1、第1页第三节 向量组的秩第2页向量组线性表出具有传递性线性表出，可由向量组那么向量组线性表出，可由向量组向量组线性表出，可由向量组设向量组nsntts,212121212121BABAnsntts),(),(,),(),(),(),(212121212121那么，第3页向量组的等价向量组等价意味着可以相互表示等价。与向量组则称向量组线性表出，也可由线性表出，可由和设有两个向量组tssttsts,2121212121212121ABBAttstts),(),(),(),(,),(),(212121212121?),(),(2121ABEABtt能否马上得到由表达式No.需要什么条件需要什么条件?
2、向量组的等价关系向量组的等价关系反身性对称性传递性第4页第5页向量组的极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组等价。么它与它的有极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的若定义：设有向量组miiiiiimiiiiiimrrrrr,)2(,)1(,21212121212121第6页向量组的极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组等价。么它与它的有极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的
3、若定义：设有向量组miiiiiimiiiiiimrrrrr,)2(,)1(,21212121212121没有多余的没有多余的第7页向量组的极大线性无关组与向量组的秩。相互表示极大线性无关组等价么它与它的有极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的若定义：设有向量组)(,)2(,)1(,21212121212121miiiiiimiiiiiimrrrrr和原向量组和原向量组等价等价第8页向量组的极大线性无关组与向量组的秩两个条件缺一不可两个条件缺一不可。相互表示极大线性无关组等价么它与它的有
4、极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的若定义：设有向量组)(,)2(,)1(,21212121212121miiiiiimiiiiiimrrrrr第9页向量组的极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组等价。么它与它的有极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的若定义：设有向量组miiiiiimiiiiiimrrrrr,)2(,)1(,21212121212121在向量组中挑选在向量
5、组中挑选一些向量出来一些向量出来,始始终保持线性无关终保持线性无关的性质的性质,所需要向所需要向量的最大个数量的最大个数第10页向量组的极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组等价。么它与它的有极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的若定义：设有向量组miiiiiimiiiiiimrrrrr,)2(,)1(,21212121212121在向量组中挑选在向量组中挑选一些向量出来一些向量出来,始始终保持线性相关终保持线性相关的性质的性质,所需要向所需要向量的最少个数量的最少个数,然然后减去后
6、减去1第11页向量组的极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组等价。么它与它的有极大线性无关组，那显然，如果一个向量组无关组。的一个极大线性是向量组则称线性表出，一个向量都可以由的任意向量组是线性无关的个向量，且满足是向量组中的若定义：设有向量组miiiiiimiiiiiimrrrrr,)2(,)1(,21212121212121什么样的向什么样的向量组没有极量组没有极大线性无关大线性无关组组只含有只含有0向向量的向量组量的向量组第12页向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价由向量组等价的传递性,向量组的两个不同的极大线性无关组之间是等价的.与原向量组等价的线性与原向量组等价的线性无关的向
7、量组无关的向量组第13页线性相关那么线性表出，可由如果定理：给定两个向量组stststsIII,(2),)1(,)(,)(2121212121第14页线性相关那么线性表出，可由如果定理：给定两个向量组stststsIII,(2),)1(,)(,)(2121212121第15页sttsstijttsssstttttsAkAkkkkkkkkk),(),(,)(,2121221122221122122111112121写作令我们有线性表出可由由于02211sxxxx0),(21xs即0),(),(,2121xAxstts这样由已知条件st齐次方程组Ax=0中未知数比方程组多,必有非0解第16页tsI
8、IIststs那么线性无关线性表出，可由如果两个向量组定理的等价形式：给定,(2),)1(,)(,)(2121212121逆否命题逆否命题反证法反证法第17页推论1：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必定相等。推论2：一个向量组若有两个极大线性无关组，那么他们所含的向量的个数相等。的向量组的秩为零。规定：全由零向量组成向量组的秩，记作的向量的个数，被称为的极大线性无关组所含定义：向量组.),(,2121rrmm没有极大线没有极大线性无关组性无关组第18页2)(,370,132,12132132121321，故线性相关，线性无关，容易验证：例：设r第19页关于向量组的秩的有关结论关于向量
9、组的秩的有关结论(好记好记,常用常用)秩。等价的向量组有相同的。，则线性表出，可由向量组，若向量组无关组都是它的一个极大线性个线性无关的向量则向量组任意，若向量都是线性相关的个则向量组中任意，若，线性无关，向量组)5()()()4(,0)()3(.,0)()2()()1(2121212121212121smsmmmmmrrrrrrkrrmr第20页向量组的秩与矩阵的秩的关系定义：矩阵的行秩与列秩定理：矩阵的秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩矩阵的列秩=矩阵的行秩矩阵的行秩(证明给出求向量组的秩和极大线性无关组证明给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法的方法)第21页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩
10、阵的秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩矩阵的列秩=矩阵的行秩矩阵的行秩8224102312512311110123下述矩阵的秩为找到一个找到一个3级子式非级子式非0这个这个3级子式对应的级子式对应的3个行向量线性无关个行向量线性无关,3个个列向量也线性无关列向量也线性无关理清上述过程理清上述过程,给出求极大线性给出求极大线性无关组的方法无关组的方法8224102312512311110123下述矩阵的秩为向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩矩阵的列秩=矩阵的行秩矩阵的行秩第22页我们得到这我们得到这3个向量个向量,线性无关线性无关,且所有向量都可被它们线性表示且所有向量
11、都可被它们线性表示,他们构成列的极大线性无关组他们构成列的极大线性无关组第23页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩矩阵的列秩=矩阵的行秩矩阵的行秩(给出求向量组的秩和极大线性无关组的方给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法法1)1.初等变换得到矩阵的秩为r2.在矩阵中找到一个r级子式不等于03.这个r级子式对应的行(列),是行(列)向量组的极大线性无关组第24页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩矩阵的列秩=矩阵的行秩矩阵的行秩(给出求向量组的秩和极大线性无关组的方给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法法2)1.将向量组按列摆放为一
12、个矩阵(如果是列向量,直接按列摆放,如果是行向量,则先转置成列向量,再摆放)2.对矩阵只做行变换化为规范的阶梯形矩阵3.所得矩阵中,非0行数目就是矩阵的秩,也就是向量组的秩4.非0行中第一非0元素1,所对应的列,放在一起形成极大线性无关组,且容易得到其他向量的表示系数第25页性无关组线性表出将其他向量都用极大线关组求它的一个极大线性无求向量组的秩例：已知向量组(3)(2)(1),8211,2321,2130,4211,1051254321第26页822410231251231111012将向量组按列摆放00000310004021030101规范的行阶梯阵只用初等行变换化为非非0行的数目行的数
13、目=矩阵的矩阵的秩秩=向量组的秩向量组的秩3向量组的秩为00000310004021030101规范的行阶梯阵只用初等行变换化为822410231251231111012将向量组按列摆放第27页3向量组的秩为挑选规范行阶梯阵中挑选规范行阶梯阵中非非0行第一个非行第一个非0元素元素1对应的列对应的列,构成极大线构成极大线性无关组性无关组321,极大线性无关组00000310004021030101规范的行阶梯阵只用初等行变换化为第28页822410231251231111012将向量组按列摆放3向量组的秩为其他向量的表示系数其他向量的表示系数可以直接由规范的行可以直接由规范的行阶梯阵得到阶梯阵得
14、到421,极大线性无关组4215213)3()4(3)2(第29页回忆mArAkAkkkkkkkkkmsmmsijssmmmmsssss)(,),(),(,)(,2121212211222211221221111121线性相关当且仅当那么可以写作令线性无关，设向量组第30页)(),(),(),(,)(,2121212211222211221221111121ArrAkAkkkkkkkkkmsmmsijssmmmmsssss那么可以写作令线性无关，设向量组r(A)=0意味着意味着A=0,从从而向量组而向量组1,2,都是都是0向量向量,从而秩也为从而秩也为00)(:1Ar情况第31页)(),(),
15、(),(,)(,2121212211222211221221111121ArrAkAkkkkkkkkkmsmmsijssmmmmsssss那么可以写作令线性无关，设向量组0)(:1Ar情况1)(:2 rAr情况不妨设不妨设A的前的前r列是列是A的列的列向量组的极大线性无关向量组的极大线性无关,所所以以A=(B,C),这里这里B是前是前r列组成的矩阵列组成的矩阵DBDBrsmrsr),(),(),(),(),(11111得到那么后面那么后面r列列,可以由前面可以由前面r列线性表示列线性表示,意味着存在矩意味着存在矩阵阵D，使得，使得C=BD,故故A=(B,BD)第32页)(),(),(),(,)
16、(,2121212211222211221221111121ArrAkAkkkkkkkkkmsmmsijssmmmmsssss那么可以写作令线性无关，设向量组0)(:1Ar情况1)(:2 rAr情况得到表达式说明向量组得到表达式说明向量组1,2,m可以由向量组可以由向量组1,2,r线性表示线性表示.下面需要说明下面需要说明1,2,r线线性无关性无关DBDBrsmrsr),(),(),(),(),(11111得到反证反证:设设1,2,r线性相线性相关关,将导致方程组将导致方程组Bx=0有非有非0解解,从而从而B的列向量组是线的列向量组是线性相关的性相关的,这与这与B的列是的列是A的的极大线性无关
17、组矛盾极大线性无关组矛盾.这说明矩阵这说明矩阵AB的列的列向量组可由矩阵向量组可由矩阵A的的列向量组线性表示列向量组线性表示向量组向量组I可由向量组可由向量组II线性表示线性表示,那么组那么组I的秩小于或等于组的秩小于或等于组II的秩的秩第33页。证明：阵为阵，为例：设)(),(min)(BrArABrnpBpmApiinipiiipiiipnppnnppnppnnmpmmppbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbaaaaaaaaaAB1121121222211121121212222111211212222111211 回忆矩阵分块：第34页。证明：阵为阵，为例：设)(),(min)(B
18、rArABrnpBpmA这说明矩阵这说明矩阵AB的行的行向量组可由矩阵向量组可由矩阵B的的行向量组线性表示行向量组线性表示pjjmjpjjjpjjjpmpmmpppnppnnmpmmppaaaaaaaaaaaabbbbbbbbbaaaaaaaaaAB1121121212222111211212222111211212222111211 第35页也线性无关。，试证，线性无关，例：设321313322211321,价证明：这两个向量组等。，线性表出，且，可由向量组，若向量组)()(21212121smsmrr第36页利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系讨论矩阵的秩(也可用矩阵秩的定义讨论);()()
19、;()(BrArBCOArBrArBOOAr第37页。证明：阵为阵，为例：设。证明：阵都为和例：设。证明：阵为阵，为例：设)(),(min)()()()()()()()()()(),(maxBrArABrpBrArnpBpmABrArBArnmBABrArBArBrArpmBnmA第38页线性表出，不能由向量组线性表出，可由向量组线性相关，证明：，线性无关，而向量组，设向量组mm-mmm-32112132121)2()1(第39页线性无关。，试证：，但是维向量，已知为例：设1210,0nnnAAAAAn第40页作业习题三:第14、15、17、19、21、22题第41页Thank you for your attention!
