1、中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider COMSOLCOMSOL中弱解形式的应用中弱解形式的应用中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 等效积分形式和等效积分弱形式（虚位移原理）等效积分形式和等效积分
2、弱形式（虚位移原理）微分方程 域内 边界上 等效积分形式 域内 边界上 等效积分弱形式0)(uA内在0)(uB上在 0duAvT 0duBvT 0duBvduAvTT 0duFvEduDvCTT中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider COMSOL PDECOMSOL PDE模式模式 可用于标量方程或系统 注意：系数可能会变成更高阶算子 系数形式 系数对应于常见的物理参数(例如，扩散、对流等)通式
3、很灵活和紧凑 弱形式 作为PDE的基础的PDE形式 积分形式提供更强大的灵活性(例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等)Lagrange算子显式求解 与通式和系数形式相比，很少被采用中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 基于弱解形式的方程式系统基于弱解形式的方程式系统 作为PDE的基础的一种PDE形式 应用更加灵活（例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等）形式更加紧凑 对变量的连续性要求较低 L
4、agrange算子显式求解 适用范围更广泛 适于求解非线性多物理场问题中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 系数形式系数形式例如：Poisson方程rhuhgquuucT)(n域内边界上1u0u域内子域边界上隐含 c=f=h=1 和所有其他系数为 0。fauuuuctudtueaa)(22中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech C
5、o.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 系数形式系数形式质量阻尼质量扩散对流源对流吸收源fauuuuctudtueaa)(22中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 质量阻尼质量弹性力初始/热应力惯性力(重力)aaedcc u22()aaedcaftt uuuuuu系数形式，波动方程系数形式，波动方程密度阻
6、尼系数应力刚性，“弹簧常数”中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 22()aauuedc uuuaufut 堆积/储存扩散对流源对流吸收源系数形式，输送扩散方程系数形式，输送扩散方程中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutio
7、ns Provider 22()aauuedc uuuaufut 0022tutu系数形式，稳态方程系数形式，稳态方程中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 22()aauuedc uuuaufut 扩散Helmholtz项源22()2c uk ufakk Helmholtz 方程：系数形式，频率响应波动方程系数形式，频率响应波动方程波数波长中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化
8、软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 通式更简练的公式通式更简练的公式 域内 边界上 Poisson方程相应的通式为 其他系数为 0RuRGT0nuyux.uR 1FFtudtueaa22中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 弱形式弱形式(静态静态)通
9、式乘以试函数 v 并积分左侧分部积分重排记住对于Poisson方程：=-ux-uy,F=1,R=u(u 约束为 0)在“弱”编辑框中输入上面的求解域积分-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F 在边界上，设置约束：uFvFdAdAvvFdAdAvdsvndsvdAvFvn0F中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 瞬态弱形式，例子瞬态弱形式，例子通式乘以试函数 v 并积
10、分包含“del”表达式的分部积分重排对于Poisson方程：=-ux-uy,F=1,R=u(u 约束为 0)在“weak”编辑框中输入上面的积分式：-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F da*test(u)*ut边界上设置约束：uaud vdAvdAvFdAtaud vdAvdsvdAvFdAt n0auvvFd vdAvdst naudFt 中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions
11、Provider 案例：输送和表面反应案例：输送和表面反应 在不同维度耦合物理场(唯一的唯一的)输送 2D+吸附 1D(完完全耦合全耦合)弱形式,边界模式(PDE)中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 控制方程控制方程sdessadssssckcckcDtc)()(0逆反应速率正反应速率体积浓度完全活化点吸附的物质:0desadsskkcc0)(uccDtc耦合：1D 吸附2D 输送中仿科技中仿
12、科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 弱形式弱形式PDEPDE，边界，边界dxdyctestckcckdxdyccctestDdxdyctestcssdessadssyysxxsssst)()()()(0RdxdycctestDcctestDRdxdycctestDdxdycctestDdxdcctestDdydcctestDdxdycctestDdxdycctestDdxdyccctestDsysyssx
13、sxssysyssxsxssysssxsssyysssxxsssyysxxss)()()()()()()()()(Ds*(-test(csTx)*csTx-test(csTy)*csTy)+test(cs)*(react_surf-cst)中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 网格划分网格划分(局部精细化局部精细化)中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 ww
14、w.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 结果结果体积浓度 c表面吸附率(cs)中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 弹性静力学的弱形式弹性静力学的弱形式PDE方程乘上试函数并积分分部积分整理得到Fu cpun cdVdVcTvFvudVdVcdScTTTvFvuvun0dSdd
15、cTTTvpvFvu域内边界中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 一般性问题的弱形式一般性问题的弱形式PDE方程乘上试函数并积分分部积分整理得到fauuucpucnfvdVvdVauuuc域内边界0fvdVauvdVvdVuvdSucvdVucn0fvdVauvdVvdVupvdSvdVuc中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech
16、Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 弱约束弱约束 优点 精确的通量计算 处理非线性约束 处理包含微分的约束 缺点 引入了较多的未知量 容易在Jacobian矩阵的主对角线上引入零值（鞍点）不连续约束导致较大的震荡中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 乘子的物理意义乘子的物理意义 使用弱约束-Lagr
17、angian乘子被作为独立变量求解-精确的流量计算-处理非线性约束和带有导数的约束-变量名lm1，lm2.中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 使用弱约束使用弱约束 在PhysicsProperties中设置弱约束 在每个边界条件中确定是否采用弱约束 产生新变量，以lm数字命名，按照应用模式及其变量的顺序来编号中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.C
18、nT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 弱约束类型弱约束类型 完美（Ideal）和标准的逐点约束类似的边界条件，不涉及物理本质 Lagrange乘子对于所有变量对称 非完美（Non-Ideal）修改了模型的物理本质 Lagrange乘子只应用到指定约束的变量BBdsvudsvu3232BBdsudsvu32vu,vu,032vuR假设模式A(u)和B(v)，其中A的约束Lagrange乘子及试函数变量及试函数中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司
19、 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 弱约束的局限弱约束的局限 接触边界相同变量的逐点和弱约束不起作用 只有Dirichlet边界条件才有效 弱约束常导致线性系统的缩放比例问题 使用弱约束时常需要减小单元的阶数，以减少冗余的自由度 当使用迭代求解器时，如果在矩阵中引入了零对角元，需要采用Vanka或i-LU算法中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering
20、 Virtual Prototyping Solutions Provider 方程式系统中的应用方程式系统中的应用 在weak标签中出现的变量进入求解过程 其余的为后处理变量中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider 相关的相关的Weak项参数设置项参数设置 weak 写入弱项公式 dweak 与时间相关的弱项 bnd.weak 超弱项，应用于内部不连续边界条件（不存在几何边界）参考模型库中Equation-Based_Models/transport_problem constr 约束（不是弱约束）Constraint type 完美、非完美、用户自定义中仿科技中仿科技-专业信息化软件及技术咨询公司专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd-Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider Thank you!
