1、第四章第四章 圆与方程圆与方程4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程平川中学高一数学组平川中学高一数学组 2011.12.15问题提出问题提出1.1.在平面直角坐标系中，两点确定一条在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也确定一条直线，直线，一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？那么在什么条件下可以确定一个圆呢？2.2.直线可以用一个方程表示，圆也可直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题方程是我们需要探究的问题.圆心和半径知识探究一：圆的标准方程知识探究一：圆的标准方程
2、 平面上到一个定点的距离等于定长的平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆点的轨迹叫做圆.思考思考1:1:圆可以看成是平面上的一条曲线圆可以看成是平面上的一条曲线,在在平面几何中平面几何中,圆是怎样定义的？如何用集合圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点语言描述以点A A为圆心为圆心,r,r为半径的圆？为半径的圆？P=M|MA|=r.P=M|MA|=r.A AM Mr r思考思考2:2:确定一个圆最基本的要素是什么？确定一个圆最基本的要素是什么？思考思考3:3:设圆心坐标为设圆心坐标为A(a,bA(a,b),),圆半径为圆半径为r,M(x,yr,M(x,y)为圆为圆上任意一点上任意一点,
3、根据圆的定义根据圆的定义x,yx,y应满足什么关系？应满足什么关系？(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2A AM Mr rx xo oy yrbyax22)()(P=M|MA|=r.P=M|MA|=r.思考思考4:4:对于以点对于以点A(a,bA(a,b)为圆心为圆心,r,r为半径的圆为半径的圆,由上由上可知可知,若点若点M(x,yM(x,y)在圆上在圆上,则点则点M M的坐标满足方程的坐标满足方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2；反之；反之,若点若点M(x,yM(x,y)的坐标适合的坐标适合方程方程(x-a)(x-a)2
4、 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,那么点那么点M M一定在这个圆上吗？一定在这个圆上吗？A AM Mr rx xo oy y222)()(rbyax圆心圆心C(a,b),),半径半径r思考思考6:6:以原点为圆心，以原点为圆心，1 1为半径的圆称为为半径的圆称为单位圆单位圆，那么单位圆的方程是什么？那么单位圆的方程是什么？思考思考5:5:我们把方程我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为称为圆心为A(aA(a，b)b)，半径长为，半径长为r r的圆的的圆的标准方程标准方程，那么确定圆的标，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？准方程需要几个独立条件？x x2 2+y
5、+y2 2=1=1三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程.特别地特别地,若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx1(1(口答口答)、求圆的圆心及半径、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1练习练习Xy0+2-2C(0、0)r=2XY0-1C(-1、0)r=1(1)x2+y2=9(2)(x+3)2+(y-4)2=5练习练习53 3、圆心在（、圆心在（-1,2-1,2）,与与y y轴相切轴相切练习练习XY0c-1C(-1、2)r=1(x+1)2+(y-2)2=1(x-2)2+(y-2)2=4 或
6、或 (x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X练习练习4 4、圆心在直线、圆心在直线y=xy=x上上,与两轴同时相切与两轴同时相切,半径为半径为2.2.XY0C（8、3）P（5、1）5 5、已知圆经过、已知圆经过P(5P(5、1),1),圆心在圆心在C(8C(8、3),3),求圆方程求圆方程.练习练习(x-8)2+(y-3)2=13XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习练习6 6、求以、求以c(1c(1、3 3）为圆心，并和直线）为圆心，并和直线3x-4y-6=03x-4y-6=0相切的圆的方程相切的圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2
7、=r2,已知a=1,b=3 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，所以|31-4 3-6|15 所以圆的方程为r=3(x-1)2+(y-3)2=9522)4(37 7、已知两点、已知两点A(4A(4、9)9)、B(6B(6、3),3),求以求以ABAB为为直径的圆的方程直径的圆的方程.提示提示:设圆方程为设圆方程为:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2A(4、9)B(6、3)X0Y练习练习思考思考7:7:方程方程 ，是圆方程吗？是圆方程吗？222()()xaybr222()()xaybr22()()xaybm思考思考8:8:方程方程 与与 表示的曲
8、线分别是什么？表示的曲线分别是什么？24(1)yx24(1)yx知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系 思考思考1:1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？思考思考2:2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？A AO OA AO OA AO OOAOAr rOAOA=r r思考思考3:3:在直角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点M(xM(x0 0，y y0 0)和圆和圆C C：，如何判，如何判断点断点M M在圆外、圆上、圆内？在圆外、圆上、圆内？222()()xaybr(x(x0 0-a)
9、-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C外外;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C上上;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r时，点在圆外；d=r时，点在圆上；d0时，表示以（时，表示以（）为圆心，以为圆心，以()为半径的圆为半径的圆2,2ED FED42122 （3）当）当D2+E2-4F0时时,方程方程（1）无实数解无实数解,所以所以 不表示任何图形。不表示任何图形。（2）当）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解时，方程只有一组解
10、X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（）2,2ED 所以形如所以形如x x2 2 y y 2 2DxDxEyEyF F0 0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程思考思考4:4:当当 或或 时，时，方程方程 表示什么图表示什么图形？形？2240DEF2240DEF220 xyDxEyF思考思考5:5:方程方程 叫做圆的叫做圆的一般方程一般方程，其，其圆心坐标和半径分别是什么？圆心坐标和半径分别是什么？220 xyDxEyF22(40)DEF圆心为圆心为 ，半径为，半径为 (,)22DE22142DEF圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2D
11、xEyF0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122 (1)22xy和的系数相同，且不等于零；的系数相同，且不等于零；(2)(2)没有没有 xyxy 项；项；(3)(3)22DE4F0一般式有那些特点一般式有那些特点？思考思考7:7:当当D=0D=0，E=0E=0或或F=0F=0时，时，圆圆 的位置分别的位置分别有什么特点？有什么特点？220 xyDxEyFC Cx xo oy yC Cx xo oy yC Cx xo oy yD=0D=0E=0E=0F=0F=0练习练习:判别下列方
12、程表示什么图形判别下列方程表示什么图形,如果是圆如果是圆,就就找出圆心和半径找出圆心和半径.221)2410 xyxy222)0 xy223)60 xyx点点(0,0)22436DEF6,0DEF 2240DEF0DEF半径半径:圆心圆心:(3,0)3r 2,4,1DEF 22416DEF半径半径:圆心圆心:(1,2)2r 知识探究二：圆的直径式方程知识探究二：圆的直径式方程 思考思考1:1:已知点已知点A(1A(1，3)3)和和B(-5B(-5，5)5)，如，如何求以线段何求以线段ABAB为直径的圆方程？为直径的圆方程？思考思考2:2:一般地一般地,已知点已知点A(xA(x1 1,y,y1
13、1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则以线则以线段段ABAB为直径的圆方程如何？为直径的圆方程如何？(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y-y)+(y-y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0)=0A Ax xo oy yB BP P例例1:求过点求过点 的圆的的圆的方程方程,并求出这个圆的半径长和圆心并求出这个圆的半径长和圆心.12(0,0),(1,1),(4,2)OMM解解:设圆的方程为设圆的方程为:220 xyDxEyF因为因为 都在圆上都在圆上,所以其坐标都满足圆的所以其坐标都满足圆的方程方程,即即12,O MM02042200FDEFDEF 860DE
14、F 所以所以,圆的方程为圆的方程为:22860 xyxy理论迁移理论迁移 例例2 2 方程方程表示的图形是一个圆，求表示的图形是一个圆，求a的取值范围的取值范围.2222210 xyaxayaa 用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2)根据条件列出关于根据条件列出关于a、b、r或或D、E、F的方程；的方程；3)解方程组，求出解方程组，求出a、b、r或或D、E、F的值，代入的值，代入所设方程，就得要求的方程所设方程，就得要求的方程若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆
15、的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.根据题目条件,恰当选择圆方程形式:若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解法求解.例例3 3 已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是（4 4，3 3）,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运上运动，求线段动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.yABMxo例例3:已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆 上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的
16、轨迹方程.22(1)4xy解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点A的坐标是的坐标是 .00(,)xy由于点由于点B的坐标是的坐标是(4,3),且且M是线段是线段AB的中点的中点,所以所以042xx 032yy 即即:002423xxyy 因为点因为点A在圆上运动在圆上运动,所以所以A的坐标满足圆的的坐标满足圆的方程方程,即即:2200(1)4xy22(241)(23)4xy2233()()122xy求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法:若生成轨迹的动点若生成轨迹的动点 随另一动点随另一动点 的变动而有规律地变动的变动而有规律地变动,可把可把Q点的坐标点的坐标 分别用动点分别用动点P的坐标的坐
17、标x,y 表示出来表示出来,代入到代入到Q点点满足的已有的等式满足的已有的等式,得到动点得到动点P的轨迹方程的轨迹方程 00(,)Q xy(,)P x y00,xy关键关键:列出列出P,Q两点的关系式两点的关系式.求动点轨迹的步骤求动点轨迹的步骤:1.建立坐标系建立坐标系,设动点坐标设动点坐标M(x,y);2.列出动点列出动点M满足的等式并化简满足的等式并化简;3.说明轨迹的形状说明轨迹的形状.例例4 4 已知点已知点P P（5 5，3 3），点），点M M在圆在圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y+4=0-4x+2y+4=0上运动，求上运动，求|PM|PM|的最的最大值和最小值大值和最小
18、值.yCPMxoA AB B练习练习1:判别下列方程表示什么图形判别下列方程表示什么图形,如果是圆如果是圆,就就找出圆心和半径找出圆心和半径.221)2410 xyxy222)0 xy223)60 xyx点点(0,0)22436DEF6,0DEF 2240DEF0DEF半径半径:圆心圆心:(3,0)3r 2,4,1DEF 22416DEF半径半径:圆心圆心:(1,2)2r 2226)20 xyaxb2225)22 330 (0)xyaxayaa224)20 (0)xybyb2,0Eb DF22244DEFb半径半径:圆心圆心:(0,)b|b22,2 3,3Da Ea Fa 22244DEFa半
19、径半径:圆心圆心:(,3)aa|a22,0,Da EFb 222244()DEFab220ab220ab当当 时时,当当 时时,半径半径:圆心圆心:(,0)a 22ab 表示点表示点:(0,0)练习练习3:如图如图,等腰梯形等腰梯形ABCD的底边长分别为的底边长分别为6和和4,高为高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程求这个等腰梯形的外接圆的方程,并并求这个圆的圆心坐标和半径长求这个圆的圆心坐标和半径长.3(2,3)(2,3)(3,0)(3,0)解解:设圆的方程为设圆的方程为:220 xyDxEyF因为因为A,B,C都在圆上都在圆上,所以其坐标所以其坐标都满足圆的方程都满足圆的方程,即即9309
20、3013430DFDFDEF 40,93DEF 圆的方程圆的方程:224903xyy即即:22285()39xy圆心圆心:半径半径:8532(0,)31.1.任一圆的方程可写成任一圆的方程可写成 的形式，但方程的形式，但方程 表表示的曲线不一定是圆示的曲线不一定是圆,当当 时，时，方程表示圆心为方程表示圆心为 ，半径为半径为 的圆的圆.220 xyDxEyF220 xyDxEyF2240DEF(,)22DE22142DEF小结作业小结作业配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心圆心,半径半径)作业：作业：P124P124习题：习题：A A组组:1 1，6 6，B B组组:1.:1.
