1、 2.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的几何性质思考回顾 椭圆的简单几何性质？范围范围;对称性对称性;顶点顶点;离心率等离心率等 双曲线是否具有类似的性质呢?222bac|MF1|-|MF2|=2a（2a1 (ca0)(4)双曲线的形状与双曲线的形状与e的关系的关系abk 即即:e越大越大,渐近线渐近线 斜率斜率的绝对值越大的绝对值越大,其开口越阔其开口越阔.xabyyB2A1A2 B1 xOF2F1双曲线标准方程：双曲线标准方程：22221xyab 0byax双曲线性质：双曲线性质：1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：关于关于x轴，轴，y轴，原点对称轴，原
2、点对称.3、顶点：、顶点：A1（-a，0），），A2（a，0）实轴长实轴长|A1A2|=2a ，虚轴虚轴|B1B2|=2b.4、渐近线方程：、渐近线方程：5、离心率：、离心率：ace axax或或双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质线段线段A1A2叫实轴叫实轴.线段线段B1B2叫虚轴叫虚轴.xaby)(1e即即yB2A1A2 B1 xOF2F1中在双曲线方程)1(122222222bxaybyax，那么双曲线叫做，那么双曲线叫做如果如果ba :此时双曲线方程为此时双曲线方程为222ayx :它的渐近线方程为它的渐近线方程为xy .)(xy .等轴双曲线等轴双曲线)(222axy 利用双曲线
3、的渐近线利用双曲线的渐近线 ,可以帮助可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图我们较准确地画出双曲线的草图 .具体具体做法是做法是 :画出双曲线的渐近线画出双曲线的渐近线 ,先确先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置位置 ,然后过这两点并根据双曲线在然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分近线的特点画出双曲线的一部分 ,最后最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .B2A1A2 B1 yxOF2F1此外：此外：互为共轭双曲线。互为共轭双曲线。)0
4、,0(10,0122222222baaxbybabyax与）（此外：此外：互为共轭双曲线。互为共轭双曲线。性质：性质：(1)共轭双曲线有共同的渐近线;(2)共轭双曲线的四个焦点共圆，即c相等;(3)共轭双曲线离心率平方的倒数和等于1.轭双曲线离心率平方的 倒数和等于1应用举例应用举例:例例1.求双曲线求双曲线9y2 16x2 =144的实半轴与虚半轴的实半轴与虚半轴长长,焦点坐标焦点坐标,离心率及渐近线方程离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图并画出双曲线草图.解：解：:原方程可化为原方程可化为1342222 xy.34 ba，虚半轴长，虚半轴长实半轴长实半轴长5342222 bac.)50()
5、50(，焦点坐标焦点坐标.45 ace离心率离心率3-34-4xyO.34:xy 渐近线方程为渐近线方程为应用举例应用举例:例例1.求双曲线求双曲线9y2 16x2 =144的实半轴与虚半轴的实半轴与虚半轴长长,焦点坐标焦点坐标,离心率及渐近线方程离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图并画出双曲线草图.解：解：:原方程可化为原方程可化为1342222 xy.34 ba，虚半轴长，虚半轴长实半轴长实半轴长5342222 bac.)50()50(，焦点坐标焦点坐标.45 ace离心率离心率3-34-4xyO.34:xy 渐近线方程为渐近线方程为例例2.求符合下列条件的双曲线的标准方程：求符合下列条件
6、的双曲线的标准方程：解：解：5(1)28,4caa 4,5,ac 2229.bca 故所求标准方程为：故所求标准方程为：221.169xy解：解：（2）由题意）由题意43ca 双曲线焦点在双曲线焦点在y轴上，轴上，162 c6,8ac 22228.bca 故所求标准方程为：故所求标准方程为：221.3628yx解：解：（3）由椭圆）由椭圆22185xy的焦点的焦点),0,3(),0,3(得到双曲线的顶点得到双曲线的顶点12(3,0),(3,0),AA 知双曲线的焦点在知双曲线的焦点在x轴上，轴上，且焦点为且焦点为12(2 2,0),(2 2,0),FF 3,2 2,ac 2225.bca 故所
7、求标准方程为：故所求标准方程为：221.35xy（4）一个焦点是）一个焦点是F1(6，0)的等轴双曲线的等轴双曲线.解：解：设双曲线为设双曲线为 22221xyaa则由则由222bac 得得2226aa218.a故所求标准方程为：故所求标准方程为：221.1818xy(2)对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用.(1)得到双曲线的标准方程需要三个条件：得到双曲线的标准方程需要三个条件：a,b及焦点位置；及焦点位置；【说明说明】22221xyab的渐近线为的渐近线为 0 xyab byxa 即即渐近线为渐近线为 byxa 的双曲线标准方程一定是的
8、双曲线标准方程一定是22221xyab？问：问：双曲线的标准方程双曲线的标准方程，时时当渐近线的方程为当渐近线的方程为xaby答：，不一定不一定2222122xyab例例如如：双双曲曲线线它的渐近线它的渐近线的双曲线方程有：的双曲线方程有：为渐近线为渐近线即即以以0byaxxaby注意：22221(0)xyab 2222(0)xyab 22221xyab一一定定是是吗吗？.xaby方程是方程是的的为渐近线为渐近线即为以即为以0byax.双曲线系方程双曲线系方程即即 与双曲线与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点(3,2 3)；与双曲线与双曲线221164xy有公共焦
9、点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2)例3:求下列双曲线的标准方程：例题讲解 法二：巧设方程,运用待定系数法.设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22(3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy 法二：设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1、“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在x轴上的双曲线；1)的点的轨迹是双曲线。定
10、点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab 是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆2axc 是相应于左焦点F(-c,0)的左准线2axc xyoFlMF2axc l2axc 点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线2yac 2yac 相应于下焦点F(-c,0)的是下准线2yac 2yac F.|)()()()(双曲线的离心率双曲线的离心率是是，其中，其中，求证：求证：是双曲线上任一点，是双曲线上任一点，的焦点坐标是的焦点坐标是，
11、已知双曲线已知双曲线eexaMFexaMFyxMcFcFbabyax02010021222200001:证明证明，双曲线双曲线12222byax.)(caxcF220的准线方程是的准线方程是，相应于焦点相应于焦点.)(caxcF210的准线方程是的准线方程是，相应于焦点相应于焦点得得由双曲线的第二定义，由双曲线的第二定义，ecaxMF|201，ecaxMF|202:化简得化简得，|01exaMF.|02exaMF)(焦半径公式焦半径公式2例例F1F2得得由双曲线的第二定义，由双曲线的第二定义，ecaxMF|201，ecaxMF|202:化简得化简得F1F2axc2 axc2 焦半径公式：焦半径
12、公式：MFaex20|.MFaex10|，xy00(,)同理可得焦点在同理可得焦点在 y 轴上的焦半径公式：轴上的焦半径公式：MFaey20|.MFaey10|，F1F2xyF1F2xy（二）（二）M2位于双曲线左支位于双曲线左支),(111yxM1 11 11 1e ex x|F FM M|a1 12 21 1e ex x|F FM M|a),(222yxM（一）（一）M1位于双曲线右支位于双曲线右支2 21 12 2e ex x|F FM M|a2 22 22 2e ex x|F FM M|a焦半径公式：焦半径公式：O 例例.已知双曲线上一已知双曲线上一点点P到左、右焦点的距离之比为到左、
13、右焦点的距离之比为1:2,求求P点到右准线的距离点到右准线的距离.1322 yxd2=6双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形定义：以双曲线上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形叫做双曲线的焦点三角形。性 质：若 则 特别地，当 时，有 。21PFF2cot221bSPFF9021PFF221bSPFF椭圆椭圆双曲线双曲线第二定义第二定义定义式定义式准线方程准线方程离心率范围离心率范围动点到一个定点的距离和它到动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数一条定直线的距离的比是常数e2axc 2ayc 或或0e11212PFPFcedda双曲线双曲线椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直
14、线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交1)位置关系种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元
15、二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点）=0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0,0,原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上，OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0,+1)=0,(a(a2 2+1)x+1)x1 1x x2 2+a(x+a(x1 1+x+x2 2
16、)+1=0,)+1=0,解得解得a=a=1.1.(1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a+1)+a+1=03a3a (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称，若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.不存在。上，所以这样的在直线）不，中点（，纵坐标为的中点横坐标为：，即线段），那么由（的方程为：所以直线垂直，所以，与对称则直线两点关于直线）（，使得假设存在这样的实数）、解：方法（axyyxxxyaxyaxyxyyxyxa2132,3
17、12*22AB4112L221121),B(,A12212211不存在。所以这样的，显然不符合上式，上，那么直线，又（，）在即：）（）（）（两式做差得：（那么有中点为（，），线段由题意与双曲线的两个交点，直线）（解：法会更简单。和中点问题，利用点差本题涉及到直线的斜率axnmxxxyxyxaaxyyxyx2,2,2,1313AB,21),B(,A21212121212121212222222122111、设双曲线、设双曲线C：与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点
18、为P，且，且 求求a的值的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 五、五、综合问题综合问题1317,06028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以【分析分析】双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定 的的.利用利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k、m的关系式，根据两者的约束条件的关系式，根据两者的约束条件直线直线l与双曲线交与双曲线交于不同的两点于不同的两点，确定，确定k的取值范围的取值范围.2.(2008天津卷天津卷)已知中心在原点的双曲线
19、C的一个焦点是Fl(-3,0)，一条渐近线方程是 .(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围.520 xy8122222x1(0,0).(1)yCabab双曲线 的方程为设222(54)844200.kxkmxkmxm得22952abba由题意，得2245ab解得22145ykxmxy联立因为直线l交双曲线于M、N不同的两点，解析解析).0()2(kmkxyl的方程为设直线4554222kkm且即.15422yxC的方程为所以双曲线0)204)(45(4)8(222mkk
20、m所以24,54kmk00ykxm25.54mk22514y()5454mkmMNxkkk 线段的垂直平分线的方程从为而550.24kk或解得【回顾与反思】本题主要考查直线与直线，直线与双曲线的位置关系问题，考查学生的推理与运算能力，今后仍是高考考查的重点.),(),(),(002211yxMNyxNyxM的中点设2210 xxx所以),459,0(),0,459(22kmkkmyx轴的交点坐标分别为轴、此直线与281|459|459|2122kmkkm由提设可得,54|)45(2222kkkm所以).,45()25,0()0,25()45,(k所以 2 22 21 12 21 1 2 21
21、12 21 12 2y y例例3 3:已已知知双双曲曲线线方方程程:x x-=1 1.2 21 1 过过点点A A 0 0,1 1 作作直直线线l l交交双双曲曲线线于于P P,P P两两点点,1 1若若线线段段P PP P的的中中点点在在直直线线x x=上上,求求直直线线l l斜斜率率k k的的取取值值范范围围,2 22 2 过过点点B B 0 0,b b 作作斜斜率率为为k k k k0 0 直直线线,交交双双曲曲线线于于QQ,QQ 两两点点,1 1若若线线段段QQQQ的的中中点点在在直直线线x x=上上,求求b b的的取取值值范范围围.2 2:lkx+1 k0y=kx+1x2222223
22、0.12kxkxy22220.412 20kkk k33,2k =12211.222kxxk13.k y=k x-1Q,Q11122202,1,.2bxyxyMy 12345则2211222212121212yx-=1 2yx-=1 2x+x=1 y+y=-k+2b y-y=k x-x 12,345,11202kkb 2220kbk=2280b22bb 4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两
23、个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。12FF、12|PFPF、12|FF1.1.直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；2.2.中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。3.3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别式大于零列不等式求解。式大于零列不等式求解。
