1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.2.2 直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定北师大版数学八年级下册学习目标学习目标1 1进一步弄清全等三角形的判定定理：进一步弄清全等三角形的判定定理：SASSAS、ASAASA、AASAAS、SSSSSS。2 2通过探究，弄清直角三角形全等的判定通过探究，弄清直角三角形全等的判定定理：定理：HLHL。舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量有一条直角边被花盆遮住无法测
2、量.你能帮工作人员想个你能帮工作人员想个办法吗？办法吗？导入新知导入新知1知识点知识点判定两直角三角形全等的方法判定两直角三角形全等的方法问题问题任意画一个任意画一个RtABC，使，使C=90，再，再画一个画一个RtABC，使，使C=90，BC=BC，AB=AB，然后把画好的，然后把画好的RtABC剪下来放到剪下来放到RtABC上，你发现了什么？上，你发现了什么？合作探究合作探究ABC(1)画画MCN=90；(2)在射线在射线CM上取上取BC=BC；(3)以以B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，为半径画弧，交射线交射线C N于点于点A；(4)连接连接AB现象：现象：两个直角三角形能重合两个直角三
3、角形能重合说明：说明：这两个直角三角形全等这两个直角三角形全等画法：画法：A NMCB 由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等全等(可以简写成可以简写成“斜边、斜边、直角边直角边”或或“HL”).新知小结新知小结定理定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图已知：如图,在在 ABC与与ABC中，中，CC90，ABAB，求证：求证：ABC ABC本题给出BC，再加上公共角RtBAC RtEDF
4、(HL).DBACBAD判定直角三角形全等的“四种思路”：1直角三角形的判定方法：DEFF90，(直角三角形的两锐角互余)，AB=AB，然后把画好的RtABC剪下来放到AD是ABC的角平分线画一个RtABC，使C=90，BC=BC，AD是ABC的角平分线RtBAC RtEDF(HL).1斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定AA，ABCABC，在在ABC中，中，C 90,BC2 AB2AC2(勾股定理勾股定理).同理，同理，BC 2AB2AC 2.ABAB，ACAC，BCBC ABC ABC(SSS).证明：证明：1斜边斜边和和一条直
5、角边一条直角边分别相等的两个直角三角形全等分别相等的两个直角三角形全等(简简写成写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”)2(1)书写格式书写格式：如图，在：如图，在RtABC和和RtABC中，中，RtABC RtABC.(2)注意点：注意点：书写时必须强调书写时必须强调直直角三角形角三角形 ,ABA BACA CBCB C 如图如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的相等，两个滑梯的倾斜角倾斜角B和和F的大小有什么关系？的大小有什么关系？例例1 根据题意，可知根据题意，可知BAC
6、EDF90，BCEF，ACDF，RtBAC RtEDF(HL).BDEF(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).DEFF90，(直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余)，BF=90解：解：如图，在如图，在ABC中，中，ABCB，ABC90，F为为AB延长线上一点，点延长线上一点，点E在在BC上，且上，且AECF.求证：求证：RtABE RtCBF.导引：导引：根据根据ABCB，ABECBF90，AECF，可利用可利用“HL”证明证明RtABE RtCBF.例例2 证明：证明：ABC90，CBFABE90.在在RtABE和和RtCBF中，中，AECF，ABCB，RtABE RtC
7、BF(HL)应用应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上两个三角形符号前要加上“Rt”新知小结新知小结1如图，两根长度均为如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木粧上，两个上，另一端分别固定在地面的两个木粧上，两个木桩离旗木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.两个木桩离旗杆底部的距离相等两个木桩离旗杆底部的距离相等理由如下：在理由如下：在RtABO和和RtACO中，中，所以所以RtABO RtACO(HL)所以所以BOCO.故两个木桩离旗
8、杆底部的距离相等故两个木桩离旗杆底部的距离相等解：解：ABACAOAO ，巩固新知巩固新知2如图，如图，CD90，添加一个条件，可使用，添加一个条件，可使用“HL”判定判定RtABC与与RtABD全等以下给出的全等以下给出的条件适合的是条件适合的是()AACAD BABABCABCABD DBACBAD A3【中考中考西宁西宁】下列可使两个直角三角形全等的下列可使两个直角三角形全等的条件是条件是()A一个锐角对应相等一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等两个锐角对应相等C一条边对应相等一条边对应相等 D两条边对应相等两条边对应相等 D4如图，如图，ODAB于于D，OPAC于于P，且，且ODOP，
9、则则AOD与与AOP全等的理由是全等的理由是()ASSS BASA CSSA DHL DB已知一锐角和它所对的直角边求证：ABC ABCA，有两个条件满足全等，根据全RtABC RtABC.AB=AB，然后把画好的RtABC剪下来放到AD是ABC的角平分线斜边、直角边.(2)注意点：书写时必须强调直其中任意一个角的对边相等即可，即ABAC或AD直角边是锐角的邻边，(2)注意点：书写时必须强调直画一个RtABC，使C=90，BC=BC，有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，判断两三角形全等方法的综合应用有一条直角边被花盆遮住无法测量.(2)若有一组锐角
10、和斜边分别相等，用“AAS”判定斜边、直角边.交射线C N于点A；(2)真理由：因为该命题满足“AAS”公理的条件5如图，在如图，在RtABC中，中，C90，B30，AB4，则下列各图中的直角，则下列各图中的直角三角形与三角形与RtABC全等的是全等的是()A2知识点知识点判断两三角形全等方法的综合应用判断两三角形全等方法的综合应用 直角三角形全等的判定既可以用直角三角形全等的判定既可以用“SSS”“SAS”“ASA”和和“AAS”,有可以用有可以用“HL”.合作探究合作探究义乌义乌如图，已知如图，已知BC，添加一个条件使，添加一个条件使ABD ACE(不标注新的字母，不添加新的线段不标注新的
11、字母，不添加新的线段)，你添加的条件是你添加的条件是_导引：导引：本题给出本题给出BC，再加上公共角，再加上公共角A，有两个条件满足全等，根据全，有两个条件满足全等，根据全等三角形的判定方法，有两个角全等等三角形的判定方法，有两个角全等的判定方法有的判定方法有AAS，ASA，只要添加，只要添加其中任意一个角的对边相等即可，即其中任意一个角的对边相等即可，即ABAC或或ADAE或或BDCE；如果从已知给定的全等条件中，通过添；如果从已知给定的全等条件中，通过添加另外一个条件能够得到加另外一个条件能够得到ABAC或或ADAE或或BDCE中任意一个条件也可以，即中任意一个条件也可以，即BECD.例例
12、3 ABAC或或ADAE或或BDCE或或BECD(写出一个即可写出一个即可)证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：件去找第三个全等条件，有以下几种情况：(1)找找第第三三边边；已已知知两两边边找找两两边边的的夹夹角角；(2)找找其其中中任任意意一一角角的的对对边边；已已知知两两角角找找两两角角的的夹夹边边；3()找找任任意意一一角角；已已知知一一边边及及其其邻邻角角找找夹夹该该已已知知角角的的边边；(4)已知一边及其对角，只能找任意一角已知一边及其对角，只能找任意一角新知小结新知小结1判断下列命题的真假，并说明
13、理由：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；(2)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；(3)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相一条直角边相等且另一条直角边上的中线相 等的两个直角三角形全等等的两个直角三角形全等.巩固新知巩固新知(1)假理由：如图，假理由：如图，在在RtABC和和RtABC中，中，AA，ABCABC，但但RtABC与与RtABC不全等不全等(2)真理由：因为该命题满足真理由：因为该命题满足“AAS”公理的条件公理的条件(3)真理由：因为该命题满足真理由：因
14、为该命题满足“SAS”公理的条件公理的条件(4)真先利用真先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半定理得到另一条直角边的一半 相等，也即该直角边相等，再根据相等，也即该直角边相等，再根据“SAS”公理可公理可 判定两个三角形全等判定两个三角形全等解：解：下列条件中，利用基本尺规作图，不能作出唯下列条件中，利用基本尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是一直角三角形的是()A已知斜边和一锐角已知斜边和一锐角B已知一锐角和它所对的直角边已知一锐角和它所对的直角边C已知斜边和一直角边已知斜边和一直角边D已知两个锐角已知两个锐角 D2如图，在如图，在ABC中，中，ADBC，D为为BC的中点，的中点，以下结
15、论：以下结论：ABD ACD；ABAC；BC；AD是是ABC的角平分线的角平分线其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 D3如图，如图，P，Q分别是分别是BC，AC上的点，过点上的点，过点P作作PRAB于于R点，作点，作PSAC于于S点，若点，若AQPQ，PRPS，下面三个结论：，下面三个结论：ASAR；QPAR；BRP CSP.正确的是正确的是()A B C D C4写成“斜边、直角边”或“HL”)两个木桩离旗杆底部的距离相等(2)注意点：书写时必须强调直根据ABCB，ABEAD是ABC的角平分线人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都AA，ABCABC
16、，判定两直角三角形全等的方法RtBAC RtEDF(HL).如图，ODAB于D，OPAC于P，且ODOP，则AOD与AOP全等的理由是()AB=AB，然后把画好的RtABC剪下来放到判断下列命题的真假，并说明理由：斜边、直角边.写成“斜边、直角边”或“HL”)说明：这两个直角三角形全等在RtABC和RtABC中，易错点：用“斜边、直角边”证明全等时不指出是直角三角形导致出错斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作等三角形的判定方法，有两个角全等1直角三角形的判定方法：直角三角形的判定方法：边边边、边角边、角边角、角角边、边边边、边角边、角边角、角角
17、边、斜边、直角边斜边、直角边.1知识小结知识小结归纳新知归纳新知2.判定直角三角形全等的判定直角三角形全等的“四种思路四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用用“HL”判定判定(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定判定(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，直角边是锐若有一组锐角和一组直角边分别相等，直角边是锐 角的对边，用角的对边，用“AAS”判定；直角边是锐角的邻边，判定；直角边是锐角的邻边，用用“ASA”判定判定(4)若有两组直角边分别相等，用若有两组直角边分别相等，用“SAS”
18、判定判定【中考中考 镇江镇江】如图，如图，AD，BC相交于点相交于点O，ADBC，CD90，(1)求证：求证：ACB BDA；(2)若若ABC35，则则CAO_.易错点：易错点：用用“斜边、直角边斜边、直角边”证明全等时不指出是直证明全等时不指出是直角三角形导致出错角三角形导致出错2易错小结易错小结20CD90，ACB和和BDA都是直角三角形都是直角三角形在在RtACB和和RtBDA中，中，BCAD，ABBA，RtACB RtBDA.(1)证明：证明：在使用在使用HL证明两直角三角形全等时，一定要说证明两直角三角形全等时，一定要说明是直角三角形，本题易忽视指出明是直角三角形，本题易忽视指出AC
19、B和和BDA为直角三角形，而直接用为直角三角形，而直接用HL证明证明斜边斜边直角边直角边斜边、直角边斜边、直角边HL课后练习课后练习BCC斜边、直角边.第一章 三角形的证明CD90，写成“斜边、直角边”或“HL”)(2)注意点：书写时必须强调直求证：ABC ABCAD是ABC的角平分线RtABC上，你发现了什么？如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PRAB于R点，作PSAC于S点，若AQPQ，PRPS，下面三个结论：ASAR；AA，ABCABC，交射线C N于点A；ABAB，ACAC，(4)已知一边及其对角，只能找任意一角(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，(2)注意点：书写时必须强调直直角三角形全等的判定既可以用“SSS”“SAS”ABAC或ADAE或BDCE或中任意一个条件也可以，即BECD.“ASA”和“AAS”,有可以用“HL”.【答案】【答案】ASSSSASASAAASHLSSSSASASAAASDBC【答案】【答案】D20再见再见
