变为：1OH3OH2re3re2JK9722 SSSSS 可以看出在可以看出在中，水和热源的总熵变为中，水和热源的总熵变为111313JK184lnln TTTmcTTmcSPP)1()2(整个系统的总熵变为：整个系统的总熵变为：1OH3OH2re3re2JK9722 SSSSS 可以看出在可以看出在中，水和热源的总熵变为中，水和热源的总熵变为111313JK184lnln T
15、TTmcTTmcSPP)1()2(注意到注意到(2)式的总熵变小于式的总熵变小于(1)式的总熵变，可知增加一个中间温度式的总熵变，可知增加一个中间温度(323K)的热源后，水和热源合在一起（它们是绝热系统）的总熵的热源后，水和热源合在一起（它们是绝热系统）的总熵变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变，一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变，应该使水所经历的是可逆过程，即按照前面分析中所描述的那样，应该使水所经历的是可逆过程，即按照前面分析中所描述的
16、那样，使水与一系列温度相差无穷小的热源相接触，使得水所经历的是使水与一系列温度相差无穷小的热源相接触，使得水所经历的是可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程总熵不变。可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程总熵不变。有一热机循环，它在有一热机循环，它在T-S图上可以表示为其半长轴及半短轴分图上可以表示为其半长轴及半短轴分别平行于别平行于T轴及轴及S轴的椭圆。循环中熵的变化范围从轴的椭圆。循环中熵的变化范围从S0到到3S0，T的变的变化范围从化范围从T0到到3T0。试求该热机的效率。试求该热机的效率。解：做出示意图解：做出示意图 TS 43 1 2 3T0T0S0 3S0 椭圆中心坐标为椭圆中心坐
17、标为)2,2(00TS椭圆半长、半短轴的长度分别为：椭圆半长、半短轴的长度分别为：00,TS椭圆面积为椭圆面积为0012341TSA T-S图上顺时针循环面积为热机对外所做功，图上顺时针循环面积为热机对外所做功，因而：因而：0012341TSAW 由图可见，由图可见，341过程吸热，吸收的热量为该段循环过程吸热，吸收的热量为该段循环曲线下的面积，故有：曲线下的面积，故有：002000021)4(22TSSTTSQ 吸吸热机效率为热机效率为：82 吸吸QW理想气体经历一正向可逆循环，其循环过程在理想气体经历一正向可逆循环，其循环过程在T-S图上可表示图上可表示为从为从300K、1 106J/K的
18、状态等温地变为的状态等温地变为300K、5 105J/K的状态，的状态，然后等熵地变为然后等熵地变为400K、5 105J/K，最后按一条直线变回到，最后按一条直线变回到300K、1 106J/K的状态。（的状态。（1）在）在T-S图上正确画出循环图；图上正确画出循环图；（2）求循环）求循环效率及它对外所作的功效率及它对外所作的功解：解：T-S图上的循环过程如图示图上的循环过程如图示 T/KS/(KJ/K)32 1400300500 1000 12过程等温、放热；过程等温、放热；23过程等过程等熵、绝热；熵、绝热；31过程方程为：过程方程为：K500)JK102(124 ST此过程是吸热过程，
19、吸收的热量为：此过程是吸热过程，吸收的热量为：J1075.1dK500)JK102(d81242121 SSSSSSSTQ吸吸系统在整个循环过程中对外作的功为系统在整个循环过程中对外作的功为T-S图中所围三角形图中所围三角形1231的面积，即：的面积，即：J105.2J105001005.0731231 AW循环效率为：循环效率为：%3.14711075.1105.287 吸吸QW 绝热壁包围的气缸被一绝热活塞分隔成绝热壁包围的气缸被一绝热活塞分隔成A、B两室。活塞在气两室。活塞在气缸内可无摩擦地自由滑动。缸内可无摩擦地自由滑动。A、B内各有内各有1mol双原子分子理想气体。双原子分子理想气体
20、。初始时气体处于平衡态，他们的压强、体积、温度分别为初始时气体处于平衡态，他们的压强、体积、温度分别为P0,V0,T0。A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为室中压强变为2P0，试问：，试问：最后最后A、B两室内气体温度分别是多少？两室内气体温度分别是多少？在加热过程中，在加热过程中，A室室气体对气体对B室气体做了多少功？室气体做了多少功？加热器传给加热器传给A室气体多少热量？室气体多少热量？A、B两室的总熵变是多少？两室的总熵变是多少？分析：注意气缸和活塞都是绝热的。分析：注意气缸和活塞都是绝热的。A对对B的影响是通过活塞的做的影响是通过活塞的做
21、功实现的，而功实现的，而A、B的压强始终相等，的压强始终相等，A、B的总体积不变。的总体积不变。解：解：B经历的是准静态绝热过程。设经历的是准静态绝热过程。设B的末态体积与温度分别为的末态体积与温度分别为VB,TB；A的末态体积与温度分别为的末态体积与温度分别为VA,TA。双原子分子理想气。双原子分子理想气体的体的=7/5，则有：，则有：010B102TPTP 所以所以B室温度为：室温度为：000B22.122721TTTT 00BB00061.02275VVVVPVP 又：又：000B0A39.161.022VVVVVV 则则A室温度为：室温度为：00000A0A78.239.122TTTV
22、PVPT 由于气缸和活塞都是绝热的，由于气缸和活塞都是绝热的，A室气体对室气体对B室气体做的功就是室气体做的功就是B室气体内能的增加（两室气体均为室气体内能的增加（两室气体均为1mol），有：），有：000250B,B55.0)22.1()(RTTTRTTCUWmV 加热器传给加热器传给A室的热量等于室的热量等于A室气体和室气体和B室气体内能增量的和：室气体内能增量的和：0000,BA555.0)78.2(RTRTTTCUUQmV 由理想气体熵变公式可得：由理想气体熵变公式可得：RPPRTTCSmP885.22lnln000A,A RPPRTTCSmP3000B,B1088.22lnln 总熵
23、变为：总熵变为：RSSS89.2BA 某热力学系统从状态某热力学系统从状态1变化到状态变化到状态2。已知状态。已知状态2的热力学概率的热力学概率是状态是状态1的热力学概率的的热力学概率的2倍，试确定系统熵的增量倍，试确定系统熵的增量分析：这是一个利用玻尔兹曼关系分析：这是一个利用玻尔兹曼关系S=klnW来计算系统熵的习题来计算系统熵的习题 解：解：11lnWkS 22lnWkS 1212lnlnWWkSS 2lnln12kWWk 124JK1057.9 一定质量的气体在某状态时的热力学概率为一定质量的气体在某状态时的热力学概率为W1，问当其质，问当其质量增大量增大n倍时的热力学概率倍时的热力学概率W2是多少？设两种情况下的温度和压强是多少？设两种情况下的温度和压强均相同。均相同。解：解：熵为广延量，因而当质量由熵为广延量，因而当质量由SnSmnm时，时，当质量为当质量为m时有：时有：11lnWkS 当质量为当质量为 n m 时有：时有：122lnSnWkS 1212lnlnWWnSS nWWnW112lnlnln nWW12
