1、第16章 二次根式二次根式16.1 二次根式（第2课时 二次根式的性质）1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）学习目标学习目标情景引入问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？14算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a2()aa a01 1214我们都是非负数哟导入新课导入新课问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门 平方之门 140 -4 -1 1 16 4 1 116142a2aa a为任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考 你发现了什么？正方形
2、的边长为 ，用边长表示正方形的面积为 ，又因为面积为a，即 .（a0）的性质一2()a活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？a2aa2a这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？讲授新课讲授新课活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？.算术平方根平方运算 0 2 4 .004213a(a0)a2)(a 02 =0 .1321133观察两者有什么关系？2 22=42222_1.322_;24_;20_;41320根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：是2的
3、算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此 .同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.2222210,4,313归纳总结 的性质：2()(0)aa 一般地，a (a 0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a典例精析例1 计算：2(1)(1.5);2(2)(2 5)；解：2(1)(1.5)1.5.222(2)(2 5)2(5)4 520.(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：(ab)2=a2b2例2 在实数范围内分解因式：42(2)44.yy解：222422222(2)442
4、222.yyyyyy2(1)3;x 2(1)333.xxx 本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.归纳2()0aa a练一练 计算：22(1)(5)(2)(2 2).；解:2(1)(5)5 .222(2)(2 2)=2(2)=4 2=8.平方运算算术平方根 2 0.1 0 .449a(a0)2a2a 2 .23观察两者有什么关系？0.010.10230 的性质二2a填一填：a(a0).2a .平方运算算术平方根 -2 -0.1 .4492a2a 2 .23观察两者有什么关系？0.010.123a(a0)思考：当a0时，=2a？
5、-a归纳总结a(a0)2aa-a(a0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.的性质：2(0)aa 例3 化简：(1)16;2(2)(5)；解：2(1)1644.22(2)(5)55.2(3)10;2(4)(3.14).22111(3)10=10=10=10.2(4)(3.14)=3.14=3.14.，而3.14，要注意a的正负性.注意2aa 计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；练一练解:22 1(-2)=2=2 ().().22 2 (-1.2)=1.2 =1.2().().辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（）（）（）（）2222(1)22(2)22(3)22(4
6、)22 议一议：如何区别 与？2a2()a2()a2a从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例4 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:222.abab解：由数轴可知a0，b0，ab0，原式=|a|b|+|ab|=ab(ab)=2a.ab【变式题】实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：.2244aabbab解：根据数轴可知ba0，a+2b0，ab0，则=|a+2b|+|ab|=a2b+ab=3b2244aabbab 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据
7、a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例5 已知a，b，c是ABC的三边长，化简：222.abcbcacba解：a、b、c是ABC的三边长，a+b+c0，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|b+ca|+|cba|=a+b+c(b+ca)+(b+ac)=a+b+cbc+a+b+ac =3a+bc分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c0两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a01.化简 得（）A.4 B.2 C.4 D.-416C2.当1x3时，的值为（）A.3 B.-3 C.1 D.-12(3)3xxD随堂练习随堂练习 3.化简：（1）;（2）;（3）;（4）.272813
8、7492(4)81-1 012a4.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 .22(1)aa15.利用a （a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5 ；(4)0.25 ；(5)；(6)0.2()a212(9)2(5)2522142122(0)6.(1)已知a为实数，求代数式 的值.2242aaa 解：由题意得a=-2，.2224222aaa(2)已知a为实数，求代数式 的值.249aaa解：由题意得-a20，又a20，a2=0，a=0，24949231.aaa 能力提升：20420aa 二次根式性质 2()(0)aaa a (a 0).2a2a拓展性质|a|（a为全体实数）课堂小结课堂小结
