1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1.3 等腰三角形的判定等腰三角形的判定北师大版数学八年级下册学习目标学习目标1 1了解等腰三角形的边角定义。了解等腰三角形的边角定义。2 2理解并掌握等腰三角形的基本性质，并理解并掌握等腰三角形的基本性质，并会利用相关性质解决简单的几何证明和实际问会利用相关性质解决简单的几何证明和实际问题。题。1 1、等腰三角形是怎样定义的？、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
2、 上的高重合上的高重合(也称为也称为“三线合一三线合一”).).等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简写成简写成 “等边对等角等边对等角”).2 2、等腰三角形有哪些性质？、等腰三角形有哪些性质？DABC既是性质又既是性质又是判定是判定导入新知导入新知1知识点知识点等腰三角形的判定等腰三角形的判定思考思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？合作探究合作探究 如图，在如图，
3、在ABC中，中，B=C.作作ABC的角平分线的角平分线AD.在在BAD和和CAD中，中，1=2，B=C，AD=AD,BAD CAD(AAS).AB=AC.由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：定方法：如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角那么这两个角所对的边也相等（简写成所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”).新知小结新知小结1判定定理：判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角有两个角相等的三角形是等腰三角形形(简称等角对等边简称等角对等边)应用格式：在应用格式：在ABC中，中，BC,ABAC.2等腰三角形的判
4、定与性质的异同等腰三角形的判定与性质的异同相同点：相同点：都是在一个三角形中；都是在一个三角形中；区别：区别：判定是由角到边，性质是由边到角判定是由角到边，性质是由边到角即：即：性性质质判判定定等等边边等等角角反过来，如果一个三角推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛AA50，B70所对的边也相等（简写成“等角对等边”).已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .(1)假设命题的结论不成立；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不如果一个三角形有两个角相等.C一
5、个三角形中至少有一个钝角反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.因为DEBC，所以EDBDBC.例例1 已知：如图，已知：如图，ABDC，BDCA，BD与与CA 相交于点相交于点E.求证：求证：AED是等腰三角形是等腰三角形.合作探究合作探究ABDC，BDCA，ADDA，ABD DCA(SSS).ADBDAC(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).AEDE(等角对等边等角对等边).AED是等腰三角形是等腰三角形.证明：证明：如图如图，在，在ABC中，中，P是是BC边上一点，过点边上一点，过点P作作BC的垂线，交的垂线，交AB于点于点Q，
6、交，交CA的延长线于点的延长线于点R，若，若AQAR，则，则ABC是等腰三角形吗？请是等腰三角形吗？请说明理由说明理由导引：导引：要说明要说明ABC为等腰三角形，由图为等腰三角形，由图可知即要说明可知即要说明BC，而，而B，C分别在两个直角三角形中，因分别在两个直角三角形中，因此只要说明此只要说明B，C的余角的余角BQP，R相等即可相等即可例例2 解：解：ABC是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又又BQPAQR，RBQP.PR是是BC的垂线，的垂线，BPQCPR90.在在RtQPB和和RtRPC中，中，BBQP90，CR90，BC.ABAC.本题运用了本题运用了转
7、化思想转化思想，将要证的两角相等利用等，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用用新知小结新知小结1如图，在如图，在ABC中，中，BD平分平分ABC，交交AC于点于点D，过点过点D作作BC的平分线，交的平分线，交AB于点于点E，请判断，请判断BDE的形状，并说明理由的形状，并说明理由.解：解：BDE为等腰三角形为等腰三角形理由如下：因为理由如下：因为BD平分平分ABC，所以所以ABDDBC.因为因为DEBC，所以，所以EDBDBC.所以所以
8、EBDEDB.所以所以EBED.故故BDE为等腰三角形为等腰三角形巩固新知巩固新知2在在ABC中，中，A和和B的度数如下，能判定的度数如下，能判定ABC是等腰三角形的是是等腰三角形的是()AA50，B70 BA70，B40CA30，B90 DA80，B60B3如图，如图，BC36，ADEAED72，则，则图中的等腰三角形有图中的等腰三角形有()A3个个 B4个个 C5个个 D6个个D4【中考中考甘孜州甘孜州】如图，在如图，在ABC中，中，BD平分平分ABC，EDBC，已知，已知AB3，AD1，则，则AED的周长为的周长为()A2 B3 C4 D5C5如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BD
9、是是AC边上的边上的高，高，CE是是AB边上的高，它们相交于点边上的高，它们相交于点O，则图，则图中除中除ABC外一定是等腰三角形的是外一定是等腰三角形的是()AABD BACE COBC DOCDC6在下列三角形中，若在下列三角形中，若ABAC，则不能被一条直，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是线分成两个小等腰三角形的是()B用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反论成立吗？如果成立，你能证明它吗？反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如假设DAB是一个直角或钝角，则DAB 90，所对的边也相等（简写成“等角对等边”).2利用反证法
10、证明命题的一般步骤所对的边也相等（简写成“等角对等边”).如图，在ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQAR，则ABC是等腰三角形吗？请说明理由区别：判定是由角到边，性质是由边到角在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与又BQPAQR，RBQP.BA70，B40反过来，如果一个三角小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后理由如下：因为BD平分ABC，1=2，下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：相同点：都是在一个三角形中；DA80，B607【中考中考武汉武汉】在平面直角坐标系中，已知在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)若
11、在坐标轴上取点若在坐标轴上取点C，使，使ABC为为等腰三角形，则满足条件的点等腰三角形，则满足条件的点C的个数是的个数是()A5 B6 C7 D8B2知识点知识点反证法反证法想一想想一想小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？论成立吗？如果成立，你能证明它吗？合作探究合作探究小明是这样想的：小明是这样想的：如图，在如图，在ABC中，已中，已 知知BC,此时此时AB与与AC要要么相等，要么不相等么相等，要么不相等.假设假设AB
12、AC那么根据那么根据“等边对等等边对等角角”定理可得定理可得CB，这与已知条这与已知条件件BC相矛盾，因此相矛盾，因此 ABAC你能理解他的推理过程吗？你能理解他的推理过程吗？小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种这种证明证明方法称为方法称为反证法反证法.新知小结新知小结1定义定义在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本
13、事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反反证法证法2利用反证法证明命题的一般步骤利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确3适宜用反证法证明的命题适宜用反证法证明的命题反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如反证法主要用于直接证明比较困难的命题，
14、例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以命题的结论以“至多至多”“至少至少”等形式叙述的命等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有题，如一个凸多边形中至多有3个锐角个锐角用反证法证明命题用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为时，第一步为_导引：导引：反证法的第一步是假设反证法的第一步是假设“命题
15、的结论不成立命题的结论不成立”，就，就是是“命题结论的反面是正确的命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结，理解了命题的结论和命题结论的反面，问题即可解决论和命题结论的反面，问题即可解决例例3 假设等腰三角形的两底角是直角假设等腰三角形的两底角是直角或钝角或钝角合作探究合作探究用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：已知：ABC.求证：求证：A、B、C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角.例例4 证明：证明：假设假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨设A和和B是是 直角，即直角，即 A=90，B=90.于是于是
16、ABC=90 90 C 180.这与三角形内角和定理相矛盾，因此这与三角形内角和定理相矛盾，因此“A和和B是是 直角直角”的假设不成立的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角所以，一个三角形中不能有两个角是直角.1已知五个正数的和为已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于数中至少有一个大于或等于 .解：解：假设这五个数均小于假设这五个数均小于 ，不妨设不妨设则有则有即即这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有，则这五个数中至少
17、有一个大于或等于一个大于或等于15111111515abcde，1511111105abcde ，111111abcde，15.巩固新知巩固新知所对的边也相等（简写成“等角对等边”).所对的边也相等（简写成“等角对等边”).(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如区别：判定是由角到边，性质是由边到角如图，在ABC中，B=C.BDE为等腰三角形(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不如果一个三角形有两个角相等.所以EBDEDB.如图，在ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交
18、CA的延长线于点R，若AQAR，则ABC是等腰三角形吗？请说明理由件BC相矛盾，因此 ABACA一个三角形中至少有两个钝角从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反你能理解他的推理过程吗？假设等腰三角形的两底角是直角角”定理可得CB，这与已知条小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.2用反证法证明用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角一个三角形中至多有一个钝角”时，时，应假设应假设()A一个三角形中至少有两个钝角一个三角形中至少有两个钝角B一个三角形中至多有一个钝角一个三角形中至多有一个钝角C一个三角形中至少有一个钝角一个三角形中至少有一个钝角D一个三角
19、形中没有钝角一个三角形中没有钝角A1等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内提是在同一个三角形内2利用反证法解题的一般步骤：利用反证法解题的一般步骤：(1)假设；假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确结论：肯定命题结论正确.1知识小结知识小结归纳新知归纳新知如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的高，边上的高，求证：求证：DAB是一个锐角是一个锐角易错点
20、：易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错反证法中易假设结论的反面不全面而致错2易错小结易错小结假设假设DAB是一个直角或钝角，则是一个直角或钝角，则DAB 90，ABAC，AD是是BC边上的高，边上的高，DACDAB 90.则则BACDABDAC 9090180，BCBAC 180.这与三角形内角和为这与三角形内角和为180矛盾，矛盾，DAB是一个直角或钝角的假设不成立是一个直角或钝角的假设不成立DAB是一个锐角是一个锐角证明：证明：相等相等等边等边课后练习课后练习【答案】【答案】CC“等边对等角”).反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如如果一个三角形有两个角相等.用反证法证明：一
21、个三角形中不能有两个角是直角.从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反那么这两个角所对的边也不相等.用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为_假设等腰三角形的两底角是直角等腰三角形是轴对称图形.BQP，R相等即可所对的边也相等（简写成“等角对等边”).C7 D82、等腰三角形有哪些性质？C分别在两个直角三角形中，因这与三角形内角和定理相矛盾，因此“A和B是从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反1、等腰三角形是怎样定义的？如图，在ABC中，BD平分ABC，交AC于点D，过点D作BC的平分线，交AB于点E，请判断BDE的形状，并说明理由.易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错如图，在ABC中，ABAC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除ABC外一定是等腰三角形的是()【答案】【答案】DCDC结论结论矛盾矛盾一定一定C【答案】【答案】C再见再见
