1、高三数学第一次阶段性测试试题 第 1 页共 14 页 密云区密云区 2019-2020 学年第二学期高三第一次阶段性测试学年第二学期高三第一次阶段性测试 数学数学试卷试卷 2020.4 一、选择题：本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中,选出选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项 1已知集合 |0Mxx，11Nxx ，则MN= A. 1,) B. (0,1) C. 1 , 0 D. 0,
2、1 2已知复数 2i 1i z ，则| z= A.1 i B. 1 i C. 2 D. 2 3. 设数列 n a是等差数列， 1357 6,6.aaaa则这个数列的前 7 项和等于 A.12 B.21 C.24 D.36 4. 已知平面向量(4,2)a，( ,3)xb，a/b，则实数x的值等于 A6 &n
3、bsp; B1 C 3 2 D 3 2 5. 已知, x yR，则“xy”是“1 x y ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6如果直线1axby与圆 22 :1C xy相交，则点( , )M a b与圆C的位置关系是 A点M在圆C上 B点M在圆C外 &n
4、bsp; C点M在圆C内 D上述三种情况都有可能 7函数( )sin()f xx的部分图象如图所示，则( )f x的单调递增区间为 A 51 , 44 kk，kZ B 51 2 ,2 44 kk，kZ C 51 , 44 kk，kZ D 51 2 ,2 44 kk，kZ O x y 5 4 1 4 第 7 题图 1 高三数学第一次阶段性测试试题 第 2 页共 14 页 8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 A8 B 8 3 C82 2
5、; D84 2 9. 已知斜率为k的直线l与抛物线xyC4: 2 交于A，B两点， 线段AB的中点为(1,)(0)Mm m ，则斜率k的取值范围是 A.(,1 B. (,1 C.1 ， D. 1,) 10. 在正方体 AC1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的 动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法 不正确 的是 A点 F 的轨迹是一条线段 BA1F 与 BE 是异面直线 CA1F 与 D1E 不可能平行 &nb
6、sp; D三棱锥 F-ABD1的体积为定值 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11已知 5 2 ()x x 的展开式中，含 3 x项的系数为_.（用数字作答） 12双曲线 22 1yx的焦点坐标是_，渐近线方程是_ 13. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人在医护人员的精心治疗下，第15天 开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院如果从第16天开始，每天出院 的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_，第_ 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院 14. 函数 2 (
7、 )=cosf xx的最小正周期是_，单调递增区间是_ 15. 已知函数 21,0, ( ) (2),0. x x f x f xx 若关于x的方程 3 ( ) 2 f xxa有且只有两个不相 等的实数根,则实数a的取值范围是_ 第 8 题图 第 10 题图 高三数学第一次阶段性测试试题 第 3 页共 14 页 三、解答题: 本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分 14 分） 在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，并且 222 bcabc （）已知 ，计算ABC的面积； 请从7a
8、，2b，sin2sinCB这三个条件中任选两个，将问题（） 补充完整，并作答注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作 答，以第一种情况的解答计分 （）求coscosBC的最大值 17.（本小题满分 14 分） 在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居 环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食 用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求某小组通过问卷调查， 随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据 六类习惯是：（1） 卫生习惯状况类；（2） 垃圾处理状况类； （3）体育锻炼状况类； （
9、4）心理健康状况类； （5）膳食合理状况类； （6） 作息规律状况类经过数据整理，得到下表： 卫生习惯 状况类 垃圾处理 状况类 体育锻炼 状况类 心理健康 状况类 膳食合理 状况类 作息规律 状况类 有效答卷份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频率 0.6 0.9 0.8 0.7 0.65 0.6 假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立 （） 从小组收集的有效答卷中随机选取 1 份， 求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中 习惯良好者的概率； （）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状 况类”三类
10、习惯方面，至少具备 2 类良好习惯的概率； （）利用上述六类习惯调查的排序，用“=1 k ”表示任选一位第k类受访者是习惯良好 者， “=0 k ”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k=1，2，3，4，5，6） 写 出方差 123456 ,DDDDDD的大小关系 18.（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，60ADC， PAD 为等边三角形，平面 PAD 平面 ABCD，M，N 分别是线段 PD 和 BC 的中点. （）求直线CM与平面PAB所成角的正弦 值； （）求二面角DAPB的余弦值； （）试判断直线 MN 与平面
11、PAB 的位置关 系，并给出证明 N P A B C D M 第 18 题图 高三数学第一次阶段性测试试题 第 4 页共 14 页 19.（本小题满分 14 分） 已知函数( ) (1) x f xax，aR （）求曲线( )yf x在点(0,(0)Mf处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间； （）判断函数( )f x的零点个数 20.（本小题满分 14 分） 已知椭圆C： 22 22 1
12、xy ab (0)ab的离心率为 3 2 ，且过点A(0,1) （）求椭圆C的标准方程； （）点P是椭圆上异于短轴端点 A，B 的任意一点，过点P作PQy轴于Q，线段PQ 的中点为M直线AM与直线1y 交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐 标原点，试判断以 OD 为直径的圆与点 M 的位置关系 21.（本小题满分 14 分） 设等差数列 n a的首项为0， 公差为a， * Na； 等差数列 n b的首项为0， 公差为b， b * N由数列 n a 和 n b 构造数表M，与数表 * M： 记数表M中位于第i行第j列的元素为 , i j c ，其中 , i jij cab ( ,1, 2,3,
13、)i j L 记 数 表 * M 中 位 于 第i行 第 j 列 的 元 素 为 , i j d ， 其 中 ,1 i jij dab (1,) * NNib ij 如： 1,212 cab， 1,213 dab （）设5a，9b，请计算 2,6 c ， 396,6 c ， 2,6 d ； （）设6a ，7b ，试求 , i j c ， , i j d 的表达式（用, i j表示） ，并证明：对于整数t，若t不 属于数表M，则t属于数表 * M ； （）设6a ，7b ，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试
14、卷上作答无效） 高三数学第一次阶段性测试试题 第 5 页共 14 页 密云区密云区 2019-2020 学年第二学期高三第一次阶段性测试学年第二学期高三第一次阶段性测试 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D B D D C C 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 1110 1202（ ，）；yx
15、; 1316；21 14； + , , 2 kkkZ 15.(,3) 备注：若小题有两问，第一问 3 分，第二问 2 分 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题满分 14 分） （）解：由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ， 在ABC中，0A，所以 3 A 若选择和 方法一 将7a ，2b代入 222 bcabc化简得 2 230cc 所以1c （舍），或3c
16、; 因此 1133 3 sin2 3 2222 ABC SbcA 方法二 由正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以 72 sin3 2 B ，因此 3 sin 7 B 在ABC中，因为ab，所以AB 因此B为锐角，所以 2 cos 7 B 高三数学第一次阶段性测试试题 第 6 页共 14 页 所以 3 3 sinsin()sincoscossin 2 7 CABABAB 因此 13 3 sin 22 ABC SabC &n
17、bsp; 若选择和 由sin2sinCB得 2 sin2 2 sinRCRB （R 为ABC外接圆的半径）， 所以2cb 将7a ，2cb代入 222 bcabc解得 7 3 b 所以 2 7 3 c 所以 1172 737 3 sin 222633 ABC SbcA 若选择和 由sin2sinCB得 2 sin2 2 sinRCRB （R 为ABC外接圆的半径）， 所以2cb 因为2b，所以4c &n
18、bsp; 所以 113 sin2 42 3 222 ABC SbcA （）解：因为 3 A ，所以 2 3 BC 所以 2 coscoscoscos() 3 BCBB 22 coscoscossinsin 33 BBB 31 sincossin() 226 BBB 因为 2 0 3 B，所以 5 66 B
19、 所以当 3 B 时，coscosBC有最大值 1. 17. （本小题满分 14 分） （）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件 A. 有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份） ， 高三数学第一次阶段性测试试题 第 7 页共 14 页 受访者中膳食合理习惯良好的人数是400 0.65260人， 所以，( )P A 260 =0.104 2500 &nb
20、sp;（）解：记事件 A 为“该区卫生习惯良好者” ， 事件 B 为“该区体育锻炼状况习惯良好者” ， 事件 C 为“该区膳食合理习惯良好者” ， 由题意，估计可知( )=0.6( )=0.8( )=0.65P AP BP C， 设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类” 三类习惯中，至少具备 2 个良好习惯” 由题意知， ()()()()EABCABCABCABC 所以事件E的概率 ( )()()()()P EP ABCP ABCP ABCP
21、ABC =()()()()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P CP A P B P CP A P B P C =0.6 0.8 0.35+0.6 0.2 0.65+0.4 0.8 0.65+0.6 0.8 0.65 =0.168+0.078+0.208+0.312 =0.766 所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯 中，至少具备 2 个良好习惯的概率为 0.766 （）解： 615432 DDDDD
22、D 18 （本小题满分 15 分） （）解：取AD中点为O，连接 OP，OC 和 AC 因为PAD为等边三角形， 所以POOD 因为平面 PAD 平面 ABCD，PO平面 PAD， 所以PO平面 ABCD 因为OC 平面 ABCD， 所以POOC 在菱形 ABCD 中，ADCD，60ADC， 所以ADC为正三角形，因此OCAD 以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示 则(0,0,0)O，(10 0)A ， ，(23 0)B， ，(030)C， ，( 1,0,0)D ， (0,0, 3)P， 13 (,0,) 22 M ，(1, 3,0)N
23、 N P A B C D M x y z O 高三数学第一次阶段性测试试题 第 8 页共 14 页 所以 13 (,3,) 22 CM ，(1, 3,0)AB ，( 1,0, 3)AP 设平面PAB的法向量xyz， ，m， 由 0 0. AB AP ，m m 得 30 30. xy xz ， 令3x ，则( 3, 1,1)m 设直线CM与平面PAB所成角为， 则有 |315 sin|cos,|. 10| |25 CM CM CM m m m 所以直线CM与平面PAB所成角的正弦值为 15
24、 10 （）解：因为,OCAD OCPO，所以OC 平面 PAD 所以(0, 3,0)OC 是平面 PAD 的法向量， 则有 35 cos, 5| |53 OC OC OC m m m ， 因为二面角BAPD的平面角为钝角， 所以二面角BAPD的余弦值为 5 5 （）解：结论MN/平面PAB 因为 33 ( , 3,) 22 MN ， 所以 33 33( 1)()
25、 10 22 MN m 因此MN m 又因为直线MN 平面PAB， 所以MN/平面PAB 19.（本小题满分 14 分） （）解：因为( )e1 x f xax，xR， 高三数学第一次阶段性测试试题 第 9 页共 14 页 所以'( )e1 x fxaxaxR， '(0)1kfa， 又因为(0)1f，
26、 所以切线方程为=( +1)1yax. （）解：因为'( )e1 x fxaxaxaRR， （1）当0a时 因为'( )e0, x fxxR， 所以( )f x的单调增区间是, ，无单调减区间. （2）当0a时 令'( )0fx ，则 1 1x a 当0a时，( )f x与'( )fx在R上的变化情况如下： x 1 () a ，-1- 1 1 a 1
27、 ( 1,) a ' fx（ ） 0 + f x（ ） 所以( )f x的单调减区间是 1 () a ，-1-，单调增区间是 1 ( 1,) a 当0a时，( )f x与'( )fx在R上的变化情况如下： x 1 () a ，-1- 1 1 a 1 ( 1,) a ' fx（ ） + 0 f x（ ） 所以( )f x的单调增区间是 1 () a ，-1-，单调减区间是 1 ( 1,) a 综上所述， 当0a时，( )f x的单调增区间是, ， 无单调减区间； 当0a 时，( )f x 的单调减区间是 1 () a ，-1-， 单调增区间是
28、1 ( 1,) a ； 当0a时，( )f x 的单调增区 间是 1 () a ，-1-，单调减区间是 1 ( 1,) a （）解：方法一 因为( )e1 , x f xaxxR， 所以令( )0f x ，得10ax . 高三数学第一次阶段性测试试题 第 10 页共 14 页 （1）当0a时，方程无解， 此时函数( )f x无零点； （2）当0a时，解得 1 x a ， 此
29、时函数( )f x有唯一的一个零点. 综上所述，当0a时，函数( )f x无零点；当0a时，函数( )f x有一个零点. 方法二 （1）当0a时 因为( )e0 x f x ， 所以函数( )f x无零点； （2）当0a时 因为 1 0 a -1-，(0)10f ，( )f x在区间 1 ( 1,) a 单调递增， 所以( )f x在区间 1 ( 1,) a 内有且仅有唯一的
30、零点； 若 1 (, 1)x a ，则 1 1( 1) 10axaa a ， 又因为e0 x ，所以( )e10 x f xax 即函数( )f x在区间 1 () a ，-1-内没有零点 故当0a时，( )f x有且仅有唯一的零点 （3）当0a时 因为 1 1 1 ( 1)()0 a fa a ， 1 1 1 (1)0 a fa a ， 并且( )f x在区间 1 ( 1,) a 单调递减， 所以( )f x在区间 1 ( 1,) a 内有且仅有唯一的零点； 若 1 (, 1)x a ，则 1 1( 1) 10axaa a
31、， 又因为e0 x ，所以 ( )e10 x f xax 即函数( )f x在区间 1 () a ，-1-内没有零点 故当0a时，( )f x有且仅有唯一的零点 综上所述：当0a时，函数( )f x无零点；当0a时，函数( )f x有一个零点. 20 （本小题满分 14 分） （）解：根据题意得 222 1, 3 , 2 . b c a abc 解得 2, 1, 3. a b c 高三数学第一次阶段性测试试题 第 11 页共 14 页 所以椭圆M的方程为 2 2 1 4 x y &nb
32、sp; （）解：方法一 点M在以OD为直径的圆上 设点 00 (,)P x y，则 0 0x ， 0 1y ， 并且 2 2 0 0 1 4 x y， 0 (0,)Qy， 0 0 (,) 2 x My 因此 00 0 0 12(1) 2 AM yy k x x 所以直线AM的方程为 0 0 2(1) 1 y yx x 令1y ，解得 0 0 1 x x y 所以 0 0 (, 1) 1 x N y ， 0 0 (, 1) 2(1) x D y
33、 所以 0000 00 00 (, 1)(, 1) 2(1)22(1) xxx y MDyy yy 因为 0 0 (,) 2 x MOy ， 所以 000 00 0 ()(1) 2(1)2 x yx MD MOyy y 2 00 00 0 (1) 4(1) xy yy y 因为 2 2 0 0 1 4 x y，所以 2 2 0 0 1 4 x y 所以 2 0 000 0 (1)(1)0 1 y MD MOyyy y 因此MDMO &
34、nbsp; 所以点M在以OD为直径的圆上 方法二 点M在以OD为直径的圆上 设点 00 (,)P x y， 高三数学第一次阶段性测试试题 第 12 页共 14 页 则 2 2 0 0 1 4 x y，并且 0 (0,)Qy， 0 0 (,) 2 x My 因此 00 0 0 12(1) 2 AM yy k x x 所以直线AM的方程为 0 0 2(
35、1) 1 y yx x 令1y ，解得 0 0 1 x x y 所以 0 0 (, 1) 1 x N y ， 0 0 (, 1) 2(1) x D y 设E为线段OD的中点，则 0 0 1 (,) 4(1)2 x E y 所以 2 ME 22 00 0 0 1 ()() 4(1)22 xx y y = 22 2 00 0 2 0 (21)1 () 16(1)2 xy y y 设以OD为直径的圆的半径为r， 则 2 22 0 2 0 1 16(1
36、)4 x rOE y 所以 222 222 000 0 22 00 (21)11 () 16(1)16(1)42 xxy rMEy yy 22 2 000 0 2 0 ()11 () 4(1)42 xyy y y 因为 2 2 0 0 1 4 x y，所以 2 2 0 0 1 4 x y 所以 2 2222 00 00 2 0 ()11 (1)()0 (1)42 yy rMEyy y 因此|rME &n
37、bsp; 所以点M在以OD为直径的圆上 22 （本小题满分 14 分） （）解：由题意，数列 n a 的通项公式为 55 n an ， 数列 n b 的通项公式为 99 n bn 高三数学第一次阶段性测试试题 第 13 页共 14 页 得，
38、 , (55)(99)5914 i j cijij ，则 2,6 50c， 396,6 2020c 得， , (55)9(1)9595 i j dijij ，则 2,6 49 d （）证明：已知6a ，7b ，得数列 n a的通项公式为66 n an， 数列 n b 的通项公式为 77 n bn 所以， , 6(1)7(1)6713 i j cijij ，, * NNij 所以， , (66)7(1)7676 i j dijij ，17, * NNiij 所以，若tM，则存在 ,NNuv ，使67tuv 若 * tM
39、，则存在,6, * NNuuv，使67tuv 因此，对于整数t，考虑集合 0 |6 ,6 NMx xtu uu， 即t，6t ，12t ，18t ，24t ，30t ， 36t 下面证明：集合 0 M中至少有一元素是7的倍数 反证法：假设集合 0 M中任何一个元素，都不是7的倍数， 则集合 0 M中每一元素关于7的余数可以为 1，2，3，4，5，6 又因为集合 0 M中共有 7 个元素， 所以集合 0 M中至少存在两个元素关于7的余数相同， 不妨设为 12 6,6tu tu，其中 1212 ,6Nu uuu 则这两个元素的差为7的倍数，即 2112 6(6)6()tutuuu 所以 12 0u
40、u ，与 12 uu矛盾 所以假设不成立，即原命题成立 即集合 0 M中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为 000 6,6Ntu uu 则存在Zs， 使 000 67,6tusuuN ， 即 000 67,6 ,NZtus uus 由已证可知，若tM，则存在 ,NNuv ，使67tuv 而tM， 所 以 s 为 负 整 数 ， 设 vs ， 则 * Nv， 且 000 67,6 , * NNtuv uuv 所以，当6a ，7b 时，对于整数t，若tM，则 * tM成立 （）解：下面用反证法证明：若对于整数t，
41、 * tM，则t M 假设命题不成立，即 * tM，且t M 则对于整数t， 存在 ,NNnm ，,6, * NNuuv， 使6767tuvnm成 立 整理，得6( )7()unmv 又因为Nm， * Nv，所以 7 ()0 6 unmv 且u n 是 7 的倍数 因为 ,6Nuu ，所以6un，所以矛盾，即假设不成立 所以，对于整数t，若 * tM，则t M 又由第二问，对于整数t，tM，则 * tM 所以t的最大值，就是集合 * M中元素的最大值 高三数学第一次阶段性测试试题 第 14 页共 14 页 又因为67 ,6 * N,Ntuv uvu， 所以 * maxmax ()6 67 129tM
