1、带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动一.洛仑兹力1.洛仑兹力的性质：大小：f=qvB（vBvB）方向：左手定则-注意四指指正电荷的运动方向（负电荷运动的反方向）特点:洛仑兹力对运动粒子不做功 二、二、带电粒子在带电粒子在无界无界匀强磁场中的运动匀强磁场中的运动F洛洛=0匀速直线运动匀速直线运动F洛洛=Bqv匀速圆周运动匀速圆周运动F洛洛=Bqv等距螺旋线运动（等距螺旋线运动（090）V/BVBv与与B成成角角mvrqB2 mTqB在在只只有有洛洛仑仑兹兹力力的的作作用用下下V=0磁场不给作用力磁场不给作用力保持静止保持静止三、带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动三、带电粒子（
2、不计重力）在匀强磁场中的运动圆心的确定a、两个速度方向垂直线的交点。（、两个速度方向垂直线的交点。（常用在有界磁场的入射与出射方向已常用在有界磁场的入射与出射方向已知的情况下）知的情况下）VOb、一个速度方向的垂直线和一条弦的、一个速度方向的垂直线和一条弦的中垂线的交点中垂线的交点O基本思路：基本思路：圆心一定在与速度方向垂直圆心一定在与速度方向垂直的直线上，通常有两种方法：的直线上，通常有两种方法：半径的确定 主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、边角关系、全等、相似等）。例如：已知出射速度与水平方向边角关系、全等、相似等）。例如
3、：已知出射速度与水平方向夹角夹角，磁场宽度为，磁场宽度为d d，则有关系式，则有关系式r=d/sinr=d/sin，如图所示。再，如图所示。再例如：已知出射速度与水平方向夹角例如：已知出射速度与水平方向夹角和圆形磁场区域的半径和圆形磁场区域的半径r r，则有关系式，则有关系式R=rcot ,R=rcot ,如图所示。如图所示。2运动时间的确定 先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的速度的夹角速度的夹角，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间的夹角（圆心角或回旋角）。由几何知识可知，
4、它等于弦切角的夹角（圆心角或回旋角）。由几何知识可知，它等于弦切角的的2倍，即倍，即=2=t,如图所示。如图所示。qBmT2 然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周的时间为的时间为 ,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时，时，其运动时间由下式表示：其运动时间由下式表示：TtTt2360或1 1、直线边界（进出磁场具有对称性）、直线边界（进出磁场具有对称性）2 2、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）注意：注意：从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与从一边界射
5、入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角（弦切角）相等。边界的夹角（弦切角）相等。带电粒子沿径向射入圆形磁场带电粒子沿径向射入圆形磁场区域内，必从径向射出。区域内，必从径向射出。四、在有界磁场中带电粒子圆运动有关问题的讨论四、在有界磁场中带电粒子圆运动有关问题的讨论 例例1、一个负粒子，质量为一个负粒子，质量为m，电量大小为，电量大小为q，以速，以速率率v垂直于屏垂直于屏S经过小孔经过小孔O射入存在着匀强磁场的真射入存在着匀强磁场的真空室中空室中(如图如图1).磁感应强度磁感应强度B的方向与粒子的运动方的方向与粒子的运动方向垂直向垂直,并垂直于图并垂直于图1中纸面向里中纸面向里.求粒子进入
6、磁场后求粒子进入磁场后到达屏到达屏S上时的位置与上时的位置与O点的距离点的距离.OBSV1.在半无界磁场区中的运动在半无界磁场区中的运动解：经过分析可知，解：经过分析可知，OS 的距离的距离即为粒子做圆周运动的直径。即为粒子做圆周运动的直径。qBmvRSos22即即300MNBrrO600Orr600eBmvr eBmvrd22eBmeBmTt35265360300001eBmeBmTt326136060002eBmttt34212例例2、如图直线如图直线MN上方有磁感应强度为上方有磁感应强度为B的匀强磁场。的匀强磁场。正、负电子同时从同一点正、负电子同时从同一点O以与以与MN成成30角的同样
7、速度角的同样速度v 射入磁场（电子质量为射入磁场（电子质量为m，电荷为，电荷为e），它们从磁场中），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？射出时相距多远？射出的时间差是多少？2、在条形磁场区中的运动、在条形磁场区中的运动 例例3、一质子以某一速度垂直射入宽度为、一质子以某一速度垂直射入宽度为d的的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与入射方向的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与入射方向的夹角为夹角为,试求带电粒子在磁场中的运动半径试求带电粒子在磁场中的运动半径R。d解：如图所示作辅助线，由几何解：如图所示作辅助线，由几何知识可得知识可得Rdsin故故sindR 例例4、如图所示如图所示,一束
8、电子一束电子(电量为电量为e)e)以速度以速度V V垂垂直射入磁感应强度为直射入磁感应强度为B B、宽度为、宽度为d d的匀强磁场的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为角为30300 0.求求:(1)(1)电子的质量电子的质量 m m(2)(2)电子在磁场中的运动时间电子在磁场中的运动时间t td dBev vvqBdm3vdTt336030v vdu 对象模型：对象模型：u 过程模型：过程模型：u 规律：规律：u 条件：条件：题题1dBqmvdBqm2arcsinRvt 2 2 w w2 2 mvdBqRd22/sin 题题1vO 带
9、电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉周运动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及粒子及粒子轨迹圆轨迹圆与磁场与磁场边界圆边界圆的两圆相交问题。的两圆相交问题。两圆心连线两圆心连线OO与点与点C共线。共线。OR2如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁射入磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向
10、成角。设电子质量为角。设电子质量为m，电荷量为，电荷量为e，不计电子之间的相互，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：作用力及所受的重力。求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径）圆形磁场区域的半径r。vBOrv解：解：（1）eBmvR （2）由几何关系得：圆心角：由几何关系得：圆心角：eBmTt 2（3）由如图所示几何关系可知，由如图所示几何关系可知，Rrtan 2 2 taneBmvr 所以：所以：4.在中空磁场区的运动在中空磁场区的运动例题例题 如图所示，在无限宽的匀强磁场如图
11、所示，在无限宽的匀强磁场B中有一边长中有一边长为为L的正方形无磁场区域。在正方形的四条边上分的正方形无磁场区域。在正方形的四条边上分布着八个小孔。每个小孔到各自最近顶点的距离布着八个小孔。每个小孔到各自最近顶点的距离都为都为L/3。一质量为。一质量为m、带电量为、带电量为q的正粒子垂直的正粒子垂直匀强磁场从孔匀强磁场从孔A射入磁场，试问粒子再次回到射入磁场，试问粒子再次回到A点点的时间。的时间。A解：经分析粒子运动过程可知，粒子经过四次圆周运动解：经分析粒子运动过程可知，粒子经过四次圆周运动四次匀速直线运动后回到出发点。四次匀速直线运动后回到出发点。每次圆周运动的时间为四分之三个周期，每次圆周
12、运动的时间为四分之三个周期，即即Tt431每次匀速直线运动的时间为每次匀速直线运动的时间为vLt 2所以粒子经历的时间为所以粒子经历的时间为vLTttt43421又因为又因为qBmvRL3所以所以qBmt32qBm625.5.在反向磁场区中的运动在反向磁场区中的运动例题例题 在在xoy平面内有两个方向如图所示的匀强磁场，在平面内有两个方向如图所示的匀强磁场，在y轴轴左边的磁感应强度为左边的磁感应强度为B，右边的磁感应强度为，右边的磁感应强度为2B。一质量。一质量为为m、电量为、电量为q的电子以速度的电子以速度v与与x轴正方向成轴正方向成60斜向上斜向上的从原点射出。试求电子每运动一个周期在的从
13、原点射出。试求电子每运动一个周期在y轴上前进的轴上前进的距离。距离。OxyOxy解：如图所示作辅助线AB设两圆切点为A，电子第二次从B点通过y轴，则由几何知识可得OA和AB分别对应小圆和大圆的半径因为电子的入射方向与x轴 夹角为60，又因为电子在右边磁场中运动的半径为qBmvr2在左边磁场中运动的半径为qBmvR 故电子第二次通过y轴时前进的距离为qBmvy23 带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题，注意下列结论，再借助数学方法分析题，注意下列结论，再借助数学方法分析(1)刚好不穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁刚好不穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中
14、运动的轨迹与边界相切场中运动的轨迹与边界相切(2)当速率当速率v一定时，弧长一定时，弧长(或弦长或弦长)越长，圆心角越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长长(3)当速率当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长变化时，圆心角越大，运动时间越长五、五、带电粒子在磁场中的临界、极值带电粒子在磁场中的临界、极值问题问题SvvBPSvSQPQQ量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动例：例：如图若带粒电子的电量如图若带粒电子的电量e，质量，质量m，磁感应强，磁感应强度度B及
15、宽度及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度则初速度V0有什么要求？有什么要求？Be v0dB变化变化1：若初速度向下与边界成若初速度向下与边界成 =60 0 0，则初速度有什么要求？，则初速度有什么要求？变化变化2：若初速度向上与边界成若初速度向上与边界成 =60 0 0，则初速度有什么要求？，则初速度有什么要求？ovBdabcvB量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）带电粒子在矩形磁场区域中的运动带电粒子在矩形磁场区域中的运动V0OabcdV0Oabcd)30sin1(201 rL31Lr mqBLmqBrv311300600Lr
16、 2mqBLmqBrv22mqBLvmqBL3qBmqBmTt3526536030000V022例7、如图所示，在边界为AA、DD狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，磁场区域宽为d，电子枪S发出质量为m、电荷量为e、速率均为v0的电子当把电子枪水平放置发射电子时，在边界DD右侧发现了电子；当把电子枪在竖直平面内转动到某一位置时，刚好在左侧发现了电子(1)试画出刚好在左侧发现的电子在磁场中运动的轨迹；(2)计算该电子在边界AA的射入点与射出点间的距离1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹
17、不同，导致多解如图带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.2磁场方向不确定形成多解磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解多解如图带正电粒子以速率如图带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里垂直纸面向里，其轨迹为，其轨迹为a，若，若B垂直纸面向外，其轨迹为垂直纸面向外，其轨迹为b.六、六、带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子
18、在磁场中运动的多解问题3临界状态不惟一形成多解临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180从入射面边界从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解反向飞出，如图所示，于是形成了多解4运动的往复性形成多解运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解如图所示往复性，从而形成多解如图所示例8、如图(甲)所示，M
19、、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图(乙)所示有一群正离子在t0时垂直于M板从小孔O射入磁场已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力求：(1)磁感应强度的大小B0.(2)要使正离子从O孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值如图所示，正方形容器处在匀强磁场中，一束如图所示，正方形容器处在匀强磁场中，一束电子从孔电子从孔a a垂直于磁场沿垂直于磁场沿abab方向射入容
20、器中，其中方向射入容器中，其中一部分从一部分从c c孔射出，一部分从孔射出，一部分从d d孔射出，容器处在孔射出，容器处在真空中，下列说法正确的是（真空中，下列说法正确的是（）课课 堂堂 练练 习习v vo oa ab bc cd dA.A.从两孔射出的电子速率之比是从两孔射出的电子速率之比是V Vc c:V:Vd d=2:1=2:1B.B.从两孔射出的电子在容器中从两孔射出的电子在容器中 运动所用的时间之比是运动所用的时间之比是t tc c:t:td d=1:2=1:2C.C.从两孔射出的电子在容器中从两孔射出的电子在容器中 运动的加速度之比是运动的加速度之比是a ac c:a:ad d=2
21、:12:1D.D.从两孔射出的电子在容器中从两孔射出的电子在容器中 运动的加速度之比是运动的加速度之比是a ac c:a:ad d=2:1=2:1某离子速度选择器的原理图如图，在半径为某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的圆形筒内有的圆形筒内有B=1104 T 的匀强磁场，方向平行于的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有。现有一束比荷为一束比荷为q/m=2 1011 C/kg的正离子，以不同角度的正离子，以不同角度入射，其中入射角入射，其中入射角 =30，且不经碰撞而直接从出射孔，且不经碰撞而直接从出射孔射出
22、的离子的速度射出的离子的速度v大小是大小是（）A4105 m/s B 2105 m/s C 4106 m/s D 2106 m/s解：解：aObOrr 作入射速度的垂线与作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于的垂直平分线交于O点，点，O点即点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：a Ob=2 =60，r=2R=0.2mm/s10420101026411 .mqBrv 练习练习1 如图所示，在如图所示，在y0的区域内存在匀强磁场，磁场的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为平面并指向纸面外，磁感应强度
23、为B，一带正电的粒子以速度一带正电的粒子以速度V0从从O点射入磁场，入射方向点射入磁场，入射方向在在xy平面内，与平面内，与x轴正方向的夹角为轴正方向的夹角为，若粒子射出，若粒子射出磁场的位置与磁场的位置与O点的距离为点的距离为L，求粒子运动的半径和，求粒子运动的半径和运动时间。运动时间。x xy yo o解：如图所示作辅助线，解：如图所示作辅助线，由几何知识可得：由几何知识可得：RL2sin故运动半径为故运动半径为sin2LR 运动时间为运动时间为qBmt22 解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，我们可以将有界磁场视为无界磁场动问题时，我们可以将
24、有界磁场视为无界磁场让粒子能够做让粒子能够做完整的圆周运动完整的圆周运动。确定粒子圆周确定粒子圆周运动的圆心，作好辅助线运动的圆心，作好辅助线，充分利用圆的有关，充分利用圆的有关特性和公式定理、特性和公式定理、圆的对称性等圆的对称性等几何知识几何知识是解是解题关键题关键，如，如弦切角等于圆心角的一半、速度的弦切角等于圆心角的一半、速度的偏转角等于圆心角偏转角等于圆心角。粒子在磁场中的粒子在磁场中的运动时间运动时间与速度方向的偏转角成正比与速度方向的偏转角成正比。解题思路归纳解题思路归纳带电粒子在磁场中运动问题的解题思路带电粒子在磁场中运动问题的解题思路找 圆 心找 圆 心画轨迹画轨迹已知两点速度方向已知两点速度方向已知一点速度方向已知一点速度方向和另一点位置和另一点位置两洛伦兹力方向的延长线交点为圆心两洛伦兹力方向的延长线交点为圆心弦的垂直平分线与一直径的交点为圆弦的垂直平分线与一直径的交点为圆心心v1Ov2ABv1ABO
