1、8.1 序言8.2 直接水準測量之系統誤差8.3 直接水準測量之偶然誤差8.4 三角高程測量之誤差傳播q問題第八章 高程測量之誤差傳播8.1序言求算點與點間高程差時，直接水準與三角高程測量為最常用的兩種方法，這兩種方法都含有系統誤差與偶然誤差，主要的系統誤差包含地球曲率差、大氣折光差與儀器校正不完整差等；這些系統誤差之影響可利用下述作業程序降低，為了計算，也可將之模式化與改正。直接水準與三角高程測量的偶然誤差常發生於儀器之定平、距離之量測與讀定標尺等。這些都應根據偶然誤差理論來探討。8.2 直接水準測量之系統誤差在直接水準測量作業時，視距之長度受限制，也應使前後視距離近似等長，以減低系統誤差之
2、效應，但仍應假設這些誤差依然存在，亦應改正觀測值，以降低誤差之影響，詳如各項下述程序。8.2.1 視準誤差若儀器視準線非真正水平時，即產生視準誤差，前後視距離保持相等時，可將視準誤差減至最小。視準誤差如圖8.1所示，任一次擺設儀器，因視準誤差引致之高程差誤差為：eC=D1-D2 (8.1)式中，D1、D2分別為後視、前視距離，為視準誤差，的單位為弧度量。應用(8.1)式，整個水準線之視準誤差為：eC=(D1-D2)+(D3-D4)+(Dn-1-Dn)(8.2)式中，D1,D3,Dn-1 為後視距離，D2,D4,Dn為前視距離，後視距離與前視距離各自聚集整理得：eC=(DBS-DFS)(8.3)
3、後視距離和與前視距離和不等時，視準誤差可由式(8.3)求得，再將觀測之高差減去誤差，可求得改正值。例例8.1 某水準儀之視準誤差為0.04mm/m，應用來測量水準線，後視距離和為863m，前視距離和為932m，若水準線之高差為22.8654m，改正後高差應為若干？解解：利用(8.3)式，視準誤差為：eC=0.00004(863-932)m=-0.0028m，故改正後高差 為：22.8654-(-0.0028)=22.8682m8.2.2 地球曲率與大氣折光差水準線與儀器之視準線非同一直線，水準線離儀器之後，即呈彎曲向下，因此標尺讀數偏高；此外，因受大氣折光影響，視準線離儀器之後，呈彎曲向下，故
4、標尺讀數偏低；合併兩項誤差，標尺讀數偏高量為：)4.8()1000D(0675.0h2CR 式中，hCR為尺讀數因兩差引致之誤差，D為各次擺站之視準距離(單位為m)。若能維持後視距離與前視距離相等，每次設站因兩差引致之誤差可降至最小，否則，宜引用下式求誤差：)6.8()D-(D 10000.0675)1000D(0675.0 -)1000D(0675.0e222122221CR式中，eCR為因兩差引致之誤差(單位為m)，任一次設站，若前後視距離不等，應將測得高差減去上式。對整個水準線而言，兩差合併影響為：eCR=(D12-D22+D32-D42+)0.0675/10002 (8.7)整理得：例
5、例8.2 山坡上兩點高差測得為：1.256m，若後視距離為100m，前視距離僅有20m，高差之誤差為若干？改正之高差又為若干？解解：將距離代入(8.6)式，得高差之誤差：eCR=(1002-202)0.0675/10002=0.0006m，改正之高差為：1.256-0.0006=1.255m)8.8()DD(10000675.0e2FS2BS2CR若視線經由較低大氣層時，因氣溫垂直梯度引起之折光差會較大，沿著視線去量測溫度又非成本可負擔，故視線通常至少離地0.5m以上，因此可免求算較低大氣層溫度之模式。8.2.3 高差系統誤差之合併效應如圖8.1所示，合併(8.1)與(8.5)式，每次設站改正
6、之高差為：式中，r1為後視尺讀數，r2為前視尺讀數，其各項如前定義。)9.8()D-(D 10000.0675)DD()rr(h222122121直接水準測量有數項隨機誤差來源，包含儀器定平誤差與讀尺誤差等。誤差之大小受大氣條件、望遠鏡光學品質、水準氣泡或補償器之靈敏度、標尺刻畫等影響，如下數小節所分述。8.3 直接水準測量之偶然誤差8.3.1 讀數誤差讀尺之估計誤差可以每單位視線長讀尺時之標準誤差比率表示，譬如：假設觀測者每100m可讀尺至0.005m，則r/D=0.00005；因此，每次觀測視距D之讀尺誤差可預估為：r=Dr/D (8.10)式中，r/D為每單位視距長讀尺之估計誤差，D為視
7、距長。8.3.2 儀器定平誤差不論自動補償器或水準氣泡，儀器常備有關定平估計誤差之技術資料；譬如精密水準儀，技術資料列有一段固定距離若干高程估計誤差，如載為1.5mm/km，以弧秒表示，則載為(1.5/1106)=0.3。通常精密水準儀之補償器或設定精度約0.3，較差之水準儀，精度有可能達10。8.3.3 標尺扶直誤差標尺若未扶直，將使尺讀數偏高，在水準網測量時，這項誤差為隨機出現，若將之模式化，如圖8.2所示，尺未扶直引致之讀尺差約為：eLS=r-r (8.11)式中，r為尺傾斜時讀數，r為尺直立時應有讀數，如圖，d為尺傾斜在水平方向位移量，d之大小與標尺定平氣泡居中誤差及讀數位置有關，若氣
8、泡偏移角，則 r=rcos (8.12)將(8.12)式代入(8.11)式，得：eLS=r(1-cos)(8.13)例例8.3 假設標尺水準氣泡偏移水平約1，尺讀數為3m，則尺讀數之估計誤差為：eLS=r(1-cos1)=0.000000127m=0.0001mm因為每次照準尺時都有可能發生這種誤差，後視誤差可與前視誤差抵銷，故誤差之合併影響如下式：eLS=r1(1-cos)-r2(1-cos)+r3(1-cos)-r4(1-cos)+=(1-cos)(r1-r2+r3-r4+)(8.15)上式最後括弧項為整個水準線之高差，故可改寫：eLS=Elev(1-cos)(8.16)例例8.4 假設標
9、尺水準氣泡維持偏移1，水準線之高 差為22.8654m，則高差之誤差為：eLS=22.8654(1-cos1)=0.001mm若小心扶持標尺，通常這類誤差很小，甚至可以忽略。8.3.4 直接水準測量的估計誤差直接水準測量的主要誤差來源有：讀尺誤差與儀器定平誤差；視準軸誤差與兩差應考慮為系統誤差，若使前後視距離等長，可互相抵銷。但無論用那一種量距方法，視距必存在隨機誤差，測量所得高差也會因兩差與儀器視準軸誤差之效應，仍存有隨機誤差。故可引用(5.16)式至(8.9)式，以模式化讀尺、儀器定平與視距長等隨機誤差之影響。為模式化，先求下列偏導數：)17.8(500,0000.0675D Dh )50
10、0,0000.0675D-(DhDh -Dh 1rhrh2211221121將(8.17)式與其對應之標準誤差代入(5.16)式，則單一高差之標準誤差可估計為：式中，r/D為讀尺估計誤差，1與2分別為後視與前視之視準誤差，D1與D2分別為後視與前視之視距誤差。正常直接水準測量時，D1=D2=D，又假設距離之估計誤差相等，或D1=D2=D，另假設前後視之視準估計誤差相等，或1=2=。則(8.18)式可簡化成：)18.8(000,500D0675.0000,500D0675.0)D()D()D()D(1/222D221D12222112D/r22D/r1h若前後視距離維持相等，(8.19)式適用於
11、單一次高差，一般而論，對設站N次之水準線，仍維持前後視距離相等，則高差之整體估計誤差為：)19.8(000,500D0675.02)(D222D22D/r2h上式中，通常因兩差與視準誤差引致之高差誤差非常小，最後一項可忽略後，直接水準測量之標準誤差公式可簡化為：)20.8(000,500D0675.0N2)(ND222D22D/r2h)21.8()(N2D22D/rh例例8.5 某水準線自水準點A測至水準點B，讀尺估計誤差為0.01mm/m，儀器定平維持在2.0，視準檢驗發現儀器每100m差在4mm內，每50m視距也約有2m差，A至B水準線長1000m，A與B高差之估計誤差為若干？假設A點高程
12、為212.3450.005m，B點高程之誤差為若干？解解：設站次數為：N=1000/(250)=10，相關數值代入(8.20)式，得：分析上式各項，除非是精密水準測量，根號內最後項中，因前後視距差引致之誤差通常小至可忽略，故可應用(8.21)式解此問題：3.1mm0.0031m 0004.00.0031 000,500500675.0100004.02102)0.2()100001.0(501022222222h 3.1mm0.0031m)0.2()100001.0(1025022h 由上可見：應用(8.20)式或(8.21)式所得相同，應用(5.18)式，B點高程之誤差為：mm9.51.35
13、222Elev2ElevElevAB8.4 三角高程測量之誤差傳播引進全測站儀器之後，利用三角高程測量方式量測高差已日漸方便，但是這種作業中，因前後視距離無法維持相等，故應設法去除兩差與儀器視準軸差引致之系統誤差，如圖8.3所示，兩點間高差之改正高差為：h=hi+hCR+Ssinv hr (8.22)若觀測為天頂距，則為：h=hi+hCR+Scosz hr (8.23)式中，hi為儀器離地面高，S為兩點斜距，v或z分別為儀器與稜鏡間之垂直角或天頂距，hCR為兩差改正，如式(8.4)所示，hr為稜鏡高。將兩差改正式代入(8.23)式，得：h=hi+0.0675(Ssinz/1000)2+Scos
14、z hr (8.24)若推導(8.24)式之誤差傳播式，則需考慮儀器高誤差、覘標高誤差，另需考慮如第六章所討論之定平誤差、照準誤差、讀數誤差與斜距S之誤差等。將(5.16)式引用至(8.24)式，需先推得下列偏導數：zsinS000,500zcoszsinS0675.0zh000,500zsinS0675.0zcosSh 1hh 1hh22ri；將上列偏導數與觀測之標準誤差代入(5.16)式，得三角高程測量之整體誤差為：(8.25)zsinS000,500zcoszsinS0675.0000,500zsinS0675.0zcos2z22S22hr2hih 上式中，天頂距有數項誤差來源，如：照準
15、誤差、讀數誤差、垂直補償器精度或垂直度盤氣泡居中程度、補償器或垂直度盤氣泡之靈敏度等。為求最佳成果，應正倒鏡觀測天頂距，並求其平均值；利用(6.4)與(6.6)式，經緯儀正倒鏡觀測之天頂距估計誤差為：(8.26a)N2222B2p2rz式中，r為度盤讀數誤差，p為照準誤差，B為垂直補償器或垂直度盤氣泡之定平誤差，N為正倒鏡觀測天頂距次數。若利用數值經緯儀或全測站儀器，則(8.26a)應改為：(8.26b)N242B2DINz式中，DIN為儀器之DIN18723值，其餘如前所述。若僅觀測一個天頂距(僅一個倒鏡)，二式應分別改為：(8.27b)2(8.27a)2B2DINz2B2p2rz斜距S之估
16、計誤差應類似(6.36)式求得：(6.36)ppm)bS(a222t2iS例例8.6 某全測站儀器之垂直補償器精度約0.3，數值讀數精度5，距離觀測精度(5mm+5ppm)，斜距量得為383.067m，儀器定心誤差0.002mm，覘標定心誤差0.003mm，儀器高為1.561m 0.003mm，覘標高為2.067m 0.003mm，僅觀測一次天頂距：881315，改正後高差與其估計誤差如何？解解：利用(8.24)式，得：h=1.561+0.0675(383.067sin 881315/1000)2 +383.067cos 881315 2.067=11.397m 利用(8.27a)式，天頂距估
17、計誤差為：17.3.05222z 利用(6.36)式，距離之估計誤差為：m006.0)067.38310000005(005.0003.0002.02222S各項數值代入(8.25)式，得高差之估計誤差為：由上例可見：因距離誤差(0.000186m)引致之高差誤差小至可忽略，但因天頂距誤差(0.013m)引致之高差誤差為最大，探究原因，因未採正倒鏡觀測天頂距，不能補償之系統誤差傳播至最後計算之高程誤差內。舉例來說：若垂直度盤指標差為10，若採正倒鏡觀測，此項誤差之影響可互相抵銷，若僅倒鏡觀測一次，因指標差引致之系統誤差將達：382.881sin10=0.019m；由此可見：在利用三角高程測量方法時，應盡可能正倒鏡觀測天頂距或垂直角。m014.00.0130.000186003.0003.0 )1.7881.382()006.0031.0(003.0003.022222222h q問題第8.3、8.5、8.7、8.8題，各題中單位更改為公制。檔名：Adjlab8_姓名.doc，請標明原題號。
