1、现 代 通 信 系 统 原 理授课教师：杨怡怀现代通信系统原理现代通信系统原理第六章 数字信号的载波传输v8.1 引言v8.2 常用简单分组码v8.3 线性分组码v8.4 循环码v8.5 卷积码 第八章第八章 差错控制编码差错控制编码现代通信系统原理现代通信系统原理8.1 引言8.1.1 8.1.1 信源编码与信道编码的基本概念信源编码与信道编码的基本概念v设计通信系统的目的：把信源产生的信息有效可靠地传送到目的地。v信源编码：为了提高数字信号传输的有效性而采用的编码。（PCM、DPCM、ADPCM、M）v信道编码(差错控制编码)：为了提高数字通信的可靠性而采取的编码。现代通信系统原理现代通信
2、系统原理8.1.28.1.2 纠错编码的分类纠错编码的分类v按照信道编码的不同功能：纠错码、检错码。按照信道编码的不同功能：纠错码、检错码。v按照信息码元和监督码元之间的检验关系：线性按照信息码元和监督码元之间的检验关系：线性码、非线性码。码、非线性码。v按照信息码元和监督码元的约束方式：分组码、按照信息码元和监督码元的约束方式：分组码、卷积码。卷积码。v按照信息码元在编码后是否保持原来的形式：系按照信息码元在编码后是否保持原来的形式：系统码、非系统码。统码、非系统码。v按照纠正错误的类型不同：纠正随机错误码、纠按照纠正错误的类型不同：纠正随机错误码、纠正突发错误码。正突发错误码。v按照信道编
3、码所采用的数学方法不同：按照信道编码所采用的数学方法不同：代数码代数码、几何码和算术码。几何码和算术码。现代通信系统原理现代通信系统原理前向纠错发发收收纠错码纠错码混合纠错发收纠检错应答信号8.1.38.1.3 差错控制方法差错控制方法现代通信系统原理现代通信系统原理常用检错重发系统:停发等候重发 返回重发 选择重发发发收收检错码检错码应答信号应答信号检错重发现代通信系统原理现代通信系统原理停发等候重发12331TI23发接收ACKNAK发现错误这是一种半双工的通信方式，原理简单，这是一种半双工的通信方式，原理简单，效率低。效率低。现代通信系统原理现代通信系统原理返回重发1 2 3 4 5 6
4、 2 3 4 5 6 7 8 91*3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9发接收发现错误NAK从码组2开始重发 (传输效率最高,需复杂的控制,收、发数据缓存)选择重发7 8 9 10 11 12重发码组2现代通信系统原理现代通信系统原理8.1.4 纠错编码的基本原理v 在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元,这些多余码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联(约束),接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系。现代通信系统原理现代通信系统原理v信道编码相关术语 码长 码重 码距 最小码距 P224现代通信系统原理现代通信系统原理例：3位二进制数构成的码组表示天气全用用4种
5、 用2种全用用4种 用2种000晴晴晴100雪001云101霜阴010阴110雾雨011雨云111雹雨现代通信系统原理现代通信系统原理 如不要检（纠）错，传输4种不同的信息，用两位码组就够了，这两位码代表所传信息，称为信息位，多增加的称为监督位。v将信息码分组，为每组信码附加若干监督码的编码，称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组的中的信息码元。v分组码用（n，k）表示，n码组长度，k 信息位数，n k=r 监督位数。v1的数目称为码组的重量，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离（汉明距离）。各码组间距离的最小值为最小码距 d0 现代通信系统原理现代通信系统原理d0的大小直接关系着
6、编码的检，纠错能力。为检测为检测 e e 个错码，要求：个错码，要求：d d0 0 e+1e+1为纠正为纠正 t t 个错码，要求：个错码，要求：d d0 0 2 2 t+1t+1Bd0AeAtB1td0现代通信系统原理现代通信系统原理AtB1ed0为纠正为纠正 t t 个错码，同时检测个错码，同时检测 e e 个错码，要求：个错码，要求：d d0 0 e+t+1 e+t+1现代通信系统原理现代通信系统原理8.2 常用的简单编码8.2.18.2.1奇偶监督码奇偶监督码 无论信息位有多少,监督位只有一位,使码组中“1”的数目为偶(或奇)数。接收端奇数监督码偶数监督码10021aaann这种码能够
7、检测奇数个错码,适用检测随机错误。现代通信系统原理现代通信系统原理8.2.2 行列监督码（二维奇偶监督码）v把上述奇偶监督码的若干码组排列成矩阵,每一码组写成一行,然后,再按列的方向增加第二维监督位10111211aaaann20212221aaaannmmmnmnaaaa01210121ccccnn现代通信系统原理现代通信系统原理8.2.3 恒比码v每个码组的码子中每个码组的码子中“1”“1”的数目与的数目与“0”“0”的数的数目之比保持恒定目之比保持恒定,故得此名。故得此名。目前我国电传通信中普遍采用目前我国电传通信中普遍采用3:23:2的恒比码。的恒比码。现代通信系统原理现代通信系统原理
8、8.3 线性分组码v 线性分组码中信息码元和监督码元是用线线性分组码中信息码元和监督码元是用线性方程联系起来的。性方程联系起来的。v若有若有r r个监督码，则有个监督码，则有r r个监督关系式，则个监督关系式，则r r个校正子可以指明一个错码的（个校正子可以指明一个错码的（2 2r r1 1）个）个不同位置，当（不同位置，当（2 2r r1 1）n n时，则能纠正码时，则能纠正码组中任何一个位置上的错码。组中任何一个位置上的错码。现代通信系统原理现代通信系统原理v主要性质主要性质 任意两许用码组之和任意两许用码组之和(模模2 2和和)仍为一许仍为一许用码组。用码组。(封闭性封闭性)码的最小距离
9、等于非零码的最小重量。码的最小距离等于非零码的最小重量。现代通信系统原理现代通信系统原理奇偶监督码是一种最简单的线性码,偶校验时vS S称为校正子称为校正子,又称伴随式又称伴随式.S=0S=0无错无错,S=1 S=1 有错。有错。v一般一般,由由r r个监督方程式计算得个监督方程式计算得r r个校正子个校正子,可以用来指示可以用来指示2 2r r-1-1种错误种错误,对于一位误码来对于一位误码来说说,就可以指示就可以指示2 2r r-1-1个误码位置。个误码位置。021aaaSnn现代通信系统原理现代通信系统原理设分组码(n,k)中k=4,为纠正一位错码,要求r3,则 n=k+r=7S S1
10、1S S2 2S S3 3错码位置错码位置S S1 1S S2 2S S3 3错码位置错码位置001001a a0 0101101a a4 4010010a a1 1110110a a5 5100100a a2 2111111a a6 6011011a a3 3000000无错无错现代通信系统原理现代通信系统原理024561aaaaS013562aaaaS003463aaaaS4562aaaa3561aaaa3460aaaa计算监督位判断错码位置按上述方法构造的纠正单个错误的线性分组码称为汉明码。（1）（2）现代通信系统原理现代通信系统原理v（1）改写为000101110123456aaaaa
11、aa001010110123456aaaaaaa010011010123456aaaaaaa表示成矩阵形式1001101010101100101110123456aaaaaaa=000PIr现代通信系统原理现代通信系统原理简记为 或 H称为监督矩阵，H确定，则编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。P为r k 阶,Ir为 r r 阶单位方阵。具有 P Ir 形式的H矩阵称为典型阵。（2）改写为：TTHA00TAH012aaa=1101101101113456aaaa现代通信系统原理现代通信系统原理或012aaa3456aaaa1101010111113456aaaaQ阶rkPQTQIGk生成矩
12、阵0123456aaaaaaa3456aaaaGA3456aaaaG现代通信系统原理现代通信系统原理 具有 形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。QIGk现代通信系统原理现代通信系统原理 发送码组A在传输过程中可能发生误码，设接收到的码组为B=bn-1 bn-2 b0则则 B A=E B A=E E=e E=en-1 n-1 e en-2 n-2 e e0 0 错误图样错误图样 也可写作也可写作 B=A+EB=A+Eiiiiiababe当当10现代通信系统原理现代通信系统原理接收端计算校正子为：错误图样与校正子之间有确定的关
13、系TTTTTEHEHAHHEABHS）（现代通信系统原理现代通信系统原理例 设 且有3个接收码组：v验证3个接收码组是否发生差错？v若在某码组中有错码，错码的校正子是什么？然后再指出发生错码的码字中，哪位有错？100101010110001011H1011101B1101012B1100003B现代通信系统原理现代通信系统原理解：1）若无错，则错误图样为0，S为000011THBSB1无错10122THBSB2错11033THBSB3错2）S2=H 第1列 E=1 0 0 0 0 0 第1位错同理 S3=H 第3列 E=0 0 1 0 0 0 第3位错TEHS 现代通信系统原理现代通信系统原理
14、线性码的重要性质v封闭性 任意许用两个码组之和仍为许用码组v两个码组之间的距离必是另一码组的重量,故最小码距即码的最小重量(除全0码外)现代通信系统原理现代通信系统原理9.5 循环码9.5.1 循环码原理v循环码是一种重要的线性分组码,易于实现,性能较好.v循环码除具有线性码的一般性质外,还具有循环性,即循环码中任一码组循环一位以后,仍为该码中的一个码组.v一长为n的码组可表示成码多项式012211)(axaxaxaxTnnnn现代通信系统原理现代通信系统原理码多项式的按模运算若F(x)=N(x)Q(x)+R(x)则 F(x)R(x)(模 N(x)例 )1(113224xxxxx模xxxx11
15、243xx 412xx现代通信系统原理现代通信系统原理 在循环码中,若 T(x)是一个长为n的许用码组,则xi T(x)在按模xn+1运算下,也是一个许用码组。即 若 则 T(x)也是一个许用码组)1()()(nixxTxTx模现代通信系统原理现代通信系统原理在循环码中，一个（n，k）码有2k个不同码组v假设用g（x）表示一个前k-1位皆为0（第k位不为0）的码组 则 在循环码中，除全0码外，再没有连续k位均为“0”的码组，即连“0”的长度最多只能k-1位。因此g（x）必须是一个常数项不为“0”的n-k次多项式。012211)(axaxaxaxTnnnn011)(axaxaxgknknknkn
16、生成多项式现代通信系统原理现代通信系统原理 g(x),xg(x),x2g(x),xk-1g(x)都是码组,且线性无关,故循环码的生成矩阵G可写成：假如输入信息码元 mk-1 mk-2 m0 则)()()()()(21xgxxgxgxxgxxGkk)()()(021xGmmmxTkk)()(02211xgmxmxmkkkk现代通信系统原理现代通信系统原理 所有码多项式T(x)都可被g(x)整除,而且,任一次数不大于k-1的多项式乘g(x)都是码多项式。v生成多项式g(X)的确定 T(x)=h(x)g(x)又 g(x)为一个码组,故xkg(x)在模xn+1运算下也为一码组,故可写成1)()(1)(
17、nnkxxTxQxxgx=1现代通信系统原理现代通信系统原理v故 g(x)是 xn+1的一个n k次因式,此即寻找 g(x)的方法.例)(1)(xTxxgxnk)()()()()(1xhxxgxgxhxgxxkkn)1)(1)(1(13237xxxxxx都可作为(7,3)循环码的生成多项式现代通信系统原理现代通信系统原理8.5.2 循环码的编、解码方法、编码步骤v 根据给定的（n,k)选定生成多项式g(x),即从xn+1的因子中选一n-k次多项式作为g(x)。v 所有码多项式T(x)都可被g(x)整除,据此对给定的信息位m(x)进行编码。1.信息码后附加n-k个02.3.)(xmxkn)()(
18、)()()(xgxrxQxgxmxkn)()()(xrxmxxTkn现代通信系统原理现代通信系统原理监督位信息位例(7,3)循环码 m(x)=x2+x,g(x)=x4+x2+x+1v解 5637)(xxxmx1)()(2456xxxxxxgxmxkn1112422xxxxxxr(x)11001011)(256xxxxT现代通信系统原理现代通信系统原理a+b+cd+输入输入m输出输出feS（7，3）码编码器）码编码器m a b c d e f0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 1 1
19、0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 1f=mf=e现代通信系统原理现代通信系统原理循环码的解码v将接收码组R(x)用g(x)去除,若未发生错误,R(x)能被g(x)整除,发生错误则有余项。现代通信系统原理现代通信系统原理8.6 卷积码v卷积码把卷积码把k k个信息位编个信息位编n n位位,k k和和n n通常很小通常很小,特别特别适宜于串行形式传输适宜于串行形式传输,延时小。延时小。vn n 个码元与当前段的个码元与当前段的k k个信息位有关个信息位有关,而且与前而且与前N-1N-1段的信息有关段的信息有关,编码过程相互关联的码元为编码过程相互关联的码元为NnNn个。个。vN N
20、或或nNnN称为卷积码的约束长度称为卷积码的约束长度,v常把卷积码记作常把卷积码记作(n,k,Nn,k,N)在编码器复杂性相同的情况下,卷积码的性能优于分组码。现代通信系统原理现代通信系统原理 6 5 4 3 2 1+输入输入bici输出输出bici卷积码编码器卷积码编码器k=1,n=2,N=6现代通信系统原理现代通信系统原理 b6 b5 b4 b3 b2 b1+一一级级移移存存+S6 S5 S4 S3 S2 S1+门限电路门限电路(2,1,6)卷积码门限译码器卷积码门限译码器输入输入bici重算重算ci输出输出校正子校正子“1”的个数的个数3?现代通信系统原理现代通信系统原理假定b1以前各码
21、元均未发生错误,则)()(111cEbES)()(222cEbES)()(333cEbES)()()(1444bEcEbES)()()()(21555bEbEcEbES)()()()()(321666bEbEbEcEbES错无错bbbE10)(错无错cccE10)(1)现代通信系统原理现代通信系统原理(1)式经线性变换v这是一组正交于E(b1)的正交校验方程,在所考察的12个码元(b1b6,c1c6)中错误不多于2个的条件下,仅当E(b1)=1,(2)式才有可能有3个或3个以上方程等于1。门限电路门限设为3,此时,门限电路输出“1”,纠正b1错误,同时送到受E(b1)影响的各级校正子移存器纠正
22、其中错误。)()(111cEbES)()()(1444bEcEbES)()()()(21555bEbEcEbES)()()()()(6263162cEcEbEbEbESS(2)现代通信系统原理现代通信系统原理监督矩阵H则 即11bc 22bc 33bc 414bbc5215bbbc63216bbbbc74327bbbbc011bc022bc033bc05215bbbc0414bbc063216bbbbc074327bbbbc 假定b1进入编码器之前，各级移存器处于“0”状态。现代通信系统原理现代通信系统原理 H1用矩阵表示为 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
23、0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 665544332211cbcbcbcbcbcb0Nkn)(nn-k现代通信系统原理现代通信系统原理H1：截短监督矩阵 自第7行起，每行结构相同，只是每行的起始比上一行多两个“0”。v一般，卷积码的截短监督矩阵形式为：knNNNknknknIppppIpppIppIpH1211231211000000现代通信系统原理现代通信系统原理In-k n-k阶单位方阵Pi （n-k）k矩阵0 n-k 阶全零方阵v基本监督矩阵h=PN 0 PN-1 0
24、 PN-2 0 P1 In-k 只要给定h，H1随之确定。现代通信系统原理现代通信系统原理生成矩阵G 基本生成矩阵g g=IK Q1 0 Q2 0 Q3 0 QN v截短生成矩阵1G121121321000000QIQQIQQQIQQQQIkNkNKNkIk k阶单位方阵阶单位方阵Qi=PiT k （n-k）矩阵矩阵0 k 阶全零方阵阶全零方阵现代通信系统原理现代通信系统原理卷积码的图解表示 （3 3，1 1，3 3）卷积码编码器）卷积码编码器 a a 状态状态m m1 1m m2 2为为0000，b b 状态状态m m1 1m m2 2为为0101，c c 状态状态m m1 1m m2 2为
25、为1010，d d 状态状态m m1 1m m2 2为为1111。M3 M2 M1+输入序列输入序列 mjmjy1，jY2，j现代通信系统原理现代通信系统原理（3，1，3）卷积码的树状图000000111000111001110000111001110011100010101aababcdabcdabcd111001110011100010101000111001110011100010101bcdabcdabcdabcda现代通信系统原理现代通信系统原理（3，1，3）卷积码的网格图abcd0000000000000001111111111111110110110110010010010011
26、10110110110010010010101101101100现代通信系统原理现代通信系统原理（3，1，3）卷积码的状态图aabbccda111110101000011100001010abcd111000110101100001011010现代通信系统原理现代通信系统原理在前述编码器中，若起始状态为a，输入序列为11010111，求输出序列和状态变化路径abcd000000000000000111111111111111011011011001001001001110110110110010010010101101101100现代通信系统原理现代通信系统原理对于（n，k，N）卷积码的一般情况，有如下结论：v对应于每组k个输入比特，编码后产生n个输出比特。v树状图每个节点引出2k条支路。v网格图和状态图都有2k(N-1)种可能的状态，每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它状态或本状态引入。
