1、 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba 复习回顾OabMPc1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数OabMP yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课 导入22:barOPbMPaOM其中 yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan新课 导入baP,Mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOPMPsin
2、OPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM诱思 探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab3.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆.yoP),(bax1M4.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1）叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2）叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ；cosxxcos（3）叫做 的正切正切，记作 ，即 。xytanx
3、ytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0,1AOyxyxP,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域.)0,1(AxyoP),(yx的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的横坐标，的横坐标，正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意
4、义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0，xytan无意义，此时无意义，此时)(2zkk轴上时，点轴上时，点P 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数,sinyxcosxytan,
5、角角0 90 180 270 360304560弧度数 0sin 01010cos10101tan0不存在0不存在0练习 、P15 第3题22326432123332222232131例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为)23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢?3567,2167sin，,2367cos3367tan实例 剖析xyoAB35例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经
6、过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值.)4,3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是，;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4,30P0MOyxMyxP,设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),(yxP022yxrP那么那么 叫做叫
7、做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正切，即的正切，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，巩固 提高练习练习 1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：解：由已知可得：2P,a a、已知角 的终边上一点aR且a0，sin,cos,tan求角 的的值.,xa y
8、a解：由于2220raaa a所以 102,ara若则于是22sin,cos,tan12222aaaaaa 20-2,ara若则于是22sin,cos,tan12222aaaaaa 33sin,cos,tan.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+-+-+-+-yxo+-+-yxoyx
9、o全为+yxosincostansinyr cosxr tanyx 三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号心得心得:角定象限角定象限,象限定符号象限定符号.例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，角角 为第三象限角为第三象限角.0tan 0sin 证明：证明：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.0tan 因为因为式都
10、成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值.360020到或到？例例4 确定
11、下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 =，而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(（3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611tan(解：（解：（1）224
12、cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan(31336tan6tan)26tan()611tan(（2）117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 1.内容总结：内容总结：三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结
13、合的思想.归纳 总结2.方法总结：方法总结：3.体现的数学思想：体现的数学思想：作业：作业：课本第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第9题的（1）（3）题.MPy sincosxOMMAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数下面我们再从图形角度认识一下三角函数思考思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否为了去掉等式中得绝对值符号，能否 给线段给线段OM、MP规定规定一个适当的方向一个适当的方向,使它们的取值与点使它们的取值与点P的坐标一致？的坐标一致？我们把带有方向的线段叫我们把带有方向的线段叫有向线段有向线段.(规定规定:与坐标轴相同的方向为正方向与坐标轴相同的方向为正方向).).yx
14、o 的终边的终边MP 的终边的终边MPTMAPysinATOAATOMMPxytanOMxcosTMAPTM AP=MPTM A（1,0）P这几条与单位圆有关的有向线段这几条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的分别叫做角的正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线正切线统称为统称为三角函数线三角函数线.当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；此时角变成一个点；此时角 的正弦值和正切值都为的正弦值和正切值都为0 xATOMMP、y当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在此时角正切线不存在此时角 的正切值不存在。
15、的正切值不存在。TM APTMAPTMAPTM AP41.,3例 作出角的正弦线 余弦线 正切线.MPMP是正弦线是正弦线OMOM是余弦线是余弦线 ATAT是正切线是正切线y yxo o MMP PA AT T例例 题题 示示 范范例例2.2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线332（1）；（；（2）例例1.在在0 内，求使内，求使 成立的成立的的取值范围的取值范围.23si n2a Oxy2(,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=21sin xyoP1P2xyo T A210 30 例利用单位圆寻找适合下列条件的例利用单位圆寻找适合下
16、列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan3 例例3 3.若若,试试比比较较的的大大小小.0sin,tan,2.解：如图，在单位圆中，设 AOP=（0，）,则AP=2PPMOAMAATOAOPT过点 作于，过点 作交的延长线于，.MPAT则角 的正弦线为，正切线为POAPOAAOT的面积扇形的面积的面积，111222OA MPOAOA AT，即MPAT.sintan.POxyMAT54sin32sin 与与AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解
17、：解：如图可知：如图可知：54tan32tan 与与54sin32sin 54tan32tan 例例5.5.求函数求函数 的定义域的定义域.()2cos1f aa=-OxyP2MP112x=2,2()33kkkZppapp-+P1cos2a1.(0,2)cossintanxxxx在内使成立的 的取值范围是()3(,)44A53(,)42B3(,2)2C37(,)24DCxyoMPAT32.(,)4若，则下列各式错误的是()()sincos0A()sincos0B()|sin|cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin|cos|分析：xyoy=-xPM 练习练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2 MP30sincos1,(,)24 PM3sincos0,(,)4 xyoPM3sincos0,(,)2 MPPM37sincos0,(,)24 7sincos0,(,2)4 sincos0则322()44kkk若sincos0则3722()44kkk若sincos小结的符号问题：小小 结结1.2三角函数线的定义，会画三角函数线的定义，会画 任意角的三角函数线；任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值利用单位圆比较三角函数值 的大小，求角的范围的大小，求角的范围.)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk
