1、偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程分析可得上述初值问题的形式解是：称此式为dAlembert（达朗贝尔）公式11(,)()()()22x atx atu x txatxaty dya偏微分方程第3章 波动方程当 时，显然可知达朗贝尔公式所表示的 满足方程和初始条件。从而可知为该定解问题的古典解。从上述证明可知，该定解问题的解是存在并且是唯一，考虑在有限的时间段 内，该初值问题解的估计式为12,CC(,)u x t0,T,sup(,)sup()sup()x txxu x txTx偏微分方程第3章 波动方程考虑如下的两个初值问题：现在令 ，则 满足如下的定解问题211,1,111
2、,10,0,(,0)(),(,0)()ttxxtua uxR tu xx uxx212,2,222,20,0,(,0)(),(,0)()ttxxtua uxR tuxx uxx12uu(,)x t2112120,0,(,0)()(),(,0)()()ttxxtaxR txxxxxx偏微分方程第3章 波动方程从而可知：由此可知当初值变化很小的时候，则相应的解的变化也很小，即解是稳定的。综上所述有下面的定理：1211,sup(,)sup()()sup()()x txxx txxTxx偏微分方程第3章 波动方程例3.1.1 求解半直线 上的初边值问题其中，是已知函数，满足 解 先把问题转换到全空间
3、上去，为此，对函数 作如下的奇延拓 0Rx0,0(,0),(,0),(0,)0,0ttxxtuuxR tu xg u xh xRutt(0)(0)0gh,g hR,u g h(,)0,0(,)(,)0,0u x txtu x tux txt偏微分方程第3章 波动方程则 满足如下的问题()0,()()0,g xxg xgxx()0,()()0,h xxh xhxx0,0(,0),(,0),ttxxtuux Rtu xg u xh x R(,)u x t偏微分方程第3章 波动方程则有达朗贝尔公式得：从而，有 的定义，便得到原问题的解注注：这种将已知函数进行奇延拓或者偶延拓之后而求得原问题的方法叫做
4、反射法。11(,)()()()22x tx tu x tg xtg xth y dya,u g h11()()(),022(,)11()()(),022x tx tx tx tg xtg xth y dyxtu x tg xtg txh y dyxt 偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程
5、第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第
6、3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程 3.4.3非齐次方程非齐次方程Duhamel 原理原理 本小节介绍解非齐次波动方程初值问题本小节介绍解非齐次波动方程初值问题的方法它是把求解非齐次方程的问题归结为的方法它是把求解非齐次方程的问题
7、归结为解一个齐次方程的问题，是常微分方程中的常解一个齐次方程的问题，是常微分方程中的常数变易法在线性偏微分方程中的推广通常称数变易法在线性偏微分方程中的推广通常称这个方法为这个方法为Duhamel 原理原理,又叫齐次化原理又叫齐次化原理,或从物理的角度称为或从物理的角度称为 冲量原理冲量原理.偏微分方程第3章 波动方程 下面，我们以求解三维非齐次波动方程的初值问题下面，我们以求解三维非齐次波动方程的初值问题为例，说明这个方法的思想考虑问题为例，说明这个方法的思想考虑问题偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程 通过力学分析知，薄膜在时刻通过力学分析知，薄膜在时刻 t 的动能的动能 K(t)和位和位能能 P(t)分别为分别为偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程偏微分方程第3章 波动方程
