1、BG1线性方程组解题方法技巧与题型归纳 BG2题型一 线性方程组解的基本概念v1.如果1、2是下面方程组的两个不同的解向量,则a的取值如何?4102132332131321xaxxxxaxxxBG3v解:因为1、2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解,r(A)=r(Ab)3,对增广矩阵进行初等行变换v易见仅当a=-2时,r(A)=r(Ab)=23,v故知a=-2。10514320053220311410213023112aaaaaaaBG4v2.设A是秩为3的54矩阵,1、2、3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若1+2+23=(2,0,0,0)T,31+2=(2,4,6,8
2、)T,求方程组Ax=b的通解。BG5v解:因为r(A)=3,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4-r(A)=1个向量构成,v又因为(1+2+23)-(31+2)=2(3-1)=(0,-4,-6,-8)T,是Ax=0的解,即其基础解系可以是(0,2,3,4)T,v由A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b知1/4(1+2+23)是Ax=b的一个解,故Ax=b的通解是TTk4,3,2,00,0,0,21BG6v3.已知1=(-9,1,2,11)T,2=(1,-5,13,0)T,3=(-7,-9,24,11)T是方程组的三个解,求此方程组的通解。34432144322114432214942
3、332dxcxxxxbxxbxdxaxxaxBG7v分析:求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系,判断r(A)的秩。v解:A是34矩阵,r(A)3,由于A中第2,3两行不成比例,故r(A)2,又因为1=1-2=(-10,6,-11,11)T,2=2-3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量,于是4-r(A)2,因此r(A)=2,所以1+k11+k22是通解。BG8v总结:v不要花时间去求方程组,太繁琐,由于1-2,1-3或3-1,3-2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系,1,2,3都是特解,此类题答案不唯一。BG9题型2 线性方程组求解4.矩阵B 的各行向量都是方
4、程组的解向量,问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系?若不能,这4个行向量是多了还是少了?若多了如何去掉,少了如何补充?02321011000102100121033450622032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxBG10v解:将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵vr(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量1=(1,-2,1,0,0)T,2=(1,-2,0,1,0)T,B 3=(5,-6,0,0,1)T,B矩阵的r3=r1-r2,r4=3r1-2r2,B中线性无关的行向量只有1,2行,故B中4个行向量不能构成基础解系,需增补3。100
5、00000000622105110113345622103112311111AA02321011000102100121BG11v1.参数取哪些值时使r(A)r(Ab),方程组无解;v2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab),方程组有解,继续讨论v参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)n,方程组有无穷多解;v(2)参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n,方程组有唯一解。题型3 含参数的线性方程组解的讨论BG12v一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组,只能用初等行变换求解;v二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组,用下面两种方法求解:v1.初等行变换法v2.系数行列式法,系数行列式不等
6、于0时有唯一解,可用克莱姆法则求之;系数行列式为0时,用初等行变换进行讨论。BG13v5.设线性方程组v(1)证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则线性方程组无解;v(2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k0),且已知1=(-1,1,1)T,2=(1,1,-1)T是该方程组的两个解,写出该方程组的通解。34324241333232313232222131321211axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxBG14v解(1)(Ab)对应的行列式是范德蒙行列式,故r(Ab)=4,r(A)=3,所以方程组无解。v(2)当a1=a3=k,a2=a4=-k时,原方程组化为v系数矩阵与增
7、广矩阵的秩均为2,2-1=(-2,0,2)T,是对应导出组的非零解,即为其基础解系,故非齐次组的通解为vX=c(2-1)+1。(c为任意常数。)3322133221kxkkxxkxkkxxBG15v6.设n维向量组1,2,3(n3)线性无关,讨论:当向量组a2-1,b3-2,a1-b3线性相关时,方程组1243287323243242143214321bxaxxxxxxaxxxxxxx的解,且当有无穷多解时,用其导出组的基础解系表示其通解。BG16v解:(a2-1,b3-2,a1-b3)=因为1,2,3线性无关,所以向量组 a2-1,b3-2,a1-b3线性相关的充要条件是即b(a2-1)=0
8、所以b=0或a=1bbaa00101321,000101bbaaBG17v方程组的增广矩阵(Ab)=baabaa10001210011110321111211043021873232111 (1)当a=1,b 0时,方程组无解;(2)当a=-1,b 0时,方程组唯一解;(3)当b=0,a 1时,方程组唯一解;(4)当a=1,b=0时,方程组有无穷多解。BG18v此时:0000021100021011023020100000120001111032111Ab21021230112c该方程组的通解为取x3为自由未知量BG19题型4 线性方程组的公共解、同解问题v情况1.已知两具体齐次线性方程组,求
9、其非零公共解:将其联立,则联立方程组的所有非零解,即为所求。0 xBABG20v6.设如下四元齐次方程组()与(),求:v(1)方程组()与()的基础解系;v(2)方程组()与()的公共解。00)(;00:4323214221xxxxxxxxxxBG21v解:(1)()的基础解系为1=(-1,1,0,1)T,2=(0,0,1,0)T;v同样得()基础解系为3=(1,1,0,-1)T,4=(-1,0,1,1)Tv(2)将方程组和 联立组成新方程组:00004323214221xxxxxxxxxxBG22v将其系数矩阵进行初等行变换v得的基础解系为(-1,1,2,1)Tv于是方程组与的公共解为 X
10、=k(-1,1,2,1)T,k取全体实数。00002100101010011110011110100011BG23v情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解,求其非零公共解:令两通解相等,求出通解中任意常数满足的关系式,即可求得非零公共解,简言之,两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。BG24v7.已知齐次线性方程组与的基础解系分别是1=(1,2,5,7)T,2=(3,-1,1,7)T,3=(2,3,4,20)T,1=(1,4,7,1)T,2=(1,-3,-4,2)T。求方程组与的公共解。BG25v解;显然方程组与的通解分别为k11+k22+k33与11+22,令其相等得到k11+k22+k33
11、=11+22v即022077047450343202321321213212132121321kkkkkkkkkkkk211000001007400101430001212077474153431211231ABG26v于是(k1,k2,k3,1,2)T=vt(-3/14,4/7,0,1/2,1)Tv即k1=-3t/14,k2=4t/7,k3=0,1=t/2,2=tv于是可得1,2的关系为1=t/2=2/2,将此关系式代入通解即为所求的公共解v为11+22=(2/2)1+22=(2/2)(1+22)=(2/2)(3,-2,-1,5)T,=(3,-2,-1,5)T,其中=2/2为任意实数。BG2
12、7v情况3v已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组,求其非零公共解:常将通解代入另一方程组,求出通解中任意常数满足的关系,即求出通解中独立的任意常数,再代回通解,即得所求的非零公共解。v简言之:已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。BG28v8.设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1).v(1)求齐次线性方程组()的基础解系;v(2)问方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解;若没有,则说明理由.12240,0,xxxxBG29v解:1)由 所以 以x2,x3为自由未知数可得基础
13、解系 122400 xxxx1242xxxx 11101 2010 01234011012010110kkkk 1 2 10 (2)令BG30v则可得:231231242322kkkkkkkkkk 321242kkkkkk 即所以有公共解 122101112011kkkkkk 1 2 1 1 BG31题型5 与AB=0有关的问题v已知矩阵A,求矩阵B 使AB=0,此类问题常将B按列分块,B=(b1,b2,.bn),将列向量bi视为Ax=o的解向量,因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量,B的其余列向量可取为零向量。BG32题型5 与AB=0有关的问题v例9 设 求
14、一个42矩阵B使 AB=0,且r(B)=2.82593122ABG33v解:由AB=0知,B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2,未知量的个数是4,因而Ax=o的基础解系含有2个解向量,于是如果求出Ax=o的基础解系,以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。为此对A进行初等行变换得基础解系1=(1,5,8,0)T,2=(0,2,1,1)T令B=(1,2),则B即为所求。1108201582593122ABG34题型6 已知基础解系反求其齐次线性方程组v法1:解方程组法v(1)以所给的基础解系为行向量做矩阵B,v(2)解Bx=0,求出其基础解系;v(3)以(2)中所得基础解系中的向量为行向
15、量作矩阵,该矩阵即为所求的一个矩阵A.BG35v法 2 初等行变换法v以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵,再写出Bx=0的一个基础解系,以这些基础解系为行向量组成的矩阵,就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A,从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.BG36v例10 写出一个以X为通解的齐次线性方程组。TTccX1,0,4,20,1,3,221BG37v解:法1.v令1=(2,-3,1,0)T,2=(-2,4,0,1)T,以1T 2T为行向量作矩阵B,v只需写出Bx=0的一个基础解系1=(1,0,-2,2)T,2=(0,1,3,-4)T,则
16、所求齐次线性方程组的系数矩阵为A,1042013221tTB4310220121TTABG38v所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,即043022432431xxxxxxBG39v法2 把所给通解改写为v由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1,x2,且对应的方程组为 即4343434231212121432143224322xxxxxxxcxcccccccxxxx令043022432431xxxxxx4324314322xxxxxxBG40题型7 抽象线性方程组求解v1.已知系数矩阵A的秩,求Ax=0的通解:为求Ax=0的通解,必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向
17、量,然后设法求出这些解向量。BG41v11.设n阶矩阵的各行元素之和均为零,且R(A)=n-1,求线性方程组Ax=0的通解。v解:X的维数为n,R(A)=n-1,故Ax=0的一个基础解系含1个解向量,又因为A的各元素之和为0,故非零向量1=(1,1,1)T满足方程组Ax=0,因而1为Ax=0的一个基础解系,于是通解为=k1(k为任意常数)BG42v2.已知AX=b 的特解求其通解BG43v12.设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2,且它的三个解向量1,2,3满足1+2=(3,1,-1)T,1+3=(2,0,-2)T,求Ax=b的通解。BG44v解:因=(1+2)-(1+3)=2-3为Ax=0的一个解向量。而1=(1+2)/2是Ax=b的特解,因Ax=0的基础解系含有1个解向量,故Ax=b的通解为 X=k+1 (k为任意常数)BG45